Analyse documentaire : Echantillonnage d`un signal analogique

Analyse documentaire : Echantillonnage d’un signal analogique
(annexe)
1. Introduction et critère de Shannon
Un signal analogique (grandeur physique que l’on mesure) est une fonction continue du temps. D’un point de
vue expérimental, il est donc impossible d’acquérir la totalité du signal (infinité de points), il faut
l’ECHANTILLONNER : à intervalles de temps réguliers, on va relever la valeur du signal analogique. Le but final est
bien entendu d’obtenir le spectre du signal de départ (domaine fréquentiel). La durée entre deux prises
d’information (= relevés du signal physique) est le temps d’échantillonnage Tech . On définira alors directement
la fréquence d’échantillonnage fech=1/Tech . L’idée est de reconstituer le plus fidèlement possible le signal
physique de départ. On aimerait intuitivement relever des points sur le signal analogique aussi souvent que
possible. Cependant, pour des raisons de mémoire des systèmes électroniques utilisés principalement, on ne
peut pas acquérir le signal sur un temps infiniment long ni avec une fréquence d’échantillonnage aussi grande
que l’on veut. Un compromis va devoir être trouvé. La durée d’acquisition du signal analogique T acq va donc être
aussi un paramètre important lors de l’échantillonnage du signal.
Tech : temps d’échantillonnage, durée séparant deux prises (relevé) d’information sur le signal analogique
fech=1/Tech : fréquence d’échantillonnage
Tacq : Durée d’acquisition du signal analogique
On considère un signal sinusoïdal de fréquence f=1/T à échantillonner.
(b)
(a)
Tech >> T
T
(c)
Tech ≥ T/2
(d)
Tech = T/2
Tech << T/2
Critère de SHANNON
A retenir : Il faut Tech ≤ T/2 ou fech ≥ 2 f
En (a), la fréquence d’échantillonnage est trop petite (ou le temps d’échantillonnage trop grand), on est incapable
de reconstituer le signal d’origine.
En (b), on a réduit le temps d’échantillonnage, mais pas suffisamment, il est légèrement supérieur à une demipériode. Le signal échantillonné fait apparaître un battement. Le spectre fera apparaître une (au moins)
fréquence supplémentaire.
En (c), on est au critère de Shannon. C’est le seuil minimal pour la prise de l’information. Dans ces conditions (les
relevés du signal sont aux maxima du sinus), le spectre échantillonné sera fidèle à la réalité.
En (d), l’échantillonnage est très confortable.
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Remarque : On a Tacq = (N-1) Tech .
2. Notion de repliement
Un signal sinusoïdal ne possède qu’une seule fréquence que l’on est capable, par analyse de Fourier de récupérer
si l’échantillonnage est fait correctement. Toutefois, des signaux plus complexes peuvent contenir plusieurs
fréquences (ex : le carré ou le triangle qui contiennent une infinité discrète d’harmoniques) ou même un
continuum de fréquences (bruit blanc par exemple). Pour ce type de signaux le critère de Shannon s’écrit :
fech ≥ 2 fmax
Le but initial d’une manœuvre d’échantillonnage est d’obtenir le spectre du signal analogique de départ. Les
algorithmes de calcul réalisant les transformations de Fourier fournissent un spectre final complexe : dans le
domaine fréquentiel, le spectre est reconstitué tous les fech . On voit donc que si le critère de Shannon n’est pas
respecté, un phénomène de repliement non désirable apparaît (il peut être partiellement pallié grâce à
l’utilisation de fenêtres de pondération (Hamming, Blackman) que l’on ne traitera pas ici, vous aurez l’occasion
de les rencontrer dans LatisPro).
Remarque : Le spectre d’un carré ou d’un triangle étant infini (fmax = +∞), on aura nécessairement du repliement
lors de l’échantillonnage.
Critère de Shannon 
Critère de Shannon X
Spectre
du signal analogique
fmin
fmin
fmax
fech/2
fmax
fech/2
Spectre
du signal échantillonné
fech
« repliement » de spectre
3. Importance de la durée d’acquisition
Pour des raisons mentionnées plus haut, on est obligé d’acquérir le signal sur une durée T acq finie. Le choix de sa
valeur est cruciale : il faut impérativement que Tacq soit égale à un nombre entier de périodes Tacq = p x T. En
effet, avant de réaliser l’analyse de Fourier, les algorithmes de calcul reconstituent un signal variant de 𝑡 = −∞
à 𝑡 = +∞. Si Tacq ≠ N x T, des discontinuités apparaissent faisant alors apparaître de hautes fréquences lors de la
transformation de Fourier. Par ailleurs la résolution en fréquence Δf dans le spectre est donnée par 1/T acq .
On a : Δf = 1/Tacq
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Tacq = p x période (T)
0

0
Tacq ≠ p x période (T) X
temps
Signal acquis
temps
Signal reconstitué
temps
temps
Spectre
Spectre
fréquence
fréquence
f=1/T
A retenir : il faut Tacq = p x T avec p entier
Remarque :
Pour bien comprendre que tout signal peut être décomposé en la somme de signaux sinusoïdaux de différentes
fréquences, consulter cette animation :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Fourier/fourier1.php
Sinus (ou cosinus) = trajectoire temporelle décrite par un point se déplaçant sur le cercle trigonométrique
Tous les autres signaux peuvent être vus comme la superposition d’un « cercle trigonométrique principal »
(correspondant à la fréquence du mode fondamental) et d’autres cercles qui « s’enroulent » autour du premier
(correspondant aux harmoniques supérieures)