les grandeurs elect riq u es - sur le site de Claude Lahache

1.1 Les Grandeurs de base
111 Charge
Les matériaux, conducteurs ou isolants, sont tous formés d'atomes et leurs propriétés électriques dépendent de
la présence des électrons périphériques, faiblement liés aux atomes.
Dans un conducteur, tel un métal, un ou plusieurs électrons par atome sont libres de se déplacer dans le réseau
cristallin. Ce sont les porteurs de charge mobiles .
Une charge se mesure en coulombs (C) ; on la désigne souvent par la lettre q .
– 19
Un électron porte la charge élémentaire e = 1,6×10
C
Un conducteur étant au repos, les électrons libres se déplacent de façon aléatoire, de telle sorte que leur
mouvement global soit nul ; c’est ce qu’on appelle l’agitation thermique, responsable du bruit de fond
électrique.
Sous l’action d’un champ électrique, ces électrons libres vont s’animer d’un mouvement global, c’est l’origine
du courant électrique.
112 Intensité du courant
L’intensité i d’un courant électrique mesure le débit du flux d’électrons à travers une section droite d’un
conducteur.
Si q(t) désigne la charge électrique traversant S à la date t,
l’intensité i(t) du courant à cette date s’écrit :
i( t ) =
dq
dt
I
L’intensité instantanée du courant apparaît comme la dérivée
de la charge q(t).
L’intensité se mesure en C/s ou encore en ampères (A) .
S
Remarque : Capacité d’un accumulateur. (en Ah)
C’est la charge électrique Q qu’il peut faire circuler ; elle est définie par Q =
i ( t ) dt
113 Tension
La tension UAB entre 2 points A et B s’identifie à la différence de potentiel électrique VA - VB ; ces grandeurs
s’expriment en volts (V).
UAB
Attention : Cette différence sous entend une orientation !
On a bien sur UAB = - UBA
A
B
114 Energie
Lorsqu’une charge de 1C se déplace entre 2 points A et B séparés par une d.d.p de 1V, un travail de 1joule est
mis en jeu.
W = q×(VA – VB) peut être > 0 ou < 0, selon les signes de la charge q et de la d.d.p (VA – VB) ; W > 0
correspond à un travail moteur (déplacement spontané de la charge), alors que W < 0 correspond à un travail
résistant.
L’énergie élémentaire dW mise en jeu par une charge dq soumise à une ddp u s’écrit dW = u.dq ; soit, en
faisant intervenir l’intensité instantanée i, dW = u.i.dt ;
t2
entre les dates t1 et t2, nous aurons : W12 =
u.i.dt ;
t1
Les énergies se mesurent en joules (J) ou en kilowattheures (kWh).
115 Puissance
La puissance s’identifie à la dérivée de l’énergie par rapport au temps.
En grandeurs instantanées, p ( t ) = dW = u ( t ).i ( t ) .
dt
La puissance se mesure en J/s soit en watts (W).
Signe de p(t) : Pour un dipôle électrique, p(t) > 0 correspond à une puissance reçue par le dipôle, c’est à dire à
un fonctionnement comme récepteur ; inversement, p(t) < 0 correspond à un fonctionnement générateur.
1.2 Classification des signaux électriques.
121 Représentation temporelle
La première classification peut se faire en fonction de l’évolution temporelle des signaux.
Signaux Physiques
Certains ou
déterministes
Périodiques
Autres
Sinusoïdaux
Aléatoires ou
probabilistes
Non périodiques
Transitoires
Pseudopériodiques
Stationnaires
Ergodiques
Non stationnaires
Non ergodiques
Signaux certains ou déterministes : Ils peuvent être décrits par un modèle mathématique ; la loi f(t) est connue.
Signaux aléatoires : Le comportement temporel est imprévisible ; on se contente d’observations statistiques.
(Exemples : Bruit de fond, signal image d’une conversation téléphonique…)
Signaux aléatoires stationnaires : Les résultats de leur analyse statistique restent les mêmes au cours du
temps ; s’ils sont de plus ergodiques, il est équivalent de faire une moyenne statistique à un instant donné, sur
plusieurs essais, ou de faire une moyenne temporelle suffisamment longue, sur un seul essai.
122 Signaux analogiques et signaux numériques
Une deuxième classification peut se faire, selon la manière dont s’écoule le temps.
Les signaux analogiques sont dits à temps continu, c’est-à-dire qu’ils peuvent prendre toute valeur entre 2
extrêmes, et ce, à toute date t.
(Exemples : Signaux délivrés par un générateur de fonctions de laboratoire, tension au secondaire d’un
transformateur d’alimentation…)
Les signaux numériques ou échantillonnés, sont formés par une suite cadencée de nombres, images des
valeurs prises par un signal analogique, à des dates dites d’échantillonnage. On parle de signaux à temps
discret.
A l’heure actuelle, le traitement de l’information sous forme numérique tend à l’emporter nettement sur le
traitement d’informations analogiques.
123 Aspect spectral
Un signal peut être classé selon la distribution de son énergie en fonction de la fréquence ; c’est ce qu’on
appelle le spectre du signal.
Il existe deux grands types de spectres, selon que l’on a à faire à des signaux périodiques ou non :
Un signal non périodique (aléatoire ou transitoire) est caractérisé par un spectre continu, entre une fréquence
fMINI et une fréquence fMAXI ; alors qu’un signal périodique est caractérisé par un spectre de raies, ou
discontinu. (Cf. page suivante)
énergie
énergie
spectre de bande
fMINI
spectre de raies
fMAXI fréquence
fréquence
On distingue également des signaux à bande étroite, pour lesquels fMINI ≈ fMAXI (signal émis par un émetteur de
la bande FM) et des signaux à large bande, pour lesquels fMINI << fMAXI (signaux de sortie d’un amplificateur
audio)
La gamme des fréquences occupées par le spectre du signal est également un élément de classification :
- en dessous de 250 kHz, on parle de signaux basses fréquences (BF)
- entre 250 kHz et 30 MHz, ce sont des signaux hautes fréquences (HF)
- entre 30 MHz et 300 MHz, on trouve les signaux VHF (very high frequency)
- entre 300 MHz et 3 GHz, c’est le domaine des signaux UHF (ultra high frequency)
- au delà de 3 GHz, on rencontre enfin les signaux SHF (super high frequency)
124 Classification énergétique
Qu’entend-on par énergie d’un signal ?
2
2
Partons de la puissance instantanée dissipée dans une résistance : p(t) = R.i = u /R
t2
L’énergie dissipée sur un intervalle [t1 ; t2] s’écrit : W ( t1 , t 2 ) =
t1
t2
t1
t1
t2
2
2
p ( t ).dt = R . i ( t ).dt = 1 . u ( t ).dt
R
W(t , t )
1 2
La puissance moyenne, sur [t1 ; t2] s’écrit : P ( t1 , t 2 ) =
t 2 − t1
t2
Par extension, pour un signal s(t), et sur un intervalle [t1 ; t2], on définit l’énergie par Ws ( t1, t 2) =
2
s ( t ).dt et
t1
t2
la puissance moyenne par Ps ( t1, t 2) =
1 . s 2 ( t ).dt .
t 2 − t1
t1
L’énergie totale W et la puissance moyenne totale P s’obtiennent en intégrant sur un intervalle s’étendant à
tout l’axe réel :
+∞
2
s ( t ).dt et
W =
−∞
P =
+T / 2
2
1.
s ( t ).dt
T
T →∞
−T / 2
lim
On rencontre ainsi des signaux à énergie finie, pour lesquels W < ∝, tels les signaux transitoires, et des
signaux à énergie infinie, pour lesquels W → ∝ ; c’est le cas des signaux périodiques.
On peut montrer qu’un signal à énergie infinie a une puissance moyenne finie et non nulle ; de même, un
signal à énergie finie est caractérisé par une puissance moyenne nulle.
1.3 Quelques grandeurs caractéristiques
Avertissement : La plupart des grandeurs définies ici obéissent à une convention de notation.
131 Valeur instantanée
C’est la valeur prise par le signal considéré à la date t courante ; elle est notée en minuscule : x(t)
132 Valeurs de crête
Valeur maximale ou minimale du signal : XMAX ou X̂ ; XMIN ou X
On parle parfois de valeur crête à crête : XCAC = XMAX - XMIN
133 Valeur moyenne
C’est la moyenne des valeurs du signal x(t), sur un intervalle de temps To :
X =< x >= 1 .
To
Mathématiquement,
t1+ To
x ( t ).dt
t1
t1+ To
x
x ( t ).dt représente la surface limitée par
t1
l’axe des abscisses, la courbe x(t), et les dates t1 et t1 + To .
(cf. ci-contre)
La surface est comptée positivement si elle est située au dessus
de l’axe des abscisses , négativement si elle est située en dessous.
t1 + To
0
t
t1
• Si X = 0 , le signal est qualifié d’alternatif.
• Pour un signal périodique, la valeur moyenne se calcule sur un
nombre entier de périodes. (en général une seule)
• La valeur moyenne est encore nommée composante continue d’un signal ; pour cette raison, on la mesure à
l’aide d’un multimètre, utilisé en position continu (ou DC).
134 Valeur efficace
La valeur efficace X d’un signal x(t) est liée aux effets énergétiques que ce signal engendre ;
Par définition, c’est la grandeur continue équivalente X, qui provoquerait le même dégagement de chaleur
dans une résistance R que x(t).
Sur l’intervalle [t1 ; t2], la puissance de x(t) est donnée par : Px ( t1, t 2) =
2
2
Px est liée à X , valeur quadratique moyenne, par : X =
d’où, finalement : X =
t2
1 . x 2 ( t ).dt
t 2 − t1
t1
t2
1 . x 2 ( t ).dt
t 2 − t1
t1
t2
1 . x 2 ( t ).dt
t 2 − t1
t1
La valeur efficace X s’identifie à la racine carrée de la valeur moyenne du carré de x(t) : Elle porte également
le nom de valeur RMS. (en anglais, Root Mean Square). C’est une grandeur positive
Pour un signal périodique, la valeur efficace X se calcule sur une période T : X =
T
1 . x 2 ( t ).dt
T
0
• La valeur efficace se mesure, en toute généralité, à l’aide d’un multimètre TRMS (True RMS) ; toutefois,
pour un signal alternatif, un multimètre RMS peut suffire. Voir détails plus loin.
135 Ondulation d’un signal périodique
L’ondulation d’un signal périodique correspond au signal, duquel on a extrait la composante continue ;
l’ondulation est donc nécessairement alternative !
On écrit ainsi : x ( t ) = X + x ond ( t )
La valeur de crête de l’ondulation X̂ ond est appelée amplitude du signal x(t) ; x(t) évolue ainsi, au cours du
temps, entre X + X̂ ond et X − X̂ ond .
136 Valeur efficace de l’ondulation
Nous avons donc, x ond ( t ) = x ( t ) − X
T
t
T
T
0
T
0
0
0
2
2
2
2
Valeur quadratique moyenne de xond(t) : X ond = 1 . ( x − X ) .dt = 1 . x .dt + 1 . X .dt − 1 . 2 x.X.dt
T
T
T
T
2
2
Or, par définition de la valeur efficace X : X = 1 . x .dt
T
0
T
T
T
2
2
2
De même, 1 . X .dt =X ; et aussi : 1 . 2 x.X.dt = 2 X. 1 . x.dt = 2 X
T
T
0
T
0
Finalement, il vient la relation très importante :
2
2
X ond = X − X
2
2
2
0
2
ou X = X + X ond ou X =
2
2
X + X ond
Conséquence pour la mesure d’une valeur efficace : Si le signal n’est pas de forme sinusoïdale, il faut nécessairement un multimètre RMS.
La composante continue s’obtient en utilisant l’appareil en mode continu (ou DC) ; la valeur efficace de
l’ondulation en utilisant l’appareil en mode alternatif (ou AC) ; il reste à effectuer le calcul X =
2
2
X + X ond
pour accéder à la valeur efficace du signal.
Les appareils TRMS autorisent la combinaison AC + DC qui permet l’affichage direct de la valeur efficace.
137 Taux d’ondulation
C’est le rapport de la valeur efficace de l’ondulation à la valeur moyenne : β =
X ond
X
On définit parfois un taux d’ondulation approché par β ≈ X̂ − X
2X
138 Facteur de forme
C’est le rapport de la valeur efficace à la valeur absolue de la valeur moyenne : F = X
X
2
2
2
2
Comme X = X + X ond , il vient : F =
2
2
X + X ond
X
2
= 1+ β
2
Le facteur de forme est surtout utilisé en électrotechnique.
1.4 Niveaux exprimés en décibels.
En électronique RF (radiofréquences), on peut rencontrer des puissances variant entre quelques picowatts
(niveau de réception à l’antenne) et plusieurs kilowatts (puissance en sortie d’un émetteur).
On utilise alors une échelle logarithmique pour se repèrer plus facilement.
2
Pour une résistance R, la puissance reçue est P = R .I = U
2
R
défini par :
N dB = 10. log P ,
Préf
= U.I ; le niveau correspondant, en décibels, est
où Préf est une puissance de référence, choisie par convention.
2
2
U
Dans ces conditions, comme P = U , Préf = réf , où Uréf est la tension efficace associée à Préf, et donc :
R
R
N dB = 10. log P = 20. log U
U réf
Préf
Références courantes :
- Préf = 1 mW, soit 0 dB ⇔ 1 mW ; on parlera de niveaux en dBm
- Uréf = 1 V, soit 0 dB ⇔ 1 V ; on parlera de niveaux en dBV.
Exemples :
a) Pour R = 600 Ω, nous avons les correspondances suivantes, entre dBm et tensions efficaces :
- 20 dBm
- 10 dBm
0 dBm
+ 10 dBm
+ 20 dBm
0,0775V
0,245V
0,775V
2,45V
7,75V
b) Pour R = 50Ω, ces mêmes correspondances deviennent :
- 20 dBm
- 10 dBm
0 dBm
+ 10 dBm
0,0224V
0,0707V
0,224V
0,707V
+ 20 dBm
2,24V
c) Pour R = 600Ω, les correspondances entre niveau en dBV, tension efficace et puissance sont :
- 20 dBV
- 10 dBV
0 dBV
+ 10 dBV
+ 20 dBV
0,1V
0,316V
1V
3,16V
10V
16,7µW
167µW
1,67mW
16,7mW
167mW