Bordeaux Francfort Dakar Lille Londres New

Université Nice Sophia Antipolis
Outils Formels pour l’Informatique
Licence Informatique 2
2016–2017
TD n◦ 2
Relations, fonctions et ordres
Exercice 1) On considère trois ensembles F, E et M de villes respectivement françaises, européennes et du
reste du monde. Le diagramme suivant modélise les liaisons aériennes entre ces villes, toutes au départ de
la France.
Bordeaux
Lille
Lyon
Marseille
Nice
Francfort
Londres
Madrid
Paris
Rome
Zurich
Dakar
New-York
Santiago
Sydney
Tokyo
Figure 1: Liaisons aériennes France/Europe/Monde
1. Un ensemble de liaisons constitue une relation. Ecrire la matrice F E de la relation France/Europe
puis celle EM de la relation Europe/Monde.
2. Dans le monde, toute liaison aérienne est réciproque. Donner les matrices EF et M E qui décrivent
chacune la relation inverse des relations France/Europe et Europe/Monde. Quels sont les liens entre
F E et EF , EM et M E ?
3. En composant les relations France/Europe et Europe/Monde, trouver la relation France/Monde et
donner la matrice F M .
4. Calculer le produit de matrices F E × EM . En tirer une conclusion.
Exercice 2) Donnez les propriétés des relations suivantes parmi celles vues en cours : réflexivité, irréflexivité,
symétrie, antisymétrie, transitivité.
1. la relation d’égalité sur les entiers ;
2. la relation de perpendicularité sur l’ensemble des droites du plan ;
3. la relation de parallélisme sur l’ensemble des droites du plan ;
4. la relation “être le carré de” sur les entiers ;
5. la relation “avoir un côté de même longueur” sur l’ensemble des triangles.
En déduire lesquelles sont des ordres et lesquelles sont des relations d’équivalence.
1
Exercice 3) Soit R la relation définie sur N2 par :
(a, b) R (c, d) ⇐⇒
a≤c
a+b≤c+d
1. Montrez que R est une relation d’ordre.
2. R est-elle une relation d’ordre total sur N2 ?
Exercice 4) Trouvez toutes les relations sur l’ensemble {0, 1}. Déterminez lesquelles sont des relations
d’équivalence ou des relations d’ordre.
Exercice 5) On considère l’ensemble E des quinze premiers entiers non nuls muni de la relation de divisibilité.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
1. Cette relation est-elle une relation d’ordre sur E ? d’ordre total sur E ? d’ordre strict sur E ? Pourquoi ?
2. Tracez le diagramme de Hasse de la relation de divisibilité sur cet ensemble E.
3. Comment peut-on lire sur le diagramme précédent le PGCD et le PPCM de deux entiers ?
4. Donnez un élément minimal et un élément minimum pour cette relation d’ordre. Pouvez-vous citer
un élément maximal ? un maximum ?
5. Citez un minorant (resp. majorant) et une borne inférieure (resp. supérieure) de E dans N∗ .
Exercice 6) Voici un certain nombre de tâches à exécuter le matin avant de sortir de chez soi :
1
se lever
2
verser son lait au chat
3
partir
4
s’habiller
5
se réveiller
6
petit-déjeûner
7
1. Définissez un ordre partiel sur ces sept éléments.
2. Tracez le graphe de cet ordre. Vérifiez qu’il est acyclique.
3. Appliquez l’algorihme du tri topologique à cet ordre de sorte à en trouver une extension linéaire (on
linéarise l’ordre).
4. En existe-t-il d’autres ? Pourquoi ?
Exercice 7) Soit A un alphabet (ordonné). Vérifiez que les relations suivantes sont bien des ordres et
précisez lesquels sont stricts, lesquels sont totaux.
1. l’ordre alphabétique sur A ;
2. l’ordre lexicographique sur A∗ ;
3. l’ordre hiérarchique sur A∗ ;
4. l’ordre préfixe (resp. suffixe) sur A∗ .
2
se laver
Exercice 8) Les relations suivantes sont-elles des fonctions ? Si oui, lesquelles sont des applications.
Précisez si elles sont injectives, surjectives, bijectives.
1. A chaque individu du globe on associe son âge.
2. La relation qui à chaque ville associe sa latitude et longitude
3. La relation entre individus et nationalités.
4. A chaque état on associe son chef d’état.
5. La relation qui à tout entier naturel associe son successeur.
6. La relation qui à un entier naturel associe son prédécesseur.
7. L’équation d’une droite dans l’espace.
Exercice 9) Montrer que si f : A → B et g : B → C sont injectives (resp. surjectives), alors il en est de
même de gof . Inversement, si gof est injective (resp. surjective), que peut-on en déduire de f et de g ?
Exercice 10) Soit A et B des ensembles finis comportant respectivement a et b éléments.
Combien y a-t-il de relations de A vers B, de fonctions de A vers B ? d’applications de A vers B ?
d’applications injectives ? bijectives ?
3