EXAMEN PARTIEL 2
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EXAMEN PARTIEL 2
EXAMEN PARTIEL 2 MAT-2400 : Méthodes numériques Automne 2010 Voici un extrait d’une table de noeuds et de poids de Gauss-Legendre. n 2 3 4 5 Noeuds −0.57735 0.57735 −0.77460 0 0.77460 −0.86114 −0.33998 0.33998 0.86114 −0.90618 −0.53847 0 0.53847 0.90618 1 Poids 1 1 0.55556 0.88889 0.55556 0.34785 0.65215 0.65215 0.34785 0.23693 0.47863 0.56889 0.47863 0.23693 Question 1. (20 points) On considère l’intégrale 6 Z ex dx. I= 2 a) [5 pts] Calculer la valeur approchée de I par la formule de Gauss-Legendre à 3 noeuds (voir table en première page). Calculer la valeur exacte de l’erreur commise. b) [5 pts] Si l’intervalle d’intégration [2, 6] est divisé en deux sous-intervalles de longueurs égales, calculer la valeur approchée de I en utilisant la formule de Gauss-Legendre à 1 noeud sur chacun des deux sous-intervalles. Calculer la valeur exacte de l’erreur commise. c) [5 pts] Si on utilise la formule de Simpson 1/3 composée pour calculer la valeur approchée de I, déterminer combien de points d’évaluation il faudrait de prendre pour que l’erreur en valeur absolue soit inférieure à 10−5 ? d) [5 pts] Si on utilise la formule du trapèze composée pour calculer la valeur approchée de I, déterminer combien de points d’évaluation il faudrait de prendre pour que l’erreur en valeur absolue soit inférieure à 10−5 ? Question 2. (20 points) (a) [10 pts] Démontrer les formules simple et composée de la méthode des trapèzes (mais pas les termes d’erreur). (b) [10 pts] Appliquer l’extrapolation de Richardson à la formule composée pour obtenir un nouvelle formule de quadrature. Qu’en déduisez vous sur le terme d’erreur de la formule composée de la méthode des trapèzes ? Question 3. (20 points) Soit une fonction f (x) connue aux points xi , i = 0, 1, ..., 5, xi −1 0 2 3 5 8 f (xi ) 3 −1 0 2 6 7 a) [5 pts] En utilisant la méthode de polynômes de Lagrange, construire le polynôme qui interpole la fonction f (x) aux 3 noeuds suivants : (−1, 3), (0, −1), (2, 0), et calculer une approximation de f (1). 2 b) [10 pts] En utilisant la méthode de Newton, construire un polynôme d’interpolation de degré 3 et calculer l’approximation de f (4). Donner une bonne approximation de l’erreur commise. c) [5 pts] Sans faire de calcul, estimer la valeur de f 0 (4) avec la formule centrée d’ordre 2 et comparer avec l’approximation obtenue en utilisant le meilleur polynôme d’interpolation de degré 2. Question 4. (20 points) Faire 2 itérations de la méthode d’Euler modifiée avec h = 0.1 pour l’équation différentielle 00 2 y (t) − 1 − y (t) y 0 (t) + y(t) = 0 y(0) = 5 y 0 (0) = 0. Question 5. (20 points) Déterminer w1 , w2 et t2 de sorte que la formule d’intégration numérique Z 1 f (t)dt = w1 f (−1) + w2 f (t2 ) −1 soit de degré de précision le plus élevé possible. Quel est ce degré ? 3 Aide-mémoire Interpolation – Interpolation de Lagrange : étant donné (n+1) points ((xi , f (xi )) pour i = 0, 1, · · · , n) : pn (x) = n X f (xi )Li (x), Li (x) = i=0 (x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ) (xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn ) – Différences divisées : f [xi ] = f (xi ), f [xi , xi+1 ] = f (xi+1 ) − f (xi ) , xi+1 − xi f [xi , xi+1 , xi+2 ] = f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi , xi+1 ] , etc. (xi+2 − xi ) – Interpolation de Newton : pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ), où ai = f [x0 , x1 , x2 , · · · , xi ] pour 0 ≤ i ≤ n – Erreur d’interpolation : En (x) = f (n+1) (ξ(x)) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) pour ξ(x) ∈]x0 , xn [ (n + 1)! – Approximation de l’erreur d’interpolation : En (x) ' f [x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) – Splines cubiques : on pose hi = xi+1 − xi et dans l’intervalle [xi , xi+1 ] on a : pi (x) = fi + fi0 (x − xi ) + fi00 f 000 (x − xi )2 + i (x − xi )3 2! 3! où fi = f (xi ) fi0 = f [xi , xi+1 ] − 00 − f 00 fi+1 i = hi fi000 00 hi fi00 hi fi+1 − 3 6 et les fi00 sont solutions de : hi hi+1 00 fi00 + 2fi+1 + f 00 = 6f [xi , xi+1 , xi+2 ], i = 0, 1, · · · , n − 2 (hi + hi+1 ) (hi + hi+1 ) i+2 4 Différentiation et intégration numériques – Dérivées d’ordre 1 : f 0 (x) = f 0 (x) = f 0 (x) = f 0 (x) = f 0 (x) = f (x + h) − f (x) + O(h) h Différence avant d’ordre 1 f (x) − f (x − h) + O(h) h Différence arrière d’ordre 1 −f (x + 2h) + 4f (x + h) − 3f (x) + O(h2 ) 2h Différence avant d’ordre 2 f (x + h) − f (x − h) + O(h2 ) 2h Différence centrée d’ordre 2 3f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h) + O(h2 ) 2h Différence arrière d’ordre 2 – Dérivées d’ordre supérieur : f 00 (x) = f 00 (x) = f 00 (x) = f (x − 2h) − 2f (x − h) + f (x) + O(h) h2 Différence arrière d’ordre 1 f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x) + O(h) h2 Différence avant d’ordre 1 f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) + O(h2 ) h2 Différence centrée d’ordre 2 – Extrapolation de Richardson : Qexa = 2n Qapp ( h2 ) − Qapp (h) + O(hn+1 ) (2n − 1) – Formule des trapèzes : Z b (b − a) 00 h f (x)dx = (f (x0 ) + 2 [f (x1 ) + · · · + f (xn−1 )] + f (xn )) − f (η)h2 2 12 a – Formule de Simpson 1/3 : Z b h f (x)dx = (f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + · · · 3 a (b − a) 0000 + 4f (x2n−3 ) + 2f (x2n−2 ) + 4f (x2n−1 ) + f (x2n )) − f (η)h4 180 5 – Formule de Simpson 3/8 : Z b 3h (f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + 2f (x3 ) + 3f (x4 ) + · · · 8 a (b − a)f 0000 (η) 4 h + 2f (x3n−3 ) + 3f (x3n−2 ) + 3f (x3n−1 ) + f (x3n )) − 80 f (x)dx = – Intégration de Gauss (les wi et ti seront fournis si nécessaire) : Z b f (x)dx = a (b − a) 2 Z 1 f −1 (b − a)t + (a + b) 2 dt = (b − a) 2 Z n 1 g(t)dt ' −1 (b − a) X wi g(ti ) 2 i=1 Équations différentielles : y 0(t) = f (t, y), y(t0) = y0 – Euler (ordre 1) : yn+1 = yn + hf (tn , yn ) h2 – Taylor (ordre 2) : yn+1 = yn + hf (tn , yn ) + 2 – Euler modifiée (ordre 2) : ŷ = yn + hf (tn , yn ) yn+1 = yn + ∂f (tn , yn ) ∂f (tn , yn ) + f (tn , yn ) ∂t ∂y h (f (tn , yn ) + f (tn + h, ŷ)) 2 – Point milieu (ordre 2) : k1 = hf (tn , yn ) h k1 yn+1 = yn + h f (tn + , yn + ) 2 2 – Runge-Kutta d’ordre 4 : k1 k2 k3 k4 yn+1 = hf (tn , yn ) k1 h = hf (tn + , yn + ) 2 2 h k2 = hf (tn + , yn + ) 2 2 = hf (tn + h, yn + k3 ) 1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 6