A numerical approach to variational problems subject to
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A numerical approach to variational problems subject to convexity constraint G. Carlier ∗, T. Lachand-Robert † , B. Maury † L’article complet peut être trouvé à l’adresse : http://www.ann.jussieu.fr/~lachand/Publications.html Abstract. We describe anRalgorithm to approximate the minimizer of an elliptic functional in the form Ω j(x, u, ∇u) on the set C of convex functions u in an appropriate functional space X. Such problems arise for instance in mathematical economics. A special case gives the convex envelope u∗∗ 0 of a given function u0 . Let (Tn ) be any quasiuniform sequence of meshes whose diameter goes to zero, and In the corresponding affine interpolation operators. We prove that the minimizer over C is the limit of the sequence (un ), where un minimizes the functional over In (C). We give an implementable characterization of In (C). Then the finite dimensional problem turns out to be a minimization problem with linear constraints. Résumé. Nous décrivons un algorithme R d’approximation du minimiseur d’une fonctionnelle elliptique de la forme Ω j(x, u, ∇u) sur l’ensemble C des fonctions convexes dans un espace fonctionnel X approprié. De tels problèmes interviennent par exemple en économie mathématique. Un cas particulier fournit l’enveloppe convexe u∗∗ 0 d’une fonction donnée u0 . Soit (Tn ) une suite de maillages quasi-uniformes dont le diamètre converge vers zéro, et In les opérateurs d’interpolation correspondants. Nous démontrons que le minimiseur sur C est la limite de la suite des minimiseurs sur In (C). Nous donnons une caractérisation implémentable de In (C). Ainsi le problème en dimension finie se réduit à un problème de minimisation sous contraintes affines. ∗ Université Paris IX Dauphine, Ceremade, [email protected]. Université Pierre et Marie Curie, Laboratoire d’Analyse Numérique, 75252 Paris Cedex 05, France. [email protected]; www.ann.jussieu.fr; [email protected]. †