les énoncés de TP

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TP no. 1
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp1.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp1 » le numéro du TP.
Hauteur de pluie de quelques villes de France
Les précipitations mensuelles de trois villes de France ont été relevées durant l’année écoulée.
Les résultats (en millimètres) sont reportés dans le tableau ci-dessous.
Ville
Brest
Nice
Bordeaux
Jan
130
67
100
Fev
98
83
84
Mar
89
71
66
Avr
77
70
57
Mai
74
39
64
Jui
60
37
71
Juil
51
21
52
Aou
80
38
65
Sep
95
83
88
Oct
108
109
84
Nov
136
158
99
Dec
159
92
117
1) Affectez à trois tableaux (nommés, par exemple, « Bt », « Nc » et « Bx ») les douze valeurs
relevées pour chaque ville.
2) Représentez par un diagramme en barres (commande bar) les précipitations pour chacune
de ces villes (vous porterez en abscisses les numéros de chacun des douze mois). Utilisez la
commande subplot pour diviser une fenêtre graphique en sous-fenêtres. Placez des titres (commande title) sur chacun des sous-graphiques.
3) Calculez pour chaque ville la somme des précipitations annuelles. Introduire pour cela des
variables, « sommeBt », « sommeNc » et « sommeBx ».
4) Comparez, en les calculant, les moyennes des précipitations mensuelles de ces trois villes.
5) Calculez la moyenne sur les trois villes des précipitations mois pas mois.
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Annexe
Un code bien commenté
(suggestion de présentation)
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TP no. 2
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp2.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp2 » le numéro du TP.
Taux de sédimentation dans un lac
Les sédiments d’un lac asséché ont été analysés par carottage. On a mesuré, à plusieurs
profondeurs, l’âge des sédiments et leur masse volumique. Les résultats sont récapitulés dans le
tableau ci-dessous. L’âge correspond à l’âge des sédiments à la base de chaque couche.
Profondeur (en mètres)
Âge (en années)
Masse volumique (en g/cm3 )
0.50
1 020
1.70
1.30
2 376
1.60
2.47
5 008
1.75
4.90
10 203
2.00
8.20
15 986
2.20
1) Saisissez dans des tableaux « prof », « age » et « dens » ces données.
2) Représentez graphiquement la profondeur des couches en fonction de leurs âges.
3) Calculez dans un tableau « taux » le taux de sédimentation (en m/an) de chacune des quatre
couches.
4) Évaluez le taux de sédimentation moyen de ce lac que vous nommerez « tauxmoy ».
5) Sur la base de ce taux moyen, donnez une estimation de la date à laquelle ce lac s’est asséché.
Cette date sera appelée dans votre programme « tassech ».
6) Les sédiments lacustres les plus profonds se trouvent à 100 m de profondeurs. Estimez (toujours
sur la base du taux moyen de sédimentation) l’âge de ces sédiments.
7) Calculez la masse en kilogramme de la carotte de sédiments entre 0 et 8.2 m de profondeur
sachant que le diamètre de la carotte est de 5 cm. On rappelle que le volume V d’un cylindre
de hauteur h de section circulaire de rayon R est donné par V = πR2 h.
8) Bien que la carotte soit constituée du même sédiment, expliquez pourquoi la masse volumique
change avec la profondeur. Vous répondrez à cette question par l’ajout d’un commentaire final
à votre programme.
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Un code bien commenté
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TP no. 3
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp3.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp3 » le numéro du TP.
Champ de température de la Terre
La température T de la Terre augmente avec la profondeur z. Cette température a été
mesurée à plusieurs profondeurs particulières zi par des méthodes géophysiques et géologiques.
Nous allons tester deux modèles de lois, Tmod1 (z) et Tmod2 (z), pour chercher à rendre compte
des valeurs observées Tobs (z). Ces n valeurs observées sont reportées dans le tableau ci-dessous
zi (en km)
Tobs (zi ) (en ◦ C)
1
10
100
1150
400
1500
700
1900
2800
3700
5100
4300
6360
5000
1) Saisissez dans des tableaux « prof » et « Tobs » ces données. Affectez à la variable n le nombre
de mesures.
2) Représentez graphiquement la température observées en fonction de la profondeur.
3) Comme premier modèle, on prend une loi logarithmique :
Tmod1 (z) = b log(z)
où b est une constante. On désigne par e1 (zi ) les écarts entre les valeurs observées et les valeurs
prédites par le modèle aux différentes profondeurs zi : e1 (zi ) = Tobs (zi ) − Tmod1 (zi ) et on note
E1 la somme des carrés de ces écarts :
E1 =
n
!
e1 (zi )2 .
i=1
Calculez E1 pour les différentes valeurs de b suivantes : 200, 300, 400, 500 et 600. Faites afficher
la valeur de b et la valeur de E1 correspondante (utilisez de préférence le format scientifique (%e)
pour afficher E1 ). Parmi ces valeurs, quelle valeur b0 rend la valeur de E1 minimale ? Représentez
alors, sur le même graphique, les températures observées et les températures prédites par le
modèle Tmod1 (z) = b0 log(z).
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4) On propose maintenant d’utiliser le modèle
Tmod2 (z) = az 2 + bz + c,
où a = −8.255 10−5, b = 1.05 et c = 1110. Calculez les écarts e2 (zi ) = Tobs (zi ) − Tmod2 (zi )
et la somme de leurs carrés E2 . Vérifiez alors que ce modèle est meilleur que le précédent et
représentez, sur le graphique précédent, les températures observées et celles prédites par les
deux modèles Tmod1 et Tmod2 .
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Un code bien commenté
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp4.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp4 » le numéro du TP.
Étude d’un catalogue de séismes
On donne le fichier nommé « catalogue.txt » extrait d’un catalogue de séismes de la
Californie. Ce fichier comporte 10000 lignes. Chaque ligne i du fichier est composée de 3 nombres
réels : la longitude (◦ W), la latitude (◦ N) et la magnitude du ième séisme enregistré dans ce fichier.
Dans ce qui suit seules les magnitudes seront utilisées.
1. Saisie des données
(a) Affectez à la variable « nseism » le nombre total de séismes (10000).
(b) Faites lire le fichier de données (commande read, voir l’aide de cette commande ou votre
mémento scilab) en affectant le résultat de la lecture à une variable « tab ».
(c) Quelles sont les dimensions de ce tableau ?
(d) Récupérez dans un tableau « mag » les magnitudes des différents séismes.
2. Étude de la distribution des séismes
On désire classer ces séismes en fonction de leur magnitude, par pas de 0.5, de la façon
suivante :
– la classe 1 correspond aux séismes dont la magnitude est supérieure à 1,
– la classe 2 correspond aux séismes dont la magnitude est supérieure à 1.5,
– la classe 3 correspond aux séismes dont la magnitude est supérieure à 2,
– ...
– la classe n correspond aux séismes dont la magnitude est supérieure à 5.5
(a) Combien y a-t-il de classes ? Vous affecterez ce nombre entier à la variable « nbclass ».
(b) Utilisez un tableau « classmag » pour enregistrer les bornes supérieures de ces classes
(classmag(1) = 1, classmag(2) = 1.5, etc).
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(c) Faites compter le nombre de séismes appartenant à la première classe (c-à-d, le nombre
de séismes du catalogue ayant une magnitude supérieure à 1) : vous utiliserez pour cela
une boucle à l’aide de laquelle vous parcourez tous les séismes et au sein de laquelle
une variable « somme1 » (initialement mise à zéro) sera incrémentée de 1 à chaque fois
qu’un séisme de magnitude supérieure à 1 sera rencontré. Faites de même pour compter
l’effectif (« somme2 ») de la deuxième classe.
(d) Généralisation – Trouvez une méthode pour calculer le nombre de séismes dans chacune des « nbclass » classes (indication : boucle imbriquée). Vous utiliserez un tableau
« somme » pour ranger ces valeurs (ainsi somme(i) correspondra à l’effectif de la ième
classe, c-à-d au nombre de séismes de magnitude supérieure à classmag(i)). Pensez à
initialiser ce tableau à zéro.
3. Représentation graphique
Il est systématiquement observé sur des données de sismicité qu’une corrélation existe entre
le log10 du nombre de séismes cumulé et leur magnitude (voir graphique ci-dessous).
Source : Catalogue de sismicité USGS-NEIC - Vanuatu (1973-2006).
L’équation de cette droite s’écrit
log10 N (M ) = a − bM,
c’est la loi connue sous le nom de loi de Gutenberg-Richter. Les coefficients a et b sont les
« paramètres de sismicité ». La valeur de a (ordonnée à l’origine) donne le taux de sismicité
moyen de la région étudiée dans la période d’observation. La valeur de b (coefficient directeur)
tend vers 1 en règle générale. Elle suscite un grand intérêt de recherche en sismologie.
(a) Saisissez dans un tableau « logsomme » les logarithmes décimaux des valeurs contenues
dans le tableau « somme » (note : la fonction log10 s’écrit log10 en scilab).
(b) Représentez à l’aide de la commande plot et sous forme de symboles (cercles par
exemple), les valeurs contenues dans « logsomme » en fonction des valeurs contenues
dans « classmag ». Annotez votre graphique par un titre et des légendes sur chacun des
axes.
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp4.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp5 » le numéro du TP.
Calcul approché d’une intégrale
On rappelle (voir l’exercice 5 du TD no 3) que l’intégrale
I=
!
b
f (x) dx
(1)
a
peut être approchée par une somme finie (formule de quadrature). Nous en avons vu trois :
IG =
n
"
(xi − xi−1 )f (xi−1 ),
i=2
n
"
ID =
(xi − xi−1 )f (xi ),
(2a)
(2b)
i=2
IT =
n
"
i=2
(xi − xi−1 )
f (xi ) + f (xi−1 )
2
(2c)
où x1 , x2 ,..., xn sont n points de l’intervalle [a, b] avec x1 = a et xn = b.
1. Préliminaires
On donne la fonction f (x) = x2 e3x et l’intervalle [a, b] = [0, 1].
a) On désire utiliser un échantillonnage régulier de l’intervalle [a, b] comportant n points xi et tel
que x1 = a et xn = b. On appelle « pas » l’interdistance entre ces points. Quel est le pas h de
cet échantillonnage si n = 2 ? si n = 3 ? Donnez l’expression générale du pas h en fonction de
a, b et n.
b) Affectez aux variables a, b, n les valeurs 0, 1 et 11, respectivement. Affectez à la variable h le
résultat du calcul trouvé en (a).
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c) À l’aide d’une boucle, calculez dans le tableau x les valeurs des n points xi (x(i) contiendra
la valeur de xi ) puis dans le tableau y les valeurs prises par f en ces points (y(i) contiendra
donc f (xi )).
d) Programmez les trois formules de quadrature (2a), (2b), (2c) et faites afficher les résultats
obtenus par chacune d’elles.
e) La valeur exacte de I est ici facilement calculable (indication : utilisez des intégrations par
parties). Donnez cette valeur et affectez-la à une variable nommée I. Affichez cette valeur ainsi
que les trois écarts absolus |I − IG |, |I − ID |, |I − IT |. Laquelle des trois formules vous semble
la plus précise ?
2. Volume du Mont Fuji
Le mont Fuji est un volcan qui a, approximativement, une forme de cône. Il culmine à une hauteur
de 3 km et sa base a 40 km de diamètre. On désire évaluer son volume en utilisant deux méthodes
exposées ci-après.
a) On découpe le Mont Fuji selon un ensemble de N cylindres à base circulaire (cf schéma cidesous) dont les dimensions sont données dans le tableau suivant :
Diamètre
Di (km)
40
14
6
3
2
1
0.1
Hauteur
hi (km)
0.2
1.3
0.3
0.2
0.5
0.2
0.3
On rappelle que le volume d’un cylindre de hauteur h et de base circulaire de rayon r est donné
par v = πr2 h. Saisir ces données dans des tableaux h et d. Calculez le volume de chaque cylindre
puis la somme de ces volumes que vous appellerez V1, première approximation du volume du
volcan.
b) Le volume d’un cylindre d’axe Oz, de hauteur H et à section circulaire dont le rayon r(z) varie
continument avec la côte z, est donné par
! H
V =
πr2 (z) dz.
(3)
0
Pour le Mont Fuji, H = 3 km et on suppose que le carré du rayon (en km2 ) varie avec z selon
la formule approximative :
#
z
z
+ 400,
z ∈ [0, 3].
(4)
r2 (z) = 400 − 800
3
3
En appliquant l’une des formules de quadrature précédentes (de préférence (2c)) à la fonction f (z) = πr2 (z), évaluez numériquement l’intégrale (3) donnant V (vous appellerez cette
deuxième approximation du volume du Mont Fuji V2). Vous commencerez pour cela à échantillonner
l’intervalle [0, 3] en un nombre suffisant de points (prendre par exemple n = 301) et en lesquels
vous calculerez la fonction f (z) = πr2 (z).
c) Représentez graphiquement l’allure du Mont Fuji donné par (4).
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TP no. 6
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Note : vous écrirez un programme pour chaque exercice en utilisant l’éditeur de scilab. Ce programme commencera par l’instruction « clear » et sera suffisamment commenté (les commentaires comprendront en particulier, le
nom de l’auteur, la date, les numéros des questions, cf annexe). Vous l’intitulerez « nom prénom tp6.sce » avec
« nom prénom » vos nom, prénom et « tp6 » le numéro du TP.
Estimation de l’accélération du sol lors d’un tremblement de
Terre
Une station sismologique enregistre la vitesse de déplacement du sol. Soit vites.txt le fichier qui
contient, sur une colonne, les valeurs des vitesses enregistrées en mm/s et toutes les ∆t = 1/250 s.
1. À l’aide de la commande read faites lire ce fichier et affectez au tableau vit les valeurs des
vitesses. Exprimez ces vitesses en m/s.
2. Calculez le temps total d’enregistrement. Vous nommerez T cette valeur.
3. Tracez l’enregistrement dans un graphe ayant pour axe des abscisses le temps (en secondes)
et pour axe des ordonnées la vitesse (en mètres par seconde). Vous définirez au préalable un
tableau temps qui contiendra l’échantillonnage (de pas ∆t) de l’intervalle [0, T ]. Assurez-vous
que le tableau temps à les mêmes dimensions que le tableau vit.
4. Repérez graphiquement l’arrivée des ondes P (pour cela utilisez l’outil zoom dans la fenêtre
graphique). Notez ce temps d’arrivée en commentaire dans votre programme.
5. Calculez la moyenne des vitesses. Vous nommerez vitmoy le résultat.
6. Retranchez cette valeur moyenne aux vitesses. Affectez au tableau vitn le résultat de ce
calcul.
7. On rappelle que l’accélération a(t) est la dérivée temporelle de la vitesse v(t) et que la dérivée
de v à l’instant quelconque t! peut-être approchée par le rapport (cf. exercice 6 du TD 3)
a(t! ) =
dv !
v(t! + ∆t) − v(t! )
(t ) ≈
.
dt
∆t
Utilisez cette approximation pour estimer l’accélération aux n − 1 premiers instants de votre
échantillonnage de l’intervalle [0, T ] (pourquoi n − 1 ?).
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TP no. 6
8. Les normes parasismiques dans le sud-est de la France imposent aux entreprises de construire
des bâtiments résistant à une accélération de 0.18 g, g étant une unité d’accélératin qui
vaut 9.81 m/s2 . Calculez le maximum d’amplitude de la valeur absolue de l’accélération. Ce
maximum dépasse-t-il la norme parasismique ? Faites afficher ce maximum et le message qui
convient.
9. Représentez graphiquement l’accélération en fonction du temps. Placez une légende sur votre
graphique et précisez les unités utilisées sur les axes.
Annexe
Un code bien commenté
(suggestion de présentation)


















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
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
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