Méthodes sur le produit scalaire

Transcription

G. Petitjean
Lycée de Toucy
10 juin 2007
G. Petitjean (Lycée de Toucy)
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1
connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire
2
Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles
3
Connaître et utiliser les règles de calculs
4
Utiliser la projection orthogonale
5
Connaître et utiliser le théorème de la médiane
6
Connaître et utiliser Al Kashi
7
Connaître et utiliser la loi des sinus
8
Déterminer des équations cartésiennes de droites
9
Déterminer des équations cartésiennes de cercle
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énoncé
1
Calculer le produit scalaire #»
u . #»
v
√
k #»
v k = 3 2, et ( #»
u , #»
v)=
π
k #»
v k = 3, et ( #»
u , #»
v)=
2
k #»
u k = 5, k #»
v k = 3, et ( #»
u , #»
v)=π
k #»
u k = 2,
k #»
u k = 7,
2
#»#»
Calculer le produit scalaire AB.AC
π
(2π)
4
(2π)
(2π)
√
[=π
2, et BAC
3
[ = 3π
AB = 5, AC = 3, et BAC
4
AB = 1, AC =
3
# »#»
ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Calculer BC .CA
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6
0
-15
2
√
2
2 √
15 2
−
2
3
# »#»
# » #»
b = −9
BC .CA = BC × CA × cos(BC , CA) = −CA × CB × cos C
2
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énoncé
1
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3
#»#»
[ sachant que AB = 2, AC = 6 et AB.
Calculer l’angle BAC
AC = −6
Soit A(−2; −3), B(1; 1), C (−3; −1), D(−4; 2), E (−1; −3) et F (2; −1)
dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et FDE sont-ils
rectangles en C et en E ?
#»#»
Soit A(−1; 2), B(−3; 1) et C (1; −3). Calculer AB.AC et en déduire
[
une valeur approchée en radians et en degrés de BAC
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#»#»
[
AB.AC = AB × AC × cos BAC
[
donc −6 = 12 × cos BAC ,
[ = − 1 et BAC
[ = 120˚
donc cos BAC
2
#»
#»
#»#»
CA(1; −2) et CB(4; 2) donc CA.CB = 1 × 4 + (−2) × 2 = 0, donc
ABC est rectangle en C
Un calcul analogue montre que FDE n’est pas rectangle en E.
#»
#»
AB(−2, −1), AC (2; −5)
#»#»
AB.ACp= −2 × 2 + (−1) ×√(−5) = 1
AB = p(−2)2 + (−1)2√= 5
AC = 22 + (−5)2 = 29
#»#»
[ , d’où cos BAC
[ = √1
AB.AC = AB × AC × cos BAC
145
[ ≈ 85, 24˚≈ 1, 49rad
On en déduit que BAC
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fig1
énoncé
1
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs qui vérifient #»
u 2 = 2, #»
v 2 = 3 et #»
u #»
v = 7.
Calculer les réels suivants :
(2 #»
u + #»
v ).(3 #»
u + 4 #»
v)
#»
#»
#»
(2 u − v ).( u − 4 #»
v)
2
ABC est un triangle équilatéral de côté a. Les points P,Q et R sont situés sur
a
les côtés [AB], [BC] et [CA] du triangle tels que AP = BQ = CR = .(fig1)
3
#» #» #» # » #» # » #» # » #»
Calculer AB.(AR − AP) , BC .(BP − BQ) , CA.(CQ − CR)
En déduire la nature des triangles APR,BQP et CRQ, puis celle du
triangle PQR.
3
[ = 60˚
Soit ABC un triangle tel que AB = 3,BC = 5 et ABC
Faire une figure. A-t-on AC = AB + BC ?
#» # »
A l’aide de la formule AC 2 = ||AB + BC ||2 , calculer AC.
4
#»#»
Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Calculer AB.AC
[ en degrés.
et en déduire une valeur approchée de BAC
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(2 #»
u + #»
v ).(3 #»
u + 4 #»
v ) = 6 #»
u 2 + 11 #»
u . #»
v + 4 #»
v2
= 6 × 2 + 11 × 7 + 4 × 3 = 101
(2 #»
u − #»
v ).( #»
u − 4 #»
v ) = −47
#» #» #»
#»#» #»#»
AB.(AR − AP) = AB.AR − AB.AP
2
π
a
= a × a × cos − a × × cos 0 = 0
3
3
# 3» # »
donc AB.PR = 0 , donc le triangle APR est rectangle en P.
De même pour BQP et CRQ avec les 2 autres produits scalaires. Les 3
triangles rectangles sont isométriques , donc PQR est équilatéral .
#» # »
AC 2 = ||AB + BC ||2
#»# »
= AB 2 + BC 2 + 2AB.BC
#»# »
√
= AB 2 + BC 2 − 2BA.BC
donc
AC
=
19
[
= AB 2 + BC 2 − 2BA.BC . cos ABC
= 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × cos 60˚= 19
#»#»
[ = 1 (AB 2 + AC 2 − BC 2 )
AB.AC = AB.AC . cos BAC
2
1 2
[
donc 5 × 3 × cos BAC = (5 + 32 − 62 )
2
1
[
[
d’où cos BAC = −
et BAC ≈ 94˚
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fig1
fig2
fig3
énoncé
1
ABC est un triangle équilatéral de côté 2 et H est le milieu de
#»# »
#»# »
[BC].(fig1) En utilisant des projections, calculer BA.BC et AB.AH.
2
Soit ABC un triangle. I est le milieu de [BC] et H le pied de la
hauteur issue de A. (fig2)
# » #»
# » #»
Prouver que AC 2 − AB 2 = 2BC .AI = 2BC .HI
3
P et Q sont deux points d’un demi-cercle de diamètre [AB]. Les
droites (AP) et (BQ) se coupent en M. (fig3) Démontrer que
#»# » # »# »
AB 2 = AP.AM + BQ.BM
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2
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#»# » # »# »
BA.BC = BH.BC = BH.BC = 2 par projection sur (BC)
#»# » # »# »
AB.AH = AH.AH = AH 2 = AB 2 − BH 2 = 3 sur (AH)
#» #» #» #»
AC 2 − AB 2 = (AC − AB).(AC + AB)
# » #»
= BC .2AI
# » #»
= 2BC .AI puis par projection sur (BC)
# » #»
= 2BC .HI
#» # » # »
AB 2 = AB.(AM + MB)
#»# » #»# »
= AB.
| {zAM} +AB.MB par projection sur (AM)
#»# » #»# »
= AP.AM + BA.
| {zBM} par projection sur (BM)
#»# » # »# »
= AP.AM + BQ.BM
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fig1
énoncé
ABCD est un carré direct de centre O tel que AB = 2. On note I le milieu
de [AB]. (fig1)
# »#»
1 Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que AM.AB = 2
2
3
4
Déterminer l’ensemble (F) des points M du plan tels que
MA2 − MB 2 = 4
# »# »
Déterminer l’ensemble (G) des points M du plan tels que MA.MB = 4
Déterminer l’ensemble (H) des points M du plan tels que
MA2 + MB 2 = 4
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Question 1
Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB)
# »#»
# »#»
AM.AB = 2 ⇐⇒ AH.AB = 2
⇐⇒ AH × AB = 2 et H ∈ [AB)
⇐⇒ AH = 1 et H ∈ [AB)
⇐⇒ H = I
donc M ∈ (E ) ⇐⇒ son projeté orthogonal sur (AB) est I, donc (E) est la
droite (OI).
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Question 2
Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB)
# » # » # » # »
MA2 − MB 2 = 4 ⇐⇒ (MA − MB).(MA + MB) = 4
# » #»
⇐⇒ BA.2MI = 4
# » #»
⇐⇒ BA.HI = 2
⇐⇒ BA × HI = 2 et H ∈ [IB)
⇐⇒ HI = 1 et H ∈ [IB)
⇐⇒ H = B
donc M ∈ (F ) ⇐⇒ son projeté orthogonal sur (AB) est B, donc (F) est la
droite (BC).
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Question 3
#»#» #»# »
On peut remarquer que C et D vérifient CA.CB = DA.DB = 4
# »# »
# » #» # » #»
MA.MB = 4 ⇐⇒ (MI + IA).(MI + IB) = 4
# » #» # » #»
⇐⇒ (MI + IA).(MI − IA) = 4
⇐⇒ MI 2 − IA2 = 4
⇐⇒ MI 2 =√5
⇐⇒ IM = 5
√
donc (G) est le cercle de centre I et de rayon 5 et il passe par C et D.
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Question 4
On peut remarquer que O,A et B vérifient l’équation donc appartiennent à
(H).
AB 2
On utilise le théorème de la médiane :MA2 + MB 2 = 2MI 2 +
2
2
AB
MA2 + MB 2 = 4 ⇐⇒ 2MI 2 +
=4
2
2
⇐⇒ 2MI + 2 = 4
⇐⇒ IM 2 = 1
⇐⇒ IM = 1
donc (H) est le cercle de centre I et de rayon 1 , il passe effectivement par
O,A et B.
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énoncé
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2
Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 7. Déterminer
les mesures arrondies au degré le plus proche des angles de ce triangle.
b = 35˚. Déterminer la
Soit ABC un triangle tel que c = 4, b = 7 et A
b et C
b
longueur a et les mesures en degrés des angles B
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2
De la formule de Al-Kashi, on déduit
2
2
2
2
2
2
b = b + c − a = 5 + 4 − 7 = − 1 donc A ≈ 102˚.
cos A
2bc
2×5×4
5
2 + 42 − 52
2 + c 2 − b2
7
5
a
b=
=
= donc B ≈ 44˚
cos B
2ac
2×7×4
7
On en déduit C ≈ 34˚
b d’où a ≈ 4, 37
a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A,
2
2
2
b = a + c − b ≈ −0, 4 , ce qui donne B
b ≈ 113˚
cos B
2ac
b ≈ 32˚
On en déduit C
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énoncé
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Déterminer les longueurs et les angles du triangle ABC lorsque
[ = 26˚, ABC
[ = 59˚
AB = 5, BAC
2
Montrer qu’un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si
b = sin2 B
b + sin2 C
b
sin2 A
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b = 180 − 59 − 26 = 95 et de la loi des sinus on déduit
C
b
b
c sin B
c sin A
5 sin 26˚
5 sin 59˚
≈ 2, 2 ; b =
≈ 4, 3
a=
=
=
b
b
sin 95˚
sin 95˚
sin C
sin C
ABC est un triangle rectangle en A ⇐⇒ a2 = b 2 + c 2
!2
!2
b
b
a
sin
B
a
sin
C
⇐⇒ a2 =
+
b
b
sin A
sin A
⇐⇒ a2 = a2
b
b
sin2 C
sin2 B
+ a2
b
b
sin2 A
sin2 A
b = sin2 B
b + sin2 C
b
⇐⇒ sin2 A
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énoncé
On considère le triangle ABC où A(-1 ;2) , B(0 ;-3) et C(3 ;1). Déterminer
une équation de la hauteur (D) issue de A.
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# »
BC (3; 4) est un vecteur normal de la hauteur (D), donc elle admet une
équation de la forme 3x + 4y + c = 0
A ∈ (D), donc 3 × (−1) + 4 × 2 + c = 0 , donc c = −5.
Une autre méthode consiste à dire que
# »
# »
M(x , y ) ∈ (D) ⇐⇒ AM(x + 1; y − 2) ⊥ BC (3; 4)
# »# »
⇐⇒ AM.BC = 0
⇐⇒ 3(x + 1) + 4(y − 2) = 0
⇐⇒ 3x + 4y − 5 = 0
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énoncé
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Déterminer une équation du cercle (C) de centre Ω(3; −2) et de rayon
3
L’équation x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 est-elle une équation de cercle ?
Si oui, donner son centre et son rayon
Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB] avec A(2 ;1) et
B(0 ;-1).
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(x − 3)2 + (y + 2)2 = 32 ou x 2 + y 2 − 6x + 4y + 4 = 0
2
On a les équivalences suivantes
x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 ⇐⇒ x 2 − 4x + y 2 − 2y + 1 = 0
⇐⇒ (x − 2)2 − 4 + (y − 1)2 = 0
⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4
L’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l’équation est
donc un cercle de centre A(2 ;1) et de rayon 2.
3
# »
# »
M(x ; y ) ∈ (C ) ⇐⇒ MA(2 − x ; 1 − y ) ⊥ MB(−x ; −1 − y )
# »# »
⇐⇒ MA.MB = 0
⇐⇒ (2 − x )(−x ) + (1 − y )(−1 − y ) = 0
⇐⇒ x 2 + y 2 − 2x − 1 = 0
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