Idéaux et anneaux quotients

Université de Nice-Sophia-Antipolis
Licence de mathématiques 2002-03
Algèbre Ln10, Feuille 2
§3. Idéaux
1. Exercice
1.1) Soit S une partie multiplicative de Z. Si I est un idéal de Z, alors à quelle condition
l’ensemble S −1 I constitué des fractions x/s ∈ Q telles que x ∈ I et s ∈ S forme un idéal
propre de S −1 Z?
1.2) Les idéaux de S −1 Z sont-ils tous de la forme S −1 I, avec I un idéal de Z? Indication:
si I 0 est un idéal de S −1 Z, alors que peut-on dire de I = I 0 ∩ Z?
1.3) ! Comment caractériser les idéaux de Z(p) ? Quels sont les idéaux maximaux de Z(p) ?
2. Exercice
On travaille avec l’anneau R = C[X, Y ] des polynômes à deux variables X et Y à
coefficients dans C.
2.1) Soit I = (X, Y ). Peut-on trouver un polynôme P ∈ C[X, Y ] tel que I = (P )?
Indication: Que pourrait-on déduire des relations X ∈ (P ) et Y ∈ (P )?
2.2) Construire un isomorphisme d’anneaux C[X, Y ]/(X, Y ) → C et en déduire que I =
(X, Y ) est un idéal maximal de C.
2.3) On fixe α ∈ C et β ∈ C. Généraliser l’argument de la question précédente pour
prouver que (X − α, Y − β) est un idéal maximal de C.
2.4) Soit J = (Y ). Construire un isomorphisme d’anneaux C[X, Y ]/(Y ) → C[X]. Que
peut-on conclure de cette construction: l’idéal J est-il maximal ou premier?
Commentaire: Les idéaux (X − α, Y − β) associés aux points (α, β) ∈ C2 forment en
fait l’ensemble des idéaux maximaux de C[X, Y ]. Ce résultat est une forme du théorème
des zéros de Hilbert (ou le Nullstellensatz, selon la terminologie originale) dont la démonstration sort des limites du cours.
§4. Corps et anneaux quotients
1. Exercice
Quand p est un nombre premier, l’anneau quotient Z/p est un corps à p éléments et
est aussi noté Fp = Z/p. On voudrait construire quelques exemples de corps finis.
1.1) Quels sont les polynômes irréductibles de degré 2 de l’anneau F2 [X]? Si P (X) est un
tel polynôme, alors quelle est la dimension de F2 [X]/(P (X)) comme espace vectoriel sur
F2 ? Quel est le nombre d’éléments de F2 [X]/(P (X))? Comment construire un corps F4
comportant 4 éléments?
1.2) Construire un corps F9 comportant 9 éléments en donnant un polynôme irréductible
de degré 2 de l’anneau F3 [X].
2. Exercice
On demande de prouver les assertions générales suivantes.
BF, Courriel: [email protected]
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2.1) Si K est un corps, alors l’idéal nul I = (0) est le seul idéal propre de K.
2.2) Réciproquement, si un anneau R n’a pas d’idéal propre non trivial, alors cet anneau
est un corps. Indication: On se donne un élément x ∈ R. Si x 6= 0, alors que peut-on dire
de l’idéal (x) ⊂ R engendré par x?
2.3) Un morphisme d’anneaux φ : K → R dont le domaine K est un corps est toujours
injectif.
3. Exercice
3.1) Dans cet exercice, on suppose que K est un corps, et on considère le morphisme
d’anneaux canonique η : Z → K qui est caractérisé par la formule η(x) = x · 1K , ∀x ∈ K.
Montrer que le noyau de ce morphisme est un idéal premier de Z. On a donc soit ker(η) = 0,
soit ker(η) = (p), pour un certain nombre premier p ∈ Z (non nul).
3.2) On veut montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux η̃ : Q → K si et seulement si
η : Z → K est injectif (ce qui équivaut à ker(η) = 0). On dit alors que K est un corps de
caractéristique nulle. Indications: Si un tel morphisme existe, alors quelle est l’image d’un
entier x ∈ Z; d’un inverse d’entier 1/s ∈ Q, s ∈ Z − {0}; et, finalement, d’une fraction
x/s ∈ Q par η̃ : Q → K? Comment déduire de ces observations que η(x) = x · 1K est
non-nul pour tout x ∈ Z − {0}? Conclure.
3.3) On veut montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux η̃ : Z/p → K si et seulement
si ker(η) = (p). On dit alors que K est un corps de caractéristique positive p. Indications:
Si un tel morphisme existe, alors quel est l’image de la classe d’un entier x ∈ Z par
η̃ : Z/p → K? Comment prouver que η̃ : Z/p → K est injectif? Comment conclure que
ker(η) = (p)?
3.4) On suppose que K est un corps fini. On note q le nombre d’éléments de K. On veut
montrer que K est nécessairement de caractéristique p > 0 et que q = pd pour un certain
exposant d ∈ N. Comment prouver la première assertion? Comment utiliser le morphisme
η̃ : Z/p → K pour donner à K une structure de Z/p-espace vectoriel? En général, si V
est un Z/p-espace vectoriel de dimension finie d, alors quel est le nombre d’éléments de V ?
Comment justifier que K forme un Z/p-espace vectoriel de dimension finie?
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