Chapitre 1 - Numération 1 Introduction : que

Lycée Maximilien Sorre
Année 2016-2017
BTS SIO 1
Chapitre 1 - Numération
1 Introduction : que signie 2016 ?
Dans de nombreuses situations, il est nécessaire de pouvoir exprimer des quantités. Par
exemple, dans l'Égypte antique, lors des années de bonne récolte, le surplus agricole était
collecté sous forme d'impôt puis stocké en prévision d'années moins favorables. Pour gérer ce
système d'impôt, une armée de scribes devait dénombrer des quantités de grains, des troupeaux, etc . . .
Pour décrire un troupeau de 357 moutons, on pourrait tracer un bâton par mouton mais cela
ne serait guère pratique. Pour cette raison, des méthodes plus ecaces pour représenter les
quantités ont été inventées : l'arrivée des symboles a permis de représenter les nombres par
des écritures plus ou moins faciles à manipuler.
Exemple. Vers 2700 av JC, les mésopotamiens utilisent les signes de la graphie cunéiforme
pour écrire les nombres.
Valeur décimale Écriture babylonienne cunéiforme Décomposition en base 60
1
1×1
17
17 × 1
44
44 × 1
60
1 × 60 + 0 × 1
85
1 × 60 + 25 × 1
3600
1 × 602 + 0 × 60 + 0 × 1
11327
3 × 602 + 8 × 60 + 47 × 1
Remarque. Dans le système babylonien cunéiforme, le zéro n'existe pas encore. À cause de
cela, par exemple 1, 60 et 3600 ont la même écriture. Le zéro est apparu plus tard, d'abord
dans le système babylonien (les premières apparitions se situeraient vers 2000 av JC, et un
usage courant du zéro se fait vers le III ème siècle avant JC.), puis dans le système maya et
dans le système indien (au III ème siècle).
Exemple. Autre exemple : le système maya.
1
Valeur décimale Écriture maya
Décomposition
0
0×1
1
1×1
3
3×1
5
5×1
17
17 × 1
20
1 × 20 + 0 × 1
343
17 × 20 + 3 × 1
De nombreuses civilisations ont utilisé (et utilisent encore) la base décimale (base 10), sans
doute parce que nous possédons 10 doigts ! En base décimale, les nombres sont décomposés
en puissances de 10.
Exemple. Le système de numération de l'Égypte antique (de 3000 av JC à 330 av JC) repose
sur la base décimale.
Par exemple, 526 = 5 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1 s'écrit :
L'écriture des nombres de l'Égypte antique décrite dans l'exemple ci-dessus est un système
additif : il sut d'additionner la valeur de tous les symboles pour obtenir le nombre représenté.
Remarquons que la position des symbole ne change pas le résultat obtenu.
Notre système de numération moderne, dans lequel les nombres sont une juxtaposition de
chires, repose lui aussi sur la base décimale. Mais contrairement aux systèmes additifs comme
le système de l'Égypte antique, un même chire a une signication diérente selon sa position dans l'écriture du nombre. Par exemple 52 est diérent de 25. On parle de notation
positionnelle.
Le système babylonien cunéiforme est le premier système connu dans lequel la position des
symboles joue un rôle. Il est toutefois à noter que le système babylonien cunéiforme repose sur
la base 60. C'est en Chine au II ème siècle av JC que fut initiée l'application de la notation
positionnelle à une base décimale, dans un système ensuite amélioré en Inde, au VI ème
siècle. Enn, les chires que nous utilisons aujourd'hui ont été inventés par les indiens, et leur
2
diusion en Europe s'est faite par l'intermédiaire de la civilisation arabe aux alentours du IX
ème siècle.
Mais que signie donc une écriture telle que 2016 ? Et bien à chaque position est associé un
poids, d'autant plus important que le chire est plus à gauche. Ce poids est une puissance
de la base utilisée, ici la base 10.
Ainsi :
2016 =
2 Numération moderne - trois bases usuelles
2.1
Système décimal
Le système de numération décimal moderne utilise 10 symboles, qui sont les 10 chires : 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Suivant sa position dans le nombre, le chire x peut valoir, x × 100 (si
il est complètement à droite), x × 101 (si c'est le deuxième en partant de la droite), x × 102 ,
etc. . .
Exemple. 578367 = 5 × 105 + 7 × 104 + 8 × 103 + 3 × 102 + 6 × 101 + 7 × 100 .
Ainsi, si un nombre entier s'écrit
an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 ,
où n est un entier supérieur ou égal à 1 et où pour tout entier k entre 1 et n, le symboles ak
représente un chire pris dans l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, alors ce nombre représente
la quantité :
an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a1 × 101 + a0 × 100 .
Le poids du chire ak , c'est-à-dire la puissance de 10 par laquelle il faut multiplier ce chire
pour connaître son inuence sur le nombre, est 10k .
Remarque. Les chires dont le poids est le plus important sont à gauche dans l'écriture
du nombre. Ainsi, si l'on veut obtenir une bonne approximation d'un nombre, il sut de ne
conserver que les chires les plus à gauche, et de remplacer les autres par des 0.
Remarquons que dans les calculs, on aligne les chires à partir de la droite pour pouvoir tenir
compte des poids associés aux diérentes positions.
Exemple.
a) Addition :
3 5 2
+
8 2 4
+
7 6
1 2 5 3
b) Multiplication :
1 6 7
×
4 3
5 0 1
+ 6 6 8 0
7 1 8 1
1
9
0
0
3
Exemple.
1. La décomposition en puissance de 10 de 100000 est :
2. La décomposition en puissance de 10 de 12345 est :
2.2
Système binaire
Le système binaire ou base 2 n'utilise que deux chires, deux symboles : 0 et 1. Ce système
sert en particulier en électronique et en informatique, puisque l'électronique numérique ne sait
représenter que deux valeurs (correspondant à deux plages de tension). Suivant sa position (à
partir de la droite), au chire 1 correspondra la valeur : 20 , 21 , 22 , . . .
La base 2 est la plus petite base envisageable. Un chire binaire est appelé bit en informatique, ce qui est la contraction de binary digit, autrement dit chire binaire en anglais.
Propriété 1. Représentation des premiers entiers en binaire :
En base 10 En binaire
0
1
2
3
4
5
6
7
En base 10 En binaire
0
1
10
11
100
101
110
111
8
9
10
11
12
13
14
15
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Exemple.
1. Le nombre binaire 110110011112 s'écrit en décimal :
2. Le nombre binaire 1010102 s'écrit en décimal :
3. Le nombre binaire 1000002 s'écrit en décimal :
4. Le nombre binaire 10001102 s'écrit en décimal :
2.3
Système hexadécimal
Le système hexadécimal est l'écriture dans la base 16. Les chires de la base 16 s'obtiennent
en complétant 0, 1, . . .9 avec les premières lettres de l'alphabet. Ainsi les symboles utilisés
comme chires pour la base 16 sont :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F.
4
Propriété 2. Représentation des premiers entiers en hexadécimal :
En base 10 En hexadécimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
En base 10 En hexadécimal
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
16
10
17
11
18
12
19
13
20
14
21
15
Exemple.
1.
2.
3.
4.
Le nombre hexadécimal
Le nombre hexadécimal
Le nombre hexadécimal
Le nombre hexadécimal
A116 s'écrit en décimal :
BF16 s'écrit en décimal :
4000hexa s'écrit en décimal :
5Cb16 s'écrit en décimal :
Remarque. On peut aussi exprimer dans diérentes bases les nombres réels et pas seulement
les entiers naturels.
Par exemple 0, 12 = 1 × 2−1 et 0, 116 = 1 × 16−1 .
Exemple.
1. Le nombre binaire 101, 00112 s'écrit en décimal :
2. Le nombre hexadécimal 2A05, F16 s'écrit en décimal :
3 Conversions, changements de base
3.1
Entre la base 2 et la base 10
3.1.1 De la base 2 à la base 10
Propriété 3. Les premières puissances de 2 (à connaître) sont :
25
26
27
28
29
210
211
212
213
...
20
21
22
23
24
1
2
4
8
16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 . . .
Pour passer de la base 2 à la base 10, on utilise les valeurs (en base 10) des puissances
successives de 2. Par exemple pour convertir le nombre binaire N = 1101100111101b2 , on
écrit :
Bits de N
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
Puissance de 2
212
211
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Valeur en base 10 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16
8
4
2
1
5
Autrement dit, l'écriture en base 10 de N est :
4096 + 2048 + 512 + 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 6973b10 .
Exercice 1. Donner la valeur en base 10 des nombres suivants : 110011b2 , 111112 et 10101012 .
3.1.2 De la base 10 à la base 2
Méthode 1 : par divisions successives
Soit N un nombre décimal que l'on veut convertir en base 2. Pour obtenir l'écriture en base
2, on eectue la division euclidienne de N par 2. Puis on eectue la division euclidienne par
2 du quotient de la division précédente. On continue ainsi jusqu'à obtenir un quotient nul.
Les chires de l'écriture en base 2 (lus de droite à gauche) sont les restes successifs de ces
divisions euclidiennes.
Exemple.
Convertissons le nombre décimal 610 en un nombre binaire :
Remarque. Cette méthode a l'avantage de faire apparaître tout de suite les 1 et les 0, mais
attention à ne pas se tromper de sens de lecture !
Exemple. Écrivons le nombre décimal 221 en base 2.
Exercice 2. Donner l'écriture binaire des nombres décimaux : 5 ; 27 ; 87.
6
Méthode 2 : par plus grande puissance
Pour convertir le nombre décimal 221 en base 2, on va chercher les puissances de 2 entrant
dans ce nombre :
La plus grande puissance de 2 inférieure ou égal à 221 est 27 = 128. (En eet, 28 = 256.)
De plus : 221 − 128 = 93.
La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 93 est 26 = 64.
De plus : 93 − 64 = 29.
La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 29 est 24 = 16.
De plus : 29 − 16 = 13.
La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 13 est 23 = 8.
De plus : 13 − 8 = 5.
La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 5 est 22 = 4.
Le reste vaut 5 − 4 = 1 = 20 .
Ainsi :
221 = 27 +
Le nombre décimal 221 s'écrit donc en binaire sous la forme :
Exercice 3. Donner l'écriture binaire des nombres décimaux : 9 ; 30.
3.2
Entre la base 16 et la base 2
3.2.1 De la base 16 à la base 2
Comme 16 est une puissance de 2, la conversion est aisée. On se sert du tableau suivant :
Base 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
Base 2
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010
Base 10
11
12
13
14
15
Base 16
B
C
D
E
F
Base 2
1011 1100 1101 1110 1111
Pour transformer un nombre hexadécimal en un nombre binaire, on remplace chaque chire
hexadécimal par son équivalent de 4 chires binaires.
Exemple. 9AB516 =
Exercice 4. Transformer en binaire les nombres hexadécimaux : 3DA4B16 ; 14F16 .
7
3.2.2 De la base 2 à la base 16
Inversement, pour passer de la base 2 à la base 16, on découpe le nombre en tranches de 4
chires à partir de la droite et on remplace chaque tranche par sa valeur en base 16.
Exemple. 111 0101 1110 0010 01002 =
Exercice 5. Écrire en hexadécimal les nombres binaires : 11010102 ; 100001111.
3.3
Entre la base 10 et la base 16
Remarque. Pour passer de la base 16 à la base 10, on peut passer de la base 16 à la base 2,
puis de la base 2 à la base 10. Inversement, pour passer de la base 10 à la base 16, on peut
passer de la base 10 à la base 2, puis de la base 2 à la base 16. Nous abordons ci-dessous les
méthodes directes de conversion.
3.3.1 De la base 16 à la base 10
Pour passer de la base 16 à la base 10, on utilise la dénition de la représentation en base 16
et les valeurs (en base 10) des puissances successives de 16.
Exemple. Convertissons le nombre hexadécimal A9B5h en un nombre décimal :
Base 16
A
9
B
5
Base 10 10 9 11 5
Exercice 6. Convertir en base 10 les nombres hexadécimaux : 1F D37h ; 55B1h .
3.3.2 De la base 10 à la base 16
En imitant le principe du passage de la base 10 à la base 2, pour convertir un nombre décimal
en nombre hexadécimal, on procède par divisions euclidiennes successives (d'abord du nombre
décimal à convertir, puis des quotients successifs) par 16. Les restes successifs, qui sont donc
des entiers compris entre 0 et 15 en écriture décimale (et des entiers entre 0 et F en écriture
hexadécimale), forment les chires de l'écriture hexadécimale du nombre, lue de droite à
gauche.
Exemple. Convertissons en hexadécimal le nombre décimal 43509.
Exercice 7. Convertir en base 16 les nombres décimaux : 2014 ; 3760.
8
3.4
Comment faire pour les nombres réels ?
Pour convertir des nombres réels, on procède de la même façon en rajoutant les virgules.
Exemple.
De la base
De la base
De la base
De la base
De la base
De la base
2 à la base 10 : 1101, 012 = 13 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2 = 13, 2510 .
10 à la base 2 : 43, 62510 = 101011, 1012 .
16 à la base 2 : A, 3E16 = 1010, 0011 11102 .
2 à la base 16 : 111, 112 = 7, C16 .
16 à la base 10 : 5B, 316 = 91, 187510 .
10 à la base 16 : 0, 562510 = 0, 10012 = 0, 916 .
Remarque. Les nombres négatifs, quelle que soit la base dans laquelle ils sont exprimés,
s'écrivent avec un symbole moins (que l'on note -) devant.
3.5
Applications
Exercice 8.
1. Donner la forme binaire puis décimale du plus grand nombre qu'on puisse écrire avec 4
bits.
2. Même question avec 8 bits (c'est-à-dire un octet).
3. Une adresse IPV4 (Internet Protocol Version 4) est constituée de 4 nombres, chacun
compris entre 0 et 255. Par exemple : 222.019.045.237.
a) Sur combien de bits est codée une adresse IP ?
b) Sur combien d'octets ?
c) Combien d'adresses IP peut-on coder avec cette norme ?
d) Avec la norme IPV6 (version 6 de l'Internet Protocol), on utilise 16 nombres compris
entre 0 et 255. Combien d'adresses IP environ peut-on construire avec cette norme ?
(On peut s'aider du fait que 103 ≈ 210 )
Exercice 9.
Dans un logiciel comme Gimp ou Photoshop, les couleurs sont codées par 3 nombres hexadécimaux à deux chires représentant les valeurs de Rouge, Vert et Bleu (codage RVB). Ainsi
F F F F F F représente le blanc et 00 00 00 représente le noir.
1. Combien de couleurs diérentes peut on représenter dans ce mode ?
2. Combien de bits utilise ce codage ?
4 Notion d'arrondi et de précision
Considérons le nombre 23,45825. Il existe plusieurs façon de l'arrondir :
arrondi à l'entier près : 23,
arrondi par défaut à 10−2 près : 23,45,
arrondi par excès à 10−3 près : 23,459,
9
arrondi avec une précision de 3 chires signicatifs : 23,5.
On peut aussi arrondir des nombres écrits dans d'autres bases :
1001, 101112 arrondi à l'entier près vaut 10012 .
1111, 111112 arrondi avec une précision de 3 chires signicatifs vaut 11102 .
1001, 101112 arrondi avec une précision de 3 chires signicatifs vaut 1000.
A134B, C516 arrondi à l'entier près vaut A134B16 .
A134B, C516 arrondi avec une précision de 3 chires signicatifs vaut A130016 .
Exemple. Si l'on veut convertir le décimal 0, 110 en binaire, il est nécessaire d'arrondir car
sinon, il y a trop de décimales. Si on arrondit à 4 chires après la virgule, on obtient 0, 00012 .
Si on arrondit avec une précision de 2 chires signicatifs, on obtient 0.000112 .
Dénition.
On appelle partie entière d'un nombre x le plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre.
On la note E(x).
Exemple.
• La partie entière de 2, 5878 vaut E(2, 5878) =
• La partie entière de 1/3 vaut E(1/3) =
5 Opérations sur les entiers naturels
Rappel : Les entiers naturels sont
Les opérations (addition, soustraction, multiplication et division) pour les entiers naturels en
base décimale sont bien connues. Mais on peut faire des opérations avec les nombres dans
d'autres bases que la base décimale.
5.1
Opérations binaires
5.1.1 Addition binaire
Pour additionner deux entiers écrits en binaire, il sut de savoir que :
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10,
1 + 1 + 1 = 11.
Pour eectuer l'addition binaire, on procède comme pour une addition décimale, en utilisant
les trois égalités précédentes, et en tenant compte des éventuelles retenues.
Exemples.
1 0 1 1 0 1 0
+
1 0 0 1 0 0
11
+
10
11
01
11
1
1
1
0
1
Remarque. On peut vérier les résultats des additions binaires en repassant en décimal. Par
exemple :
1011012 = 4510 et 100102 = 1810 . On a bien 45 + 18 = 6310 = 1111112 .
110112 = 2710 et 11012 = 1310 . On a bien 13 + 27 = 4010 = 1010002 .
Remarque. Pour calculer à la main des additions de nombres hexadécimaux, on convertit
les nombres en binaires, puis on fait l'addition, puis on reconvertit le résultat en hexadécimal.
Exercice 10. Eectuer les additions binaires :
a) 101 + 11,
b) 11111 + 1010.
5.1.2 Soustraction binaire
On peut opérer comme dans la soustraction décimale.
Exemple.
1 0
-
1
0
0 1 1
1 01 11 1 0 1
0 1
0
0
1 1 0
Remarque. Pour faire les soustractions de nombres hexadécimaux, on convertit en binaire
comme pour l'addition.
Exercice 11. Calculer :
a) 110011012 − 10010112 ,
b) A7h − Bh .
5.1.3 Multiplication binaire
On procède comme pour la multiplication décimale.
Exemple.
1 0 1 1
×
1 1 0 1
1 0 1 1
0 0 0 0
1 0 1 1
+
1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
11
Remarque. Attention à bien tenir compte des décalages.
Exercice 12. Eectuer les multiplications binaires 1100 × 11 et 11011101 × 1110, et vérier
le calcul en passant par l'écriture décimale.
5.1.4 Division binaire
On procède comme pour la division décimale.
Exemple. Calculons
11101
101
:
On obtient 11101 =
Exercice 13. Calculer
100110
101
et
11110100
1101
Cas particulier : division binaire par une puissance de 2.
Les mots de la n :
• Pourquoi les mathématiciens confondent Noël et Halloween ?
Parce que Dec 25 = Oct 31.
• Il y a 10 catégories de personnes : la catégorie de ceux qui comprennent le binaire, et la
catégorie de ceux qui ne le comprennent pas.
12