Sphères et boules Exercice 1 Le dessin ci

Sphères et boules
Exercice 1
Le dessin ci-contre représente la Terre qui est assimilée à une
sphère de 6 370 km de rayon.
Le cercle de centre O passant par M représente l’équateur.
Le point L représente la ville de Londres.
L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S
(voir figure).
On admettra que l’angle 
LSO est un angle droit.
On donne OS = 4 880 km.
1. Calculer SL au km près.
2. Calculer la mesure de l’angle 
SOL et arrondir au degré
près.
3. En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par
rapport à l’équateur, c’est à dire l’angle 
LOM .
Exercice 2
La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 370 km.
1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des
pôles (NS) et équidistant de ces deux pôles.
L’intersection de ce plan avec la Terre s’appelle
l’équateur. Calculer la longueur de l’équateur.
2. On note O le centre de la Terre et G un point de
l’équateur. On considère deux points A et B situés en
Afrique sur l’équateur.
Ces points sont disposés comme l’indique le schéma
ci-dessus. On sait que 
GOA = 42° et 
GOB = 9°.
Calculer la longueur de l’arc AB, portion de
l’équateur située en Afrique.
Calcul de volume
On rappelle que le volume d'une boule de rayon R est
4
×π× R3
3
Exercice 3
Le diamètre moyen d’une tomate, arrondi à l’unité, est 54 mm. Déterminer le volume, en mm3,
d’une tomate de diamètre moyen, modélisée comme une boule. Arrondir à l’unité.
Exercice 4
Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5 mm et de hauteur h.
1. Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à 0,0025×π×h cm3.
2. En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d’une boule de rayon 30 cm.
On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu’il n’y a aucun vide dans la pelote. Montrer que
le volume de cette boule est égal à 36000 π cm3.
3. Vérifier que la hauteur h du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144 km.
4. Annie prétend que si les 294 autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on
pourrait faire le tour de l’équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à
bout. A-t-elle raison? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à 6 370 km).
Rappels :
Le volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r est V = π r 2×h .
Le périmètre d’un cercle de rayon r est L = 2 π r .
Correction Sphères et boules
Exercice 1
1. Calculer SL au km près.
Le triangle SLO est rectangle en S. D'après le théorème de Pythagore, nous avons :
LO² = SL² + SO²
6 370² = SL² + 4 880²
SL² = 6 370² – 4880²
SL² = 16 762 500 et comme SL > 0, nous avons SL =  16 762500≈4 094
SL mesure environ 4 094 km.
2. Calculer la mesure de l’angle 
SOL et arrondir au degré près.
Dans le triangle SLO rectangle en S, nous avons
cos 
SOL=
SO
4 880
SOL=
et donc cos 
et ainsi 
SOL
LO
6 370
= arccos (4 880 : 6 370) soit environ 40°.
3. En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l’équateur, c’est à dire l’angle 
LOM .


Les angles 
et
sont
complémentaires,
donc
=
90°
40°
soit
environ
50°.
SOL
LOM
LOM
Wikipédia indique que la latitude de Londres est 51° 30' Nord.
Exercice 2
1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (NS) et équidistant de ces deux pôles.
L’intersection de ce plan avec la Terre s’appelle l’équateur. Calculer la longueur de l’équateur.
2×π ×6 370≈40 024
L'équateur fait environ 40 024 km.
2. On note O le centre de la Terre et G un point de l’équateur. On considère deux points A et B situés en Afrique sur
l’équateur. Ces points sont disposés comme l’indique le schéma de la page précédente. On sait que 
GOA = 42° et

=
9°.
Calculer
la
longueur
de
l’arc
AB,
portion
de
GOB
l’équateur située en Afrique.
Calculons l'angle 
BOA . 
BOA = 
GOA - 
GOB = 42° - 9° = 33°.
Un lien de proportionnalité unit la mesure des angles et la longueur des arcs correspondants.

Mesure des angles de centre 0
360°
BOA = 33°
Longueur des arc correspondants (en kilomètres)
La longueur recherchée est donc égale à
longueur de l’arc AB
40 024
33×40 024
≈3 669 km.
360
Exercice 3
Si le diamètre mesure 54 mm, le rayon vaudra 27 mm.
4
×π×273≈82 448 mm3 ou 82,448 cm3 soit environ 8 cL
3
Exercice 4
1. Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à 0,0025×π×h cm3.
La base de ce cylindre a une aire de 0,5²×π mm² soit 0,25×π mm² ou encore 0,0025×π cm² .
Remarque (1 mm² = 1 mm×1 mm=0,1 cm×0,1cm=0,01 cm 2 )
Le volume s'obtient en multipliant cette aire par h, soit 0,0025×π×h cm3.
2.
4
×π×30 3=36 000π . le volume de cette boule est bien égal à 36000 π cm3.
3
3. Vérifier que la hauteur h du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144 km.
Nous avons 0,0025×π×h=36 000 π
donc 0,0025×h=36 000
36 000
=14 400 000 cm soit 144 000 m et 144 km.
0,0025
4. 2×π ×6 370≈40 024
et
h=
L'équateur fait environ 40 024 km.
144×294=42 336 ou 144×295=42 480 si on compte aussi Annie 
L'ensemble des pelotes donnerait une distance légèrement plus grande que l'équateur, Annie a raison.