Analyse spectrale du signal
Transcription
Analyse spectrale du signal
Analyse spectrale du signal 1 Principe de l’analyse spectrale (ou harmonique) La réponse en fréquence des circuits est un élément caractéristique du comportement dynamique des circuits R, L et C. L’autre élément caractéristique est la réponse libre (exemple: on charge un condensateur, puis oin le laisse se décharger librement à travers une bobine ou une résistance dans un circuit sans générateur); cette réponse libre est encore appelée réponse impulsionnelle car on obtient le même résultat pour un condensateur non chargé alimenté par un générateur d’impulsions. Ces deux types de comportement représentent la dualité d’une même réalité. L’analyse spectrale est étroitement liée à la notion de bande passante. En effet la bande passante d’un filtre va modifier la composition de fréquences d’un signal sonore. Un amplificateur large bande transmet toutes les composantes du spctre fréquentiel et le son n’est pas déformé. Par contre un correcteur de graves va privilégier les fréquences basses alors qu’un correcteur d’aigus va privilégier les fréquences hautes. Pour savoir de quelle manière un filtre interfère avec le signal, il faut connaître sa composition en fréquences encore appelée composition spectrale ou composition harmonique. Le spectre de fréquence F(f) est obtenu en appliquant la transformation mathématique de Fourier TF à un signal fonction du temps s(t). De même, si on connait le spectre de fréquence F(f), on peut retrouver le signal s(t) par la transformation de Fourier inverse TFI. e(t) E(f) TF ω t | R (f) | ω s(t) TFI t S(f) ω La transformation de Fourier s’applique à tous les types de signaux. Toutefois l’étude dans le cas général étant assez compliquée, on se limitera à celle des signaux périodiques (répétitifs) 2 Décomposition en séries de Fourier 2.1 définition Tout signal périodique de période T peut de décomposer en une somme limitée ou illimitée de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de base: f1 = 1 / T v(t) = V1 sin ω 1 t + V2 sin 2ω 1 t + V3 sin 3ω 1 t + V4 sin 4ω 1 t + ... + Vk sin kω 1 t Le spectre de fréquence de v(t) est une série de raies fréquentielle: spectre V1 V2 0 f1 2f1 V3 3f1 V4 4f1 V5 5f1 V6 6f1 V7 V8 7f1 8f1 f Si le signal possède une composante continue, alors il faut ajouter à la série précedente une valeur constante V0 : v(t) = V0 + V1 sin ω 1 t + V2 sin 2ω 1 t + V3 sin 3ω 1 t + V4 sin 4ω 1 t + ... + Vk sin kω 1 t Le spectre possède alors une raie supplémentaire d’amplitude V0 et de fréquence nulle: spectre V1 V0 V2 0 f1 2f1 V3 3f1 V4 4f1 V5 5f1 V6 6f1 V7 V8 7f1 8f1 f Si on considère qu’une sinusoïde peut se représenter soit par une fonction sinus soit par une fonction cosinus on peut écrire de manière tout à fait générale: v(t) = V0 + A1 cos ω 1 t + B1 sin ω 1 t + A2 cos 2ω 1 t + B2 sin 2ω 1 t + A3 cos 3ω 1 t + B3 sin ω 4 t + ... Ce qui s’écrit mathématiquement: v(t) = A0 + ∞ le terme ∑ Bn 1 ∞ ∑ An 1 cos nω1 t + ∞ ∑ Bn sin nω1 t 1 sin nω 1t se lit : Somme de n=1 jusqu’à l’infini de sin nω 1t la sinusoïde de fréquence f1 s’appelle le fondamental, les sinusoïdes de fréquence n.f1 s’appellent les harmoniques de rang n 2.2 calcul des coefficients de la décomposition en série de Fourier Pour une fonction périodique de période T les 3 formules ci-dessous donnent les valeurs des coefficients A0 , An et Bn de la série ci-dessus: 1 T A0 = An 2 = T T ∫ f(t) dt est la formule de la valeur moyenne de f(t) 0 T ∫ f(t) cos nω1t dt Bn 0 2 = T T ∫ f(t) sin nω1t dt 0 3 Applications 3.1 décomposition d’un signal carré v(t) V0 0 T/2 T t 8f1 f spectre 2V0 /π V0 2 2V0 /3π 2V0 /5π 0 f1 2f1 3f1 4f1 5f1 2V0 /7π 6f1 7f1 l’application des formules précédentes fournit les résultats suivants: A0 = V/2 Bn = 0 An = 2V/nπ pour n impair et = 0 pour n pair Ce signal ne possède pas de termes en sinus. Remarque: le signal carré ne possède pas de fréquences multiples (harmoniques) pairs. 3.2 décomposition d’un signal redressé simple alternance v(t) Vm 0 T/2 T t spectre Vm/2 Vm π 2Vm/3π 2Vm/15π 0 f1 2f1 A0 = Vm/π 3f1 4f1 5f1 2Vm/35π 2Vm/63π 6f1 8f1 7f1 An = Bn = 0 f 2Vm 1 pour n pair 2 π n −1 An = 0 pour n impair sauf n=1 A1 = Vm/2 Ce signal ne possède pas de termes en sinus. 3.3 décomposition d’un signal redressé double alternance v(t) Vm 0 T/2 T t spectre 2Vm π 2Vm/3π 2Vm/15π 0 f1 2f1 2Vm/35π 3f1 2Vm/63π 4f1 f A0 = 2Vm/π 2Vm 1 2 π 4n − 1 An = Bn = 0 Ce signal ne possède pas de termes en sinus. Remarque: le signal redressé double alternance a une période de T / 2; sa fréquence fondamentale est double de la tension alternative qui l’a produite (ex: 100 Hz pour une sinusoïde de 50 Hz); la fréquence de ronflement que l’on peut entendre à vide dans un amplificateur est de 100 Hz; c’est la fréquence de l’ondulation résiduellen après redressement et filtrage de l’alimentation stabilisée. 3.4 décomposition d’un signal en dent de scie v(t) Vm 0 T/2 T t 8f1 f Vm spectre 2Vm/π 2Vm/3π 2Vm/5π 2Vm/7π 0 A0 = 0 f1 2f1 3f1 4f1 5f1 6f1 An = 0 Ce signal ne possède pas de composante continue. Il ne possède pas de termes en cosinus. 7f1 Bn = − 2Vm (−1)n π n