Le Cours

1. Pourcentage, fréquence.
Activité 1 p 6
Activité 2 p 7
1.1. Proportion (ou fréquence)
1.
Pourcentage exprimant une Proportion
Soit E un ensemble ayant nA éléments et A une partie de E ayant nE éléments
La proportion ou fréquence d’une sous-population A dans une population E est le rapport des
effectifs :
Nombre d' éléments de A n A
p=
=
Nombre déléments de E n E
n
n
x
Dire que A représente x% de E équivaut à : A =
. On note la fréquence f E ( A) = A
n E 100
nE
Exemple :
Dans un service d’hôpital de 28 lits, 21 sont occupés.
Proportion de lits occupés ?
réponse :
21 3
=
28 4
3
75
= 0,75 =
.
4
100
Il y a donc 75% des lits qui sont occupés.
En pourcentage ?
réponse
75
= 75%
100
Quel que soit le choix de l’écriture, une proportion est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
Attention aux écritures. On n’écrit pas 0,75 = 75% ou
2.
Addition de pourcentage, Pourcentage de pourcentage
Si C représente y% de B et si B représente x% de E, alors C représente
x× y
% de E
100
Exemple : Dans une maison de retraite 88% des personnes ont plus de 78 ans dont 65% sont des
femmes. Quelle est la part des femmes de plus de 78 ans dans la maison de retraite ?
Addition de pourcentage :
On ne peut additionner des proportions que dans le cas de deux ensembles DISJOINTS A et B.
Exemple : Dans une association de quartier chaque adhérent pratique un seul sport. 26% des
adhérents pratique le judo, 35% la boxe, 12% la musculation, le reste la gymnastique.
Combien pratique un sport de combat ?
35% + 26% = 61%.
Exercices : p28
1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 8 – 13 – 24 - 14 – 16 – 18 – 22 – 25 – 28 – 30 – 31.
10 – 11 – 17 – 19 - 20
Tableur sur papier
6
TABLEUR :
• Fichiers TP00-TP01-TP02-TP03-TP04
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Page 1
2. Droites – Fonction affine
(
)
r r
On se place dans un repère O; i , j orthonormé ou orthogonal.
2.1. Coefficient directeur
On considère une droite ∆ , non parallèle à l’axe des ordonnées, A et B deux points distincts de
cette droite.
y − yA
Le coefficient directeur de la droite est m = B
.
xB − x A
Cas particulier utilisé pour tracer une droite : si x B = x A + 1 , alors m = y B − y A . Ainsi,
yB = yA + m
Si m > 0 , la droite « monte ».
Si m = 0 la droite est « horizontale
y
Si m < 0 , la droite « descend ».
y
y
A
B
A
B r
j
m
A
•
r
i
r
j
x
r
j
r
i
x
1
m
r
i
B
x
1
Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur
1) Comment déterminer le coefficient directeur d’une droite donnée graphiquement ?
Méthode 1 : On repère deux points A et B de la droite, puis on calcule le coefficient directeur
y − yA
avec l’égalité m = B
.
xB − x A
Méthode 2 : On se place sur la droite. On se décale d’une unité vers la droite et on « descend »
ou on « monte » pour rejoindre la droite. La distance ainsi parcourue donne la valeur du
coefficient directeur, positif si on est monté, négatif si on est descendu.
Exemple
2) Comment tracer une droite dont on connaît un point et le coefficient directeur ?
• On place le point connu. A partir de ce point, on se « déplace » de 1 vers la droite
parallèlement à l’axe des abscisses.
• Si le coefficient directeur est positif, on monte de sa valeur parallèlement à l’axe des
ordonnées et on marque le point.
Si le coefficient directeur est négatif, on descend de sa valeur absolue parallèlement à
l’axe des ordonnées et on marque le point.
• On trace alors la droite passant par le point de départ et ce point.
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Page 2
Exemple
2.2. Equation de droite
Toute droite ∆ non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y = mx + p ,
où m et p sont des réels.
Le nombre m est le coefficient directeur de la droite
Le nombre p est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (ordonnée au point d’abscisse 0)
Dans le cas où ∆ est parallèle à l’axe des ordonnées, tous les points de la droite ont même
abscisse. Si on note k cette abscisse, la droite ∆ a pour équation x = k
1) Comment déterminer l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des
abscisses, définie par deux de ces points ?
y − yA
1. On calcule le coefficient directeur m = B
xB − x A
2. On écrit que les coordonnées du point A vérifient l’équation réduite y A = mx A + p , puis
on calcule p.
3. On écrit l’équation.
Exemple
2) Comment tracer une droite dont on connaît l’équation réduite y = mx + p ?
• On place l’ordonnée à l’origine de coordonnées (0; p )
• A partir de ce point, on se déplace d’une unité vers la droite parallèlement à l’axe des
abscisses puis on monte ( si m > 0) ou on descend (si m < 0 ) de la valeur absolue du
coefficient directeur parallèlement à l’axe des ordonnées. On marque ce point.
• On trace alors la droite passant par les deux point placés.
Exemple
2.3. Fonction affine
 x a ax + b
Soit la fonction f définie par : 
où a et b sont des nombres réels donnés,
 IR → IR
indépendants de x, et où a n’est pas nul : f est une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Dans le cas d’une fonction
linéaire (b=0), la droite passe par l’origine du repère
Variations – Tableau de variations
Cas a>0
f est strictement croissante sur IR
x
−∞
f (x )
+∞
+∞
Cas a<0
f est strictement décroissante sur IR
x
f (x )
−∞
+∞
−∞
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+∞
−∞
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Page 3
a>0
a<0
Cas Particulier : La fonction identité ( x a x )
5
C’est une droite
passant par l’origine du repère,
de coefficient directeur 1.
4
3
2
1
0
-5
-4 -3
-2
-1-1 0
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Exercice 37 à 44 page 72
Signe de ax+b
x
Signe de
ax+b
−∞
Signe de (-a)
-5
−
b
a
0
+∞
Signe de (a)
2.4. Utilisation de la calculatrice
•
•
•
Puissance
Tableau de valeurs
Graphique
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Page 4
3. Statistique
Activité 1 p 102
Activité 2 p 104
3.1. Introduction - Vocabulaire
A l’origine (en Chine 2000 ans avant JC, en égypte 1700 ans avant JC, puis dans l’empire
romain), la statistique (du latin « Status » : Etat) rassemblait des informations intéressant l’état,
concernant la POPULATION, dont les éléments sont des INDIVIDUS et consiste à observer, étudier
un même aspect de chaque individu appelé VARIABLE OU CARACTERE.
On distingue deux types de caractères :
• Les caractères QUALITATIFS (profession, couleur des yeux...).
• Les caractères QUANTITATIFS que l’on peut mesurer. Ces valeurs peuvent être
regroupées en CLASSES ( [1m20;1m50[, [1m50;1m60[...)
L’EFFECTIF n d’une valeur de la variable est le nombre d’individus correspondant à une
même valeur.
La FREQUENCE d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total
n
de la population. f i = i
n
Remarque : Les fréquences sont des nombres compris entre 0 et 1, dont la somme est 1. Elles sont souvent
exprimées en pourcentage ou transformée en degré pour la construction d’un diagramme circulaire.
3.2. Représentations graphiques
1.
Exemple :
Diagramme en bâtons, diagramme circulaire
Temps quotidien passé devant la télévision
moins de 1 h
[1 h ; 2 h[
[2 h ; 3 h[
[3 h ; 4 h[
[4 h ; 8 h[
Diagramme en bâtons
Pourcentage des télespectateurs
10,1%
15,1%
17,1%
16%
41,7%
Diagramme circulaire
moins de 1
50%
h
40%
[ 1 h ; 2 h[
30%
20%
[ 4 h ; 8 h[
10%
0%
[ 2 h ; 3 h[
[ 3 h ; 4 h[
Ce type de diagramme est privilégié Les angles et donc les aires des
dans le cas d’un caractère discret
secteurs sont proportionnels aux
effectifs
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Page 5
2.
Histogramme
Un histogramme permet de représenter des séries statistiques à caractère quantitatif, dont les
valeurs observées peuvent être, à priori, n’importe quel nombre réel d’un intervalle.
Ces valeurs sont regroupées en classes (intervalles). Une unité d’aire correspond à une (ou
plusieurs) valeur(s) observée(s).
Exemple :
Les résultats d’un contrôle dans une classe de 30 élèves sont les suivants :
[8 ;10 [
Classes
[0;8[
[10;14[
[14;20]
Effectifs
12
5
8
5
On représente alors l’Histogramme sachant qu’une unité d’aire
représente 1 élève.
C’est donc en comptant le nombre d’unité d’aire que l’on a le nombre d’élève dans
chaque classe
0 1 2 3 4
5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3.
Diagramme tige et feuilles
Un diagramme tige et feuilles permet de présenter les valeurs observées pour des séries
statistiques à caractère quantitatif, lorsque ces valeurs appartiennent à un intervalle d’amplitude
peu élevée.
L’intérêt de la méthode est de donner un aperçu graphique de la série sans perdre aucune
information.
Exemple :
On a relevé le nombre de jours d’attente avant de pouvoir consulter un médecin
spécialiste à l’hôpital : 30 ; 36 ; 26 ; 39 ; 10 ; 49 ; 38 ; 31 ; 25 ; 24 ; 21 ; 34 ; 42 ; 36 ; 23 ; 42 ;
41 ; 12 ; 33 ; 37 ; 19 ; 18 ; 19 ; 47 ; 7 ; 28 ; 15 ; 2 ; 28.
Représenter ces données sou forme de diagramme tige et feuilles.
Méthode :
Tige
feuilles
0
• 1ère étape : Repérer la plus petite valeur, 7 et la plus grande 49.
1
Les parties principales, sur la tige seront dans l’ordre croissant 0, 1, 2, 3, 4.
2
(ce sont ici les dizaines). Ces chiffres formeront la première colonne.
3
4
• 2ème étape : Les feuilles seront constitués des unités.
Les chiffres sont reportés au fur et à mesure
sur la ligne de sa partie principale.
• 3ème étape : On ordonne les chiffres de chaque feuille
dans l’ordre croissant. On obtient alors un diagramme tige et feuilles.
Note : On peut ainsi rapidement déterminer le temps d’attente médian
Il s’agit de la 15ème valeur, soit 28 jours d’attente.
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Tige
0
1
2
3
4
Tige
0
1
2
3
4
feuilles
72
029895
6541388
069814637
92217
feuilles
27
025899
1345688
013466789
12279
Page 6
3.3. Paramètres statistiques
1.
Indicateur de position :
1.1.
la moyenne
La moyenne est un indicateur de centralité (marquant la position) des valeurs de la série.
Cf ACTIVITE 1
On distingue trois cas :
1er cas : la population est donnée par la liste de ses n éléments : x1 , x 2 ,K , x n .
2ème cas : la population est donnée par le tableau des effectifs ni de chacune des p classes xi.
3ème cas : la population est donnée par le tableau des effectifs ni de chacune des p classes
a + bi
[ai ; bi[ de centre ci = i
2
La MOYENNE d’une série quantitative discrète, notée x est égale à :
1er cas :
2ème cas :
3ème cas :
x=
x=
x=
x1 + x 2 + K + x n ∑ xi
=
n
n
n1 x1 + n 2 x 2 + K + n p x p
n
n1c1 + n2 c2 +K+ n p c p
=
∑n x
i
i
n
Le symbole ∑
est le symbole
somme.
n
Exemple : On a relevé la taille en cm de 20 personnes :
Dans ce cas, il faut déterminer le centre de classe.
Classe
Centre de classe
Effectif
[145 ;155[
150
2
[155 ; 165[
160
5
[165 ; 175[
170
8
[175 ;185[
180
4
[185 ;195[
190
1
En remarquant que l’effectif total est de 20, la moyenne des tailles est :
150 × 2 + 160 × 5 + 170 × 8 + 180 × 4 + 190 × 1
m=
= 168,5
20
Remarque : Pour calculer la moyenne d’une série regroupée en classe, on se ramène au cas
discret en remplaçant chaque classe par son centre.
Propriété de la moyenne :
Si les populations E1 et E2 n’ont aucun élément commun, alors la population E = E1 ∪ E 2 est
d’effectif N 1 + N 2 et la moyenne sur E est égale à : X =
N1 X 1 + N 2 X 2
N1 + N 2
1.2. La médiane
Soit une série quantitative ordonnée. La médiane notée M e est un nombre qui sépare la
population en deux sous-ensembles de même effectif ; c’est un indicateur de centralité (qui
marque la position) des valeurs de la série.
50% de l’effectif
x ≤ Me
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50% de l’effectif
Me
x ≥ Me
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Page 7
Exemples :
• Les notes de Paul sont : 7 ;8 ;8 ;10 ;12 ;13 ;14. La note médiane est 10.
• Les notes d’Alice sont : 5 ;8 ;9 ;10 ;10 ;14. On prend pour note médiane 9,5 (toute note
dans ]9;10[ est médiane. On choisit plutôt le centre de l’intervalle.
2.
Indicateur de dispersion
2.1. L’étendue
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la variable.
2.2. L’écart type
L’écart type σ , obtenu à l’aide de la calculatrice (ou du tableur) est un indicateur de dispersion
des valeurs de la série.
L’écart-type d’une série de moyenne x est le réel, noté σ ( X ) , tel que :
σ (X ) =
n1 (x1 − x ) + n 2 ( x 2 − x ) + K + n p (x p − x )
2
2
2
n
• On prendra la valeur donnée par la calculatrice
• Attention, sur un tableur, il faut choisir : EcartypeP
Remarques
• Cette quantité est positive ou nulle ; (elle est nulle si toute les valeurs de la série sont
égales à la moyenne.
• Plus σ ( X ) est petit, plus la série est concentrée autour de sa moyenne X .
•
Plus σ ( X ) est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne X
3.4. Quartiles et intervalle interquartile - Déciles
Pour une série dont la liste des valeurs observées est triée dans l’ordre croissant :
• La médiane M e est un nombre qui sépare la population en deux sous ensembles de
même effectif.
M e n’est pas forcément une valeur de la série :
Si N = 2n + 1 , M e = x n +1
x n + x n +1
2
er
• Le 1 quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25% des valeurs
soient inférieures ou égales à Q1 .
Le 3ème quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 50% des valeurs
Si N = 2n , M e =
soient inférieures ou égales à Q3 .
L’écart interquartile Q3 − Q1 est un indicateur de dispersion des valeurs de la série ;
L’intervalle interquartile [Q1 ; Q3 ] contient 50% des effectifs.
•
Le ième décile Di , (i allant de 1 à 9) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins
i
des valeurs soient inférieures ou égales à Di .
10
L’écart interdécile D9 − D1 est un indicateur de dispersion des valeurs de la série ;
L’intervalle interdécile [D1 ; D9 ] contient 80% des effectifs.
Exemples : (Effectif de 16, puis 17, puis 18, puis 19)
Exemple choisi dans la classe : Montant dépensé par chaque élève lors des soldes.
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• Diagramme en boîte :
Dans le cas d’une série ayant un effectif important, on représente la série par un diagramme
mettant en valeur les valeurs centrales appelé diagramme en boîte ou « diagramme à
moustaches ».
Ecart (ou intervalle) interquartile
Ecart (ou intervalle) interdécile
Axe gradué.
min
D1
Q1
Me
Q3
D9
max
Méthode d’application
Les résultats d’une enquête auprès de 30 médecins sur le nombre de revues spécialisées
auxquels ils sont abonnés sont regroupés dans le tableau suivant :
Nombre d’abonnements
Nombre de médecins
1
1
2
1
3
2
6
3
7
3
8
3
9
2
10
3
11
1
Comment réaliser un diagramme en boites correspondant ?
On dresser le tableau des effectifs cumulés croissants :
Nombre d’abonnements
1
2
3
4
5
6
Nombre de médecins
1
2
4
8
15 18
7
21
8
24
9
26
10
29
11
30
10%
4
4
5
7
25%
50%
75%
90%
On en déduit la médiane, les 1er et 3ème quartiles, l’écart interquartiles et les 1er et 9ème décile
30
• La médiane :
= 15 , donc la médiane se trouve entre les valeurs observées de rang 15 et
2
5+6
16 ; on prend pour médiane la moyenne de ces deux valeurs :
Me =
= 5,5
2
30
• Quartiles :
= 7,5 , donc le 1er quartile est la valeur observée de rang 8 : Q1 = 4
4
30
3×
= 22,5 , donc le 3ème quartile est la valeur observée de rang 23 : Q3 = 8
4
• Ecart interquartile : 8-4=4.
30
• Déciles :
= 3 , donc le 1er décile est la valeur observée de rang 3 : D1 = 3
10
30
9×
= 27 , donc le 9ème décile est la valeur observée de rang 27 : D9 = 10
10
On peut alors réaliser le diagramme en boîte correspondant :
Q3 − Q1 = 4 revues
1
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2
3
4
5 5,5 6
7
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8
9
10
11
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3.5. Tableaux croisés
•
Un tableau à double entrée permet de présenter les effectifs en vue d’é »tudier
simultanément deux caractères A et B sur cette population : A1 , A2 ,..., An et B1 , B2 ,..., B p
…
A1
B1
Effectif de
Totaux
An
A1etB1
Effectif de
B1
Effectif de
Bp
Totaux
•
•
Effectif de
A1
Effectif de
An
Effectif total
Un tableau de fréquence permet de comparer deux populations selon un même caractère
A : A1 , A2 ,..., An sont les modalités du caractère A.
On peut alors définir la fréquence conditionnelle f B (D ) comme la fréquence des
individus prenant la valeur D parmi les individus prenant la valeur B :
Nombre d' individus vérifiant D et B
f B (D ) =
Nombre d' individus vérifiant B
Voir Activité 1 feuille : ActivitéTableauxCroisés
Un grossiste commande 900 kg de fruits en provenance d’Espagne et du Maroc. A la livraison, ces fruits sont
classés suivant leur maturité : Pas assez mûr – Bonne maturité – Trop mûr. L’analyse de la marchandise nous permet
d’affirmer que :
• Parmi les 550 kg de fruits acheté au Maroc, 20% sont trop mûr et 14% ne sont pas assez mûr
• 70% de la livraison sont des fruits à bonne maturité.
• Il y a 50 kg de fruits provenant d’Espagne qui sont trop mûr.
1) Compléter le tableau suivant :
Pas assez
Bon
Trop
Total
Espagne
Maroc
Total
2) Soit
E : « Le fruit provient d’Espagne »
M : « Le fruit provient du Maroc »
B : « Le fruit est à bonne maturité »
Déterminer f (E ) , f (M ) , f (B )
2) Déterminer f M (B ) et
fruits à bonne maturité ?
f E (B ) . Quel est, proportionnellement à la quantité livrée, le pays qui fournit le plus de
Activité 2 feuille : ActivitéTableauxCroisés
8517 hommes et 6968 femmes d’une petite agglomération ont été consultés sur l’aménagement d’un réseau de pistes
cyclables.
1) Réaliser un tableau de fréquences, arrondies à 10-3 permettant de comparer ces deux populations selon leurs
réponses
2) Est-il vrai qu’il y a relativement plus d’avis favorables parmi ces femmes que parmi ces hommes ?
6000
5105
5000
4358
Hommes
4000
Femmes
3000
1662
1610
2000
1802
948
1000
0
Favorables
Opposés
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Ne se
prononcent
pas
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Réponse
Réponses
Population
Femmes
Hommes
Favorables
Opposés
0,625
0,599
0,239
0,189
Ne se prononcent
pas
0,136
0,212
Totaux
1
1
Oui car 65,2% des femmes et 59,9% des hommes sont favorables au projet.
DOSSIER SUR L’ETUDE D’UNE SERIE STATISTIQUE DE LA
VIE QUOTIDIENNE
•
•
•
•
•
•
•
•
Méthodologie de l’enquête (des sources)
Boîte à moustaches
Diagrammes Tige et feuilles
Exercices : .
TP : TP1 p 114
Tableur sur papier
TABLEUR
• Fichiers TP31-TP32
CALCULATRICE
• Activité 3 p105
• TP3 p 116 (avec tableur) – TP6 p 120 (avec tableur)
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Page 11
4. Pourcentage d’évolution,
coefficient multiplicatif
4.1. Pourcentage d’évolution, coefficient multiplicatif
Activité 4 p 9
1.
Taux d’évolution entre deux grandeurs
Définition
Si une grandeur V prend successivement les valeurs V0 et V1 (valeurs positives), le taux
V − V0 V final − Vinitial
d’évolution ou variation relative, (ou taux de variation) est : t = 1
=
V0
Vinitial
t peut être écrit sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.
Si t>0, il s’agit d’une augmentation de 100t%.
Si t<0, il s’agit d’une diminution de -100t%.
Remarque : V final − Vinitial est appelé variation absolue
Exemple :
Le prix de l’essence 98 est passé de 1,23 € à 1,29 €. Quel est le pourcentage d’augmentation ?
~4,88%
Ex 39-40-41 p 31-32 – Ex 35 p 31 – Ex 46 p32
2.
Coefficient multiplicatif
Le coefficient multiplicatif de V0 à V1 est le nombre c = (1 + t ) , où t est le taux d’évolution de
V0 à V1.
On a donc : V1 = (1 + t )V0 = cV0 .
Le coefficient multiplicatif est un nombre positif.
Si c > 1 , l’évolution est une hausse.
Si c < 1 , l’évolution est une baisse
•
•
x 

Une augmentation de x% transforme toute grandeur V en 1 +
 ×V
 100 
x 

Une diminution de x% transforme tout nombre x en 1 −
 ×V
 100 
Exemples :
• Un téléphone portable coûtait 79 € en 1999. En 2000, il a subi une baisse de 40%. Quel
est son nouveau prix ?
40 

791 −
 = 47,4 €

•
100 
Un paquet de cigarette est taxé à 300% par l’état. S’il coûte 3,60 € TTC, Quel est son prix
HT ?
 300 
x 1 +
 = 3,60 soit x=0,9 €
 100 
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Page 12
Remarque : Si on connaît VF et VI , alors c =
VF
VI
Ex 38 – 37 – 34 – 44 - 48 p 31-32
3.
Evolutions successives
Si t1 est le taux d’évolution de V0 à V1 et t 2 le taux d’évolution de V1 à V2, alors le taux
d’évolution de V1 à V2, alors le coefficient multiplicatif de V0 à V2 est :
1 + t = (1 + t1 )(1 + t 2 ) = c1 × c 2
Ce résultat se généralise au cas de plus de deux évolutions successives
ATTENTION : En cas de hausse ou de baisse successive, les taux ne s’ajoutent donc pas
Ex 32-33-51-52-53 page 31-33
4.
Evolution réciproque
Deux évolutions (hausse et baisse, ou baisse et hausse) sont réciproques si et seulement si leurs
coefficients multiplicatifs c et c ′ sont tels que cc ′ = 1
Exemple :
Le prix du baril de pétrole a augmenté de 150% en une année.
Quelle baisse faudrait-il pour qu’il revienne à sa valeur initiale ?
Réponse : Coefficient multiplicatif de la hausse : c = 1 + 150% = 2,5
1
1
Coefficient multiplicatif de la baisse : c ′ = =
= 0,4 = 1 − 60%
c 2,5
Il faut donc une baisse de 60% sur le nouveau tarif.
Ex 63-64 p 34
5.
Approximations affines en cas de faibles variations
On considère dans ce paragraphe des taux t très faibles, c’est-à-dire proches de 0.
Lorsque t1 et t 2 , écrits sous forme décimale, sont proches de 0, le pourcentage t dévolution
globale est proche de t1 + t 2
En effet, (1 + t1 )(1 + t 2 ) = 1 + t1 + t 2 + t1t 2 .
Si t1 = −2% et si t 2 = 5% , on a t1t 2 = −0,001 = −0,1% , ce qui est négligeable
Le pourcentage dévolution est approximativement égal à t1 + t 2 = 0,03 = 3%
Exercices : p 28
1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 8 – 13 – 14 – 16 – 18 – 22 – 25 – 28 – 30 – 31.
Tableur sur papier
6
TABLEUR
• Fichiers TP11-TP12
DOSSIER SUR LES
POURCENTAGES DANS LA VIE
QUOTIDIENNE
TP : Coefficient directeur et droite.
•
CALCULATRICE
• Livre TP3 p17
•
Cours 1ère ST2S
3 types d’exemples différents – sources à
donner avec précision
Préciser le type de pourcentage et réaliser un
exemple de calcul
©E. Poulin
Page 13
5. Fonctions numériques
Document Support Cours à Editer
Activité 1 – livre p36-37
5.1. Introduction
Une fonction numérique f est une relation qui à chaque nombre x appartenant à D associe un
nombre réel unique, noté f ( x ) appelé image de x par f.
Cette relation dépend donc d’une variable x, cette dernière prenant des valeurs dans un intervalle
donné. La fonction permet de décrire un phénomène physique ou mathématique.
On note :
Ensemble de définition D
Ensemble d’arrivée
D → IR
x a f (x )
Image de x par f
Variable
L’ensemble de définition indique l’intervalle où l’étude de la fonction doit être conduite. Cet
ensemble exclue les valeurs impossibles.
Dans le plan rapporté à un repère, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble de
tous les points de coordonnées ( x; f ( x )) , où x ∈ D. Cette courbe a pour équation y = f ( x )
5.2. Variations d’une fonction
Activité 3 – livre p38
1.
Tableau de variations
Soit la fonction représentée par la courbe
suivante.
2
On remarque qu’entre –1 et 1, la courbe
décroît, alors qu’entre 1 et 2 elle croît.
1
On dira que f est décroissante sur l’intervalle
[− 1;1] et croissante sur [1;2]
-1
Nous pouvons regrouper ces informations
dans un tableau de variations
x
f(x)
-1
2
1
1
2
-1
2
1,5
-2
-1,5
Cours 1ère ST2S
0
©E. Poulin
Page 14
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I
• On dit que f est croissante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b , on a
f (a ) ≤ f (b ) . (strictement croissante si f (a ) < f (b ) ). On dit que f conserve le sennns des
inégalités.
• On dit que f est décroissante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b , on a
f (a ) ≥ f (b ) . On dit que f inverse le sens des inégalités.
• On dit que f est constante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b , on a
f (a ) = f (b ) .
Ex de 1 à 10– livre p64-65
2.
Ex de 22 à 36– livre p68-70
Maximum et minimum (A VOIR)
Une fonction f admet un maximum en x0 sur l’intervalle I si pour tout x de I : f ( x ) ≤ f ( x0 ) . Ce
maximum est f ( x0 )
Une fonction f admet un minimum en x0 sur l’intervalle I si pour tout x de I : f ( x ) ≥ f ( x0 ) . Ce
minimum est f ( x0 )
Dans l’exemple ci-dessus, f admet un minimum pour x=1. Ce minimum est f (1) = −1,5
5.3. Résolution d’équations et d’inéquations
ACTIVITE 2 p 38 Dans le cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle, et Cf.sa courbe représentative dans un repère
r r
(O; i , j ) .
f (x ) = k
Résoudre l’équation f ( x ) = k revient à chercher les antécédents de f par
k, ce qui correspond aux abscisses des points d’intersection de la droite
horizontale d’équation y = k avec la courbe Cf.
f (x ) = g (x )
Résoudre l’équation f ( x ) = g ( x ) consiste à déterminer les réels x qui
vérifie l’égalité proposée, ce qui correspond aux abscisses des points
d’intersection des courbes représentatives des deux fonctions.
f (x ) > k
Les solutions de l’inéquation f ( x ) > k (respectivement f ( x ) < k ) sont les
abscisses des points de la courbe Cf. situés au dessus (respectivement en
f (x ) > g (x )
dessous) de la droite horizontale d’équation y = k
Exemple page 42
Ex 12 à 21 page 67
Comment démonter ou vérifier que deux fonctions sont égales ?
Afin de faciliter l’étude des fonctions, celles-ci ont été classifiées.
Cours 1ère ST2S
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Page 15
5.4. Fonctions et courbes de référence
Activité 4 page 39
1.
Fonctions affines
 x a ax + b
où a et b sont des nombres réels donnés,
Soit la fonction f définie par : 
 IR → IR
indépendants de x, et où a n’est pas nul : f est une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Dans le cas d’une fonction
linéaire (b=0), la droite passe par l’origine du repère
Variations – Tableau de variations
Cas a>0
f est strictement croissante sur IR
x
−∞
f (x )
+∞
+∞
Cas a<0
f est strictement décroissante sur IR
x
f (x )
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
a>0
a<0
Cas Particulier : La fonction identité ( x a x )
5
C’est une droite
passant par l’origine du repère,
de coefficient directeur 1.
4
3
2
1
0
-5
-4 -3
-2
-1-1 0
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Exercice 37 à 44 page 72
Signe de ax+b
x
Signe de
ax+b
Cours 1ère ST2S
−∞
Signe de (-a)
-5
−
b
a
0
+∞
Signe de (a)
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Page 16
2.
Fonction carré
TP Calculatrice (en groupe) : TP2 Livre page 48 + TP3 + TP4
 x a x2
Soit la fonction f définie par : 
 IR → IR
Variations :
f est strictement décroissante sur ]−∞,0]
f est strictement croissante sur [0,+∞[
]
]
intuitivement, on remarque que sur −∞,0 , lorsque x augmente,
augmente,
f ( x ) croit
Tableau de variations :
Tableau de signes :
−∞
x
f ( x ) décroit et que sur [0,+∞[ , lorsque x
+∞
0
x
x2
f
−∞
+
+∞
0
0
+
0
Pour cela nous allons étudier cette fonction sur l’intervalle [ −3;3] et compléter le tableau de
valeurs suivant :
x
-3
9
f ( x)
-2
4
-1,5
2,25
-1
1
-0,5
0,25
0
0
0,5
0,25
1
1
1,5
2,25
2
4
3
9
8
Cette courbe est une parabole.
L’axe des ordonnées est axe de symétrie
car deux points d’abscisses opposées ont
même ordonnée.
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4
Remarque : On dit que f est paire car :
TP9 page 55
Cours 1ère ST2S
-Oy est axe de symétrie
- Pour tout x de IR, f(-x)=f(x)
Ex 45 à 54 page 73
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Page 17
3.
La fonction cube
 x a x3
Soit la fonction f définie par : 
 IR → IR
Variations :
f est strictement croissante sur IR
Tableau de variations :
−∞
x
+∞
0
f
Tableau de signes :
x
x3
0
−∞
0
0
+
+∞
+
On peut étudier cette fonction sur l’intervalle [ −3;3] et compléter le tableau de valeurs suivant
(à 10-2 près) :
x
-3
-27
f ( x)
-2
-8
-1
-1
-0,75
-0,42
-0,5
-0,12
0
0
0,5
0,12
0,75
0,42
1
1
2
8
3
27
8
6
Cette courbe est symétrique par rapport à
l’origine O car deux points d’abscisses
opposées ont des ordonnées opposées.
4
2
0
-4
-2
0
2
4
-2
-4
-6
-8
Remarque : On dit que f est impaire car :
4.
-O est centre de symétrie
- Pour tout x de IR, f(-x)=-f(x)
La fonction racine carrée

xa x
Soit la fonction f définie par : 
[0;+∞[ → [0;+∞[
Variations :
f est strictement croissante sur [0,+∞[
Tableau de variations :
x
0
+∞
Tableau de signes :
x
x
f
+∞
0
+
0
On peut étudier cette fonction sur l’intervalle [0;9] et compléter le tableau de valeurs suivant (à
10-2 près) :
x
f ( x)
0
0
Cours 1ère ST2S
0,5
0,71
1
1
2
1,41
3
1,73
4
2
5
2,24
6
2,45
©E. Poulin
7
8
2,65 2,83
9
3
Page 18
Cette courbe est une partie de parabole
f :x a x
Ex 60 à 63 page 74
5.
La fonction 1/x
1

xa
Soit la fonction f définie par : 
x
 IR* → IR
Variations :
f est strictement décroissante sur ]−∞;0[
IR* = ]−∞;0[ ∪ ]0;+∞[
f est strictement décroissante sur ]0;+∞[
Tableau de variations :
−∞
x
0
+∞
Tableau de signes :
−∞
x
1
x
f
+∞
0
-
+
On peut étudier cette fonction sur [ −5;0[ ∪ [0;5[ et compléter le tableau de valeurs à 10-2 près :
x
-5
-3
-2
f ( x ) -0,20 -0,33 -0,50
-1
-1
-0,5 -0.25 0.25
-2
-4
4
0,5
2
1
1
2
3
5
0,50 0,33 0,20
Cette courbe est une hyperbole.
Elle est symétrique par rapport à l’origine du
repère
Ex 55 à 59 page 74
Problèmes : Ex 64 à 67 p 75-76
Tableur sur papier : TP1 p 47 – TP9 p 55
TABLEUR
• Fichiers TP21-TP22
CALCULATRICE
• Livre TP2 p 48 - TP3 p49 - TP4 p 50-51 – TP8 p 54-55
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Page 19
6. Suites numériques
Question de logique ! Déterminer le nombre manquant
19
15
11
3
9
27
6.1. Généralités
Définition :
Une suite numérique est une fonction définie sur ou sur une partie de A chaque entier naturel n, on associe un nombre réel un.
On dit que l’ensemble des nombre un forme la suite de terme général un.
Notation :
Cette suite est notée (un) ou u.
Une suite peut être déterminée :
• Soit par la donnée des termes successifs
• Soit sous une forme fonctionnelle : le terme général un est donné en fonction de n
• Soit sous une forme récurrente : un terme est donné en fonction du terme précédent
Représentation graphique :
La représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points M n (n; u n )
Exemples :
• un = n
u0 =...
u1 =...
u5 =...
c’est la suite des nombres entiers naturels
• un = 4n + 3 u0 =...
u1 =...
u5 =...
• un = 2n + 1 u0 =...
u1 =...
u5 =...
C’est la suite des nombres entiers naturels impairs
• la suite des inverses des nombres entiers naturels est :
1
1
u1 = 1
u2 =
u3 =
Donc un =...
2
3
6.2. Suites arithmétiques
1.
+5
3
+5
8
+5
13
+5
18
Définition
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au
précédent un nombre réel constant a appelé raison.
Pour tout nombre entier naturel n de ou *, u n +1 = u n + a
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Page 20
…
2.
Exemples
• La suite des nombres entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison …
En effet, un +1 = un + 2
• La suite des nombres entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1
En effet, un +1 =...
Remarque : pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que un +1 − un
est constant ; cette constante est la raison a.
3.
Expression du terme un en fonction de n
On se propose d’établir une relation permettant d’obtenir directement le terme un d’une suite
arithmétique sans calculer les termes précédents :
D’après la définition, nous pouvons écrire : u1 = u 0 + a
u 2 = u1 + a = (u 0 + a ) + a = u 0 + 2a
u 3 = u 2 + a = (u 0 + 2a ) + a = u 0 + 3a
Par suite, on a :
u n = u n−1 + a = (u 0 + (n − 1)a ) + a = u 0 + na
Théorème
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a, on a :
u n = u 0 + na
pour tout n de .
Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison a, on a :
u n = u1 + (n − 1)a
pour tout n de IN*.
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a, on a :
et
u n = u p + (n − p )a
REMARQUE :
On peut retenir :
pour tout 0 ≤ p ≤ n
un =(premier terme) + (nombre de termes avant un )x(raison)
4.
Représentation graphique
Représentation de la suite arithmétique de 1er terme u 0 = 3 et de raison a = 2
Représentation de la suite arithmétique de 1er terme v0 = 5 et de raison a = 0
Représentation de la suite arithmétique de 1er terme w0 = 10 et de raison a = −1,5
n
un
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
vn
wn
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25
20
15
10
5
0
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Conclusion :
• La représentation graphique de la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a est
constituée des points de la droite d’équation y = ax + u 0 (son coefficient directeur est a)
• Si a > 0 , la droite est croissante (croissance linéaire)
• Si a < 0 , la droite est décroissante (décroissance linéaire)
• Réciproquement, si les points représentant une suite sont des points alignés, alors la suite
est arithmétique
x4
2
x4
8
x4
32
x4
128
6.3. Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant au
précédent une constante b (b ≠ 0) appelée raison.
Pour tout nombre entier naturel n de ou *, u n +1 = bu n
1.
•
Exemples
La suite un +1 = un × 2 est une suite géométrique.
Remarque : pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que
u n +1
est
un
constant ; cette constante est la raison b.
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Page 22
…
2.
Expression du terme un en fonction de n
On se propose d’établir une relation permettant d’obtenir directement le terme un d’une suite
géométrique sans calculer les termes précédents :
D’après la définition, nous pouvons écrire : u1 = bu 0
u 2 = bu1 = b × (bu 0 ) = b 2 u 0
(
)
u 3 = bu 2 = b × b 2 u 0 = b 3u 0
Par suite, on a :
(
)
u n = bu n−1 = b × b n −1u 0 = b n u 0
Théorème
Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison b, on a :
un = u0 ⋅ b n
pour tout n de .
Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison b, on a :
u n = u1 ⋅ b n−1 pour tout n de *.
Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison b, on a :
u n = u p ⋅ b n − p pour tout n de et 0 ≤ p ≤ n .
REMARQUE :
On peut retenir :
un =(premier terme) x (raison)nombre de termes avant un
3.
Représentation graphique
Représentation de la suite géométrique 1er terme u0 = 0,5 et de raison b = 2
Représentation de la suite géométrique 1er terme v0 = 5 et de raison b = 1
Représentation de la suite géométrique 1er terme w0 = 12 et de raison b = 0,8
Exemples :
On arrondira les résultats au centième.
0
1
2
3
4
n
un
5
5
5
5
5
5
5
vn
12
9,6
7,68
6,14
4,92
3,93
wn
0,5
1
2
4
8
16
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
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1
2
3
4
5
6
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Conclusion :
La représentation graphique de la suite géométrique de premier terme u0 et de raison b
(b ≠ 1) est constituée des points qui sont situés sur une courbe exponentielle ; cette courbe
n’est pas une droite.
• Si b > 1 , cette courbe est croissante (croissance exponentielle).
• Si 0 < b < 1 , cette courbe est décroissante (décroissance exponentielle).
• Lorsque b=1, tous les points de coordonnées (n; u n ) sont situés sur une droite horizontale
(tous les termes sont égaux au terme initial)
Exercices : .
TP3 p 89
Tableur sur papier
TABLEUR
• Fichiers TP21-TP22
.
CALCULATRICE
• Livre TP1 p86
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Page 24
7. Probabilités
Voir support feuille Activités : Probabilités
7.1. Introduction historique
Les jeux de hasard existe depuis l’antiquité : Les jeux de dés en particulier. C’est de ces
différents jeux que viennent les origines des mots actuellement utilisés en probabilité :
Aléa vient du latin alea qui signifie « coup de dé ».
Hasard vient de l’arabe az-zahr qui signifie « jeu de dé ».
Jusqu’au XVIème siècle Beaucoup de problèmes restaient sans solution. Par exemple le
grand duc de Toscane, grand amateur de jeux de hasard avait remarqué qu’en lançant trois dés
simultanément, le total 10 revenait plus souvent que le total neuf, alors que 10 et 9 se
décomposent de la même manière.
FAIRE LA DECOMPOSITION
C’est Galilée (1564 – 1642) mathématicien physicien et astronome italien qui résolut le
premier ce problème.
Pascal (1623-1662) mathématicien, physicien, philosophe français est considéré comme
le fondateur du calcul des probabilités en généralisant des méthodes issues de cas particuliers.
Aujourd’hui, les probabilités sont utilisées dans presque tous les secteurs : assurance,
gestion, économie, génétique, médecine, physique des particules…
L’informatique peut même simuler le hasard : La touche Ran # ou RND permet d’obtenir
un nombre pseudo-aléatoire. .
Avant de passer au calcul de probabilité nous allons nous intéresser au dénombrement,
c’est-à-dire au nombre de cas possibles d’une situation.
7.2. Ensemble
Un ensemble est un objet qui contient des éléments en nombre fini ou infini.
Exemple :
• IR est l’ensemble de tous les nombres réels
• [2 ;3] est l’ensemble de tous les nombres compris entre 2 et 3.
• E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est l’ensemble des résultats possibles lorsqu’on lance un dé à 6
faces.
On note :
A ∪ B l’ensemble contenant les éléments appartenant à A ou à B (on lit A Union B)
A ∩ B l’ensemble contenant les éléments communs à A et à B (on lit A Inter B)
Exemple :
Si A={1,2} et B = {2,3,4} A ∪ B ={1,2,3,4 et A ∩ B ={2}
E
2x
1x
5x
4x
A
3x
6x
B
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Page 25
7.3. Dénombrement
1.
Tableau d’effectifs – Activité 1
On lance 100 fois un dé cubique en notant à chaque fois le nombre de points figurant sur la face
supérieure lorsque le dé s’est immobilisé. Le tableau ci-dessous donne les résultats dans l’ordre
de leur arrivée :
3 3 2 1 5 6 5 1 4 6 6 5 6 1 5 2 3 5 4 1 5 2 6 6 1
3 3 3 3 4 3 1 3 5 5 4 3 1 5 4 6 2 1 2 3 4 1 1 6 3
3 6 6 1 4 6 3 2 2 2 6 3 4 1 3 1 4 4 4 2 2 5 4 2 3
4 2 4 2 1 6 2 1 1 6 1 2 2 5 5 2 3 5 4 5 6 4 3 5 6
1°) Calculer dans un tableau l’effectif pour d’apparition de chacune des 6 faces du dé.
2°) En déduire la fréquence d’apparition de chacune des 6 faces du dé.
RAPPEL : On appelle fréquence d’une classe le quotient de son effectif par l’effectif total.
3°)
On note P « le résultat du lancer est un nombre pair »
On note P « le résultat du lancer est un nombre impair » (événement contraire à P)
Déterminer la fréquence fP d’obtenir un nombre pair puis f P
Quel relation lie fP et f P ?
4°) On note E la classe « le résultat est inférieur ou égal à 3 » et F « le résultat est strictement
supérieur à 4 ».
Déterminer la fréquence de E puis celle de F
5° On note E ∪ F la classe « le résultat est inférieur ou égal à 3 ou le résultat est strictement
supérieur à 4 ».
Déterminer la fréquence de E ∪ F . En déduire une relation simple lie f E ∪ F à f F , f E
2.
Tableau de résultats – Activité 2
Sur les 50 professeurs d’un lycée, 70% sont des femmes. Parmi tous les professeurs, 42 ont
1
déclaré fumer. On constate de plus que des fumeurs sont des hommes
3
1) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Hommes
Femmes
Total
fumeurs
Non fumeurs
Total
2) A l’aide du tableau, déterminer
a) le nombre de fumeurs hommes
b) le nombre de fumeurs ou d’hommes
c) le pourcentage de femmes non fumeurs.
3.
Arbres – Activité 3
Un fournisseur part de Ploemeur pour visiter 4 pharmacies notées A, B, C, D.
1°) Utiliser un arbre pour déterminer combien d’ordres théoriques de visites il y a.
2°) Combien reste-t-il de possibilités s’il doit passer par la pharmacie A avant d’aller à la
pharmacie C, sachant qu’il peut visiter un ou deux pharmacies entre A et C
A
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B
…
C
…
D
…
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Page 26
7.4. Probabilités
1.
Vocabulaire
1.1.
Expérience aléatoire
Lorsque dans une situation donnée, nous disposons de certaines informations, mais nous
ne pouvons connaître à l’avance le résultat car le hasard intervient, On dit qu’il s’agit d’une
expérience aléatoire.
Exemple :
- Situation 1 : Lancer un dé cubique
- Situation 2 : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32.
- Situation 3 : Jouer deux fois à pile ou face en lançant une pièce
1.2.
Univers
Définition :
Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles.
On note souvent cet ensemble Ω.
Exemples :
- Situation 1 : Ω={1,2,3,4,5,6}
- Situation 2 : Ω est l’ensemble des 32 cartes du jeu
- Situation 3 : Ω est l’ensemble des couples suivant : (pile, pile), (pile, face),
(face, pile) (face, face).
1.3.
Evénement
Définition :
• Un événement est une partie de l’univers
• Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
• Un événement impossible est un événement qui ne contient aucun élément de Ω.
• Un événement certain est un événement qui contient tout l’univers.
• Deux événement sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅
•
L’événement contraire d’un événement A est l’événement A constitué des éléments de
Ω n’appartenant pas à A.
Exemples issu de la situation 1 :
- A={1,2,3} est un événement de Ω={1,2,3,4,5,6}
- L’événement « obtenir 3 » est un événement élémentaire.
- L’événement « obtenir un nombre pair est P={2,4,6}
- L’événement contraire à P est l’ensemble P ={1,3,5}
- P et P sont deux événements incompatibles.
2.
Fréquence et probabilité
Plus un échantillon est grand, c’est à dire plus le nombre d’expériences effectuées est
grand, plus la fluctuation des fréquences devient faible.
La fréquence d’apparition d’une issue A tend vers un nombre appelé : probabilité
d’apparition de cette issue.
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3.
Définition d’une probabilité
Exemples issus de la situation 1. (le dé n’est pas pipé)
1
.
6
A partir de cela, la probabilité d’obtenir l’événement A={1,2,3} est la somme des probabilités
pour obtenir l’événement élémentaire {1} puis {2} puis {3}.
1 1 1
1
Donc la probabilité d’obtenir l’événement A={1,2,3} est + + , c’est à dire
6 6 6
2
Définition :
Soit Ω un univers fini.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires
qui le constituent.
• La probabilité de Ω est 1. la probabilité de ∅ est 0
Notation
La probabilité d’un événement A est notée P(A).
La probabilité d’obtenir l’événement élémentaire {3} est de
Exemples issus de la Situation 2 :
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet de cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet.
4.
Probabilité uniforme - Equiprobabilité
Définition : Une probabilité uniforme (ou équiprobabilité) correspond au cas où tous les
événements élémentaires ont la même probabilité.
Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité,
leur probabilité commune est :
1
nombre d’éléments de Ω
Exemple : Cf situations précédentes.
Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité, la
probabilité d’un événement A est :
Nombre d’éléments de A
Nombre de cas favorables
P(A)=
=
Nombre d’éléments de Ω
Nombre de cas possibles
Exemple : Cf situations1 et 2 précédentes.
Attention : Dans la situation 3 il y a 4 événements équiprobables.
Mais attention : obtenir « 1 fois pile et 1 fois face dans un ordre quelconque » n’est pas
un événement élémentaire. Il y a deux possibilités sur 4 cas favorable soit une probabilité de ½.
5.
Propriétés :
5.1.
Evénements disjoints
Théorème : (admis) : Pour tout événement disjoint A, B, P( AUB ) = P( A) + P( B )
5.2.
Evénements complémentaire
Théorème : Pour tout événement A P( A ) = 1 − P( A)
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Démonstration : On sait que A et A sont deux événements disjoints et que A ∪ A = Ω
D’après 3.2, on a donc P( AUA ) = P( A) + P( A ) , mais P( AUA ) = P(Ω) = 1
D’où P( A ) = 1 − P( A)
5.3.
Réunion de deux événements
Théorème : (admis)
Pour tout événement A, B, P( AUB ) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )
Remarque : si A et B sont deux événement disjoints (incompatibles : A ∩ B = ∅ ) alors
P( AUB ) = P( A) + P( B )
A∩ B
A
Ω
B
Pour dénombrer, on utilise généralement l’un de ce trois schémas
Diagramme de Venn
Arbre des événements
Choix
pour A
Choix
pour B
Diagramme de Caroll
Alice au pays des merveilles,
c’est lui !!!!!
B
B
A
A∩ B
B
A
Ω
A
TP Tableur :
• Partie B page 140
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8. Tangente – Nombre dérivé
8.1. Rappels
•
•
r r
Soit D la droite d’équation y = mx + p dans un repère (O; i , j ) . m est appelé le coefficient
directeur de D.
Comment déterminer le coefficient directeur d’une droite à partir de deux points ?
Si A et B sont deux points de coordonnées respectives ( x A , y A ) et ( x B , y B ) appartenant à la
y − yA
droite D d’équation y = mx + p , alors m = B
xB − x A
8.2. Nombre dérivé
1.
Notion de tangente
Exemple : la tangente à un cercle.
D
On remarque qu’autour du point A,
un petit arc de cercle est presque confondu
avec un petit segment de la tangente D.
A
Une tangente en un point donné est une droite qui approche la courbe au voisinage de ce point.
On rencontre 3 cas pour l’équation de la tangente T d’équation y = mx + p
2.
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Tangente à une courbe
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3.
Nombre dérivé : définition
Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point d’abscisse a non
parallèle à l’axe des ordonnées.
Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.
Notation : Le nombre dérivé de f en a est noté f ′( a )
(cela se lit f prime de a)
4
Exemple :
Prenons la courbe définie par
f ( x ) = x 2 sur [-2 ;2]
Graphiquement on peut observer
Facilement que la tangente au point
d’abscisse 0 est horizontale.
Donc f’(0) = 0.
3
2
De même en traçant la tangente
à la courbe au point d’abscisse 1 et en
recherchant le coefficient directeur de ce
point, on trouve m = 2.
Donc f’(1)=2
1
-2
-1
T1
0
1
2
On pourrait faire la calcul de la dérivée pour tous les points de la courbe, mais ce travail serait
long et fastidieux.
Il existe en fait des formules permettant d’obtenir la valeur exacte d’un nombre dérivé
f ′( a ) pour les fonctions usuelles. Ces formules figurent dans le paragraphe suivant.
Remarque : Nous pouvons remarquer que la valeur de la dérivée en tout point d’une fonction
affine y = ax + b est le nombre a puisque la tangente à une droite, c’est elle-même.
4.
Equation de tangente
Nous savons que si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe représentative de f a pour
coefficient directeur au point d’abscisse a, f’(a).
L’équation de la tangente est donc de la forme y = f ′( a ) x + p où p est une contante définie par
le fait que le point A d’abscisse a et d’ordonnée f(a) appartient à la courbe d’équation y=f(x) et à
cette tangente
8.3. Le nombre dérivé de fonctions usuelles
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet un nombre dérivé pour tout réel x de I,
on dit que f est dérivable sur I.
On note f ′( x ) le nombre dérivé de f en tout x de I.
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Dans ce paragraphe, nous admettons les résultats suivants concernant les fonctions de
référence.
1.
f:
La fonction constante
→
x a k (k constante réelle)
Si f ( x ) = k , alors f ′(a ) = 0
2.
f:
La fonction identité
→
xax
Si f ( x ) = x , alors f ′(a ) = 1
3.
f:
La fonction carré
→
x a x2
Si f ( x ) = x 2 , alors f ′(a ) = 2a
4.
f:
La fonction Cube
→
x a x3
Si f ( x ) = x 3 , alors f ′(a ) = 3a 2
f:
5.
\ {`0} → 1
xa
x
Si f ( x ) =
La fonction inverse
1
1
, alors f ′(a ) = − 2
x
a
6.
f:
La fonction racine carrée
[0;+∞[ → xa
x
Si f ( x ) = x , alors f ′(a ) =
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1
2 a
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