Enoncé et corrigé pdf

Liban 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n par
⎧
⎨ v0 = 1
9
.
⎩ vn+1 =
6 − vn
Partie A
1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang
0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Algorithme No 3
Algorithme No 2
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
Début de l’algorithme :
Lire n
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1
Afficher v
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Fin algorithme
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
Afficher v
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Fin algorithme
2) Pour n = 10, on obtient l’affichage suivant :
1
1, 800
2, 143
2, 333
2, 455
2, 538
2, 600
2, 647
2, 684
2, 714
2, 969
2, 969
2, 970
2, 970
2, 970
Pour n = 100, les derniers termes affichées sont :
2, 967
2, 968
2, 968
2, 968
2, 969
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn ) ?
3) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn =
La suite (vn ) est-elle monotone ?
(3 − vn )2
.
6 − vn
c) Démontrer que la suite (vn ) est convergente.
Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn )
On considère la suite (wn ) définie pour tout n entier naturel par
wn =
1
.
vn − 3
1
1) Démontrer que (wn ) est une suite arithmétique de raison − .
3
2) En déduire l’expression de (wn ), puis celle de (vn ) en fonction de n.
3) Déterminer la limite de la suite (vn ).
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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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Liban 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4
Partie A
1) • L’algorithme no 1 n’affiche qu’un seul terme de la suite et ne convient donc pas.
• L’algorithme no 2 remet à chaque étape la valeur 1 dans v avant d’afficher.
L’algorithme no 2 fait donc afficher 1, 1, 1 . . . ce qui est faux.
• On doit maintenant noter que malheureusement, l’algorithme no 3 n’affiche que les termes v0 , v1 , . . . ,vn−1 et n’affiche
pas vn . L’algorithme no 3 ne convient pas non plus. C’est néanmoins l’algorithme le plus proche de ce que l’on veut.
D’ailleurs dans la question suivante, quand n = 10, on a dix valeurs à l’affichage c’est-à-dire v0 , v1 , . . . , v9 et pas v10 .
Un algorithme répondant à la question serait
Algorithme No 3 bis
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
Afficher v
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
2) Il semblerait que la suite (vn )n∈N soit strictement croissante et converge vers un réel proche de 3.
3) a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.
• v0 = 1 et 0 < 1 < 3. Donc 0 < v0 < 3. L’encadrement à démontrer est vrai quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que 0 < vn < 3 et montrons que 0 < vn+1 < 3.
0 < vn < 3 ⇒ −3 < −vn < 0 ⇒ 3 < 6 − vn < 6
1
1
1
< (par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0, +∞[)
⇒ <
6
6 − vn
3
9
9
9
⇒ <
<
6
6 − vn
3
⇒ 0 < vn+1 < 3.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.
b) Soit n un entier naturel.
vn+1 − vn =
9 − vn (6 − vn )
v2 − 6vn + 9
(vn − 3)2
9
− vn =
= n
=
.
6 − vn
6 − vn
6 − vn
6 − vn
Pour tout entier naturel n, vn+1 − vn =
(vn − 3)2
.
6 − vn
Soit n un entier naturel. D’après la question vn < 3 et en particulier, 6 − vn > 0 et aussi (vn − 3)2 > 0.
On en déduit que pour tout entier naturel n, on a vn+1 − vn > 0 et donc
la suite (vn ) est strictement croissante.
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c) La suite (vn ) est croissante d’après la question 3)b) et majorée par 3 d’après la question 3)a).
On en déduit que la suite (vn ) converge.
La suite (vn ) est convergente.
Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn )
1) Puisque pour tout entier naturel n, on a vn ̸= 3, la suite (wn )n∈N est bien définie.
Soit n un entier naturel.
wn+1 =
1
=
vn+1 − 3
1
1
1
6 − vn
"= !
"=
= !
,
9
9 − 3(6 − vn )
3vn − 9
3(vn − 3)
−3
6 − vn
6 − vn
6 − vn
puis
wn+1 − wn =
6 − vn
1
6 − vn − 3
−(vn − 3)
1
−
=
=
=− .
3(vn − 3) vn − 3
3(vn − 3)
3(vn − 3)
3
Donc, pour tout entier naturel n, wn+1 − wn = −
1
et on en déduit que
3
1
la suite (wn ) est arithmétique de raison r = − .
3
2) Déjà, w0 =
1
1
1
=
= − . Mais alors, pour tout entier naturel n,
v0 − 3
1−3
2
1 n
2n + 3
wn = w0 + nr = − − = −
,
2
3
6
puis
vn = 3 +
1
6
=3−
wn
2n + 3
Pour tout entier naturel n, vn = 3 −
3)
lim (2n + 3) = +∞ puis en prenant l’inverse, lim
n→+∞
n→+∞
6
.
2n + 3
1
= 0 et donc
2n + 3
lim vn = 3 − 6 × 0 = 3.
n→+∞
lim vn = 3.
n→+∞
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