1. Propriétés géométriques des courbes paramétrées

COURBES PARAMÉTRÉES
1.
Propriétés géométriques des courbes paramétrées
Soit n = 2 ou 3 et E n un espace ane associé à l'espace vectoriel Rn . Soit || · || une
norme sur Rn .
Dénition 1.1. •
Une courbe paramétrée est une application dénie et dérivable
n
sur un intervalle de R et à valeurs dans E . Si c est une courbe paramétrée alors Ic
désigne l'ensemble de dénition de c.
• Soit k ∈ N∗ . Une courbe paramétrée
Ic .
• Si n = 2
n = 3),
(resp.
l'image
c
c(I)
est de classe
de
I
Ck
si elle est de classe
par l'application
c
Ck
sur
s'appelle une courbe
plane (resp. courbe de l'espace).
Exemple. Soit n = 2, E 2 = R2 et
n
cex :]0, ∞[→ R ,
t 7→
t + 1t
t + 2t12
.
Γex := cex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2 .
Dans la suite, c est une courbe paramétrée de classe C k , k ≥ 1 et t0 ∈ Ic .
Dénition 1.2. • Le point de paramètre t0 est dit régulier (resp. singulier) si c0 (t0 ) 6=
0
•
•
(resp.
c0 (t0 ) = 0).
La courbe paramétrée
c
est dite régulière si tous ses points sont réguliers.
0
00
Le point de paramètre t0 est dit birégulier si c (t0 ) et c (t0 ) sont linéairement
n
inépendants dans R . La courbe paramétrée c est dite birégulière si tous ses points
sont biréguliers.
Exemple. Déterminer les points singuliers de cex .
Tangentes.
Dénition 1.3.
Soit
D0
une droite de
Dénition 1.4.
Soit
D0
une droite de
E n , X0 ∈ D0 et {D(t) | t ∈ I} un ensemble
n
de droites de R passant par X0 . On dit que D(t) tend vers D0 lorsque t → t0 s'il
n
existe un vecteur directeur u de D0 et u(t) ∈ R un vecteur directeur de D(t) tel que
u(t) → u lorsque t → t0 .
tangente à
(1)
(2)
c
en
il existe
la droite
t0
tel que
c(t)c(t0 )
est la tangente à
passant par
c(t0 ).
On dit que
D0
est la
si
δ>0
Proposition 1.1.
En
∀t ∈ Ic , 0 < |t − t0 | < δ ,
tend vers
c0 (t0 ) 6= 0
c en t0 .
Si
D0
lorsque
on a
t → t0 .
alors la droite passant par
Démonstration.
1
c(t) 6= c(t0 ),
c(t0 )
et parallèle à
c0 (t0 )
Proposition 1.2.
p ∈ N, 1 ≤ p ≤ k .
Soit
et
c(p) (t0 ) 6= 0
c(t0 )
alors la droite passant par
Si
c(i) (t0 ) = 0,
∀i = 1, . . . , p − 1
et de vecteur directeur
c(p) (t0 )
est la tangente à
c
en
t0 .
Démonstration.
Exemple. Pour tout t > 0, déterminer une équation de la tangente à cex en t > 0.
Changements de paramètre. Arcs géométriques.
Dénition 1.5. Soint I et J deux intervalles de R. Une application s : J → I
un
C k -diéomorphisme
de
J
sur
I
si
s
est une bijection de
k
son application réciproque est de classe C sur I .
Dénition 1.6.
J
n
Deux courbes paramétrées c : Ic → E et d :
k
k
sont dites C -équivalentes s'il existe un C -diéomorphisme
d = c ◦ s.
Dans ce contexte, l'application
Proposition 1.3.
Dénition 1.7.
d
I
de classe
et
s'appelle un changement de paramètre.
sont
Un arc géométrique de classe
Ck
une relation d'équi-
est une classe d'équivalence pour
la relation ci-dessus. Une courbe paramétrée appartenant à une classe
représentant de
est
Ck
Id → E n de classe C k
s de Id sur Ic tel que
C k -équivalentes est
k
paramétrées de classe C .
La relation c et
valence sur l'ensemble des courbes
s
sur
γ
s'appelle un
γ.
Exemple. Soit n = 2, c : R → E 2 de classe C 2 et d : R → E 2 , t 7→ c(2t).
Soit γ un arc géométrique de classe C k .
Dénition 1.8.
et
(τ, d(τ ))
c
Soit
et
d
des représentants
appartenant aux graphes de
diéomorphisme
s
de
Id
sur
Ic
et
d
γ.
On dit que deux points
(t, c(t))
Ck-
sont équivalents s'il existe un
tel que
et
d=c◦s
Proposition 1.4.
c
La relation (t, c(t)) et
s(τ ) = t.
(τ, d(τ ))
sont équivalents est une rela-
tion d'équivalence sur l'ensemble des points du graphe des représentants de l'arc
géométrique
γ.
Dénition 1.9.
Un point de l'arc géométrique
γ
est une classe d'équivalence pour
la relation ci-dessus.
Proposition 1.5.
un point de
•
Si
γ
γ
Soit
c
et
c
de représentant
C 1 alors
deux représentants d'un arc géométrique
(t0 , c(t0 ))
et
γ.
Soit
(τ0 , c(τ0 )).
est de classe
t0 est un point régulier de c ⇐⇒ τ0 est un point régulier de c.
•
Si
γ
est de classe
C2
et
c=c◦s
où
s
est un changement de paramètre alors
t0 est un point birégulier de c ⇐⇒ τ0 est un point birégulier de c.
2
m0
et
(1)
(2)
c0 (τ0 ) = s0 (τ0 )c0 (t0 ),
00
00
0
0
2 00
c (τ0 ) = s (τ0 )c (t0 ) + s (τ0 ) c (t0 ).
Dénition 1.10.
C 1 est dit régulier s'il
2
classe C est dit birégulier
Un arc géométrique de classe
représentant régulier. Un arc géométrique de
admet un
s'il admet
un représentant birégulier.
arcs géométriques orientés.
Dénition 1.11.
k
C sont dites
s de Id sur Ic
c : Ic → E n et d : Id → E n
k
existe un C -diéomorphisme
Deux courbes paramétrées
positivement équivalentes s'il
tel que
de classe
croissant
d = c ◦ s.
Proposition 1.6. La relation c et d sont positivement équivalentes est une relation
d'équivalence sur l'ensemble des courbes paramétrées de classe
Dénition 1.12.
Un arc géométrique orienté de classe
Ck
Ck.
est une classe d'équiva-
lence pour la relation ci-dessus.
Courbes planes. n = 2.
Forme d'une courbe plane au voisinage d'un point.
∞
C
sur I . Soit p le plus petit entier tel que
On suppose que c est de classe
c(p) (t0 ) 6= 0
et q le plus petit entier > p tel que c(p) (t0 ) et c(q) (t0 ) soient linéairement indépendants. Le dévelopement de Taylor-Young à l'ordre q s'écrit
c(t0 + h) = c(t0 ) + hp
Donc, en posant e1 = c
R = (c(t0 ), e1 , e2 ) sont
c(p) (t0 )
c(p+1) (t0 )
c(q) (t0 )
+ hp+1
+ · · · + hq
+ o(hq ).
p!
(p + 1)!
q!
(p) (t )
0
p!
, e2 =
c(q) (t0 )
q!
c(t0 + h) =
, les coordonnées de c(t0 + h) dans le repère
p
hp + o(hp )
h
'
.
hq + o(hq ) R
hq R
On pose x = hp . D'après la Proposition 1.2, Γ est tangent à e1 en t0 . De plus,
• Si p est impair, q est pair alors
c(t0 + h) '
x
|x|q/p
.
R
• Si p est impair, q est impair alors c(t0 ) est un point d'inexion et
x
c(t0 + h) '
.
sgn(x)|x|q/p R
• Si p est pair, q est impair alors c(t0 ) est un point de rebrousement de première
espèce,
x
• si h > 0 alors x > 0 et c(t0 + h) '
.
q/p
|x|
3
R
• si h < 0 alors x > 0 et c(t0 + h) '
x
−|x|q/p
.
R
• Si p est pair,q est pair
alors c(t0 ) est un point de rebrousement de seconde espèce
|x|
et c(t0 + h) '
.
|x|q/p R
Exemple. Déterminer la forme de la courbe Γex au voisinage de c(1).
Branches innies. n = 2 ou 3. Soit t∞ ∈ I .
Dénition 1.13. On dit que Γ admet une branche
lorsque
innie en
t∞
si
kc(t)k → ∞
t → t∞ .
Dénition 1.14.
Soit D une droite passant par 0. Si Γ admet une branche innie
t∞ alors D est une direction asymptotique si la droite passant par 0 et c(t) tend
vers D lorsque t → t∞ .
en
Exemple. Etudier les branches innies de Γex .
Dénition 1.15.
Supposons que
Γ
admet une direction asymptotique
D
t → t∞ . Soit D(t) la doite passant par c(t) et parallèle à D.
• Si D(t) s'éloigne à l'inni lorsque t → t∞ (c'est à dire inf kXk → ∞)
X∈D(t)
présente une branche parabolique dans la direction
•
S'il existe une droite
D∞
lorsque
alors
Γ
D.
telle
d(c(t), D∞ ) := inf kc(t) − Xk −−−→ 0
t→t∞
X∈D∞
alors on dit que
D∞
Proposition 1.7.
(1)
Si
(2)
Si
est asymptote à le courbe
Soit
D : y = ax
une direction asymptotique.
|c2 (t) − ac1 (t)| → ∞ lorsque t → t∞
lique dans la direction D .
à
c2 (t) − ac1 (t) → b ∈ R
Γ.
Γ.
alors
Γ
présente une branche parabo-
alors la droite d'équation
y = ax + b
est asymptote
Démonstration.
Exemple. Etudier les branches paraboliques et les asymptotes de Γex .
Courbes paramétrées en coordonnées polaires.
Dénition 1.16. La courbe paramétrée c est dite dénies
si
où
cos θ(t)
c(t) = r(t)
sin θ(t)
en coordonnées polaires
r:I→R
et
θ : I → R.
r = f (θ). Par convention, θ = t
cos θ
c(θ) = f (θ)
∀θ ∈ I.
sin θ
cos g(r)
θ = g(r) signie c(r) = r
.
sin g(r)
Cas Particuliers : Equations polaires :
De même,
∀t ∈ I,
4
c'est à dire
Exemple. La spirale d'équation polaire θ = 2πr , r ∈]0, 1]. Déterminer les directions
des tangentes aux points d'intersection avec les axes de coordonnées cartésiennes.
Courbes de l'espace. n = 3.
Plan osculateur.
Dénition 1.17.
D0 une droite de l'espace et u ∈ R3 non parallèle à
D0 , soit P0 le plan passant par D0 et parallèle à u. Soit {P (t) | t ∈ I} un ensemble
de plans de passant par D0 . On dit que P (t) tend vers P0 lorsque t → t0 s'il existe
un vecteur u(t) parallèle à P (t) tel que u(t) → u lorsque t → t0 .
Etant donnée
Dénition 1.18. Supposons que Γ admette une tangente T (t0 ) en c(t0 ). Etant donné
P0
un plan passant par
(1)
(2)
δ>0
il existe
le plan
T (t0 ),
tel que
c(t)T (t0 )
on dit que
P0
est le plan osculateur à
∀t ∈ I , 0 < |t − t0 | < δ ,
tend vers
P0
lorsque
on a
Γ
en
c(t0 )
si
c(t) 6∈ T (t0 ),
t → t0 .
1. Intuitivement, le plan osculateur à Γ en c(t0 ) est le plan P0 tel que
c(t) ' P0 lorsque t → t0 .
Remarque
Théorème 1.1.
c0 (t0 ), c00 (t0 )
Si c(t0 ) est birégulier alors le plan passant par
est le plan osculateur à Γ en c(t0 ).
c(t0 )
et parallèle à
Démonstration.
Exemple. Soit


t
c :]0, ∞[→ R3 , t 7→  t + 1t  .
t + 2t12
Donner une équation du plan osculateur à c(]0, ∞[) en c(1).
Allure au voisinage d'un point.
On suppose que (c0 (t0 ), c00 (t0 ), c000 (t0 )) est libre. Alors
c000 (t0 )
c00 (t0 )
+ h3
+ o(h3 ).
2
6
Donc, dans le repère R = (c(t0 ), c0 (t0 ), 21 c00 (t0 ), 61 c00 (t0 )),
 
h
c(t0 + h) ' h2  .
h3 R
c(t0 + h) = c(t0 ) + hc0 (t0 ) + h2
2.
Propriétés métriques des courbes planes
Soit n = 2. Etant donné γ un arc géométrique de classe C 1 , on désigne par c : I → E 2
un représentant de γ et on suppose que I = [a, b].
Dénition 2.1.
La longueur de la courbe paramétrée
c
est
n−1
nX
o
∗
Lc = sup
kc(ti+1 ) − c(ti )k ; n ∈ N , a = t0 < t1 < · · · < tn = b .
i=0
Proposition 2.1. Lc
est constant pour tout représentant
5
c
de l'arc
γ.
Dénition 2.2.
La longueur de l'arc géométrique
Théorème 2.1. Lc =
γ
est
Lγ = Lc .
b
Z
kc0 (t)k dt.
a
Démonstration.
Dénition 2.3. Une fonction S : I → R est une abscisse curviligne s'il existe t0 ∈ I
tel que
Z
t
S(t) =
kc0 (u)k du
∀t ∈ I.
t0
Théorème 2.2. On suppose que c est une courbe paramétrée régulière. Etant donnée
S
une abscisse curviligne, on pose
c = c ◦ S −1 .
kc0 (τ )k = 1
Alors
c
est une courbe paramétrée et
∀τ ∈ S(I).
Démonstration.
Exemple. Si S(t) = at kc0 (u)k du, pour tout t ∈ I alors S : I → [0, Lγ ] et c :
[0, Lγ ] → E 2 . Celà motive la dénition suivante.
R
Dénition 2.4.
c
Une courbe paramétrée
est dite paramétrée par longueur d'arc si
kc0 (τ )k = 1
Si, en outre,
c
est un représentant de
γ
∀τ ∈ Ic .
alors
c
est une paramétrisation de
γ
par
longueur d'arc.
Proposition 2.2.
Deux paramétrisations de
γ
par longueur d'arc diérent par un
changement ane de paramètre de la forme
s(τ ) = ετ + b
avec
|ε| = 1
et
b ∈ R.
Courbure. On suppose que γ est un arc géométrique orienté, régulier et de classe
C 2 . Soit R2 le plan euclidien orienté positivement.
Dénition 2.5.
une courbe paramétrée régulière. Pour tout t ∈ Ic , le rec(t), de premier vecteur e1 (t) := c0 (t)/kc0 (t)k et de
s'appelle le repère de Frenet associé à la courbe paramétrée c.
Soit
c
père orthonormé direct d'origine
second vecteur
e2 (t)
Soit c : J → R2 une paramétrisation de γ par longueur d'arc et (c(t), e1 (t), e2 (t)) le
repère de Frenet associé à c. Par dérivation,
1 0
1
kc (t)k2 = =⇒ c0 (t) · c00 (t) = 0.
2
2
Donc c00 (t) et e2 (t) sont colinéaires. Celà motive la dénition suivante.
Dénition 2.6. Soit c une paramétrisation de γ par longueur d'arc. Pour tout point
m
de
γ
de rerprésentant
(t, c(t)),
le réel
ρ(t)
déni par
c00 (t) = ρ(t)e2 (t)
6
s'appelle la courbure de
γ
ρ(t) 6= 0 alors le réel
1
R(t) :=
ρ(t)
γ au point m. Par convention,
au point
s'appelle le rayon de courbure de
m.
Si
si
ρ(t) = 0
alors
R(t) = ∞.
Remarque
2. Cette dénition est indépendante du choix d'une paramétrisation de
γ par longueur d'arc.
Exemple Calculer la courbure de la courbe paramétrée c : R → R2 lorsque
3t
c(t) =
4t
Proposition 2.3.
et, pour R positif et a ∈ R, c(t) =
R cos(at)
.
R sin(at)
C 2 et c :
J → E 2 une paramétrisation de γ par longueur d'arc. Alors il existe α ∈ C 1 (J, R)
tel
1
0
.
que pour tout t ∈ J , α(t) est une mesure de l'angle orienté (u1 , c (t)) où u1 =
0
Soit
γ
un arc géométrique orienté, régulier de classe
De plus,
(3)
ρ(t) = α0 (t) ∀t ∈ J
cos α(t)
− sin α(t)
e1 (t) =
, e2 (t) =
.
sin α(t)
cos α(t)
et
Démonstration.
3. D'après (3), la courbure représente la vitesse de variation de la direction
de la tangente. Plus |ρ(t)| est grand, plus la courbe plane est courbée au voisinage
du point c(t).
Remarque
Théorème 2.3 (Calcul pratique de la courbure).
tion quelconque de l'arc orienté, régulier
point de représentant
(t, c(t))
γ
Soit
de classe
C
c : I → E2
2
une paramétrisa-
. Alors la courbure de
γ
au
est
det c0 (t), c00 (t)
ρ(t) =
kc0 (t)k3
∀t ∈ I.
Exemple. Soit Γ la courbe représentative dans R2 d'une fonction f : R → R de
classe C 2 sur R.
(1) Montrer qu'il existe un unique arc régulier γ ayant pour image Γ.
(2) Donner une paramétrisation non régulière de Γ.
(3) Calculer la courbure de γ en chacun de ses points.
Dénition 2.7.
Soit
c
une courbe paramétrée birégulière. Pour tout
t ∈ Ic ,
le point
du plan
s'appelle le centre de
R(t)
t.
et de rayon
paramètre
p(t) := c(t) + R(t)e2 (t)
courbure de c au point de paramètre t.
Le cercle de centre
s'appelle le cercle osculateur ou cercle de courbure de
7
c
p(t)
au point de
Dénition 2.8.
p > 0.
On suppose
(1) c
et
d
c : I → R2 , d : J → R2
qu'il existe (t1 , t2 ) ∈ I × J
Soit
(k)
c (t1 ) = d (t2 )
c
(2) c
et
d
(m+1)
tel que
m (0 < m < p )
ont un contact d'ordre
(k)
des courbes paramétrées de classe
(m+1)
(t1 ) 6= d
c(t1 ) = d(t2 ).
au point
c(t1 )
C p,
Alors on dit que
si
∀k = 1, . . . , m,
(t2 ).
ont un contact d'ordre au moins
c(k) (t1 ) = d(k) (t2 )
m (0 < m ≤ p )
au point
c(t1 )
si
∀k = 1, . . . , m.
Exemple. • Une courbe paramétrée et sa tangente ont un contact d'ordre au moins
1.
• Si le contact est d'ordre au moins 2 alors les repères de Frenet coïncident.
• Si les développements de Taylor de deux courbes paramétrées coïncident en un
point jusqu'à l'ordre m alors elles ont un contact d'ordre m.
Proposition 2.4.
Une courbe paramétrée birégulière et son cercle osculateur ont un
contact d'ordre au moins
Dénition 2.9.
2.
γ
l'arc géométrique
2
associé à c. Alors l'arc géométrique représenté par la courbe paramétrée Ic → E ,
t 7→ p(t)
Sous les hypothèses de la Denition 2.8, soit
s'appelle la développée de
γ.
Exemple. Déterminer et étudier la développée de l'ellipse Γ d'équation
8
x2
a2
+
y2
b2
= 1.