Université Joseph Fourier L2, MAT241, 2007

Université Joseph Fourier
L2, MAT241, 2007-2008
Examen du mardi 27 mai 2008,
durée 2h, 14h-16h
Documents et calculatrices interdits, seule une feuille recto verso de formules est
autorisée.
Barêmes indicatifs : autour du cours = 6 points, exercice 1 = 7 points, exercice 2
= 4 points, exercice 3 = 4 points.
Autour du cours
(1) Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, et soit A une matrice
carrée symétrique d’ordre n. Comment peut-on définir une forme bilinéaire
symétrique ϕ : E × E → R dont la matrice associée est A ? Comment
peut-on définir une forme quadratique q : E → R dont la forme polaire est
ϕ?
(2) Montrer que deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux pour ϕ si et seulement si
q(u + v) = q(u) + q(v) .
(3) Quand dit-on que la forme ϕ ci-dessus est définie positive ? Exprimer en
termes de valeurs propres de A un critère pour que ϕ soit définie positive (le
critère spectral). On va dire que A est définie positive si ϕ l’est.
(4) Montrer qu’une b.o.n.1 de Rn qui diagonalise A diagonalise en même temps
A2 . En déduire que les valeurs propres de A2 sont les carrés des valeurs
propres de A. En déduire que la matrice A2 est définie positive si et seulement
si A est non-dégénérée. Indication : On pourra appliquer le critère spectral.
Exercice 1
Soit q : R3 → R la forme quadratique définie par
q(x, y, z) = x2 + 3y 2 + 4z 2 − 2xy + 2xz − 6yz .
(1) Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire h·, ·i.
(2) Écrire la matrice de q par rapport à la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 .
(3) Par rapport à ce produit scalaire, calculer les quantités suivantes :
 
 
 
  

0
3
0
3
−4
||  0  ||, ||  1  ||, ||  4  ||, h 1  ,  0 i .
0
3
0
1
1
1On
utilise l’abbréviation “b.o.n.” pour “base orthonormée”.
2
(4) Orthonormaliser la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par rapport à ce produit scalaire
en utilisant le procédé de Gram-Schmidt.
(5) Pour un sous espace vectoriel V de E, on note V ⊥ l’orthogonal complémentaire
de V par rapport à ce produit scalaire. Soient P = (Re3 )⊥ et Q = (Ru)⊥ ,
où u = e2 + e3 . Écrire l’équation de P (resp. de Q) dans la base canonique.
(6) Trouver une b.o.n. de P (resp. de Q), puis la compléter àfin d’obtenir une
nouvelle b.o.n. de R3 avec ce produit scalaire.
Exercice 2
Soit ϕ : E × E → R la 
forme
bilinéaire 
symétrique
sur E = R3 définie pour tout

x1
y1
couple de vecteurs X =  x2  et Y =  y2  de E par
x3
y3
ϕ(X, Y ) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 .
(1) Écrire la forme quadratique q associée à ϕ et sa matrice dans la base canonique. Déterminer le rang et la signature de q. La forme q est-elle nondégénérée ? Quel est son noyau ?
(2) Soit F le sous-espace vectoriel de E défini par :


x1
F = {X =  x2  ∈ E | x1 = x2 et x2 = 0} .
x3
Déterminer l’orthogonal F ⊥ par rapport à q, comparer F et F ⊥ .
(3) Le sous-espace vectoriel F est-il non-dégénéré par rapport à q, isotrope2,
totalement isotrope3 ? Est-ce que F coı̈ncide avec le cône isotrope I(q) ?
Justifier la réponse.
Exercice 3
(1) La matrice


2 −2 1
1 
A =  −2 2
1
1 −1
est-elle orthogonale ? Diagonalisable ? Existe-t-il un scalaire λ ∈ R pour
lequel λA soit orthogonale ?
(2) Diagonaliser la matrice A dans une b.o.n. de R3 que l’on déterminera.
2C’est-à-dire
3C’est-à-dire
contient un vecteur isotrope.
est inclus dans le cône isotrope.