Ch1 : Géométrie dans l`espace 1 Prismes droits

Ch1 : Géométrie dans l’espace
5ème
Objectifs
• Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.
• Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions données, en particulier à
partir d’un patron.
• Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de
base est donné.
• Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière
1
a.
de ces deux solides.
• Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un
prisme droit dont les arêtes sont de même longueur, les angles
droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.
• Calculer le volume d’un parallélépipède rectangle.
• Calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre de révolution.
• Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure.
Prismes droits
Présentation
Définition (Solide)
Un solide est un objet de l’espace.
Définition (Prisme droit)
Un prisme droit est un solide ayant deux bases polygonales identiques, reliées à angle droit par des surfaces rectangulaires.
Exemple : Voici un prisme à base triangulaire.
Ses bases sont les triangles ABC et DEF.
Ses côtés, appelés faces latérales, sont les rectangles ABED, BCFE et ACFD.
Il a six sommets : les points A, B, C, D, E et F.
Il a neuf arêtes : les segments [AB], [BC], [CA], [DE], [EF], [FD], [AD], [BE] et [CF].
L’arête [AC] n’est normalement pas visible : elle est tracée en pointillé.
Les trois arêtes [AD], [BE] et [CF] ont la même longueur : c’est la hauteur du prisme.
un sommet
F
D◆
une arête
✲
une face
C
A
b.
E✛
B
Représentation en perspective cavalière
Définition (Perspective cavalière)
La représentation en perspective cavalière d’un solide est une représentation qui respecte le parallélisme.
Remarque : Ainsi, deux droites parallèles sur le solide seront parallèles sur la représentation en perspective cavalière.
Mais un angle droit sur le solide ne sera pas forcement représenté par un angle droit sur la représentation en perspective
cavalière. Les faces latérales qui sont des rectangles seront donc représentées par des parallélogrammes.
Exemple : Représentation en perspective cavalière du prisme droit dont on a déjà tracé la base et une hauteur.
✲
✲
On dessine l’autre base,
puis les autres hauteurs.
Ch1 : Géométrie dans l’espace
c.
5ème
Patron
Définition (Patron)
Le patron d’un solide est une figure plane qui, pliée, permet de reconstituer le solide. Elle est composée des faces du
solide.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire :
c
b
c
b
a
✛
c
a
b
❄
a
Patron de ce prisme :
c
b
h
d.
✲ ✻
h
p=a+b+c
c
b
Aire latérale
Théorème
L’aire latérale d’un prisme droit (aire des faces latérales) est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur
du prisme.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire de longueurs a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm et h = 7 cm :
A = (a + b + c) × h
A = (3 + 4 + 5) × 7
A = 12 × 7
A = 84. Donc, l’aire latérale du prisme est de 84 cm2 .
e.
Volume
Théorème
Le volume d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire de longueurs a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm et h = 7 cm :
V = aire de la base ×h
Or, on admet que le triangle est rectangle donc, l’aire de la base vaut : A = a×b
2
A = 3×4
2
A=6
On en déduit le volume :
V =6×7
V = 42. Donc, le volume du prisme est de 42 cm3 .
2
Cylindres
a.
Présentation
Définition (Cylindre)
Un cylindre est un solide dont les deux bases sont des disques identiques reliés à angle droit par une surface courbe.
axe du cylindre
une base du cylindre
❥
•
✲
•
Ch1 : Géométrie dans l’espace
b.
5ème
Représentation en perspective cavalière
Les bases d’un cylindre sont représentés en perspective cavalière par des cercles « écrasés » appelés des ellipses.
c.
Patron
Le patron d’un cylindre est composé de deux disques pour les bases et d’un rectangle dont la largeur est la hauteur
du cylindre et la longueur est égale au périmètre de la base.
✛r✲
✛✲
r
✻✛
2×π×r
✲
h
❄
✛r✲
d.
Aire latérale
Théorème
L’aire latérale d’un cylindre de hauteur h, dont la base est un cercle de rayon r est Alatérale = 2 × π × r × h.
Exemple : Pour un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 8 cm :
A=2×π×r×h
A=2×π×3×8
A = 48 π
A = 150, 80.
Donc, l’aire latérale du cylindre est de 150, 8 cm2 .
e.
Volume
Théorème
Le volume d’un cylindre de hauteur h, dont la base est un cercle de rayon r est Vcylindre = π × r2 × h.
Exemple : Pour un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 8 cm :
V = π × r2 × h
V =π×3×3×8
V = 72 π.
V = 226, 20.
Donc, le volume du cylindre est de 226, 2 cm3 .