Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2013/2014 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2013/2014
Programme des colles de la semaine 1 (30/09 – 05/10)
Les colleurs peuvent, s’ils le souhaitent, poser (régulièrement ou occasionnellement) une question de cours.
Toutes les démonstrations sont à connaître. J’indique plus spécifiquement d’une astérisque (*) celles qui pourront
éventuellement faire l’objet d’une question de cours.
Certaines digressions ont été faites en cours (par exemple sur la notion de démontrabilité et les théorèmes de Gödel).
Ces notions n’ont été abordées en cours que pour la culture générale, et ne sont pas mentionnées dans le programme
de colle.
I. Sommes et formule du binôme
P
Q
1. Manipulation des signes
et
• Définitions, notations ; sommes et produits indexées sur un ensemble I fini quelconque, notation dans le cas
où I est un ensemble d’entiers consécutifs.
• Conventions (somme et produit vide)
• Somme indexée sur une union disjointe ; relation de type Chasles.
• Sommation par
P groupement de termes
• Linéarité de .
• Changements d’indice (résultat donné en général, avec une bijection ; les cas à bien maîtriser sont les changements d’indice du type ℓ = a ± k, a ∈ N, sur un ensemble d’entiers consécutifs).
• (*) Sommes télescopiques.
• Sommes multiples. Interversions de signes sommes. Cas des sommes sur un pavé ou sur un triangle (à bien
maîtriser)
• Produit de deux sommes.
• Transcription au cas des produits des résultats précédents.
+∞
P
un en cas de convergence.
• Brève introduction à la notion de série, essentiellement pour définir la notation
k=0
2. Sommes classiques
n
P
k p , p ∈ {0, 1, 2, 3}. Interprétations géométriques pour p = 1, 3.
• (*) Sn (p) =
k=0
• (*) Méthode de calcul de proche de Sn (p), p ∈ N par la formule du binôme (vue un peu plus loin)
• (*) Sommes géométriques
• Factorisations de an − bn et an + bn .
3. Coefficients binomiaux,
binôme
n
• Définition de
par les sous-ensembles de cardinal p de [[1, n]]. Conventions pour n, p < 0, pour p > n
p
• Diverses interprétations combinatoires du coefficient binomial (sous-ensembles, choix, chemins, mots...)
• Expression du coefficient binomial par des factorielles.
• Symétrie, k nk , formule de Pascal.
• (*) Formule du binôme de Newton
• (*) Corollaire : limite des suites géométriques de raison a > 1 et a ∈] − 1, 1[.
II. Fondements logiques
1. Logique propositionnelle
• Définition d’une formule propositionnelle.
• Notion de distribution de valeurs de vérité, table de vérité. Définition sémantique des connecteurs par leur
table de vérité.
• Digression sur le symbole =⇒, et sur la différence entre « =⇒ » et « donc ».
• Conditions nécessaires / Conditions suffisantes.
• Tautologies, formules équivalentes.
• Règles d’associativité, commutativité, distributivité, double-implication, transitivité de l’implication, disjonction de cas, modus ponens.
• Négations (lois de De Morgan, et autres)
2. Calcul des prédicats du premier ordre
• Termes et formules atomiques : notions non définies rigoureusement, on s’est contenté de les comprendre sur
des exemples.
• Quantificateurs, construction des prédicats du premier ordre.
• Notion de variable libre, variable liée.
• Problèmes d’interversion de quantificateurs
• Distributivité des quantificateurs sur les connecteurs logiques ; cas problématiques.
• Négation des quantificateurs.
3. Composition d’un texte mathématique et démonstrations
• Description générale : définitions, théorèmes, propositions, lemmes, corollaires, démonstrations, axiomes...
• Comment construire une démonstration en s’appuyant sur la structure logique de la propriété à démontrer :
prouver A =⇒ B, prouver A ∨ B =⇒ B, prouver A ⇐⇒ B, prouver A ∧ B, prouver A ∨ B, prouver ∀xA,
prouver ∃xA.
• Quelques méthodes de démonstration à bien connaître :
∗ Modus ponens et utilisation de la transitivité de =⇒
∗ Contraposée, absurde.
∗ Disjonction de cas
∗ Analyse / Synthèse
∗ Récurrence simple
∗ Récurrence d’ordre k
∗ Récurrence forte.
∗ Principe de la descente infinie.
III. Ensembles, applications, relations.
1. Ensembles
• Ensemble, point de vue intuitif.
• Définition par énumération, par compréhension, par induction structurelle.
• Sous-ensembles, ensemble vide, singleton.
• Cardinal, point de vue intuitif pour les ensembles finis.
• Constructions (union, intersection, complémentations, produit cartésien) et propriétés associées (associativité,
commutativité, distributivité, lois de De Morgan...)
• Ensemble P(E) des parties de E.
• Partition d’un ensemble
[
\
• Unions et intersections d’un nombre quelconque d’ensembles. Notation
Ai ,
Ai . Propriétés.
i∈I
i∈I
• Fonctions caractéristiques, (*) propriétés.
2. La crise des fondements
• Paradoxe de Russell
• Paradoxe de Berry.
• Nécessité d’une axiomatisation plus rigoureuse.
• Un aperçu très rapide des axiomes de Zermelo-Fraenkel (ils ne sont pas à connaître)
• Axiome du choix.
3. L’ensemble N
• L’axiomatisation de l’arithmétique n’est pas abordée. On s’est contenté de citer le nom de Peano (pour la
culture) ainsi que le fait que l’axiome de récurrence fait partie de l’axiomatique de Peano.
• (*) Équivalence entre le principe de récurrence et la propriété fondamentale de N.
4. Applications
• Définition intuitive, définition par le graphe. Ensemble F E .
• Exemples importants : familles, suites.
• Composition.
• Resctriction, corestriction, prolongement.
• Images directes, images réciproques. Notion d’antécédent. Application image directe, application image réciproque.
• Images directes et réciproques d’unions et intersections.
• Injectivité, surjectivité, bijectivité.
• Permutations d’un ensemble. Notation S(E), cas de Sn .
• Partition associée à une application.
• Inégalités sur les cardinaux (finis) en cas d’injectivité, surjectivité, bijectivité.
• (*) Composées d’injection, bijection, surjection
• (*) Propriétés de f et g lorsque g ◦ f est injective ou surjective.
• (*) Caractérisation de la bijection par existence d’une réciproque. Notation f −1 .
• Notion général de cardinal (ensembles de même cardinal)
• Notion de dénombrabilité (= infinie dénombrabilité suivant les auteurs). Dénombrabilité de N × N et Q. Pas
d’autre propriété à connaître.
5. Relations
• Relation n-aire, arité. Relation binaire.
• Exemple : relation fonctionnelle.
• Représentation sagittale d’une relation de E à F ; représentation par un graphe d’une relation sur E.
• Composée et réciproque d’une relation.
• Reflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité.
• Relations d’équivalence :
∗ Définition. Classes d’équivalence.
∗ (*)Les classes d’équivalences forment une partition de E.
∗ La notion d’ensemble quotient a été définie, mais est hors-programme.
• Relations d’ordre :
∗ Définition, relation stricte associée.
∗ Ordre total, ordre partiel.
∗ Restriction
∗ Minimum, maximum, borne supérieure, borne inférieure.
∗ Élément minimal, maximal, ensemble inductif, lemme de Zorn (hors-programme).