TD d`Analyse Spectrale 1 Distance d`un point à un sous

FIMFA, Avril 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-II-
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Distance d’un point à un sous-espace
Dans un espace de Banach, la distance d’un point à un sous-espace fermé est-elle toujours
atteinte ?
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Convergences
On munit l’espace `2 (N) des suites de nombres complexes de carré sommables de sa structure
hilbertienne canonique.
1. Donner une base hilbertienne de `2 (N).
2. Soit T l’endomorphisme de `2 (N) défini par (an )n∈N 7→ (an+1 )n∈N . Donner l’adjoint de
T.
3. Montrer que pour tout a ∈ `2 (N), T n a tend vers 0. A-t-on kT n k −−−→ 0 ?
n→∞
4. Est-il possible qu’une suite Tn d’opérateurs continus sur E converge simplement vers 0
sans converger en norme si l’espace E est de dimension finie ?
5. Si E est un espace vectoriel normé de dimension infinie, est-il possible qu’une suite Tn
d’opérateurs continus sur E converge simplement vers 0 et que kTn k tende vers +∞ ?
3
Spectre et valeurs propres
Donner un exemple d’opérateur d’un espace de Hilbert ayant [0, 1] pour spectre, sans avoir de
valeur propre.
4
Etude de l’opérateur de Volterra
L’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable pour la mesure de LebesgueZ sur [0, 1] est
x
noté L2 ([0, 1]). Soit T l’opérateur de L2 ([0, 1]) donné par la formule (T f )(x) =
f (t)dt.
0
1. Décrire T ∗ .
2. Quel est le spectre de T + T ∗ ?
3. Soit f un opérateur d’un espace de Hilbert H muni d’une base Hilbertienne (en )n∈Z
vérifiant
∀n ∈ Z, f (en ) = λn en ,
où la suite (λn ) ∈ CZ tend vers 0 en ±∞. Montrer que le spectre de f est {λn ; n ∈
Z} ∪ {0}.
4. Quel est le spectre de T − T ∗ ? (On commencera par chercher les valeurs propres non
nulles et les vecteurs propres associés).
5. Quel est le spectre de T ? (On pourra majorer la norme de T n .)
1
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Relations entre T et T ∗
Soit T un opérateur d’un espace hilbertien H.
1. Montrer que le noyau de T ∗ est l’orthogonal de l’image de T .
2. Montrer que si T est normal et surjectif, il est bijectif. Quel est le spectre résiduel d’un
opérateur normal ?
3. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) T ∗ est surjectif ;
(b) Il existe c > 0 tel que pour tout x ∈ H on ait kT xk ≥ ckxk.
4. On suppose que T est normal. Soit λ ∈ C. Montrer que λ appartient au spectre de T si
et seulement si inf{kT x − λxk; x ∈ H, kxk = 1} = 0.
5. Montrer que si T est autoadjoint alors Sp T ⊂ R.
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Suites décroissantes d’opérateurs positifs
Soit H un espace hilbertien.
1. Soit (Tn )n∈N une suite décroissante d’opérateurs autoadjoints positifs de H. On suppose
qu’elle est décroissante c’est-à-dire que Tn − Tn+1 est un opérateur positif pour tout
n ∈ N. Montrer que Tn converge faiblement (c’est-à-dire qu’il existe S ∈ L(H) tel que
pour tout x, y ∈ H on a lim hx, Tn yi = hx, Syi).
n→∞
2. Soit T un opérateur auto-adjoint de spectre contenu dans R+ . Montrer que T est positif
(on pourra commencer par considérer le cas où le spectre est contenu dans R+∗ ).
3. Soit T un opérateur positif agissant sur un espace Hilbertien H tel que kT k ≤ 1.
(a) Montrer que 1 − T est un opérateur positif et comparer hT x, T xi avec hT x, xi.
(b) Montrer que la suite T n converge faiblement. En déduire qu’elle converge simplement vers le projecteur orthogonal de H sur Ker(1 − T ). A-t-on la convergence
forte ?
4. Soient p et q deux projecteurs orthogonaux de H. Montrer que (pq)n converge simplement
et calculer sa limite.
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Décomposition polaire
Soit H un espace hilbertien.
1. Soit T un opérateur de H. Montrer qu’il existe S ∈ L(H) tel que SS ∗ S = T .
2. Soit A une sous-C ∗ -algèbre de L(H) et T ∈ A ; notons T = u|T | sa décomposition
polaire. Montrer que |T | ∈ A ; a-t-on toujours u ∈ A ?
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Structure complexe
Montrer qu’un endomorphisme T d’un espace vectoriel réel de dimension finie, sans valeur
propre (réelle) préserve une structure complexe de E c’est-à-dire qu’il existe un endomorphisme
J de E commutant avec T et vérifiant J 2 = −1. Cet exercice se traite avec le calcul fonctionnel
ou bien par des considérations d’algèbre linéaire en dimension finie. Le résultat s’étend-t-il au
cas d’un espace de Banach réel ?
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