Chapitre 2 Dé nition de la logique propositionnelle

Transcription

Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle
Dénition de la logique propositionnelle
Chapitre 2
Contenu de ce chapitre
I
Syntaxe de la logique propositionnelle
I
I
I
Sémantique de la logique propositionnelle
I
I
Dénitions inductives
Preuves par induction
Dénition de fonctions par récurrence
Algorithmique de la logique propositionnelle
(première approche)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Syntaxe des formules propositionnelles
Vers une dénition de la syntaxe
Première Idée
On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme.
Une formule propositionnelle
I
I
I
I
peut être une variable propositionnelle
¬p , où p est une formule
(p ∧ q ), où p et q sont des formules
(p ∨ q ), où p et q sont des formules
Une précision importante :
Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules.
Première Idée
I
I
I
I
Première Idée
I
I
I
I
Exemples de formules propositionnelles
Sont des formules :
I
I
I
I
x (car variable propositionnelle)
¬x (car négation d'une formule)
y (car variable propositionnelle)
(¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules)
Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) :
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Sont des formules :
I
I
I
I
I
((x
I
x ∨y
Les variables propositionnelles
On choisit d'abord un ensemble de variables propositionnelles :
V := {x , x1 , x2 , x3 , . . . , y , y1 , y2 , . . . , z , z1 , z2 , z3 , . . .}
Nous admettons également les décorations habituelles des variables
propositionnelles comme par exemple x 0 , y 00 .
Tentative de dénition
L'ensemble Form des formules propositionnelles est déni comme
l'ensemble de chaînes de caractères tel que :
1. V ⊆ Form
2. Si p ∈ Form alors ¬p ∈ Form
3. Si p, q ∈ Form alors (p ∧ q ) ∈ Form
4. Si p, q ∈ Form alors (p ∨ q ) ∈ Form
Nous appelons ces quatre conditions (1) - (4) les propriétés de
clôture des formules propositionnelles.
Le problème de la tentative de dénition
Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description :
I L'ensemble des formules propositionnelles dans le sens de la
description informelle au-dessus.
I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères.
Cet ensemble contient aussi la chaîne (( I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères qui ont le même
nombre de ( que de ) Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle
La racine du problème
Notre tentative de dénition prend en compte
I le cas de base (les variables propositionnelles)
I et les constructions autorisées (¬, ∧, ∨)
mais ne prend absolument pas en compte la restriction qu'une
chaîne qui ne peut pas être construite selon les règles précédentes
n'est pas une formule.
La bonne dénition
Denition
L'ensemble Form des formules propositionnelles est le plus petit
ensemble de chaînes de caractères tel que :
1. V ⊆ Form
2. Si p ∈ Form alors ¬p ∈ Form
3. Si p, q ∈ Form alors (p ∧ q ) ∈ Form
4. Si p, q ∈ Form alors (p ∨ q ) ∈ Form
Le principe
I
I
On a certaines propriétés de clôture (ici : les quatre propriétés
de clôture des formules propositionnelles)
On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit
ensemble ayant ces propriétés de clôture.
Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ?
Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des
formules propositionnelles, alors Form ⊆ X .
As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ?
1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit
ensemble ?
2. Cet ensemble, est-il unique ?
Le principe
I
I
ensemble ?
Le principe
I
I
ensemble ?
Existence d'un plus petit ensemble
I
I
I
I
I
A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble
avec une certaine propriété donnée.
Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au
moins deux éléments ?
Ensembles {0, 1} et {2, 3}
Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va
pas le montrer).
En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.
I
I
I
I
I
pas le montrer).
I
I
I
I
I
pas le montrer).
I
I
I
I
I
pas le montrer).
I
I
I
I
I
pas le montrer).
Unicité du plus petit ensemble
I
I
I
I
Supposons que E1 et E2 sont des plus petits ensembles avec
une propriété donnée.
Donc, E1 ⊆ E2
et aussi E2 ⊆ E1
Conséquence : E1 = E2
I
I
I
I
Donc, E1 ⊆ E2
et aussi E2 ⊆ E1
I
I
I
I
Donc, E1 ⊆ E2
et aussi E2 ⊆ E1
I
I
I
I
Donc, E1 ⊆ E2
et aussi E2 ⊆ E1
Dénitions inductive
I
I
I
Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est
une dénition inductive.
On verra d'autres exemples de dénitions inductives.
Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en
général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le
plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture.
I
I
I
I
I
I
Syntaxe Abstraite
Syntaxe abstraite de (x ∧ (y ∨ ¬z )) :
∧
x
∨
y
¬
z
Structure de la formule.
Encodage de l'implication
On peut encoder l'implication de la manière suivante:
(p ⇒ q ) := (¬p ∨ q )
(p ⇔ q ) := ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p ))
On l'utilisera comme suit:
si p alors q
q si p
q seulement si p
q uniquement si p
q si et seulement si p
p⇒q
p⇒q
p⇐q
p⇐q
p⇔q
Preuves par induction : Un exemple
Théorème :
Toute formule propositionnelle a le même nombre de
parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.
Notation
dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w .
|w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w .
I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1
I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc.
À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) .
I
I
|w |(
Notation
I
I
|w |(
Notation
I
I
|w |(
Notation
I
I
|w |(
Notation
I
I
|w |(
Le principe d'une preuve par induction structurelle
Le principe est illustré ici sur l'exemple des formules
propositionnelles :
Théorème : Soit P une propriété des chaînes de caractères. Si les
énoncés suivants sont vrais :
I tout élément de V a la propriété P ,
I si p satisfait P alors ¬p satisfait P ,
I si p et q satisfont P alors (p ∧ q ) satisfait P ,
I si p et q satisfont P alors (p ∨ q ) satisfait P ,
alors tous les éléments de Form satisfont P .
Exemple de propriété P : avoir le même nombre de ( que de ).
Comment rédiger une preuve par induction structurelle ?
À montrer :
pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) .
(1) Cas des variables :
À montrer : |w |( = |w |) pour tout w ∈ V .
Démonstration :
Si w ∈ V alors |w |( = 0 et |w |) = 0, donc |w |( = |w |) .
À montrer :
Démonstration :
À montrer :
Démonstration :
Rédaction d'une preuve par induction (2)
(2) Cas de la négation :
Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) .
À montrer : |¬p|( = |¬p|) .
Démonstration :
|¬p |(
=
=
=
|p |(
|p |)
|¬p |)
par dénition | · |(
par hypothèse d'induction
par dénition | · |)
À montrer : |¬p|( = |¬p|) .
Démonstration :
|¬p |(
=
=
=
|p |(
|p |)
|¬p |)
À montrer : |¬p|( = |¬p|) .
Démonstration :
|¬p |(
=
=
=
|p |(
|p |)
|¬p |)
À montrer : |¬p|( = |¬p|) .
Démonstration :
|¬p |(
=
=
=
|p |(
|p |)
|¬p |)
À montrer : |¬p|( = |¬p|) .
Démonstration :
|¬p |(
=
=
=
|p |(
|p |)
|¬p |)
(3) Cas de la conjonction :
Soient p, q ∈ Form.
Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |)
À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|)
Démonstration :
|(p ∧ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction
|(p ∧ q )|)
À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|)
Démonstration :
|(p ∧ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∧ q )|)
À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|)
Démonstration :
|(p ∧ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∧ q )|)
À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|)
Démonstration :
|(p ∧ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∧ q )|)
À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|)
Démonstration :
|(p ∧ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∧ q )|)
(4) Cas de la disjonction :
À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|)
Démonstration :
|(p ∨ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∨ q )|)
À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|)
Démonstration :
|(p ∨ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∨ q )|)
À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|)
Démonstration :
|(p ∨ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∨ q )|)
À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|)
Démonstration :
|(p ∨ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∨ q )|)
À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|)
Démonstration :
|(p ∨ q )|(
=
=
=
1 + |p|( + |q |( par dénition | · |(
|(p ∨ q )|)
Remarques
I
I
I
I
On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction
structurelle.
Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et
qu'est-ce qu'il faut montrer.
Justier les étapes du raisonnement.
Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨ et le cas ∧ sont très
similaires.
Remarques
I
I
I
I
structurelle.
similaires.
Remarques
I
I
I
I
structurelle.
similaires.
Remarques
I
I
I
I
structurelle.
similaires.
Retour au théorème
Soit P une propriété des chaînes de caractères. Si les
énoncés suivants sont vrais :
I tout élément de V a la propriété P ,
I si p satisfait P alors ¬p satisfait P ,
I si p et q satisfont P alors (p ∧ q ) satisfait P ,
I si p et q satisfont P alors (p ∨ q ) satisfait P ,
alors tous les éléments de Form satisfont P .
Théorème :
Démonstration
I
I
I
I
Soit X l'ensemble des chaînes de caractères avec la
propriété P .
L'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules
propositionnelles (hypothèse du théorème)
Donc Form ⊆ X car Form est le plus petit ensemble de chaînes
de caractères qui satisfait ces propriétés.
Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P .
Démonstration
I
I
I
I
propriété P .
Démonstration
I
I
I
I
propriété P .
Démonstration
I
I
I
I
propriété P .
Dénition d'une fonction
I
I
Une méthode pour dénir une fonction : par une expression
close.
Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un
nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 :
f (x ) := x + 1
I
I
La variable x est le paramètre formel de la fonction.
Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression
le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer
l'expression.
Sur l'exemple :
f (5) = 5 + 1 = 6
I
I
close.
f (x ) := x + 1
I
I
l'expression.
Sur l'exemple :
f (5) = 5 + 1 = 6
I
I
close.
f (x ) := x + 1
I
I
l'expression.
Sur l'exemple :
f (5) = 5 + 1 = 6
I
I
close.
f (x ) := x + 1
I
I
l'expression.
Sur l'exemple :
f (5) = 5 + 1 = 6
Dénition de fonctions sur Form
I
I
I
Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui
est déni par induction ?
Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur
d'une formule, ou le nombre de parenthèses ?
En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une
formule dépend de la structure de la formule.
I
I
I
I
I
I
Dénition par récurrence
On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit :
1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément
quelconque de V ,
2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de
la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction
appliquée à p,
la forme (p ∧ q ), sachant quel est le résultat de la fonction
appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q ,
la forme (p ∨ q ), sachant quel est le résultat de la fonction
appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q .
quelconque de V ,
appliquée à p,
quelconque de V ,
appliquée à p,
quelconque de V ,
appliquée à p,
Exemple récurrence : length
La fonction length est dénie comme suit :
1. length(x ) = 1 si x ∈ V
2. length(¬p) = 1 + length(p)
3. length((p ∧ q )) = 3 + length(p) + length(q )
4. length((p ∨ q )) = 3 + length(p) + length(q )
Évaluation :
length((x1 ∧ ¬x2 ))
=
=
=
=
=
3 + length(x1 ) + length(¬x2 )
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
( 2)
(1)
Évaluation :
=
=
=
=
=
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
( 2)
(1)
Évaluation :
=
=
=
=
=
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
( 2)
(1)
Évaluation :
=
=
=
=
=
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
(2)
(1)
Évaluation :
=
=
=
=
=
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
(2)
(1)
Évaluation :
=
=
=
=
=
3 + 1 + length(¬x2 )
3 + 1 + 1 + length(x2 )
3+1+1+1
6
(3)
(1)
(2)
(1)
Exemple de récurrence : V
Notre deuxième exemple est la fonction V , dénie comme suit :
1. V(x ) = {x } si x ∈ V
2. V(¬p) = V(p)
3. V((p ∧ q )) = V(p) ∪ V(q )
4. V((p ∨ q )) = V(p) ∪ V(q )
V(p )
est l'ensemble des variables de p.
Notre deuxième exemple est la fonction V , dénie comme suit :
1. V(x ) = {x } si x ∈ V
2. V(¬p) = V(p)
3. V((p ∧ q )) = V(p) ∪ V(q )
4. V((p ∨ q )) = V(p) ∪ V(q )
V(p )
est l'ensemble des variables de p.
Évaluation :
V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 )))
=
=
=
=
V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3)
{x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4)
{x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 }
(1), (1)
{x1 , x2 , x3 }
Évaluation :
V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 )))
=
=
=
=
V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3)
{x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4)
{x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 }
(1), (1)
{x1 , x2 , x3 }
Évaluation :
V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 )))
=
=
=
=
V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3)
{x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4)
{x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 }
(1), (1)
{x1 , x2 , x3 }
Évaluation :
V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 )))
=
=
=
=
V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3)
{x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4)
{x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 }
(1), (1)
{x1 , x2 , x3 }
Évaluation :
V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 )))
=
=
=
=
V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3)
{x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4)
{x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 }
(1), (1)
{x1 , x2 , x3 }
Une subtilité
I
I
I
I
Une fonction doit toujours associer à un argument donné un
seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive
d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat.
En principe, la même formule pourrait être construite de deux
façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction
risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction
considérée.
Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre
dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture
unique (démonstration omise).
Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par
induction.
Une subtilité
I
I
I
I
considérée.
induction.
Une subtilité
I
I
I
I
considérée.
induction.
Une subtilité
I
I
I
I
considérée.
induction.
Récurrence et induction
I
I
I
Un ensemble peut être déni par induction: on dit comment
construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des
éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant .
Les fonctions peuvent être dénies par récurrence : on déni le
résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en
faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments
plus simples. Il y a donc un sens descendant .
Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble
qui est déni par induction est normalement démontrée par
induction structurelle.
I
I
I
I
I
I
Aectations
Valeurs de vérités : 0 et 1.
Denition
Une aectation est une fonction
v : V → {0, 1}
Le support d'une aectation v est déni comme
supp(v ) = {x ∈ V | v (x ) = 1}
Aectations
Valeurs de vérités : 0 et 1.
Denition
Une aectation est une fonction
v : V → {0, 1}
Le support d'une aectation v est déni comme
supp(v ) = {x ∈ V | v (x ) = 1}
Il existe des dénitions diérentes
I
I
I
Pour 0 : False, , . . .
Pour 1 : True, tt, . . .
Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions
partielles.
Il existe des dénitions diérentes
I
I
I
Pour 0 : False, , . . .
Pour 1 : True, tt, . . .
Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions
partielles.
Notation pour les aectations
I
Nous écrivons
[x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1]
n
pour l'aectation qui aux variables x1 , . . . , x associe la valeur
1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0.
On peut aussi admettre des x 7→ 0 mais ça ne sert à rien.
On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon.
n
I
I
i
I
Nous écrivons
[x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1]
n
n
I
I
i
I
Nous écrivons
[x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1]
n
n
I
I
i
Exemple aectation
[x1 7→ 1, x2 7→ 0, x3 7→ 1]
est l'aectation qui associe à x1 et x3 la valeur 1, et à toute autre
variable la valeur 0.
Son support est {x1 , x3 }.
Interprétation d'un formule
L'interprétation [[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v
est dénie par récurrence sur la structure de p:
[[x ]]v
=
[[¬p ]]v
=
[[(p ∧ q )]]v
[[(p ∨ q )]]v
v(x )
=
=
0
1
0
1
0
1
si [[p]]v = 1
si [[p]]v = 0
si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1
si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1
[[x ]]v
=
[[¬p ]]v
=
[[(p ∧ q )]]v
[[(p ∨ q )]]v
v(x )
=
=
0
1
0
1
0
1
si [[p]]v = 1
si [[p]]v = 0
si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1
si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1
[[x ]]v
=
[[¬p ]]v
=
[[(p ∧ q )]]v
[[(p ∨ q )]]v
v(x )
=
=
0
1
0
1
0
1
si [[p]]v = 1
si [[p]]v = 0
si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1
si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1
[[x ]]v
=
[[¬p ]]v
=
[[(p ∧ q )]]v
[[(p ∨ q )]]v
v(x )
=
=
0
1
0
1
0
1
si [[p]]v = 1
si [[p]]v = 0
si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1
si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0
si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1
Exemples
Pour l'aectation v1 = [y 7→ 1] on a que
I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0)
I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1)
I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0
I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1.
Exemples
I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0)
I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1)
I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0
I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1.
Exemples
I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0)
I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1)
I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0
I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1.
Exemples
I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0)
I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1)
I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0
I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1.
Stratégie d'interprétation
Soient p et q des formules propositionnelles et v
une aectation, alors
Théorème :
[[(p ∧ q )]]v =
[[(p ∨ q )]]v =
0
[[q ]]v
1
si [[p]]v = 0
si [[p]]v = 1
si [[p]]v = 1
[[q ]]v si [[p ]]v = 0
Démonstration
Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second
se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de [[p]]v :
Cas [[p]]v = 0: Nous avons à montrer que dans ce cas
[[(p ∧ q )]]v = 0. C'est une conséquence immédiate de
la dénition.
[[(p ∧ q )]]v = [[q ]]v . Il y a deux cas, selon la valeur de
[[q ]]v :
Cas [[q ]]v = 0: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 0 = [[q ]]v
Démonstration
la dénition.
[[q ]]v :
Démonstration
la dénition.
[[q ]]v :
Démonstration
la dénition.
[[q ]]v :
L'intérêt de ce théorème
I
I
Pour évaluer [[(p ∧ q )]]v on évalue d'abord [[p]]v , et selon le
résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer
[[q ]]v , ce qui est bon à savoir quand q est une très grande
expression.
On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle
on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes
avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence
avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la
plus petite).
L'intérêt de ce théorème
I
I
Pour évaluer [[(p ∧ q )]]v on évalue d'abord [[p]]v , et selon le
résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer
[[q ]]v , ce qui est bon à savoir quand q est une très grande
expression.
On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle
on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes
avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence
avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la
plus petite).
Évaluation et interprétation
En général, une application d'une fonction à des arguments est
évaluée.
I Plus spéciquement, une formule propositionnelle est
interprétée par rapport à une aectation.
L'interprétation de p par rapport à v est obtenue par l'évaluation
de [[p]]v .
I
Dénition
Soit p une formule propositionnelle.
I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport
à v .
I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par
rapport à v .
I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle
que v |= p.
I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle
que v 6|= p.
I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que
p est valide (ou une tautologie).
I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute
aectation v .
Dénition
à v .
rapport à v .
que v |= p.
que v 6|= p.
aectation v .
Dénition
à v .
rapport à v .
que v |= p.
que v 6|= p.
aectation v .
Dénition
à v .
rapport à v .
que v |= p.
que v 6|= p.
aectation v .
Dénition
à v .
rapport à v .
que v |= p.
que v 6|= p.
aectation v .
Dénition
à v .
rapport à v .
que v |= p.
que v 6|= p.
aectation v .
Exemples
La formule (x ∨ y ) est
I satisfaisable (elle est vraie par rapport à [x 7→ 1])
I falsiable (elle est fausse par rapport à [])
I pas une tautologie
I pas contradictoire
Exemples
Exemples
Exemples
Exemples
I
I
est une tautologie.
(x ∧ ¬x ) est contradictoire.
(x ∨ ¬x )
Exemples
I
I
est une tautologie.
(x ∧ ¬x ) est contradictoire.
(x ∨ ¬x )
Proposition :
Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas
satisfaisable.
Démonstration :
On a la chaîne d'équivalences suivante :
p est valide
ssi v |= p pour toute aectation v
ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v
ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v
ssi v |= ¬p pour aucune aectation v
ssi ¬p n'est pas satisfaisable
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Proposition :
satisfaisable.
Démonstration :
p est valide
Notions de sémantique
Ne pas confondre les notations:
I Une formule est vraie ou fausse toujours par rapport à une
aectation.
I Une formule peut être satisfaisable ou falsiable tout court. Il
n'y a pas de satisfaisable par une aectation .
I Une formule peut être valide ou contradictoire.
Proposition :
est valide.
(Exercice !)
¬p
Une formule p est contradictoire si et seulement si
Décider des propriétés sémantiques
Décider validité etc.
I
I
I
Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est
satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la
formule sur toutes les aectations possibles.
Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il
y a un nombre inni de variables propositionnelles !
Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les
variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes.
I
I
I
I
I
I
D'abord une proposition
Soit p une formule propositionnelle et v1 , v2 des
aectations telles que v1 (x ) = v2 (x ) pour toute variable x ∈ V(p).
Alors [[p]]v1 = [[p]]v2 .
Exercice (sera fait en TD) !
Proposition :
Le théorème de coïncidence
Une formule p est
1. satisfaisable si et seulement s'il existe une aectation v telle
que supp(v ) ⊆ V(p) et v |= p.
2. valide si et seulement si v |= p pour toute aectation v avec
supp(v ) ⊆ V(p ).
Théorème :
Démonstration du premier énoncé
Si v |= p avec supp(v ) ⊆ V(p) alors p est, par dénition
satisfaisable.
Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |= p. Nous
construisons une nouvelle aectation v comme suit:
w (x ) si x ∈ V(p )
v (x ) =
0
si x 6∈ V(p)
On a que supp(v ) ⊆ V(p), et v |= p par la proposition précédente.
satisfaisable.
w (x ) si x ∈ V(p )
v (x ) =
0
si x 6∈ V(p)
satisfaisable.
w (x ) si x ∈ V(p )
v (x ) =
0
si x 6∈ V(p)
Une méthode pour décider satisfaisabilité
1. Calculer V(p)
2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec
supp(v ) ⊆ V(p )
3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈ A. Dès qu'on tombe
sur un v tel que [[p]]v = 1 on sait que p est satisfaisable, si on
n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable.
Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n
variables ?
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
variables ?
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
variables ?
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
variables ?
Décider validité d'une formule
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel
que [[p]]v = 0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve
pas alors p est valide.
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
1. Calculer V(p)
supp(v ) ⊆ V(p )
Tables de vérité
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¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 ))
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¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4)
(5) ∨ (6)
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(1) (2) (3)
¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 ))
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¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4)
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Ecacité de notre algorithme
I
I
I
I
Si la formule a n variables : 2 aectations possibles à essayer
(dans le pire des cas)
Temps d'exécution exponentiel
Acceptable seulement pour des petites formules.
Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir
dans quelques semaines !
n
I
I
I
I
n
I
I
I
I
n
I
I
I
I
n
Raccourcis syntaxiques
Raccourcis
I
On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧ :
(p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ p )
n
ainsi que de l'opérateur ∨ :
(p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ p )
n
I
On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour
de la formule entière.
Raccourcis
I
On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧ :
(p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ p )
n
ainsi que de l'opérateur ∨ :
(p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ p )
n
I
On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour
de la formule entière.
Récupérer la syntaxe stricte
I
Remplacer
(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ p )
n
par
(p1 ∧ (p2 ∧ (p3 . . . ∧ p ) . . .))
n
I
et pareil pour les chaînes ∨.
Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la
formule si nécessaire
Récupérer la syntaxe stricte
I
Remplacer
(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ p )
n
par
(p1 ∧ (p2 ∧ (p3 . . . ∧ p ) . . .))
n
I
et pareil pour les chaînes ∨.
Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la
formule si nécessaire
Exemple
(x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ z2 ∧ z3 ∧ z4 )
s'écrit en syntaxe stricte comme
(x1 ∧ (x2 ∧ x3 )) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ (z2 ∧ (z3 ∧ z4 )))
Exemple
(x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ z2 ∧ z3 ∧ z4 )
s'écrit en syntaxe stricte comme
(x1 ∧ (x2 ∧ x3 )) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ (z2 ∧ (z3 ∧ z4 )))
Syntaxe stricte ou raccourcie ?
I
I
On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples.
Par contre, quand on vous demande de démontrer une
propriété de la syntaxe (comme: |w |( = |w |) pour toute
w ∈ Form) c'est toujours la syntaxe stricte !
Syntaxe stricte ou raccourcie ?
I
I
On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples.
Par contre, quand on vous demande de démontrer une
propriété de la syntaxe (comme: |w |( = |w |) pour toute
w ∈ Form) c'est toujours la syntaxe stricte !

Chapitre 2 Dé nition de la logique propositionnelle

Transcription

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