IV – EXERCICES RÉSOLUS
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IV – EXERCICES RÉSOLUS
IV – EXERCICES RÉSOLUS EXERCICE 1. RECHERCHE D'UN CENTRE DE SYMÉTRIE D'après Dimathème 1ère S. N°59 page 202. Montrer que la courbe représentant x2 + 4x − 4 f ( x) = 2 x − 2x + 2 admet un centre de symétrie. Étude sur la TI-83 On peut commencer par construire la courbe : +¨ ¸ Ensuite, il est par exemple possible de rechercher les minima et maxima de la fonction. Il reste bien sûr à justifier que ce point est effectivement centre de symétrie. On peut vérifier expérimentalement que f (1 + x ) + f (1 − x ) =1 2 Il suffit de construire une table de valeurs : Il reste à prendre le milieu de ces deux points. On peut se placer en mode TRACE et demander à la TI-83 de se placer sur le point d'abscisse 1. Résolution à l'aide de la TI-92 On peut faire le même type d'étude qu'avec la TI-83, mais il est également possible de faire une étude directe dans l'écran de calcul. On peut par exemple trouver l'abscisse d'un éventuel centre de symétrie en recherchant l'intersection de la courbe et de son asymptote horizontale . On obtient l'asymptote en calculant la limite avec la fonction limit (menu F3).La recherche du point d'intersection peut se faire avec solve (menu F2). Il reste à vérifier : TEXAS INSTRUMENTS 1 EXERCICE 2. ÉTUDE D'UNE FONCTION 4° Construction de la courbe Fractale, Terminale ES, Bordas 5° g ( x ) = f ( x ) − 0,5 Soit f la fonction définie par : 2 x + 2x + 2 f ( x) = 2 2x + x +1 a) Montrer que g est décroissante et positive sur 1° Calculer les limites en −∞ et +∞ . b) Calculer g(8) . Interpréter graphiquement ce résultat. c) Déduire des questions précédentes que, pour −1 tout nombre entier n ≥ 8 , f ( n ) − 0,5 ≤ 10 §+ 2° Déterminer les variations de f puis dresser son tableau de variations. 3° Soit (D) la droite d'équation y = 0,5 . Déterminer la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à (D). d) Déterminer un nombre entier α vérifiant : Pour tout entier n ≥ α , f ( n ) − 0,5 ≤ 10 −2 Résolution avec la TI-82 Étude de la limite Intersection courbe / asymptote Pour commencer, définissons la fonction en utilisant la touche ( : Nous pouvons à présent utiliser la fonction intersect (voir tableau, page 7) pour déterminer une valeur approchée des coordonnées du point d'intersection de la courbe et de son asymptote. On calcule ensuite quelques valeurs pour se faire une idée des limites en −∞ et +∞ . Il suffit d'utiliser les touches 2 # et & : Il semble bien que la limite cherchée soit égale à 0,5. Il est facile de le justifier. N.B. Le choix du mode Indpnt Ask permet d'entrer librement les valeurs souhaitées dans la première colonne de la table de valeurs. Construction L'étude précédente montre que la droite d'équation y 1 / 2 est asymptote, il est facile d'en demander la construction. Texas Instruments 2 Minimum local On doit appuyer sur 2 [CALC] ª pour accéder à l'option minimum . Il suffit ensuite de déplacer le curseur avec 6 et 9 puis d'appuyer sur ¸ pour fixer les valeurs des bornes inférieures et supérieures, ainsi que l'estimation de la valeur cherchée. On peut aussi obtenir la valeur du minimum sous forme rationnelle : N.B. Ici, le choix du mode Indpnt Auto assure une construction automatique de la table. Il suffit ensuite d'appuyer sur les touches 7 et 8 pour se déplacer dans la table de valeurs. Le nombre cherché est donc α = 76. N.B. Pour faire afficher seulement les valeurs de Y3 dans la table, il suffit de désactiver les fonctions Y1 et Y2 en se plaçant sur le signe = dans l'écran précédent puis en appuyant sur la touche ¸ . On peut aussi utiliser la fonction solve du menu MATH pour déterminer directement la solution de l'équation f ( x ) − 0,5 = 10−2 dans l'intervalle [1, 100]. Cette fonction s'obtient en appuyant sur I o Tableau de valeurs Précisons les valeurs de f et de f ' en quelques points : Naturellement de nombreux résultats restent à justifier. On pourra faire les calculs à la main ou en utilisant par exemple les programmes de calculs formels sur les fonctions rationnelles présentés dans le livre TI82, programmes pour le lycée, Editions Dunod. Distance courbe / asymptote Le calcul de g(8) est immédiat. L'inégalité du d) en découle en utilisant la décroissance et la positivité. Pour le d) on peut introduire une fonction Y3 : Les pièges du calcul de limites sur les calculatrices numériques Prenons l'exemple tiré du livre Mathématiques au lycée avec la TI-82, Editions Dunod. Soit f la fonction définie sur § par : TEXAS INSTRUMENTS 3 f ( x) = x + x + 1 − x − x + 1 En multipliant haut et bas par la quantité conjuguée, on obtient : 2x f ( x) = 2 2 x + x +1 + x − x +1 Plaçons la première expression dans Y1 et la seconde dans Y2. Les deux courbes semblent être superposées, et avoir la droite d'équation y = 1 comme asymptote lorsque x tend vers l'infini. La table de valeurs ci-dessous donne pourtant des résultats étranges, dus à des problèmes d'arrondis. 2 2 On ne rencontre pas ce problème avec Y2 qui utilise la somme de ces deux expressions. N.B. Ces problèmes ne se rencontrent pas sur la TI-92, les calculs étant exacts. c# # Résolution avec la TI-92 On entre la fonction à l’aide , suivi de , on se trouve ainsi dans la ligne d’édition. Appuyer sur 15 Par exemple, lors du calcul de Y1, avec x 10 , et 2 30 2 10 , les valeurs de x x 1 et de donc x 2 30 x x 1 sont arrondies à 10 par la machine. La valeur approchée de la différence des racines carrées de ces expressions est donc nulle. … y1(x),x) pour achever la saisie. L'étude de la dérivée peut se faire formellement : y1(x),x) Sous cette forme l'étude du signe de la dérivée est immédiate. On peut aussi utiliser directement les fonction fMin et fMax pour déterminer les abscisses des extrema. Ces fonctions se trouvent dans le menu F3:Calc qui regroupe les principales fonctions destinées à l'analyse. y1(-2) On peut de même obtenir le maximum : TEXAS INSTRUMENTS 4 c b d La TI-92 donne directement la limite de la fonction en ±∞ , ainsi que le point d'intersection avec l'asymptote. On utilise pour cela la fonction limit ) et solve du menu F2 ( ) du menu F3 ( La représentation graphique de la fonction s’obtient d’une façon analogue à celle de la TI-82. Après avoir réglé la fenêtre de tracé à l’aide de , le tracé s’obtient avec . On peut l’obtenir également en entrant la commande graph ( ) dans la ligne d’édition de l’écran de calcul, suivi de y1(x), puis . Ici aussi, il est possible de détailler ce calcul : La fonction solve permet d'obtenir le résultat de la question e). On obtient ici la valeur exacte. Il est possible de faire une vérification numérique en validant avec . Par contre, l'étude du signe de cette différence n'est pas directement effectuée : Il reste donc à étudier le signe du numérateur et du dénominateur. La TI-92 permet par contre de vérifier l'absence de racines au dénominateur et d'étudier le signe des facteurs du premier degré : TEXAS INSTRUMENTS 5 EXERCICE 3. INTÉGRATION X Calcul de I = Y Z TA1/B Bordas. N°21 page 182. 3 −1 3x2 + 4 x − 5 x+2 dx Vérification numérique sur TI-82 ou TI-83 Les calculatrices numériques (TI-80, TI-81, TI-82 et TI-83) permettent de vérifier le résultat. Vous trouverez dans la dernière partie de ce cahier un programme de calcul approché d'intégrales destiné aux TI-80 et TI-81. Sur la TI-82 et la TI-83, la fonction fnInt permet d'obtenir le calcul approché d'une intégrale. On y accède en appuyant sur I o . Résolution sur TI-92 1. Calcul exact direct. On peut commencer par définir la fonction, puis on demande le calcul de l'intégrale de cette fonction entre les bornes -1 et 3 : B´9X´[YCDB´C ¯B´C ¯B´CA´A AC "¨´ ! Il reste à calculer les valeurs de cette primitive en -1 et en 3 : Il ne reste plus qu'à faire la différence de ces deux valeurs pour retrouver la valeur de l'intégrale. 2. La TI-92 permet également de retrouver facilement les principales étapes conduisant à ce calcul. On doit ici décomposer la fonction rationnelle, puis rechercher une primitive. La décomposition se fait en utilisant la fonction expand, présente dans le menu F2. f(x))¸ f(x),x) b TEXAS INSTRUMENTS 6 Texas Instruments 7