distribué - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2016/2017
Ondes mécaniques
Les points du cours à connaître
mardi 22 novembre 2016
I-
Etablissement de l'équation de D'Alembert
1. Onde le long d'une corde
2. Propagation du son dans un solide
Approximation des milieux continus (dénition)
Loi de Hooke et module d'Young (dénition)
3. Généralisation : équation de d'Alembert
Equation de d'Alembert (dénition)
II-
Solutions de l'équation de D'Alembert : ondes planes monochromatiques
1. Ondes planes stationnaires monochromatiques
Onde stationnaire plane (dénition)
Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM) (dénition)
N÷uds de vibration (dénition)
Ventres de vibration (dénition)
Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres (dénition)
2. Ondes planes progressives monochromatiques
Forme d'une OPPM (dénition)
Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période (dénition)
Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde (dénition)
3. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires
III-
Paquet d'ondes
1. Notion de paquet d'ondes
Forme mathématique d'un paquet d'onde (dénition)
spé PC
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2. Vitesse de groupe
Vitesse de groupe (dénition)
3. Propagation d'un paquet d'ondes
IV-
1.
2.
3.
4.
Ondes électriques dans un câble coaxial (TP cours)
OPPM dans un câble coaxial
Réexion en bout de ligne
Réexion et transmission à une interface
Equations d'onde et relation de dispersion
Relation de dispersion (dénition)
5. Milieu absorbant / Onde amortie
6. Milieu dispersif
Vitesse de phase (dénition)
Milieu dispersif (dénition)
spé PC
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Techniques à maîtriser
jeudi 24 novembre 2016
I-
Les capacités exigibles
1. Etablir une équation d'onde
ce qu'il faut savoir faire capacités
Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante inniment souple dans
l'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système innitésimal.
Relier la raideur des ressorts ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du module
d'Young.
Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant un
système innitésimal
Reconnaître une équation de d'Alembert.
Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.
2. Chercher des solutions à l'équation d'onde
ce qu'il faut savoir faire capacités
Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.
Décrire les modes propres.
En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.
Utiliser qualitativement l'analyse de Fourier pour décrire une onde non harmonique.
Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion. Associer la vitesse de groupe à la
propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.
3. Etudier la discontinuité à une interface
ce qu'il faut savoir faire capacités
Expliciter des conditions aux limites à une interface.
Établir les expressions des coecients de transmission et de réexion.
Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.
II-
Méthodes
1. Etablir une équation d'onde
A) Equation de propagation dans un milieu continu méthode
On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la diérence entre les
actions qui s'exercent à gauche (−F~ (x)) et à droite (+F~ (x + dx)).
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B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode
On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donne
une équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus en
faisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n − 1 et n + 1.
On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.
2. Chercher des solutions à l'équation d'onde
C) Ondes stationnaires sur une corde méthode
On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersion
entre k et ω . Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.
D) Forme de l'onde solution méthode
On cherche une onde de la forme :
ψ̃ = ψ0 .e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0 ) = ψ0 e−j.(ω.t−kx .x−ϕ0 )
On repasse ensuite aux réels.
E) Equation de propagation dans un câble coaxial méthode
On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.
On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.
F) Etablir la relation de dispersion méthode
An d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la
forme ψ̃ = ψ0 .e−j.(ω t−k̃ x−ϕ0 ) . NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ̃ = ψ0 .e+j.(ω.t−k̃.x−ϕ0 ) . Mais
une fois fait le choix, on n'en change plus !
On trouve ensuite k̃ = f (ω).
G) Forme de l'onde solution méthode
Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k̃ = kr + j.ki qui donne deux
équations réelles.
Une fois déterminés kr et ki , on réinjecte dans la forme de l'onde :
ψ̃ = ψ0 .e−j.(ω t−k̃ x−ϕ0 ) = ψ0 .e−ki .x .e−j.(ω.t−kr .x−ϕ0 )
H) Paquets d'onde méthode
L'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques :
Z
ψ̃ =
∞
à (ω) .ej.(ωt−k.x) dω
0
où Ã (ω) est le spectre de cette onde.
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En faisant le développement limité autour de ω0 , k0 :
ω = ω0 + u
∂k
k(ω) ≈ k0 + ∂ω
u = k0 +
u
vg
on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u :
Z
∞
ψ̃ =
j. u t− vug
j.(ω0 t−k0 x)
à (ω0 + u) .e
e
du
−∞
3. Etudier la discontinuité à une interface
I) Coecients de transmission et de réexion méthode
Il s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmise
et rééchie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître les
coecients de transmission et réexion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permet
de déterminer les coecients.
J) Transmission et de réexion pour une onde mécanique sur une corde méthode
Les conditions de continuité à l'interface sont :
- la continuité de la déformation y y = y0− , t = y y = y0+ , t ∀t ;
- la continuité de la force Ty y = y0− , t = Ty y = y0+ , t ∀t.
III-
Exercices
1. Etablir une équation d'onde
1.1) Corde tendue horizontalement
On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T0 , de masse
linéique µl . Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation
2
∂2y
2∂ y
=
c
0
∂t2
∂x2
Célérité de l'onde c0 =
q
T0
µl .
1.2) Corde de violoncelle
Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz .
1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de
rayon r = 250µm ?
T = 67 N.
1.3) Corde verticale
On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µl , accrochée en un point O, l'axe Ox étant vertical,
vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t), la coordonnée orthogonale à Ox.
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∂2y
∂t2
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=
T0
µl
2
∂ y
∂y
− g.x . ∂x
2 − g ∂x .
1.4) Corde avec frottement
On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumise
à une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur f~f = −λ.~v .
On note T~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l
d'abscisse inférieure à x.
Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.
τ
∂2y
1 ∂y
∂t2 + τ ∂t
µl
= λ.
2
∂ y
= c20 ∂x
2 avec la célérité de l'onde c0 =
q
T0
µl
et le temps caractéristique d'amortissement
1.5) Chaine de ressorts
On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur à
vide l0 , de constante de raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m. La
masse numéro n est à l'abscisse xn (t). On négligera la pesanteur.
1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :
∂2ψ
∂2ψ
= c20 2
2
∂t
∂x
c0 = a
q
k
m.
1.6) Echelle de perroquet
On s'intéresse à un l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances a
des barrettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Ox.
La barrette numéro n fait un angle θn (t) avec un axe Ox horizontal. Le l entre les barrettes numéro n et
n + 1 exerce sur la barrette numéro n le moment
~ n+1→n = Γ. (θn+1 − θn ) ~uz
M
1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :
2
∂2ψ
2∂ ψ
=
c
0
∂t2
∂z 2
c0 = a
q
Γ
J.
1.7) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte
On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et la
capacité propre par unité de longueur c.
Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dans
le câble ?
La célérité est c0 =
√1 .
l.c
2. Chercher des solutions à l'équation d'onde
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2.8) Onde sur une corde xée à ses deux extrémités
Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, deux extrémités où elle est xée, telle que l'élongation
verticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c.
Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire
∞
X
x
y(x, t) =
yn . sin 2π
. cos (2π.νn .t + ϕG )
λn
n=1
On donnera λn et νn .
λn =
2L
n
et νn =
n.c0
2L
où n ∈ N .
2.9) Onde sur la corde de Melde
Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation de
D'Alembert avec la célérité c. Une des extrémités est xée
y(x = L, t) = 0 ∀t
quant à l'autre limite, en x = 0, un vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t), donc :
y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t
1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.
2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.
y(x, t) =
a
sin(k.L)
sin (k. (L − x)) . cos (ω.t). Résonance si kn =
nπ
L
où n ∈ N .
2.10) Onde sur la corde de Melde - le retour
1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur
L de la corde et une masse M
accrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour trois
fuseaux.
1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?
1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?
2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbation
sur cette corde ?
3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.
3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?
3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.
1)
2)
3)
ν4 = 38Hz et ν5 = 47Hz .
c = 22m.s−1 .
T0 = 0, 25N et µl = 0, 5g/m.
2.11) Solutions de la corde de Melde
Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :
ψ (0, t) = a. cos (ω.t)
La corde, de longueur L, est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0 .
1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.
2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.
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ψ (x, t) =
a
sin(k.L)
c
cos (ω.t) . sin (k. (L − x)). Les fréquences de résonance valent νn = n 2.L
.
2.12) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert
Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.
k̃ 2 =
ω2
.
c20
2.13) Forme des ondes planes progressives
1) Montrer que ψ(t, x) = f (x − c0 .t) ou h t − cx est solution de l'équation de D'Alembert.
2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c0 .t) ou m t + cx est aussi solution de l'équation de D'Alembert.
0
0
1) On va chercher f (t, x) = f (u), où u est une fonction de x et de t. On voit que u = x − c0 .t convient.
2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v), où v est une fonction de x et de t. On voit que v = x + c0 .t
convient.
2.14) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension
1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :
∂ ∂
ψ=0
∂u ∂v
où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :
• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;
• ψ = f (u) ;
• ψ = g(v).
2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?
On peut écrire
∂
∂t
∂
− c0 ∂x
∂
∂t
∂
ψ = 0.
+ c0 ∂x
2.15) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique
On dénit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t−~k · ~r −ϕ
soit constante.
1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.
2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.
vx = ± ωk = ±c0 .
2.16) Vitesse de phase d'une onde plane progressive
On dénit la vitesse de phase comme la vitesse ~vϕ = vx ~ux à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouve
la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on ait déplacé cette
forme de vx ∆t.
1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.
2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.
vx = ±c0 .
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2.17) Corde avec frottement
On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumise
à une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur f~f = −λ.~v .
On note T~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l
d'abscisse inférieure à x.
Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.
τ
∂2y
1 ∂y
∂t2 + τ ∂t
= µλl .
2
∂ y
= c20 ∂x
2 avec la célérité de l'onde c0 =
q
T0
µl
et le temps caractéristique d'amortissement
2.18) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte
On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et la
capacité propre par unité de longueur c.
Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dans
le câble ?
La célérité est c0 =
√1 .
l.c
2.19) ImpedanceCable
Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm et
b = 3, 5mm.
L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique
(polyéthylène) de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câble
sont respectivement :
(
c=
l=
2π.ε0 .εr
b
ln( a
)
µ0
b
ln
2π
a
1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.
2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.
c0 = 2.108 m.s−1 .
2.20) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte
On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l, une
capacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unité
de longueur g2 .
1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.
2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.
∂2V
∂x2
= l.c ∂∂tV2 + (r1 .c + l.g2 ) ∂V
∂t + r1 .g2 .V (x, t).
2
2.21) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert
Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.
k̃ 2 =
spé PC
ω2
.
c20
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2.22) Equation de dispersion dans le cas d'une corde subissant un frottement uide
Dans le cas de la corde subissant une force de frottement uide, on aboutit à l'équation de propagation
∂ 2 ψ̃
1 ∂ ψ̃
∂ 2 ψ̃
+
= c20 2
2
∂t
τ ∂t
∂x
Déterminer alors l'équation de dispersion.
k̃ 2 =
ω2
c20
−
j.ω
.
τ.c20
2.23) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif
Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :
∂ 2 ψ̃
∂ 2 ψ̃
∂ ψ̃
= l.c 2 + (r1 .c + l.g2 )
+ r1 .g2 .ψ̃
2
∂x
∂t
∂t
Déterminer alors l'équation de dispersion.
k̃ 2 = l.c.ω 2 + j. (r1 .c + l.g2 ) ω − r1 .g2 .
2.24) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés
La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,
couplés par des ressorts de raideur K , disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation des
2
2
milieux continus suit l'équation : ∂∂tψ2 + ωp2 .ψ = c2 ∂∂xψ2 avec c2 = a2 .ωp2 .
Déterminer l'équation de dispersion.
ω 2 = ωp2 + c2 .k 2 .
2.25) Equation de dispersion de Klein Gordon
On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :
ω 2 = ωp2 + k 2 .c2
1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :
1.a) la vitesse de phase vϕ ,
1.b) la vitesse de groupe vg .
2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ .
3) Comparer chacune des vitesses à c.
vg =
c2
vϕ .
2.26) Diverses ondes à la surface de l'eau
On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnée
par :
ω2 =
g.k +
γ.k 3
µ
th (k.h)
où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3 SI
la tension supercielle à l'interface eau-air.
1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :
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1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
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de marée (λ = 1000km et h = 5km),
de houle (λ = 5m),
de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),
de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).
Pour une onde de marée vg = 800km/h, pour une onde de houle vg = 5km/h, pour une onde de capillarité
pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde vg = 30cm.s−1 et pour une onde de capillarité pour une
goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde vg = 20cm.s−1 .
2.27) Onde absorbée
1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par un
volume élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.
1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dans
le milieu (loi de Beer-Lambert).
1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?
2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1 . Au bout de quelle longueur
l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?
I(z) = I0 .e−β.z et l'intensité en décibels est IdB = 10.log
L = 30km.
I0
Iref
−
10.β
ln(10) z .
2.28) Paquet d'onde à spectre rectangulaire
Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire :
ψ(x, t) = A0 .sinc
h
∆ω
2
t−
x
vg
A(ω) =
i
si ω ∈ ωm − ∆ω
2 ; ωm +
A(ω) = 0 sinon
A0
∆ω
∆ω
2
. cos (ωm .t − km .x).
2.29) Paquet d'onde à spectre gaussien
Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien :
A(ω) = √
On donne :
Z
(ω−ωm )2
A0
e− 2.∆ω2
2.π.∆ω
√
∞
2
e−α
.x2 +j.β.x
.dx =
−∞
π − β22
e 4.α
α
pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre − π4 et + π4 .
−
ψ(x, t) = A0 .e
(∆ω)2
2
2
t− vxg
. cos (ωm .t − km .x).
2.30) Interférence d'un paquet d'onde
On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω , faible devant la pulsation moyenne ωm du
paquet.
1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant :
n=+ N 2−1
ψ(x, t) =
X
A0 . cos (ωn .t − kn .x)
n=− N 2−1
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où ωn = ωm + Nn ∆ω . On supposera pour simplier les calculs que N est impair.
2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bouées d'ondes de ce paquet ? Commenter sa
dépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω .
ψ(x, t) = A0 .
h
i
sin ∆ω
t− vxg
2
h
i . cos (ωm .t
∆ω
sin 2.N
t− vxg
− km .x).
2.31) RelationDeuxVitesses
1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variable
la longueur d'onde λ :
vg = vφ − λ
dvφ
dλ
2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimer
la vitesse de groupe en fonction de vφ et α.
vg = α.vφ .
3. Etudier la discontinuité à une interface
3.32) Coecients de réexion au bout d'un câble coaxial
On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc , pour x < x0 . Le câble se termine sur une
impédance Z̃ en x = x0 .
1) Déterminer les coecients de réexion en amplitude pour la tension et l'intensité.
2) En déduire le coecient de réexion en énergie.
rV =
Z̃−Zc
Zc +Z̃
= −rI et R =
2
|Z̃−Zc |
2.
|Zc +Z̃ |
3.33) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux
On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x0 :
• pour x < x0 , l'impédance est Zc1 ;
• pour x > x0 , l'impédance est Zc2 .
1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.
2) En déduire les coecients de réexion et transmission en énergie.
1)
2)
rI =
R=
Zc1 −Zc2
Zc1 +Zc2
= −rV et tI =
2
2.Zc1
Zc1 +Zc2
=
Z c1
Zc2 tV
.
(Zc1 −Zc2 )
4.Zc1 .Zc2
2 et T =
2.
(Zc1 +Zc2 )
(Zc1 +Zc2 )
3.34) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux cordes
On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ1 (si x < 0)
et µ2 (si x > 0), la tension étant toujours T0 ; le n÷ud en x = 0 est sans masse.
1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude.
q
2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coecient α = µµ21 .
r̃ =
spé PC
√
√
µ − µ
√ 1 √ 2
µ1 + µ2
et t̃ =
√
√
2. µ1
√
µ1 + µ2 .
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Travaux dirigés
vendredi 25 novembre 2016
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Les cordes d'une guitare électrique
extrait de l'article wikipédia Corde de guitare Changer l'épaisseur pour changer la note.
Accord des cordes
L'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.
Tirant de cordes
Le tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.
Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il faut
comprendre :
• tirant du mi grave = 38 (0, 97 mm)
• tirant du mi aigu = 8 (0, 2 mm)
L'âme et le lage
Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un l principal) autour de laquelle vient s'enrouler un
second l, qui formera le lage.
Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une interaction très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickel
protège la corde de la corrosion et améliore le toucher.
Enoncé
Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pour
l'accord de référence ?
Données :
• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces
• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm−3
• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm−3
• 1 pouce =2,54 centimètres
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Devoir non surveillé
vendredi 25 novembre 2016
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
Les câbles électriques dans les transports
Extraits de "Développement d'une méthodologie dédiée à la réectométrie en vue du diagnostic laire"
thèse de doctorat de MOSTAFA KAMEL SMAIL soutenue le mardi 7 décembre 2010
Utiliser la propagation et la réexion des ondes pour détecter les pannes dans un
câble électrique.
Les câbles et leurs applications
Depuis l'apparition des premiers systèmes électroniques, le câble électrique fut le premier support physique permettant de faire circuler un courant électrique. Jusqu'à aujourd'hui, le câble électrique est toujours d'actualité et a connu des modications intrinsèques permettant de s'adapter
aux contraintes électriques et environnementales
de plus en plus sévères. Les câbles électriques
sont omniprésents dans beaucoup de domaines où
l'acheminement de l'énergie et de l'information est
nécessaire pour garantir le bon fonctionnement
d'un système. Le type de câble est diérent suivant
la nature du signal que l'on désire transmettre et
de l'environnement dans lequel évolue le système.
Les signaux peuvent être analogiques ou numériques, de faible ou de forte puissance et de basses,
moyennes ou hautes fréquences. A titre d'exemple,
un réseau informatique peut utiliser trois types de
câbles : le câble coaxial, la paire torsadée ou la bre optique. Le choix de ces câbles dépend du débit souhaité, de
la longueur du réseau et de l'environnement dans lequel évolue le réseau. Les réseaux électriques haute tension
utilisent des câbles de transport d'énergie dont la constitution est diérente de ceux utilisés pour les réseaux
informatiques car ces câbles sont conçus pour transporter et distribuer de l'énergie électrique à fort courant et
basses fréquences (50 Hz) sur de très longues distances à travers le pays. L'aéronautique et le spatial sont de
parfaits exemples d'applications où plusieurs types de câbles sont utilisés avec des longueurs cumulées allant
jusqu'à 500 km pour un long courrier (Airbus A380), longueur en constante augmentation depuis les quarante
dernières années, Figure 1.1. L'utilisation de câbles légers, souples, peu encombrants, d'une grande abilité et
résistants à divers environnements sont les principales contraintes imposées par ces industries.
La Figure 1.2 donne une très bonne vision des diérents types de
câbles utilises et de leur complexité. Nous trouvons des câbles pour
les zones pressurisées, des câbles résistant au feu ou a la chaleur, des
câbles coaxiaux pour les systèmes de transmission hautes fréquences
(radio, radar, données) et des câbles d.alimentation pour transporter
de la puissance. En général, ces câbles sont constitues d.un ou plusieurs
conducteurs en cuivre ou en aluminium protégés par des matériaux
isolants comme le polyimide, la bre de verre ou le mica.
Le problème de défauts de câblage a eu une grande attention à
la n des années 90 en raison de deux accidents tragiques : le 17
juillet 1996 l'explosion en plein air du Boeing 747 du vol TWA 800
et le crash d'un MD-11 de Swissair le 2 septembre 1998. La NTSB
(National Transportation Safety Board) a déterminé par la suite la
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cause de l'accident de la TWA 800 qui était une explosion du réservoir
de kérosène due à un arc électrique. Pour Swissair c'était à cause d'un
incendie provoqué par un court-circuit dans un câble. Bien que les accidents du Boeing 747 de TWA 800 et
le MD-11 de Swissair sont cités comme les causes de l'impulsion de la recherche et le développement dans
le domaine de la abilité de câblage, il y a eu un nombre considérable d'incidents qui n'ont pas abouti à des
accidents, mais ont été attribués à des défaillances de câblage (en janvier 2008 : Boeing 757 de AA, février 2009 :
Airbus340 de VA) [PORT 03]. S'ajoutent à ces problèmes le vieillissement de la otte de la marine américaine,
la NAVY , et ses conséquences sur la maintenance des câbles embarqués.
Avec le temps, les réseaux de câbles des avions ou des bateaux se
fragilisent et se détériorent en augmentant ainsi la probabilité d'apparition de défauts de toutes sortes. Les problèmes liés aux câbles coûtent
excessivement cher et impliquent un temps d'immobilisation assez important. Le gouvernement américain a donc encouragé les industries et
les universités à développer des systèmes intelligents de détection, de
diagnostic et de prévention pour déceler toute apparition d'anomalie
sur les câbles.
Parfois suivant l'environnement où le réseau de câbles évolue (aéronautique, automobile, nucléaire, bâtiment...), l'inaccessibilité pour
contrôler son état pose un véritable problème. Cette inaccessibilité
diminue l'ecacité de la maintenance du réseau par les techniciens
et augmente donc la probabilité d'avoir une défaillance des systèmes
électroniques.
La possibilité de connaître l'état d'un câble est devenue une nécessité pour rendre plus ecaces les opérations de maintenance lorsqu'un
défaut laire met en panne tout un système.
La constitution d'un câble peut varier d'un fabricant à un autre,
mais en général ils sont réalisés à partir de :
• Fils simples constitués d'un conducteur isolé
• Paires de ls parallèles qui peuvent être blindées, Figure 1.7
• Fils blindés constitués d'un conducteur isolé entouré d'un écran
• Paires simples constituées de deux conducteurs isolés torsadés, Figure 1.8
• Paires blindées constituées d'une paire simple entourée d'un écran
• Câbles coaxiaux constitués d'un conducteur central, d'un diélectrique et d'une tresse extérieure, Figure 1.9
Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriques
Il existe plusieurs types de défauts ayant chacun leurs propres caractéristiques, c'est pour cette raison que
de nombreuses méthodes ont été développées pour tester l'état des câbles. Il existe diérentes méthodes pour
détecter et localiser des défauts de câblage des techniques basses, moyennes ou hautes fréquences. Certaines
méthodes nécessitent des outils de mesure directement couples électriquement aux extrémités du câble et d'autres
par des outils de mesure sans contact (sonde de courant) pour diagnostiquer le câble.
Certaines méthodes de diagnostic ne permettent pas d.analyser un câble lorsque celui-ci n.est pas déconnecté
ou lorsque d.autres signaux y sont présents (diagnostic hors ligne). D.autres méthodes permettent une analyse
du câble lorsque d'autres signaux y sont transmis (diagnostic en ligne).
La méthode capacitive et inductive permet de déterminer la présence d'un circuit ouvert ou d'un courtcircuit. La méthode est basée sur la mesure de la capacité ou de l'inductance du câble. La mesure de la capacité
est utilisée pour localiser un circuit ouvert et la mesure de l'inductance est utilisée pour localiser un court-circuit
sur le câble.
Il existe une méthode haute fréquence qui a l'avantage d'obtenir une image de l'état du câble en se positionnant a une extrémité de celui-ci. Cette méthode s'appelle la réectométrie et repose sur l'analyse d'une onde
rééchie par rapport à une onde incidente en utilisant les phénomènes de propagation des ondes dans les milieux
physiques. Pour l'utiliser dans l'analyse des câbles électriques, il est nécessaire d'injecter des signaux dont la
longueur d'onde est petite ou équivalente à la longueur du câble. Ceci implique donc l'utilisation de signaux
haute fréquence.
Théorie des lignes de transmission
La diérence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission est la taille
électrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un réseau sont beaucoup plus
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petites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de transmission peuvent être une petite fraction
de longueur d'onde, voire plusieurs longueurs d'onde. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué de
paramètres où les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.
En basse fréquence lorsque la longueur d'onde est grande devant la longueur de la ligne, la diérence de
potentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par contre en haute fréquence lorsque
la longueur d'onde est petite ou comparable à la longueur de la ligne, ce n'est plus le cas. Ce phénomène a été
mis en évidence par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bilaire.
En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l'aide de quatre paramètres qui constituent
le modèle à constantes réparties. La Figure 1.19 montre une ligne de transmission qui est souvent représentée
schématiquement comme une ligne bilaire et le modèle équivalent. Il n'est valable que pour une longueur
innitésimale de ligne, à condition que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale au
dixième de la longueur d'onde guidée λg .
L'onde peut se propager grâce aux échanges d'énergie électrique et d'énergie magnétique. Ces eets se
modélisent respectivement par la présence d'une capacité linéique C et une inductance linéique L. La capacité
linéique C dépend de l'écart entre les deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivité
du diélectrique et s'exprime en Farad/m. L'inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, de
l'écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s'exprime en Henry/m. La capacité
et l'inductance modélisent les eets de propagation dans la ligne. Les pertes par eet de Joule sont modélisées
par une résistance linéique R, qui est due aux pertes ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètres
et matériaux des conducteurs et s'exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues au
diélectrique. Elle dépend de la capacité linéique et de l'angle de perte du diélectrique et s'exprime en Siemens/m.
R et G représentent les pertes.
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Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces quatre paramètres
susent pour modéliser le comportement d'une ligne de transmission en haute fréquence. Cependant certains
paramètres sont sensibles aux variations de la fréquence. D'une façon générale, l'inductance et la capacité
linéique dépendent de la fréquence jusqu'à environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquence
augmente et la conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en dessous
de 1 MHz.
Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une grandeur complexe.
Cette impédance caractéristique est diérente selon le type de câble. En vidéo, les câbles utilisés sont des câbles
coaxiaux d'impédance caractéristique 75 ohms. En hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour la
plupart une impédance caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l'impédance
caractéristique est de l'ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données sur une paire
torsadée d'impédance caractéristique de 90 ohms. L'impédance caractéristique dépend de la géométrie et de la
constitution du câble.
Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coecient de réexion qui donne une information sur
la polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité d'énergie renvoyée vers le plan le générateur.
Enoncé
1) A l'aide du modèle électrique équivalent donné dans le document, déterminer l'équation d'onde (dite
"des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans les câbles électriques.
2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas non résistif. En déduire l'expression de
la célérité vp des ondes dans le câble en fonction de L et C .
3) A partir des données
de L et de C de diérents câbles, vérier les valeurs des vitesses et des impédances
q
L
caractéristiques Zc = C indiquées dans le tableau du document.
4) On s'intéresse au montage de la gure 1.20 (on supposera le câble sans résistance).
4.a) Donner la formes des OPPM complexes incidentes et rééchies sur le câble.
4.b) Rappeler la dénition des coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0.
4.c) Ecrire les conditions aux limites en z = 0 et en z = −l.
4.d) Déterminer les coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0 en fonction de ZL et ZC .
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