Dérivés actions: risques – un (rapide) aperçu

Dérivés actions:
risques – un (rapide) aperçu
Lorenzo Bergomi
Equity Derivatives Quantitative Research
Société Générale
[email protected]
+33 1 42 13 32 95
Introduction - le Dow Jones 1920-2006
(1)
Dow Jones Industrial Average
14000
12000
10
9
Lin
Log
8
10000
7
6
8000
5
6000
4
3
4000
2
2000
0
1/5/1920
Lorenzo Bergomi
1
0
1/5/1940
1/5/1960
1/5/1980
1/5/2000
1
Introduction - le Dow Jones 1920-2006
Densité cumulée des returns
-20
-15
-10
0
-5
0
-1
DJ IA
LOG[ P(return/vol < x) ]
(2)
Student mu = 3
-2
Gaussienne
-3
ρ( x ) ∝
1

x2 
1 +

µ − 2 

1+ µ
2
-4
-5
-6
x
Lorenzo Bergomi
2
Risques des produits dérivés (1 – le portage)
• Un petit exercice de comptabilité: P&L (profit & loss) entre t=0 et la maturité de l’option – à taux
nuls pour simplifier:
P & L = − [Payoff (S T ) − Prime ] +
∑ ∆ (S
i
i +1
− Si )
i
= − ∑ [P(t i +1 , S i +1 ) − P(t i , S i )] +
i
dP
∑ dS (S
i
i +1
− Si )
i


dP
(S i +1 − S i )
= − ∑  P(t i +1 , S i +1 ) − P (t i , S i ) − ∑
i 
i dS i

³ On peut
réécrire le P&L total comme une somme de petits P&Ls journaliers: on sait dire si l’on perd/gagne de
l’argent sans attendre la maturité.
³ Il suffit de s’intéresser au P&L élémentaire sur un intervalle [t, t+δt]
En intégrant l’effet des taux:
P & L = [ − P (t + δt , S + δS ) + P(t , S )(1 + rδt ) ] + ∆(δS − rSδt )
Lorenzo Bergomi
3
Risques des produits dérivés (1 – le portage)
• Un petit développement limité :
P & L = [− P(t + δt , S + δS ) + P (t , S )(1 + rδt )] + ∆ (δS − rSδt ) =
1 d 2P 2
 dP

−
− rP + rS∆  δt −
δS + L
2 dS 2
 dt

- Risque sur le sous-jacent - ordre dominant : Gamma Γ = S 2
d 2P
dS 2
3
2
- Est-ce un gros risque ?
1
0
- Imaginons que le prix P est calculé avec le modèle Back-Scholes avec σP
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
-1
σ δt
σ δt
-2
dP 
σ P2 2 d 2 P
 dP
rP
rS
S
−
+
=
−
 dt
dS 
2
dS 2
P&L =
−
-3
-4
2

1 d 2 P 2  δS 
2
S
  − σ Pδt 
2
2 dS
 S 

- Stdev typique de la somme de ces P&Ls sur la durée de vie d’une option
avec un hedge en delta journalier ? Dans Black-Scholes?
Dans la réalité ?
- Exemple d’un Call 1 an, vol = 20%
Lorenzo Bergomi
4
Risques des produits dérivés (2 – le mark-to-market)
• La fonction de pricing fait intervenir d’autres paramètres :
− [P(t + δt , S + δS , σ + δσ , r + δr , div + δdiv ) − P(t , S , σ , r , div ) ] + ∆δS = −
2
dP
dP
dP
 dP
 1 d P 2
δt −  δσ +
δr +
δdiv  −
δS + L
2
dt
dr
ddiv
 dσ
 2 dS
• Sensibilités aux paramètres ?
Call K=100
Maturité = 1 semaine
Call K=100
0.15
Maturité = 1 an
0.60
Sensi vol: 1%
0.13
0.11
Sensi taux: 0.5% de variation
0.40
Gamma: variation relative de 1%
Sensi taux de dividende: 0.5% de variation
0.20
0.09
0.07
0.00
0.05
-0.20
60
70
80
90
100
110
120
130
140
0.03
-0.40
0.01
-0.01 60
70
80
90
100
110
120
-0.03
130
140
-0.60
-0.80
Sensi vol: 1%
Sensi taux: 0.5% de variation
Gamma: variation relative de 1%
Sensi taux de dividende: 0.5% de variation
• En règle générale, pour un payoff sur S
• Maturités longues : sensibilité par rapport aux paramètres de la dynamique
• Maturités courtes : sensibilité par rapport aux conditions initiales des sous-jacents
Lorenzo Bergomi
5
Risques des produits dérivés (3 – le mark-to-market)
• Comment calibre-t-on les paramètres de pricing? Doit-on vraiment calibrer ?
• A priori non: pricing avec coût de couverture. On couvre le risque sur un paramètre p en traitant un instrument O de telle sorte à
annuler ce risque :
dP
dO
= λ
dp
dp
Le prix donné au client pour l’option P est ajusté pour tenir compte du prix de marché de l’instrument de couverture
Prix
= P( pˆ ) + λ(O( pMarket ) − O( pˆ ))
≈ P( p = pMarket )
• Alors quel avantage de la calibration ?
• Nous assure que le modèle price bien tous les instruments de couverture: aucun coût supplémentaire n’est encouru au moment où
l’on se couvre.
³
essentiel de calibrer le modèle sur un choix pertinent d’ instruments
• Autres raisons :
Standardisation du pricing
Prix « en ligne avec la concurrence »
Bénéfice psychologique
•
Quid des paramètres non couvrables ?
Lorenzo Bergomi
6
Risques des produits dérivés (4 – le mark-to-market)
• Paramètres typiques pour les dérivés actions
• Volatilités
• Dividendes
• Taux
• Corrélations
• Volatilités des taux de change / corrélation avec les sous-jacents action
• Volatilité des taux / corrélations avec les sous-jacents action
• Volatilité/smile forward
• Volatilité de la volatilité
• …
⇒ P(t , S , σ , r , div, ....
)
• Indépendamment du modèle de pricing utilisé, il faut (1) caractériser et (2) mesurer les risques sur ces paramètres
• Pertinence de P(t , S , σ , r , div, ....
Lorenzo Bergomi
)
: risque de modèle
7
Volatilités (1)
Exemple de l’Eurostoxx 50 – on a tous les jours une matrice complète (K, T) de volatilités implicites
Vols implis au 8 /1 /2008
Historique des volatilités ATM 1 mois (bleu) et 5 ans (rouge)
50
60
45
55
40
50
35
45
30
40
25
35
20
30
25
15
31-Mar-14
10
2-Apr-12
5
5-Apr-10
15
200
135
7-Apr-08
165
105
115
90
10
100
50
80
0
20
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Historique de la différence des vols implicites 3 mois K= 95% et K = 105%
7
Smile 3 mois K = 95 - K= 105
6
5
4
3
- Comment décrire de façon économique la variation journalière de la nappe de
vols implicites ?
2
1
0
2/5/2001 2/5/2002 2/5/2003 2/5/2004 2/4/2005 2/4/2006 2/4/2007 2/4/2008
Lorenzo Bergomi
8
Volatilités (2) – mesure des risques
• Solution 1: translater uniformément les volatilités implicites
Est-ce une bonne idée? Modes propres de déformation des surfaces de volatilité implicite les plus « importants ».
δ P&L =
Critère : fraction de la variance des variations de volatilité implicites expliquée :
Translation
90 – 95%
Torsion en maturité
2–5%
Torsion en strike
1–2%
∑V δσ
i
i
i
Vi =
dP
dσ i
M ij = δσ i δσ j
δ P&L 2 = tVMV =
∑ω ( T V )
2
t
k
k
k
• Pb: un book d’options est en général structuré de façon telle que t T0V ≈ 0
- exemple d’un Call Spread 90/110 3 mois
- sensibilité à une translation des vols implis: on ne voit pas de risque
- & sensibilité à un changement de pente du smile autour du strike 100%
90
Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une
translation des volatilités
0.2
100 110
Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une
pentification du smile
0.3
0.15
0.25
0.1
0.2
0.05
0
60
70
80
90
100
110
120
130
140
0.15
-0.05
-0.1
-0.15
0.1
0.05
-0.2
0
-0.25
Lorenzo Bergomi
60
70
80
90
100
110
120
130
140
9
Dividendes (1)
• Au moment où un dividende est versé
S T = S T − D(S )
- l’action baisse exactement du montant du dividende
+
−
P(T − , S ) = P(T + , S − D(S ))
- le prix de l’option est inchangé :
• Les dividendes prochains sont connus avec une bonne précision
• Ceux versés plus tard dans le futur sont estimés
- Risque sur leur montant
- Risque sur le modèle de dividendes
Div. en cash
Div. en yield
D (S ) = D
D(S ) = µS
Sur les indices: div swaps
Y2002
Y2003
Y2014
Y2015
Y2004
Y2005
Y2006
Y2007
Y2008
Y2009
Y2010
Y2011
Y2012
Y2013
120.00
110.00
100.00
90.00
Autres …
80.00
70.00
60.00
50.00
Jan-02
Lorenzo Bergomi
Apr-02
Jun-02
Sep-02
Dec-02
Mar-03
Jun-03
Sep-03
Dec-03
Mar-04
Jun-04
Sep-04
Dec-04
Mar-05
Jun-05
Sep-05
10
Dividendes (2)
• Vols implis des vanilles dépendent du modèle de dividende utilisé ³ risque de modèle
Vols implis vanille
25%
20%
Yield
Cash
15%
50
• Un cas intéressant: le Call sur max
100
150
200
Payoff = ( max Sτ − K ) +
τ
- Bien couvert en Vega par Calls vanille de même maturité
- Pas d’impact des divs proches de la maturité
- Faible sensibilité intrinsèque au modèle de dividende
- Forte sensibilité au modèle de dividende
Lorenzo Bergomi
11
La saga récente des produits multi sous-jacents (1) 1997 - 2006
Produits multi sous-jacents de distribution à capital garanti
Everest 1997
10 ans / 12 actions
Altiplano
10 ans / 12 actions
 STj
³ 100% + min j
i
 S0



Si au cours des 5 dernières années, aucune action < 60% de sa valeur intiale
³ 300%
+
1
Sj

sinon ³ 100% +  ∑ Tj − 1
 N j S0

i
Kilimanjaro
6 ans / 12 actions
Coupon annuel de 6% tant qu’aucune action du basket < 60% de sa valeur initiale;
les actions qui traversent la barrière sont successivement éliminées du basket
A maturité ³ 100%
Atlas
6 ans / 16 actions
Non garanti
A maturité on enlève les actions ayant connu les 3 meilleures et les 3 pires
performances ³ 105% du basket equipondéré des 10 restantes
Lorenzo Bergomi
12
La saga récente des produits multi sous-jacents (2) 1997 - 2005
Emeraude 2004 10 ans / 20 actions
Chaque année, l’action dont la performance depuis t = 0 est la plus élevée est figée à
son niveau, avec un minimum de 200% de son niveau initial.
A maturité ³ 100% + la performance maximale par rapport à t = 0 du panier
equipondéré, floorée à 0.
Produits à sortie anticipée – à capital garanti
Oxygène 2003
6 ans / 3 indices
A la fin de la 3ème année, sortie possible si la moyenne trimestrielle de la
performance du basket depuis t = 0 dépasse 125% ³ 125%
Si on reste dans le produit, à maturité :
³ Min( 125% , 100% + moyenne trim. de la perf. depuis t=0, sur 6 ans)
Titanium 2003
8 ans / 16 actions
 1
Coupon annuel max
 NS
 S τj
 

min
− 1, 16%  , 0 
∑j
j
S
 
 τ
 
i −1
Dès que la somme des coupons versés dépasse 30%, on reçoit chaque année un
coupon supplémentaire de 10%
… Et tous les produits hybrides Equity/Forex/Fixed Income/Commodity imaginables
Lorenzo Bergomi
13
Corrélations (1)
• Une écrasante majorité des dérivés actions sont multi sous-jacents
- Leur prix fait intervenir des hypothèses de corrélation. Ex : cadre Black-Scholes
dP
+
dt
dP
∑ (ri − qi )Si
i
dSi
+
1
d 2P
ˆ
ˆ
ˆ
ρ
σ
σ
S
S
∑ ij i j i j dS dS = rP
2 ij
i
j
P (Si , σˆ i , ρˆij , K)
- Comment mesure-t-on des corrélations ?
- Les corrélations sont-elles stables dans le temps ? Exemple d’un basket mondial
- Que se passe-t-il lorsque corrélation implicite et réalisée diffèrent ?
Lorenzo Bergomi
P&L = −
1
d 2 P  δS i δS j
S
S
∑ i j dS dS  S S − ρˆ ij σˆ i σˆ j δt
2 ij
i
j 
i j




14
Corrélations (2)
• Comment se couvrir sur la corrélation réalisée ?
- le correlation swap


1
Payoff = 
ρij − ρˆ 
∑
 N ( N − 1) i ≠ j

ρij =
∑x
τ
i
x τj
 S iτ 
x = ln τ −1 
 Si 
τ
i
τ
∑ (x ) ∑ (x )
τ 2
i
τ
τ 2
j
τ
- Stabilité de la couverture en corrélation?
Sensibilité à la corrélation - pour 1pt de correl
0.6
0.5
0.4
Call K = 100
Call K = 150
Everest
0.3
0.2
0.1
0.0
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
• Comment mesurer le risque de corrélation ?
dP
dρij
- Comment « déformer » une matrice de corrélation ?
Ex.
• Risque de modèle sur la corrélation ?
Lorenzo Bergomi
ρˆ = λ ρHisto + (1 − λ )1
dρˆ ij
dλ
= − (1 − ρij
Histo
)
15
Risque de modèle (1)
• Un modèle rustique de pricing d’option
K
- Modèle simple de « dynamique » du sous-jacent : sous-jacent gelé
Equivalent à pricer en BS à vol nulle
dP
= 0
dt
120
P = (S − K )+
P & L = − [P(t + δt , S + δS ) − P(t , S ) ] + ∆δS
25
S
dP
1 d 2P 2
= −
δt −
δS
dt
2 dS 2
1 d 2P 2
= −
δS
2 dS 2
1
= − δ (S − K ) δS 2
2
20
P&L
110
15
10
100
5
90
0
-5
80
-10
-15
70
-20
60
-25
0
50
100
150
200
250
5
120
S
• Un modèle un peu moins rustique : Black Scholes
dP
σˆ 2 2 d 2 P
= − S
dt
2
dS 2

1 d 2 P  δS 2
P & L = − S 2 2  2 − σˆ 2δt 
2 dS  S

P&L
110
100
90
0
80
70
60
-5
0
Lorenzo Bergomi
50
100
150
200
250
16
Risque de modèle (2)
• A nouveau de la comptabilité - avec quelques paramètres supplémentaires – pas de taux pour simplifier
P & L = − [P(t + δt , S + δS , σˆ + δσˆ , p + δp ) − P(t , S , σˆ , p ) ] + ∆δS
=
 dP
dP
dP  1  d 2 P 2 d 2 P 2 d 2 P 2 
−
δt − 
δσˆ +
δp  − 
δS − 2 δp −
δσˆ 
2
dt
dp
dp
dσˆ 2
 dσˆ
 2  dS

 d 2P

d 2P
d 2P
− 
δSδp +
δSδσˆ −
δpδσˆ  + K
dSdσˆ
dpdσˆ
 dSdp

En utilisant une fonction de pricing P issue du modèle Black-Scholes :
le P&L se réécrit comme :
dP
σˆ 2 2 d 2 P
= − S
dt
2
dS 2
 dP


dP 
S 2 d 2 P  δS 2
1  d 2P 2 d 2P 2   d 2P
d 2P
d 2P
2
ˆ
ˆ
ˆ



P & L = 
t
p
p
δσˆ +
δp  −
−
σ
δ
−
δ
−
δ
σ
−
δ
S
δ
+
δ
S
δ
σ
−
δpδσˆ  + K

2 
2
2
2



dp
2 dS  S
2  dp
dσˆ
dSdσˆ
dpdσˆ

 dσˆ

  dSdp

Termes d’ordre 1:
couvrables en delta
Gamma / Theta
Gammas
Theta ??
Lorenzo Bergomi
17
Risque de modèle (3) – le modèle de volatilité locale
• A une nappe de volatilités implicites donnée correspond une surface de volatilité locale qui redonne les prix de
marché des options vanille.
Eurostoxx 50 - mat 1 an
25
Smile original
σ (S , t )2
dC
dC
+ qC + (r − q )K
dK
= 2 dT
2
d C
K2
K =S
dK 2
T =t
Smile S = 105%
Smile S = 95%
20
15
dS = rSdt + σ (S , t )SdWt
10
80
• En quoi ce modèle diffère-t-il de Black Scholes ?
90
100
110
120
20
4000
18
3900
16
3800
14
3700
• Quelle dynamique jointe du spot / des vols implis implique-t-il ?
Est-elle plus/moins raisonnable ?
dσ K = S
dσ
≈2 K
dS
dK
12
3600
Vol impli ATM 5y
S
Eurostoxx50
10
3/1/2006
Lorenzo Bergomi
Vol impli ATM 3m
3500
3/31/2006
4/30/2006
18
Risque de modèle (4) – l’exemple de la digitale américaine
• Digitale americaine – paye 1€ dès que le sous-jacent passe en dessous de la barrière
Maturité 1 an, limite = 80%
Dans le cadre B.S. Gamma / Vega bien couverts par la digitale Européenne double:
Vega
Gamma
1.2
Euro double
1
0.7
16
0.6
14
Americaine
0.8
0.6
12
0.5
10
0.4
8
0.3
6
0.4
0.2
4
0.2
Euro double
2
0
0
80
•
85
90
95
100
105
110
115
120
Euro Double
0.1
Americaine
Americaine
0.0
80
90
100
110
120
80
90
100
110
120
A la traversée de la limite, on revend la digitale Européenne
Risques résiduels :
- valeur du skew le jour où on traverse la limite
- risque de gap
³ modèles différents impliquent dynamiques du smile différentes ³ prix différents
Lorenzo Bergomi
19
Risque de modèle (5) – la volatilité forward – les cliquets
• Exemple: Call ATM forward paye à t= T2
 ST


−1
S

 T

+
t
T1
2
T2
1
σ̂12
• Dans le modèle B.S. la fonction de pricing s’écrit: P (σˆ12 ,
- fait intervenir la volatilité forward,
r, L )
σ̂12 , les taux, pas le sous-jacent
- pas de delta à t=0 – trader en vacances jusqu’à T1
- dynamique des arguments de la fonction de pricing:
modèle
σˆ12 , r pas pricée par le modèle ³ indice d’un sérieux risque / problème de
• Dans le modèle de volatilité locale la fonction de pricing P
delta non-nul à t = 0
(S , σˆ
K
T1
, σˆ TK , r , L ) fait explicitement apparaître S et produit un
2
- est-ce une meilleure solution ?
³ Le cliquet est en réalité une option sur σ̂12 , pas sur S: attention à ne pas se tromper de sous-jacent
!!
Lorenzo Bergomi
20
Risque de modèle (5) – la volatilité forward – l’exemple du Napoléon
• Napoléon
(
- on observe chaque année les 12 performances mensuelles de l’Eurostoxx50
- on paye en fin d’année un coupon fonction de la plus basse de ces performances
)
S
Coupon = 8% + min ri + ri = i − 1
i
S i −1
Risk Magazine: juillet 2002
• Risque de modèle:
- dynamique des vols implis forward
- dynamique jointe vols implis forward / sous-jacent
Γσˆσˆ =
d 2P
dσˆ 2
> 0
ΓSσˆ =
d 2P
dSdσˆ
< 0
Risk Magazine: février 2004
Eurostoxx vol ATM 5y
40
35
30
25
20
15
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Lorenzo Bergomi
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Conclusion
• Risques
- Mesure macroscopique au niveau d’un book
- Méthodologie de mesure d’un risque doit refléter :
- sa pertinence au regard des occurrences historiques
- sa matérialité : impact sur le book
• Risque de modèle:
- Peut – souvent – être detecté même dans un modèle fruste
- Questions de base :
- Quels sont les vrais sous-jacents sur lesquels porte l’option ? Leur dynamique est-elle pricée par le modèle ?
- Quels sont les instruments de couverture? Leur dynamique est-elle correctement pricée par le modèle ?
- Si impossibilité de se couvrir: les niveaux de portage des paramètres sont-ils raisonnables ?
- Le modèle condense-t-il des risques de nature différente en un seul paramètre ? (ex. vol-of-vol & forward skew)
- Réponses à ces questions s’apprécient produit par produit
- Ne pas « subir » le modèle – choisir
Lorenzo Bergomi
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