Exercice B4 - XMaths

Exercice B4
1°) a) Le loyer annuel est de 4800 € la première année.
ème
Puisqu'il subit une augmentation annuelle de 5%, le loyer annuel u2 payé lors de la 2
année sera :
u2 = 4 800 + 4 800 x 5% = 4 800 + 4 800 x 5 = 4 8001 + 5  = 4 800 x 1,05 donc u2 = 5 040.
100
100

b) Chaque année le loyer annuel subit une augmentation de 5%, c'est-à-dire qu'il est multiplié par 1,05 .
On a donc pour tout n ³ 1 : un+1 = un x 1,05 .
La suite (un) est donc une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme u1 = 4 800 .
On sait alors que pour tout n ³ 1 un = u1 x (1,05)
Donc pour tout n ³ 1
un = 4 800 x (1,05)
On a en particulier u9 = 4 800 x (1,05)
8
n-1
.
n-1
donc u9 ≈ 7 091,79 .
c) La somme payée à l'issue de n années de location est égale à la somme des loyers annuels des n
années, c'est-à-dire u1 + u2 + ... + un
La suite (un) étant géométrique de raison 1,05 on a :
n-1
n-1 
= u1  1 + (1,05) + ... + (1,05)
u1 + u2 + ... + un = u1 + u1 x (1,05) + ... + u1 x (1,05)

n
1
q
2
n-1
On sait que si q est un réel différent de 1, on a : 1 + q + q + q
=
1-q
n
On en déduit que u1 + u2 + ... + un = u1 x 1 - (1,05)
1 - 1,05
n
La somme payée à l'issue de n années de location est u1 + u2 + ... + un = 4 800 x 1 - (1,05) .
1 - 1,05
Pour n = 9, on obtient : u1 + u2 + ... + u9 ≈ 52 927,51.
La somme payée à l'issue de 9 années de location est de 52 927,51€ .
2°) a) Le loyer annuel est de 4 800 € la première année.
ème
Puisqu'il subit une augmentation forfaitaire de 300€, le loyer annuel v2 payé lors de la 2
année sera
v2 = 4 800 + 300 donc v2 = 5 100 .
b) Chaque année le loyer annuel subit une augmentation forfaitaire de 300€ .
On a donc pour tout n ³ 1 : vn+1 = vn + 300 .
La suite (vn) est donc une suite arithmétique de raison 300 et de premier terme v1 = 4 800 .
On sait alors que pour tout n ³ 1 vn = v1 + (n - 1) x 300 .
Donc pour tout n ³ 1 vn = 4 800 + (n - 1) x 300 .
On a en particulier v9 = 4 800 + 8 x 300 donc v9 = 7 200 .
c) La somme payée à l'issue de n années de location est égale à la somme des loyers annuels des n
années, c'est-à-dire v1 + v2 + ... + vn
La suite (vn) étant arithmétique de raison 300 on a :
v1 + v2 + ... + vn = v1 + (v1 + 300) + ... + (v1 + (n - 1) x 300) = n x v1 + 300 x (1 + 2 + 7 + (n - 1)]
On sait que 1 + 2 + 7 + (n - 1) = (n - 1) x n
2
On en déduit que v1 + v2 + ... + vn = n x v1 + 300 x (n - 1) x n
2
La somme payée à l'issue de n années de location est v1 + v2 + ... + vn = 4 800 n + 150n(n - 1) .
Pour n = 9, on obtient : v1 + v2 + ... + vn = 54 000 .
La somme payée à l'issue de 9 années de location est de 54 000€ .
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3°) Si le locataire doit rester 9 années, la somme des loyers payés avec le contrat n°1 est inférieure à la
somme des loyers payés avec le contrat n°2 .
Si le locataire doit rester 9 années, le contrat n°1 est le plus avantageux.
Si le locataire doit rester plus de 9 années, le contrat n°2 peut devenir plus avantageux.
ème
En calculant avec un tableur ou une calculatrice le loyer payé lors de la n
année et le total des
sommes payées au bout de n années, on peut remarquer que :
ème
Le contrat n°2 donne un loyer inférieur à celui du contrat n°1 à partir de la 11
année.
Le total des sommes payées au bout de n années avec le contrat n°2 devient inférieur à celui du contrat
ème
n°1 à partir de la 15
année.
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