Les courbes

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Les courbes

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET
UNIVERSITE d ’EVRY
Séance 2
Philippe PRIAULET
Plan de la Séance
• Les modèles de reconstitution de la courbe
des taux
• Introduction, Rappels et Notations
• La courbe d’Etat
Sélection des paniers
Méthode théorique directe et bootstrapping
Différents types d’interpolation
Méthodes indirectes: modèle de Nelson et Siegel, splines
cubiques et exponentielles
• La courbe interbancaire
• Les courbes «corporate»
• Exemple d’application: l’analyse rich/cheap
• voir MP p. 19 à 34 et 167 à 178
Introduction
Cette séance a pour but la reconstitution de la courbe des taux
zéro-coupon au comptant («spot»).
Connaître la courbe des taux zéro-coupon au comptant est très
important en pratique car cela permet aux acteurs du marché:
- d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de
taux délivrant des flux futurs connus (obligation à taux fixe, par
exemple)
=> certaines applications comme l’analyse «rich and cheap» (bond
picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par
le marché pour tenter d’en tirer profit.
Introduction (2)
- de dériver les autres courbes implicites: la courbe des taux
forward, la courbe des taux de rendement au pair et la
courbe des taux de rendement instantanés.
- enfin, la courbe spot est le point de de départ pour la mise
en place de modèles stochastiques de déformation de cette
courbe dans le temps.
Introduction (3)
La reconstitution de cette courbe est rendue nécessaire par
le fait qu’il n’existe pas suffisamment d’obligation zérocoupon («strips») cotées sur le marché.
Par conséquent, il n’est pas possible d’obtenir les taux zérocoupon pour un continuum de maturité.
En outre, les obligations zéro-coupon ont souvent une
moindre liquidité que les obligations à coupons.
Introduction (4)
Nous allons distinguer trois grands types de courbe de taux
zéro-coupon:
- la courbe Trésor (ou courbe d’Etat).
- la courbe interbancaire
- et les courbes «corporate»
La courbe Trésor est construite à partir des obligations
émises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France).
Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7
dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne
jamais faire défaut.
Les Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de
rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible.
Introduction (5)
La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte
d’opérations financières entre banques.
Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et
des swaps.
Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les
banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de
notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour
S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s.
Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent
les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui
dépendent du rating des entreprises et de leur secteur
économique. On peut par exemple tracer:
- la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant
du rating A
Introduction (6)
- la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur
Télécom disposant du rating BB
- la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom
Chacune de ces courbes est construite en utilisant les
obligations des entreprises concernées.
On verra qu ’il est courant de construire la courbe des
spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la
courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate».
Introduction (7)
Rappel de l’échelle des ratings Moody’s et S&P
Notation Moody's
Aaa
Aa1, Aa2, Aa3
A1, A2, A3
Baa1, Baa2, Baa3
Ba1, Ba2, Ba3
B1, B2, B3
Caa
Ca
C
on Standard and Poor's
AAA
AA
A
BBB
BB et B
CCC, CC, C
D
Signification
Meilleure qualité de signature
Haute qualité
Qualité supérieure obligation moyenne catégorie
Qualité moyenne
Présence de facteurs spéculatifs
Absence de facteurs propice à l'investissement
Qualité médiocre
Hautement spéculatif
Pas propice à l'investissement
Capacité à rembourser extrêmement forte
Capacité à rembourser très forte
Forte capacité à rembourser mais sensibilité aux aléas
économiques
Capacité suffisante mais grande sensibilité aux aléas
économiques
Caractère spéculatif et incertitude du paiement
Créance douteuse
Défaut de paiement
Introduction (8)
Rappels et notations
Définition du taux zéro-coupon
Il est implicitement défini dans la relation suivante:
B (0, t ) =
1
[1 + R(0, t )]t
où:
- B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zérocoupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t),
le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t.
- R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon
délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon
en 0 de maturité t.
Introduction (9)
Rappels et notations
Evaluation d’obligations à flux connus
Le prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement
Vi (t ) =
m
∑
i =t +1
F (i )
[1 + R(t , i − t )]
i −t
=
m
∑ F (i) B(t , i)
i =t +1
Exemple 1: Soit l’obligation de montant nominal 100$, de
maturité 3 ans et de taux de coupon 10%.
Les taux zéro-coupon à 1 an, 2 ans et 3 ans sont de 7%, 9% et
10%. Le prix P de l’obligation est égal à
P=
10
10
110
+
+
= 100.407$
2
3
1 + 7% (1 + 9% ) (1 + 10% )
La courbe d’Etat
Sélection des titres
Elle est construite à partir d’obligations d’Etat.
Il est important de faire une sélection rigoureuse des titres qui
servent à la reconstitution. Il faut éliminer:
- les titres qui présentent des clauses optionnelles car la
présence d’options rend le prix de ces titres non homogènes
avec ceux qui n’en contiennent pas.
- les titres qui présentent des erreurs de prix, typiquement dues
à des erreurs de saisie.
- les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et présentent
donc des prix qui ne sont pas dans le marché.
Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de
maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, ne pas
tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose
pas de titres de maturités supérieures à 20 ans dans le panier.
La courbe d’Etat
La méthode théorique de reconstitution
Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon
des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions
suivantes:
- elles ont les mêmes dates de tombée de coupon
- elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée
des coupons.
Cette méthode n’est que théorique car dans la pratique il est très
rare de pouvoir trouver un échantillon d’obligations ayant ces
deux caractéristiques.
La courbe d’Etat
La méthode théorique de reconstitution (2)
Notations et résolution
Pt =(Pt1, Pt2,....., Ptn)T le vecteur des prix à l’instant t des n
obligations à coupons du panier
F = (Fti(j))i=1,...,n, j=1,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des
n titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous
les titres.
Bt =(B(t,t1), B(t,t2), ,....., B(t,tn))T le vecteur des facteurs
d’actualisation
Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d’actualisation
Pt = F . Bt
soit
Bt = F-1 . Pt car F est inversible
La courbe d’Etat
On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
⎤ ⎜⎝ ti −t ⎟⎠
⎡ 1
R (t , ti − t ) = ⎢
⎥
⎣ B (t , ti ) ⎦
−1
Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors
1
R (t , ti − t ) = −
ln (B (t , ti ) )
ti − t
La courbe d’Etat
Exemple
Titre 1
Titre 2
Titre 3
Titre 4
Coupon Maturité (années)
5
1
5.5
2
5
3
6
4
Prix
101
101.5
99
100
On obtient le système d’équation suivant:
101 = 105 B(0,1)
101.5 = 5.5 B(0,1) + 105.5 B(0,2)
99 = 5 B(0,1) + 5 B(0,2) + 105 B(0,3)
100 = 6 B(0,1) + 6 B(0,2) + 6 B(0,3) + 106 B(0,4)
soit B(0,1)=0.9619, B(0,2)=0.9119, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890
et R(0,1)=3.96%, R(0,2)=4.717%, R(0,3)=5,417%, R(0,4)=6,103%
La courbe d’Etat
La méthode du bootstrap
Il s’agit d’une procédure en plusieurs étapes qui permet de
reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e.
segment par segment de maturité.
1- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an:
Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zérocoupon cotés sur le marché puis obtention d’une courbe continue
par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin).
La courbe d’Etat
La méthode du bootstrap (2)
2- Pour le segment de la courbe allant de 1 an à 2 ans:
Parmi les obligations de maturité comprise entre 1 an et 2 ans, on
choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Ce titre verse
deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu
grâce à l ’étape 1. Le facteur d’actualisation du second flux est
solution de l’équation non linéaire
P = C B(0, t1) + (100 + C) B(0, t2) avec t1 <= 1 et 1< t2 <= 2
On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment.
On réitère alors le même procédé avec l’obligation de maturité
immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.
La courbe d’Etat
3- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans:
On réitère l’opération précédente à partir des titres ayant une
maturité comprise entre 2 ans et 3 ans.
...etc...
La courbe d’Etat
Exemple de Bootstrap
Maturité
Overnight
1 mois
2 mois
3 mois
6 mois
9 mois
1 an
ZC
4.40%
4.50%
4.60%
4.70%
4.90%
5.00%
5.10%
Coupon Maturité (années)
Titre 1
5%
1 an et 2 mois
Titre 2
6%
1 an et 9 mois
Titre 3 5.50%
2 ans
Taux à 1 an et 2 mois
soit 5.41%
103.7 =
5
105
+
(1 + 4.6%)1/ 6 (1 + x )1+1/ 6
Taux à 1 an et 9 mois
soit 5.69%
102 =
6
6
+
(1 + 5%)9 / 12 (1 + x )1+9 / 12
Prix
103.7
102
99.5
La courbe d’Etat
Exemple de Bootstrap (2)
99.5 =
Taux à 2 ans
soit 5.79%
Taux à 3 ans
soit 5.91%
97.6 =
5 .5
105.5
+
(1 + 5.1%)1 (1 + x )2
5
5
105
+
+
(1 + 5.1%)1 (1 + 5.79%)2 (1 + x %)3
On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises
entre 1 jour et 3 ans, en supposant que l’on raccorde linéairement
l’ensemble des points.
La courbe d’Etat
6.20%
6.00%
5.80%
Zero-Coupon Rate
5.60%
5.40%
5.20%
5.00%
4.80%
4.60%
4.40%
4.20%
4.00%
0
0.5
1
1.5
Maturity
2
2.5
3
La courbe d’Etat
Les différents types d’interpolation
Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est
nécessaire de choisir une méthode d’interpolation entre deux
points.
Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et
cubique.
Interpolation linéaire:
On connaît les taux zero-coupon de maturités t1 et t2. On souhaite
interpoler le taux de maturité t avec t1< t <t2
R(0, t ) =
(t 2 − t )R (0, t1 ) + (t − t1 )R(0, t 2 )
( t 2 − t1 )
Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6%
R(0,3.75 ) =
0.25 × 5.5% + 0.75 x 6%
= 5.875%
1
La courbe d’Etat
Les différents types d’interpolation (2)
Interpolation cubique:
On procède à une interpolation cubique par segment de courbes.
On définit un premier segment entre t1 et t4 où l’on dispose de 4
taux R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4).
Le taux R(0, t) de maturité t est défini par
R(0, t ) = at 3 + bt 2 + ct + d
sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de
marché R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). D’où le système à
résoudre:
⎧ R(0, t1 ) = at13 + bt12 + ct1 + d
⎪
3
2
⎪R(0, t 2 ) = at 2 + bt 2 + ct 2 + d
⎨
3
2
=
+
+ ct 3 + d
(
0
,
)
R
t
at
bt
3
3
3
⎪
⎪⎩R(0, t ) = at 3 + bt 2 + ct + d
4
4
4
4
La courbe d’Etat
Exemple
On se donne les taux suivants :
R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6%
Calculer le taux de maturité 2.5 ans ?
R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375%
avec
⎛a⎞ ⎛ 1 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜b⎟ ⎜ 8 4
⎜ c ⎟ = ⎜ 27 9
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎝ d ⎠ ⎝ 64 16
1
2
3
4
1⎞
⎟
1⎟
1⎟
⎟⎟
1⎠
−1
⎛ 3% ⎞ ⎛ 0.0025 ⎞
⎟ ⎜
⎜
⎟
⎜ 5% ⎟ ⎜ − 0.0225 ⎟
⎜ 5.5% ⎟ = ⎜ 0.07 ⎟
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 6% ⎠ ⎝ − 0.02 ⎠
La courbe d’Etat
Comparaison des deux interpolations
6.50%
Linéaire
Cubique
6.00%
Taux
5.50%
5.00%
4.50%
4.00%
3.50%
3.00%
1
1.5
2
2.5
Maturité
3
3.5
4
La courbe d’Etat
Les méthodes indirectes
Ce sont les méthodes les plus utilisées en pratique
Principe: Pour un panier d’obligations à coupons, il s’agit de la
minimisation de l’écart au carré entre les prix de marché et les
prix reconstitués à l ’aide d’une forme a priori spécifiée des taux
zéro-coupon ou de la fonction d’actualisation.
Soit un panier constitué de n titres. On note à la date t:
Pt j
∧
Pt j
Fs j
: prix de marché du j-ème titre.
: prix théorique du j-ème titre
: flux futur du j-ème titre tombant à la date s (s > t)
La courbe d’Etat
Les méthodes indirectes (2)
L’idée consiste à trouver le vecteur des paramètres
⎛ j
j⎞
Min ∑ ⎜⎜ Pt − Pt ⎟⎟
β j =1
⎝
⎠
n
∧
β
tel que
2
On distingue deux grandes classes de modèles:
- les modèles type Nelson et Siegel fondés sur une modélisation
des taux zéro-coupon (cf MP 28 à 34). Le prix théorique s’écrit:
∧
Pt j = ∑ Fs j B (t , s ) =∑ Fs j .e −( s −t ). g ( s −t ; β )
s
s
g est la fonctionnelle
des taux
zéro-coupon. Le prix de
l’obligation est une fonction non linéaire des paramètres
d’estimation. La résolution d’un tel problème s’effectue à l’aide
d’un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 172 à 175).
La courbe d’Etat
- les modèles à splines fondés sur une modélisation de la
fonction d’actualisation.
∧
Pt j = ∑ Fs j B (t , s ) =∑ Fs j f ( s − t ; β )
s
s
f est une fonction linéaire des paramètres d’estimation. Par
conséquent, le prix de l’obligation est également une fonction
linéaire des paramètres d’estimation La résolution d’un tel
problème est donc matricielle.
Cf MP p. 19 à 28 et p. 167 à 172
La courbe d’Etat
Le modèle de Nelson et Siegel (1987)
La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit :
⎡1 − exp(− θ τ )
⎤
⎡1 − exp(−θ τ ) ⎤
R C (0,θ ) = β 0 + β1 ⎢
θ
τ
+
−
−
β
exp(
)
2⎢
⎥
⎥
θ
τ
θ
τ
⎣
⎦
⎣
⎦
R C (0,θ ) : taux zéro-coupon de maturité θ
β0: facteur de niveau; il s ’agit du taux long.
β1: facteur de rotation; il s’agit de l’écart entre le taux
tre le taux court et le taux long
: paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours
destiné à rester fixe au cours du temps
La courbe d’Etat
Le modèle de Nelson et Siegel (2)
Il est aisé d’exprimer les dérivées partielles de R (0,θ ) par rapport
à chacun des paramètres béta, ce que l’on appelle les
sensibilités des taux zéro-coupon aux paramètres béta (cf
graphique suivant).
C
Ces sensibilités sont très proches de celles que l’on obtient
historiquement en appliquant la méthode de l’ACP aux taux
zéro-coupon.
On retrouve bien les facteurs de niveau, pente et courbure.
La courbe d’Etat
1.2
Sensibilité des taux
1
0.8
béta 0
béta 1
béta 2
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Maturité des taux
La courbe d’Etat
Effets de pente et courbure dans le modèle de
Nelson et Siegel
Pour illustrer les effets de pente et courbure, nous allons d’abord
tracer une courbe croissante classique en retenant le choix de
paramètres suivant:
β0 = 7%
β1 = -2%
β2 = 1%
τ = 3.33
Puis nous allons faire varier isolément chacun des paramètres
β1 et β2 entre -6% et 6%.
La courbe d’Etat
La courbe de départ
0.075
0.07
Zero-Coupon Rate
0.065
0.06
0.055
0.05
0.045
0
5
10
15
Maturity
20
25
30
La courbe d’Etat
Effet de pente dans le modèle de Nelson et Siegel
13.00%
11.00%
Zero-Coupon Rate
9.00%
7.00%
5.00%
3.00%
1.00%
0
5
10
15
Maturity
20
25
30
La courbe d’Etat
Effet de courbure dans le modèle de Nelson et Siegel
8.50%
8.00%
7.50%
Zero-Coupon Rate
7.00%
6.50%
6.00%
5.50%
5.00%
4.50%
4.00%
0
5
10
15
Maturity
20
25
30
La courbe d’Etat
Zero-coupon rate
Les formes de courbe possibles dans le modèle de
Nelson et Siegel
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Maturity
La courbe d’Etat
Exemple d’évolution des paramètres dans le modèle
de Nelson et Siegel (France - 1999 et 2000)
0.08
0.06
Value of the Parameters
0.04
0.02
béta 0
béta 1
béta 2
0
04/01/1999
-0.02
-0.04
-0.06
17/04/1999
29/07/1999
09/11/1999
20/02/2000
02/06/2000
13/09/2000
25/12/2000
La courbe d’Etat
Inconvénients du modèle de Nelson et Siegel
Le modèle de Nelson et Siegel ne permet pas de reconstituer
toutes les formes de courbes de taux que l’on peut rencontrer
sur le marché, en particulier les formes à une bosse et un creux
(voir slide suivante).
En outre, il manque de souplesse d’ajustement pour les
maturités supérieures à 7 ans si bien que les obligations de
telles maturités sont parfois mal évaluées par le modèle.
Le premier inconvénient peut être levé en utilisant le modèle de
Svensson ou modèle de Nelson-Siegel augmenté.
La courbe d’Etat
Zero-coupon rate
Forme de courbe à une bosse et un creux
Maturity
La courbe d’Etat
Le modèle de Nelson et Siegel augmenté
La fonctionnelle s’écrit maintenant :
⎡1 − exp(− θ τ 1 ) ⎤
⎡1 − exp(−θ τ 1 )
⎤
β
exp(
θ
τ
)
R C (0,θ ) = β 0 + β1 ⎢
+
−
−
⎥
1 ⎥
2⎢
θ
τ
θ
τ
1
1
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡1 − exp(− θ τ 2 )
⎤
+ β3 ⎢
− exp(− θ τ 2 )⎥
θ τ2
⎣
⎦
β3 : paramètre de courbure supplémentaire qui a surtout une
influence sur la partie courte de la courbe
τ2 : paramètre d’échelle
Cette extension donne plus de flexibilité à la courbe sur le
secteur court terme.
La courbe d’Etat
Effet de courbure donné par β3
7.50%
7.00%
6.50%
Zero-Coupon Rate
6.00%
5.50%
5.00%
4.50%
4.00%
3.50%
3.00%
0
5
10
15
Maturity
20
25
30
La courbe d’Etat
Les autres modèles
1- La fonctionnelle des taux zéro-coupon dans le modèle
stochastique de Vasicek (1977):
⎡1 − exp(− aθ ) ⎤ σ
+
R (0,θ ) = R∞ − ( R∞ − r0 ) ⎢
⎥
aθ
⎣
⎦ a2
C
2
⎡ (1 − exp(− aθ ) )2 ⎤
⎢
⎥
4
a
θ
⎢⎣
⎥⎦
Elle est obtenue en modélisant le taux court sous la forme (voir
séances suivantes pour une description complète du modèle)
dr (t ) = a[b − r (t )]dt + σdW (t )
2- Vasicek augmenté 1 (très proche de Nelson et Siegel)
⎡ (1 − exp(− aθ ) )
⎡1 − exp(−aθ ) ⎤
C
+γ0⎢
R (0,θ ) = R∞ − ( R∞ − r0 ) ⎢
⎥
aθ
4 aθ
⎣
⎦
⎢⎣
2⎤
⎥
⎥⎦
La courbe d’Etat
Les autres modèles (2)
3- Vasicek augmenté 2 (très proche de Nelson-Siegel
augmenté)
⎡1 − exp(−aθ ) ⎤
R (0,θ ) = R∞ − ( R∞ − r0 ) ⎢
⎥
aθ
⎣
⎦
⎡ (1 − exp(−aθ ) )2 ⎤
⎡ (1 − exp(−bθ ) )2 ⎤
+γ0⎢
⎥ +κ0 ⎢
⎥
4 aθ
4bθ
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
C
4- Fonctionnelle CIR et bien d’autres encore
La courbe d’Etat
Exemples de reconstitution
Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations»
pages 6 à 12
La courbe d’Etat
Conclusion sur les modèles de type Nelson et Siegel
Le reproche souvent formulé à l’encontre de cette classe de
modèles est leur insuffisante flexibilité. En revanche les
variables de ces modèles sont interprétables financièrement.
Cette classe de modèles est en pratique le plus souvent utilisée
pour l’analyse et la couverture du risque de taux de portefeuilles
à flux connus (cf séance 2).
Nous allons à présent aborder les modèles à splines qui sont
beaucoup plus flexibles mais présentent au contraire des
paramètres qui ne sont pas interprétables d’un point de vue
financier.
La courbe d’Etat
Les modèles à splines
Ils sont fondés
d’actualisation.
sur
une
modélisation
de
la
fonction
Les plus célèbres sont les splines polynomiaux (cf Mc Culloch
(1971,1975)) et les splines exponentielles (cf Vasicek et Fong
(1982)).
Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de
reconstruire toutes les formes de courbe rencontrées sur le
marché.
Ils sont utilisés pour l’analyse «rich and cheap».
La courbe d’Etat
Principe des modèles à splines
Il faut d ’abord faire le choix d’une forme spécifique pour la
fonction d’actualisation f(s-t;ß).
La méthode consiste à estimer les paramètres en minimisant
l’écart au carré entre prix de marché et prix reconstitués.
Rappelons que le prix théorique de la j-ème obligation s’écrit:
∧
Pt j = ∑ Fs j B (t , s ) =∑ Fs j f ( s − t ; β )
s
s
où B(t,t) = 1 constitue la contrainte de la minimisation
A une date t, on écrit:
où
εj
∧
Pj = Pj+ε j
est la partie résiduelle non expliquée par le modèle.
La courbe d’Etat
Principe des modèles à splines (2)
Les résidus vérifient les conditions suivantes:
- en moyenne, ils sont nuls: E(ε j ) = 0
- ils sont non corrélés entre eux: Cov(ε j ,εk ) = 0
- il y a deux hypothèses possibles pour la variance
* soit on la suppose constante auquel cas les résidus sont
homoscédastiques
V(ε j ) =σ2
* soit elle varie pour chaque titre auquel cas les résidus sont
hétéroscédastiques
V(ε j ) =σ2ωj
2
La courbe d’Etat
Quand on fait la première hypothèse, on constate que la partie
courte de la courbe est mal estimée. Dans ce cas, le vecteur des
paramètres β est obtenu par la méthode des MCO sous
contrainte.
L’idée est donc de retenir la deuxième hypothèse en donnant
plus de poids dans la minimisation aux obligations de maturité
courte. Une façon de procéder est de choisir un poids égal à la
duration de l’obligation:
ωj = Durj
La courbe d’Etat
Ce choix revient à résoudre le problème suivant:
⎛ j
⎜ Pt − Pt j
Min ∑ ⎜
j
β j =1
w
t
⎜
⎝
∧
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
Dans ce cas, le vecteur des paramètres β est obtenu par la
méthode des MCG sous contrainte ou MCO pondérés sous
contrainte.
Ce choix est rationnel: il revient à dire que plus une obligation a
une maturité longue, plus difficile est son prix à estimer.
La courbe d’Etat
Les splines polynomiaux
1- Modélisation standard
Il est commun de considérer l’écriture standard comme dans
l’exemple qui suit:
⎧ B0 ( s ) = d 0 + c0 s + b0 s 2 + a0 s 3 , s ∈ [0,5]
⎪
B (0, s ) = ⎨ B5 ( s ) = d1 + c1s + b1s 2 + a1s 3 , s ∈ [5,10]
⎪ B ( s ) = d + c s + b s 2 + a s 3 , s ∈ [10,20]
2
2
2
2
⎩ 10
La fonction d’actualisation compte ici 12 paramètres.
On rajoute des contraintes de régularité sur cette fonction qui
garantissent la continuité, la continuité de la dérivée première et
de la dérivée seconde de cette fonction aux points de raccord 5
et 10.
La courbe d’Etat
Les splines polynomiaux (2)
Pour i =0, 1 et 2:
⎧⎪ B0 (i ) (5) = B5 (i ) (5)
⎨ (i )
⎪⎩ B10 (10) = B5 (i ) (10)
Et la contrainte qui porte sur le facteur d’actualisation: B0 (0) = 1
En utilisant l’ensemble de ces 7 contraintes, le nombre de
paramètres à estimer tombe à 5:
⎧
⎪
2
3
B
s
d
c
s
b
s
a
s
(
)
=
+
+
+
, s ∈ [0,5]
0
0
0
0
0
⎪⎪
B (0, s ) = ⎨ B5 ( s ) = 1 + c0 s + b0 s 2 + a0 [ s 3 − ( s − 5) 3 ] + a1 ( s − 5) 3 , s ∈ [5,10]
⎪
B10 ( s ) = 1 + c0 s + b0 s 2 + a0 [ s 3 − ( s − 5) 3 ]
⎪
⎪⎩
+ a1[( s − 5) 3 − ( s − 10) 3 ] + a2 ( s − 10) 3 , s ∈ [10,20]
La courbe d’Etat
Le système précédent peut être écrit sous la forme suivante:
B (0, s ) = 1 + c0 s + b0 s 2 + (a1 − a0 ).( s − 5) 3+
+ (a2 − a1 ).( s − 10) 3+ pour s ∈ [0,20]
où ( s − θ ) 3+
puissance.
= [Max((s − θ ),0 )]
3
est la fonction dite bornée de
Il y a une autre écriture de cette équation dans la base des Bsplines. Cette écriture est devenu extrêmement classique.
La courbe d’Etat
2- Expression dans la base des B-splines
Les B-splines B 3 ( s ) sont des fonctions linéaires de fonctions
l
bornées de puissance. On écrit alors:
⎛ ⎡
⎤
l +4 l +4
2
2
⎜
1 ⎥
3
⎢
B (0, s ) = ∑ cl Bl ( s ) = ∑ cl ⎜ ∑ ∏
s − λj
⎢
⎥
l = −3
l = −3 ⎜ j =l i =l λi − λ j
⎥⎦
⎝ ⎢⎣ i ≠ j
(
où les coefficients lambda sont définis comme suit:
⎞
⎟
3
⎟
+
⎟
⎠
)
λ−3 < λ− 2 < λ−1 < λ0 = 0 < λ1 = 5 < λ2 = 10 < λ3 = 20 < λ4 < λ5 < λ6
et
B (0,0) =
2
∑
cl Bl3 (0)
l = −3
=
−1
∑ cl Bl3 (0) = 1
l = −3
La courbe d’Etat
Les splines exponentielles
Les splines exponentielles ont été introduites par Vasicek et
Fong (1982):
⎧ B0 ( s ) = d 0 + c0 e −αs + b0 e −2αs + a0 e −3αs , s ∈ [0,5]
⎪
B (0, s ) = ⎨ B5 ( s ) = d1 + c1e −αs + b1e − 2αs + a1e −3αs , s ∈ [5,10]
⎪ B ( s ) = d + c e −αs + b e − 2αs + a e −3αs , s ∈ [10,20]
2
2
2
2
⎩ 10
En utilisant les mêmes contraintes de régularité, on ramène le
problème à 7 paramètres à estimer sous la contrainte lié au
facteur d’actualisation (cf MP p 167-168).
Le paramètre alpha est un paramètre d’ajustement
supplémentaire qui rend le problème non linéaire. L’idée
consiste à résoudre le problème comme s’il était fixé, puis à
chercher sa valeur optimale.
La courbe d’Etat
Le choix du nombre de splines
Le nombre de splines influe sur la qualité des résidus et le
lissage de la courbe.
Plus il y a de splines et meilleurs sont les résidus. La courbe
devient toutefois moins lisse, et peut passer par des points
aberrants.
Moins il y a de splines et plus on lisse la courbe. Mais les écarts
de prix peuvent devenir importants ce qui laisse à penser que la
courbe est mal rendue.
Pour choisir au mieux ce nombre de splines, on peut utiliser la
règle suivante.
La courbe d’Etat
Le choix du nombre de splines (2)
On constitue deux paniers. Le premier panier dit de minimisation
contient les titres qui ont permis d’obtenir les paramètres
d’estimation. Le deuxième panier dit de vérification contient des
titres qui n’ont servi lors de la minimisation.
Dans la mesure du possible, il faut que ces deux paniers soient
homogènes, i.e contiennent à peu près le même nombre de
titres, et les mêmes types de maturité (court, moyen et long).
Pour chacun de ces deux paniers, l’idée consiste à calculer
l’écart de prix moyen:
∧
j =n
j
j
∑ ( Pt − Pt ) 2
E=
j =1
n
La courbe d’Etat
Le choix du nombre de splines (3)
Ces deux écarts sont notés E min et Everif .
La règle est la suivante:
1- On calcule ces deux écarts et on s’assure qu’ils sont
inférieurs à la moyenne des fourchettes «bid-ask» (environ 10
centimes de prix). S’ils ne le sont pas, on augmente le nombre
de splines jusqu’à temps qu’ils le deviennent.
2- On calcule la différence entre ces deux écarts:
* si elle est faible, le nombre de splines est bien spécifié.
* si elle est forte, le nombre de splines est probablement trop
élevé. Il faut donc en retirer jusqu’à temps que cette différence
devienne faible.
La courbe d’Etat
La localisation des points de raccord
La règle la plus logique consiste à localiser ces points de telle
façon que chaque spline contienne à peu près le même nombre
de titres.
Par exemple, sur le marché français, on définit 5 splines:
[0-1 an] : super court (BTF ou Monétaire + BTAN)
[1-3 ans] : court terme (BTAN)
[3-7 ans] : moyen terme (BTAN + OAT)
[7-10 ans] : long terme (OAT)
[10-30 ans] : très long terme (OAT)
La courbe d’Etat
Exemples de reconstitution
Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations»
pages 1 à 5 et 13-14
La courbe interbancaire
Sélection des titres
Elle est construite à partir d’un panier d’instruments comprenant:
- les taux du marché monétaire, typiquement les taux Euribor en
zone Euro. Ils sont généralement utilisés pour les maturités
allant de 1 jour à 6 mois. Ce sont des taux linéaires exprimés en
base Exact/360.
- les contrats futures sur taux d’intérêt, typiquement les futures
sur Euribor 3 mois en zone Euro. Ils servent pour reconstituer la
courbe des taux sur le segment allant de 6 mois à 2 ou 3 ans.
- les swaps standards typiquement les swaps standards Euribor
3 mois ou 6 mois en zone Euro. Ils servent à reconstituer la
courbe pour les maturités supérieures à 2 ou 3 ans.
Il est nécessaire dans un premier temps de déduire les taux
zéro-coupon des prix de ces instruments (cf exemple suivant).
Exemple de reconstitution
Les données de marché au 04/05/2000
Taux de swap
Taux monétaires
Overnight
1W
1M
3M
6M
Nombre de jours
1.00
7.00
30.00
90.00
180.00
4.0250%
4.0000%
4.1094%
4.2981%
4.4581%
Contrats futures
Fin contrat Début période d'intérêt Prix des futures
19/06/00
21/06/00
95.5775
18/09/00
20/09/00
95.2925
18/12/00
20/12/00
95.0175
19/03/01
21/03/01
94.9425
18/06/01
20/06/01
94.8375
17/09/01
19/09/01
94.7475
Maturité
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
6Y
7Y
8Y
9Y
10Y
Mid rate
4.4225%
4.7075%
4.9825%
5.0575%
5.1625%
5.2525%
Nombre de jours
365
730
1095
1460
1825
2190
2556
2920
3285
3650
Taux de swap
5.12%
5.32%
5.48%
5.60%
5.71%
5.80%
5.88%
5.93%
5.97%
Exemple de reconstitution (2)
1- Les taux Euribor sont des taux monétaires en base
Exact/360, à convertir en taux zéro-coupon en base Exact / 365
Exemples:
1 ⎞
⎛
ZC(1j ) = ⎜1 + 4.025% ×
⎟
360
⎝
⎠
7 ⎞
⎛
ZC(7 j ) = ⎜1 + 4.0% ×
⎟
360 ⎠
⎝
Maturité
Overnight
1W
1M
3M
6M
Jours
1
7
30
90
180
(365 / 1)
− 1 = 4.1767%
(365 / 7 )
Taux
4.025%
4.000%
4.109%
4.298%
4.458%
− 1 = 4.1488%
Taux ZC
4.177%
4.149%
4.259%
4.442%
4.585%
2- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des contrats
futures sur Euribor 3 mois
Le prix du contrat Euribor 3 mois est égal à 100 moins le taux à
terme 3 mois sous-jacent. Il s’agit précisément du taux à terme
calculé à la date de reconstitution, démarrant à échéance du
contrat et finissant 3 mois plus tard.
Dans notre exemple, le premier contrat arrive à échéance dans
46 jours. Le taux zéro-coupon interpolé linéairement pour cette
maturité vaut 4.3078%. On en déduit alors le taux zéro-coupon
de maturité 138 jours par la formule suivante (il y a 92 jours
entre le 19/06/00 et le 19/09/00 +46 jours = 138 jours)
( 365 / 138 )
92 ⎞ ⎞
⎛
(46 / 365 ) ⎛
ZC(138 j ) = ⎜ (1 + 4.3078%)
× ⎜1 + 4.4225% ⋅
⎟⎟
360
⎝
⎠⎠
⎝
ZC(138 j ) = 4.4842%
−1
Pour l’ensemble des contrats futures, on obtient:
Fin contrat Echéance taux ZC Prix des futures
19/06/00
19/09/00
95.5775
18/09/00
18/12/00
95.2925
18/12/00
18/03/01
95.0175
19/03/01
19/06/01
94.9425
18/06/01
18/09/01
94.8375
17/09/01
17/12/01
94.7475
Mid rate
4.4225%
4.7075%
4.9825%
5.0575%
5.1625%
5.2525%
Taux ZC
4.4842%
4.6466%
4.7895%
4.8995%
4.9898%
5.0578%
On obtient ainsi une série de taux zéro-coupon d’échéance les
dates de fin de contrat + 3 M.
On calcule le taux ZC(365j) à partir des taux ZC(318j) qui
correspond à l ’échéance 18/03/01, et ZC(411j) qui correspond
à l’échéance 19/06/01.
3- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des taux de
swap
Pour les swaps standards, les taux de swaps sont des taux de
rendement au pair. Cela provient directement de la formule
d’évaluation d’un swap.
Si R(0,t) désigne le taux zéro coupon de maturité t, le taux de
swap TS(n) de maturité n est calculé comme suit:
100+ TS(n)
TS(n)
TS(n)
+
+ ...+
= 100
2
n
1+ R(0,1) (1+ R(0,2))
(1+ R(0, n))
d’où
⎛
1
100 ⎜ 1 −
⎜
(1 + R ( 0 , n ) )n
⎝
TS ( n ) =
n
1
∑
i =1 (1 +
R (0, i ) i
⎞
⎟
⎟
⎠
L’idée consiste donc à déterminer de proche en proche les taux
zéro-coupon.
Connaissant le taux zéro-coupon à 1 an, on en déduit le taux
zéro-coupon à 2 ans à partir du taux de swap 2 ans.
Puis, le taux zéro-coupon à 3 ans à partir du taux de swap 3 ans
...
On se retrouve donc avec une série de taux zéro-coupon pour
les maturités correspondant aux maturités des instruments du
panier. Il faut ensuite raccorder ces points pour obtenir une
véritable courbe continue. Les méthodes d’interpolation
classiques (linéaire et cubique) peuvent être utilisées. Il existe
une méthode donnant de meilleures résultats qui consiste à
écrire les taux zéro-coupon sous forme de sommes de B-splines
cubiques.
Reconstitution à partir des B-splines
On dispose de N taux zéro-coupon notés R(0,s) déduits des prix
des instruments de marché.
L’idée consiste à écrire le taux zéro-coupon théorique sous la
forme de sommes de B-splines cubiques:
⎛ ⎡
⎤
⎜
∧
l + 4⎢l + 4
1 ⎥
3
⎜
R (0, s ) = ∑ al Bl ( s ) = ∑ al ∑ ⎢ ∏
⎥ s−λj
l = ⎜ j =l ⎢i =l λi − λ j ⎥
l
⎜
⎦
⎝ ⎣i ≠ j
(
⎞
⎟
3⎟
+⎟
⎟
⎠
)
Puis on minimise la somme des écarts au carré entre les taux
théoriques et les taux zéro-coupon issus des prix de marché:
∧
⎞
⎛
Min ∑ ⎜⎜ R (0,θ i ) − R (0,θ i ) ⎟⎟
al i =1⎝
⎠
N
2
Reconstitution à partir des B-splines (2)
Il existe une autre façon de procéder en transformant les prix
des instruments de marché (taux de dépôt, contrats futures et
swaps) en équivalent prix d’une obligation, puis à écrire
classiquement la fonction d’actualisation sous forme de Bsplines cubiques (comme nous l’avons fait pour la courbe
d’Etat).
Les résultats en termes de reconstitution de cette méthode sont
très proches de ceux obtenus avec la méthode précédente.
Nous traçons le 19/10/2000 la courbe interbancaire selon les
deux méthodes (voir slides suivantes) à l’aide de B-splines
cubiques et des splines suivantes: [0,1/2], [1/2,1], [1,2], [2,3],
[3,4], [4,5], [5,6], [6,8] et [8,10].
cf MP pages 176 à 178
Reconstitution à partir des B-splines - Exemple
Interbank Curve - Cubic B-Splines
Least Squared Method Based on Rates
DATE
Sum of squared spreads
Average spread
Rate or Instrument
19/10/2000
2.3971E-07
0.012%
Maturity
Market
ZC Rate
Theoretical
ZC Rate
Spread
26/10/00
20/11/00
19/12/00
19/01/01
19/03/01
18/06/01
17/09/01
17/12/01
21/10/02
20/10/03
19/10/04
19/10/05
19/10/06
19/10/07
20/10/08
19/10/09
19/10/10
4.911%
5.017%
5.066%
5.198%
5.228%
5.263%
5.280%
5.287%
5.311%
5.384%
5.465%
5.552%
5.648%
5.733%
5.803%
5.861%
5.935%
4.910%
5.007%
5.102%
5.167%
5.232%
5.266%
5.279%
5.283%
5.311%
5.384%
5.465%
5.552%
5.648%
5.733%
5.803%
5.861%
5.935%
0.001%
0.009%
-0.036%
0.031%
-0.004%
-0.003%
0.001%
0.004%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
Procedure of minimization
1-week Euribor
1-month Euribor
2-months Euribor
3-months Euribor
Euribor futures contract dec 00
Euribor futures contract march 01
Euribor futures contract june 01
Euribor futures contract sept 01
2-years swap
3-years swap
4-years swap
5-years swap
6-years swap
7-years swap
8-years swap
9-years swap
10-years swap
Reconstitution à partir des B-splines - Exemple (2)
Interbank Curve - Cubic B-Splines
Least Squared Method Based on Prices
DATE
19/10/2000
Average spread
0.0003
0.0045
Rate or Instrument
Maturity
Coupon
Market
Price
Theoretical
Price
Spread
26/10/00
20/11/00
19/12/00
19/01/01
19/03/01
18/06/01
17/09/01
17/12/01
21/10/02
20/10/03
19/10/04
19/10/05
19/10/06
19/10/07
20/10/08
19/10/09
19/10/10
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
5.31%
5.38%
5.45%
5.53%
5.62%
5.69%
5.76%
5.81%
5.86%
99.908
99.573
99.180
98.734
97.914
96.657
95.415
94.191
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
99.907
99.572
99.175
98.744
97.915
96.649
95.413
94.198
99.997
100.001
99.999
100.002
99.995
100.007
99.995
100.002
100.000
0.001
0.001
0.004
-0.010
-0.001
0.008
0.002
-0.007
0.003
-0.001
0.001
-0.002
0.005
-0.007
0.005
-0.002
0.000
1-week Euribor
1-month Euribor
2-months Euribor
3-months Euribor
Euribor futures contract dec 00
Euribor futures contract march 01
Euribor futures contract june 01
Euribor futures contract sept 01
2-years swap
3-years swap
4-years swap
5-years swap
6-years swap
7-years swap
8-years swap
9-years swap
10-years swap
Reconstitution à partir des B-splines - Exemple (3)
6.00%
Zero-Coupon Rates
5.70%
5.40%
Quoted Interbank Zero-Coupon Yield Curve
5.10%
Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve Using
Rates
Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve Using
Prices
4.80%
0
1
2
3
4
5
Maturity of Rates
6
7
8
9
10
Les courbes «corporate»
Nous nous intéressons au cas d’une courbe «corporate» qui
correspond à un rating particulier ou à un rating et un secteur
économique particulier.
Il est fréquent de tracer la structure par terme des spreads zérocoupon. Cette courbe fournit l’écart en termes de taux zérocoupon entre la courbe «corporate» et la courbe de référence
qui peut être soit la courbe d’Etat, soit la courbe interbancaire.
Il existe deux façons de procéder pour obtenir la courbe des
spreads zéro-coupon:
- la méthode disjointe qui consiste à estimer séparément la
courbe «corporate» et la courbe de référence, puis à en faire la
différence pour obtenir la courbe des spreads.
- la méthode jointe qui consiste à générer la courbe de référence
et la courbe des spreads à partir d’une procédure en une étape.
La méthode disjointe
Pour mettre en place cette méthode, il suffit de constituer:
- la courbe de référence (Etat ou interbancaire);
- et la courbe «corporate» désirée en utilisant un panier
d’obligations appartenant au secteur économique et au rating
auquel on s’intéresse.
Les méthodes utilisées pour tracer la courbe «corporate» sont
identiques à celles que l’on utilise pour tracer la courbe d’Etat.
La méthode jointe
On suppose que l’on souhaite générer en une seule étape la
courbe de référence (Etat ou interbancaire) et les courbes de
spreads pour n classes de risque différentes.
On définit à la date t de reconstitution:
: nombre d’obligations de la i-ème classe de risque.
Ji
Pt
ji
: prix de marché du j-ème titre de la i-ème classe de risque
∧ : prix théorique du j-ème titre de la i-ème classe de risque
j
Pt i
: flux futur tombant à la date s (s > t) pour le j-ème titre de la
Fs ji i-ème classe
La méthode jointe (2)
Soient:
Bi (t , s ) : prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la
i-ème classe de risque.
: prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la
Bclasse
(
t
,
s
)
0
de référence (Etat ou interbancaire).
Il y a deux façons de décomposer le facteur d’actualisation:
- de façon additive:
Bi (t , s ) = B0 (t , s ) + S i (t , s )
où
S 0 (t , s ) = 0
- de façon multiplicative:
où
Bi (t , s ) = B0 (t , s ) × Ti (t , s )
T0 (t , s ) = 1
Le premier cas est particulièrement avantageux car on écrit les
fonctions d’actualisation sous forme de fonctions linéaires des
paramètres à estimer.
Le deuxième cas est beaucoup plus intuitif dans la mesure où il
se simplifie en:
RiC (t , s ) = R0C (t , s ) + tiC (t , s )
si bien que le taux zéro-coupon risqué apparaît comme la
somme du taux zéro-coupon de référence (Etat ou
interbancaire) et d’un spread.
L’idée consiste alors à écrire les fonctions d’actualisation sous
forme de fonctions splines, et à minimiser la somme des écarts
au carré entre les prix de marché et les prix théoriques des
obligations.
On obtient ainsi en une seule procédure l’ensemble des
paramètres pour les différentes fonctions d’actualisation, et par
conséquent la courbe de référence et les i courbes de spread.
L’exemple ci-dessous reprend les méthodes disjointe et jointe.
Nous considérons une seule classe risquée, en l’occurrence une
sélection de banques de la zone Euro de rating A. La courbe de
référence est la courbe interbancaire (de meilleur rating moyen
que la classe risquée).
La fonction d’actualisation est décomposée sous forme additive.
Les 2 fonctions d’actualisation sont modélisées sous forme de
B-splines cubiques.
Nous retenons les splines [0,1], [1,5] et [5,10] pour la fonction
d’actualisation correspondant à la courbe interbancaire, et les
splines [0,3] et [3,10] pour la fonction d’actualisation de la classe
risquée.
Exemple de reconstitution
Disjoint Method - Cubic B-Splines
DATE
Average spread
Rate or Instrument
31/05/2000
0.595
0.146
Maturity
Market
Price
Theoretical
Price
Spread
07/06/00
30/06/00
31/07/00
31/08/00
30/11/00
28/02/01
31/05/01
31/05/02
30/05/03
31/05/04
31/05/05
31/05/06
31/05/07
30/05/08
29/05/09
31/05/10
07/06/01
02/10/01
14/05/03
21/09/04
22/11/04
03/12/04
06/08/07
01/10/07
10/03/08
21/04/09
06/07/09
27/07/09
99.918
99.646
99.267
98.874
97.648
96.418
95.189
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
106.666
111.033
104.643
99.411
103.733
106.184
103.457
103.467
96.582
89.518
95.564
97.591
99.917
99.639
99.256
98.865
97.674
96.455
95.189
99.994
100.015
99.999
100.011
99.993
99.990
100.001
100.012
99.994
106.763
111.115
104.384
99.338
103.851
105.857
103.368
103.929
96.813
89.347
95.315
97.720
0.002
0.007
0.011
0.009
-0.026
-0.036
0.000
0.006
-0.015
0.001
-0.011
0.007
0.010
-0.001
-0.012
0.006
-0.097
-0.082
0.259
0.074
-0.118
0.327
0.089
-0.462
-0.230
0.171
0.249
-0.129
1-week Euribor
1-month Euribor
2-month Euribor
3-month Euribor
6-month derived from Euribor futures contract
1-year derived from Euribor futures contract
2-year swap
3-year swap
4-year swap
5-year swap
6-year swap
7-year swap
8-year swap
9-year swap
10-year swap
BNP PARIBAS 6 07/06/01
CREDIT NATIONAL 9.25 10/02/01
SNS BANK 4.75 09/21/04
CREDIT NATIONAL 6 11/22/04
BNP PARIBAS 6.5 12/03/04
ING BANK NV 6 10/01/07
ING BANK NV 5.375 03/10/08
COMMERZBANK AG 4.75 04/21/09
BSCH ISSUANCES 5.125 07/06/09
BANK OF SCOTLAND 5.5 07/27/09
Joint Method - Cubic B-Splines
DATE
Average spread
Rate or Instrument
31/05/2000
1.818
0.255
Maturity
Market
Price
Theoretical
Price
Spread
07/06/00
30/06/00
31/07/00
31/08/00
30/11/00
28/02/01
31/05/01
31/05/02
30/05/03
31/05/04
31/05/05
31/05/06
31/05/07
30/05/08
29/05/09
31/05/10
07/06/01
02/10/01
14/05/03
21/09/04
22/11/04
03/12/04
06/08/07
01/10/07
10/03/08
21/04/09
06/07/09
27/07/09
99.918
99.646
99.267
98.874
97.648
96.418
95.189
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
106.666
111.033
104.643
99.411
103.733
106.184
103.457
103.467
96.582
89.518
95.564
97.591
99.918
99.645
99.266
98.876
97.680
96.445
95.163
99.934
99.961
100.021
100.090
100.111
100.115
100.083
99.976
99.784
106.643
111.004
104.770
99.626
104.088
106.085
102.605
103.168
96.141
89.532
95.784
98.272
0.000
0.001
0.001
-0.003
-0.032
-0.027
0.026
0.066
0.039
-0.021
-0.090
-0.111
-0.115
-0.083
0.024
0.216
0.024
0.029
-0.127
-0.214
-0.355
0.099
0.852
0.298
0.441
-0.015
-0.220
-0.682
1-week Euribor
1-month Euribor
2-month Euribor
3-month Euribor
1-year derived from Euribor futures contract
2-year swap
3-year swap
4-year swap
5-year swap
6-year swap
7-year swap
8-year swap
9-year swap
10-year swap
BNP PARIBAS 6 07/06/01
SNS BANK 4.75 09/21/04
CREDIT NATIONAL 6 11/22/04
ING BANK NV 6 10/01/07
ING BANK NV 5.375 03/10/08
COMMERZBANK AG 4.75 04/21/09
BSCH ISSUANCES 5.125 07/06/09
BANK OF SCOTLAND 5.5 07/27/09
Euro Bank Sector A-Swap 0 Coupon Spread
80
70
Spread (in bps)
60
50
40
30
20
Disjoint Estimation
Method
10
Joint Estimation Method
0
0
1
2
3
4
5
Maturity
6
7
8
9
Rich/cheap analysis
Bond picking strategies
• The bond relative value analysis
The goal of that analysis is to detect rich and cheap securities that
historically present abnormal yields to maturity, taking as reference a
theoretical zero-coupon yield curve fitted with bond prices.
The method can be developed both for Treasury and corporate bonds.
We take here the example of the French Treasury bond market.
We build a strategy that belongs to alternative fixed-income strategies,
and back-test it from 1995 to 2001.
• How it works ?
Bond rich-cheap analysis proceeds in five steps
1- We construct the adequate current zero-coupon yield curve with a
spline model using data for assets with the same characteristics in terms
of liquidity and risk.
2- Then compute a theoretical price for each asset to obtain the spread
between the market yield to maturity and the theoretical yield to
maturity.
3- For each asset, we implement a Z-score analysis so as to distinguish
actual inefficiencies from abnormal yields. This statistical analysis
provides signals of short or long positions to take in the market.
4- Short and long positions are unwound according to a criterion that is
defined a priori.
• Z-score analysis
At date t and for a given bond, we use the historical of the 60 last
spreads.
1- We define the value Min such that x% of the spreads are below that
value, and the value Max such that x% of the spreads are above that
value.
St +1 is the value of the spread at date t+1.
2- When St +1 − Min converges to 1 or exceeds 1, the bond is considered
Max − Min
cheap.
On the other hand, when this ratio converges to zero or becomes
negative, the bond is considered expensive.
For other values of this ratio, we conclude that the bond is fairly priced.
• Example of Z-score analysis
Suppose that we obtain the following historical distribution for the
spread of a given bond over the last 60 working days
Historical Distribution
16
14
Fréqu
12
10
8
6
4
2
0.08%
0.06%
0.04%
0.02%
0.00%
-0.02%
-0.04%
-0.06%
-0.08%
-0.10%
0
Classes
For x = 5, Min = -0.0888% and Max = 0.0677%. One day later, the new
spread is 0.0775% so that the ratio is equal to 1.063. The bond is cheap.
• When to unwind the position ?
The issue lies in the decision timing to reverse the position in the market.
Many choices are possible. We expose here two of them:
- it can be the first time when the position generates a profit net of
transaction costs
- another idea is to define new values Min (Max) such that y% of the
spreads are below this value.
For example, if the signal is detected for x = 1, the position can be
reversed in the market for y = 15, which means that the spread has now a
more normal level.
• Back-test of a systematic method on the French market
- We boost the performance of a monetary fund of Eur 50 million by
benefiting of arbitrage opportunities detected by our model.
- Two different funds are created:
one is defensive with a leverage coefficient of 2 as the other one is
offensive with a leverage coefficient of 4.
- The Z-score analysis is performed over a 100-day period. The value x,
which provides the signal to enter the position is equal to 3%. The fixed
level, which is chosen to reverse the position is equal to 25%.
- Short and long positions are financed by means of the repo market. The
repo rate raises by 50bp when the bond is cheap and decreases by 50bp
when the bond is expensive.
• Back-test of a systematic method on the French market (2)
- An arbitrage opportunity is a pair of bonds which meets the three
following rules:
* one bond cheap and one bond expensive
* the difference of maturity between the two bonds is inferior to
1 year.
* we buy a nominal of Eur 50 million of the cheap bond and
sell the expensive bond for a nominal amount N such that the global
position is $duration neutral.
- We applicate a stop-time of 30 calendar days on each position.
• Graph results
Evolution of the Net Asset Value from 31/05/95 to 31/12/01
90 000 000
85 000 000
80 000 000
Defensive Fund
Offensive Fund
75 000 000
Monetary Fund
70 000 000
65 000 000
60 000 000
55 000 000
50 000 000
31/05/95
26/03/96
20/01/97
16/11/97
12/09/98
09/07/99
04/05/00
28/02/01
25/12/01
• Regular performances
nb of months with positive performance for the defensive fund: 84 (100%)
mean of monthly total returns: 0.48%
higher total return: 3.47% (sept. 95) lower total return: 0.04% (oct. 95)
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
m
ai
se 95
pt
-9
ja 5
nv
-9
m 6
ai
se 96
pt
-9
ja 6
nv
-9
m 7
ai
se 97
pt
-9
ja 7
nv
-9
m 8
ai
se 98
pt
-9
ja 8
nv
-9
m 9
ai
-9
se 9
pt
-9
ja 9
nv
-0
m 0
ai
se 00
pt
-0
ja 0
nv
-0
m 1
ai
se 01
pt
-0
ja 1
nv
-0
2
0,00%
• An uncorrelated strategy / An attractive Sharpe ratio
Money Market
French govt 10Y
MSCI Euro corporate
MSCI Euro Debt
SP 500
CAC 40
Defensive Fund
risk
return
Sharpe
Money
market
0,29%
3,85%
Money
Market
1,00
French govt MSCI Euro MSCI Euro
10Y
corporate
Debt
0,34
0,39
0,33
1,00
0,87
0,94
1,00
0,80
1,00
French govt
10Y
2,96%
6,54%
0,912
MSCI Euro
corporate
3,20%
6,27%
0,758
MSCI Euro
Debt
3,66%
7,93%
1,115
SP 500
-0,06
0,00
0,06
0,12
1,00
SP 500
16,09%
11,24%
0,460
CAC 40
-0,21
0,03
0,04
0,13
0,68
1,00
CAC 40
20,31%
13,33%
0,467
Defensive
Fund
0,22
-0,06
0,11
-0,01
0,08
-0,12
1,00
Def. Fund
1,73%
5,75%
1,097
• Risk measures
Skewness
Kurtosis
3.84
17.58
Downside deviation
Upside deviation
0.18%
0.46%
Maximum drawdown
Sortino ratio
0.97%
3.08
• Leverage coefficients for the defensive fund
Max PON Min PON Moyenne Max POA Moyenne Min POV Moyenne
PON
POA
POV
1.96
-1.67
0.05
10.53
1.02
-11.25
-0.97
PON: Difference between bonds bought and bonds sold as a multiple of
the initial value of the funds (Eur 50 million)
POA: Total of bonds bought as a multiple of the initial value of the
funds (Eur 50 million)
POV: Total of bonds sold as a multiple of the initial value of the funds
(Eur 50 million)
Leverage coefficients are multiplied by 2 for the offensive fund.
• Statistics on arbitrages
172 arbitrage opportunities from 31/05/95 to 31/12/01
average length of an arbitrage: 2 weeks
1- Total of transaction costs: Eur 7.5 million
2- Total of repo costs: Eur -0.7 million
3- Total of gains: Eur 7.6 million
4- Total of gains for positive arbitrages: Eur 9 million
5- Total of losses for negative arbitrages: Eur 1.4 million
6- Maximum gain for one arbitrage: Eur 344616
7- Maximum loss for one arbitrage: Eur -138452
• Conclusion
At the moment, the number of arbitrage opportunities detected by the
market is about 15 in a year.
To be really competitive, this method needs to be implemented on all
the T-Bond markets of the Eurozone.
The model is also robust to consider arbitrage opportunities on
investment grade markets.

Les courbes

Transcription

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