1. Suites

1. Suites
▶▶QCM Pour bien commencer
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p. 390.
Corrigés des travaux pratiques
1 Somme des termes d’une suite
Le chapitre sur les suites est propice à la construction de petits programmes. Le TP en présente des
classiques et demande aux élèves de les analyser.
1 a. Le programme va renvoyer 5 si en entrée on donne le nombre 2.
l
b. u0 = 2, et pour tout n entier un + 1 = 0,5un + 3.
2 a. Algo2 va renvoyer le nombre 3.
l
Algo3 va renvoyer le nombre 28,125.
Algo4 va renvoyer le nombre 2.
b. Le programme algo3 permet de calculer la somme u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5.
c. Algo2 permet de savoir l’indice du premier terme de la suite u strictement plus grand que 5.
3 On pose la question de la valeur de N à l’aide de Prompt N au début du programme puis on remplace
l
le 5 dans for(I, 0, 5) par N.
2 Déterminer un extremum d’une fonction
L’algorithme présenté dans le TP est proche de celui de la dichotomie. Il est donc déjà assez évolué
et le TP se destine à des élèves maîtrisant les boucles et les instructions conditionnelles. Il est préférable de déjà avoir étudié la méthode de la dichotomie avant de faire celui-ci.
Comme pour la dichotomie, la méthode marche avec des fonctions non dérivables.
1 a= 4,6 m3.
l
B est croissante sur [0 ; a] puis décroissante sur [a; 9], avec a= 4,6.
a. L’entreprise gagne de l’argent entre environ 1,2 et 7,5 m3.
b. Si a appartient à [a ; c] alors c et b sont dans [a ; d].
B est décroissante sur [a ; d] et c < b donc B(c) > B(d), ce qui contredit l’hypothèse.
2 a. Pour n = 1 : a = 3 ; b = 9.
l
Pour n = 2 : a = 3 ; b = 7.
b. Sur Ti :
Sur Casio :
c. La meilleure estimation à 0,01 près de a est 4,61.
1. Suites • 13
3 a.
l
Soit un entier n, si B
alors an + 1 =
∙ 2a 3+ b ∙ < B ∙ a
n
n
n
+ 2bn
3
∙,
2an + bn
et bn + 1 = bn d’où :
3
bn + 1 – an = bn –
2an + bn
2
= (bn – an).
3
3
Sinon :
an + 1 = an et bn + 1 =
bn + 1 – an =
an + 2bn
d’où :
3
an + 2bn
2
– an = (bn – an).
3
3
2
.
3
b. Pour connaître la quantité au litre près, il faut connaître la valeur de a à 0,001 près.
n
⎛ 2⎞
Il faut donc connaître quand 9 × ⎜ ⎟ < 0,001 soit n > 22.
⎝ 3⎠
La suite w est donc géométrique de raison
Soit a≈ 4 608 L.
3 Sommedetermesinfinimentpetits
Le TP montre aux élèves que la somme de terme tendant vers 0 peut tendre vers l’infini ou vers un
nombre fini selon les cas.
Les suites étant données sous forme explicite, le calcul de la somme des termes est relativement
simple.
La dernière partie, plus théorique, peut être donnée en exercice.
Le raisonnement par récurrence n’étant pas au programme, on se limitera à l’idée de la justification
à la question 3. b.
1 a.
l
n
0
un
4
1
2
– 1,333 333 33 0,8
3
4
10
– 0,571 428 57
0,444 444 44
0,190 476 19
b. u semble tendre vers 0.
c. Sur Ti :
100
1 000
0,019 900 5 0,001 999
Sur Casio :
d.
n
Sn
0
1
2
3
4
10
100
1 000
4
2,66
3,46
2,89
3,34
3,23
3,15
3,14
3
4
5
10
100
1 000
e. S semble converger vers π.
2 a.
l
n
1
2
vn 0,414 213 56 0,317 837 25 0,267 949 19 0,236 067 98 0,213 421 77 0,154 347 13 0,049 875 62 0,015 807 44
b. La suite v semble tendre vers 0.
14 • 1. Suites
c. Sur Ti :
Sur Casio :
d.
n
S’n
0
1
1
1,41
2
1,73
3
2
4
2,23
10
3,31
100
10,04
1 000
31,63
e. La suite S’ semble tendre vers l’infini.
3 a.
l
Pour n entier :
1
n +1 − n
n +1 − n
=
=
= n +1 − n .
n +1− n
n +1 + n
n +1 + n
n +1 − n
(
b. S’0 = 1 ; S’1 =
)(
2 ; S’2 =
)
3 ; S’3 = 2 ; S’4 =
5 ; S’n =
n +1 .
c. Il suffit de choisir N > a², alors si n > N : S’n = n + 1 >
d. D’après la question précédente, S’ tend bien vers +3.
a 2 + 1 > a.
4 Radioactivité
L’activité permet de travailler deux algorithmes :
• le premier permet de déterminer le premier terme où une suite passe sous un seuil. l’algorithme
est explicitement au programme.
• le deuxième, plus difficile, est l’algorithme de la dichotomie. Une explication de la méthode est à
donner au préalable aux élèves.
Les calculatrices sont lentes, la méthode permet, dans certains cas, d’obtenir un gain de temps
sensible.
L’organigramme peut poser un problème car la boucle n’est pas clairement décrite.
1 a.
l
La raison de la suite u est 0,5. Pour n entier, un = 0,5n.
b. Comme 0,5 < 1, la proportion d’iode tend vers 0.
c. Après 88 jours, la proportion d’iode n’est plus que de 0,000 5, soit 0,05 %.
d. Sur Ti :
Sur Casio :
2 a.
l
On ne connaît pas la raison de la suite v.
b. v30 = 0,5 d’où, si q est la raison de la suite, q30 = 0,5.
c. f est dérivable sur [0 ; 1] et f ’(x) = 30x29 > 0. Donc f est croissante sur [0 ; 1].
1. Suites • 15
Début
d.
a=0
b=1
i=0
i < 30 ?
Écrire a
i=i+1
Écrire b
c = (a + b)/2
fin
c 30 > 0,5 ?
b=c
a=c
Sur Ti :
Sur Casio :
e. Sur Ti :
Sur Casio :
Il faut 200 ans pour passer sous 1 % de la quantité initiale de radioactivité.
5 Différentes méthodes de résolution numérique
Les différentes méthodes présentées donnent l’occasion de faire des algorithmes avancés sans être
très longs.
Les questions mathématiques, assez abstraites, peuvent être omises pour se concentrer uniquement
sur l’aspect algorithmique.
On peut faire remarquer aux élèves le lien avec la méthode de Newton et la formule de Héron.
1 a. Sur Ti :
l
16 • 1. Suites
Sur Casio :
b.
n
a
b
0
1
2
1
1
1,5
2
1,25
1,5
3
1,375
1,5
4
1,375
1,437 5
10
1,414 062 5
1,415 039 062 5
b–a
1
0,5
0,25
0,125
0,062 5
1
1024
c. Les termes successifs de b – a se comportent comme ceux d’une suite géométrique de raison 0,5.
En prenant n = 21, on trouve l’estimation 2 ≈ 1,414 213.
2 a.
l
On utilise la formule du cours donnant le coefficient directeur d’une droite :
b2 − a2
( b + a )( b − a ) = (b + a).
y=
=
(b − a )
(b − a )
(
)
b. On utilise la formule donnée, l’équation de la corde est alors :
y = (b + a)(x – a) + a² – 2 = (b + a)x – ab – 2.
c. La corde coupe l’axe des abscisses pour une abscisse x vérifiant l’équation :
(ab + 2)
(b + a)x – ab = 0 ⇒ x =
(b + a)
d. Sur Ti :
Sur Casio :
e.
n
c
2 –c
1
1,333 33
2
1,4
3
1,411 764
4
1,413 793 4
10
1,414 213 551 65
0,08
0,014
0,002 448 8
0,000 420 45
1,072e – 8
3 a.
l
On utilise la formule de la tangente donnée en cours, la tangente en 2 à la courbe représentative
de x ↦ x² – 2 a pour équation : y = 2 × 2(x – 2) + 2² – 2 = 4x – 6.
6
b. 4a1 – 6 = 0 ⇔ a1 =
= 1,5.
4
1. Suites • 17
c. Sur Ti :
Sur Casio :
d.
0
1
2
3
4
10
2
1,5
1,416 66
1,414 21
1,414 21
1,41 421 356 37
0,585 7
0,085 7
0,002 453 1
2e – 6
2e – 12
Précision de
la machine
n
an
an –
2
4 la méthode de Newton est la plus performante (mais elle utilise la dérivée de la fonction), puis vient
l
la méthode de la fausse position et enfin la dichotomie.
6 Utilisationd’untableur
Un tableur est un moyen pratique et visuel de travailler les suites. Il permet, sans passer par la création d’un programme, de calculer un grand nombre de termes et de calculer des sommes.
1 a.
l
un + 1 = un + 500.
vn + 1 = 1,015vn.
wn + 1 = 1,01wn + 17.
b. u est une suite arithmétique. v est une suite géométrique et w une suite arithmético-géométrique.
c.
A
B
C
D
1
2
n
un
vn
wn
3
0
30 000
30 000
30 000
4
1
= B3 + 500
= 1,015*C3
= 1,01*D3 + 170
d. Après cinq ans, Meriem peut espérer 32 500 € avec la première évolution, 32 318 € avec la
deuxième évolution et enfin 32 397 € avec la troisième.
e. Pour dépasser 40 000 €, il faut 20 ans avec les trois évolutions.
Pour dépasser 50 000 €, il faut 40 ans avec la première, 35 ans avec la deuxième et enfin 36 avec la
troisième.
f. Pour n dans [0 ; 13], un > wn > vn.
Pour n = 14, wn > un > vn.
Pour n = 15, 16 et 17, wn > vn > un.
Pour n > 17, vn > wn > un.
2 a.
l
A
B
C
D
E
F
G
1
2 n
un
vn
wn
Somme des un
Somme des vn
Somme des wn
3
0
30 000
30 000
30 000
30 000
30 000
30 000
4
1
= B3 + 500
= 1,015*C3
= 1,01*D3 + 170
= SOMME(B$3:B4) = SOMME(C$3:C4) = SOMME(D$3:D4)
b. Pour n dans [0 ; 19] 1re évolution > 3e évolution > 2e évolution.
Pour n = 20, 21 : 3e évolution > 1re évolution > 2e évolution.
Pour n = 22, 23, 24, 25 : 3e évolution > 2e évolution > 1re évolution.
Pour n > 26 : 2e évolution > 3e évolution > 1re évolution.
18 • 1. Suites
Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
7 La suite u est une suite géométrique de raison 4.
La suite w est une suite géométrique de raison – 0,5.
8 Les suites u et t sont géométriques. La suite u a
pour raison 2, la suite t a pour raison 0,5.
9
a. Pour tout entier n : un = 5 × 4n.
b. u10 = 5 × 410 = 5 242 880.
1
10 Pour tout entier n : vn = n−1 × 16.
4
1
1
.
v8 = 7 × 16 =
1024
4
11
wn = 19 683 × 3n – 10.
1
w0 =
; w20 = 1 162 261 467.
3
12
∙
La raison de la suite est 5 =
et un =
5n – 8
u9
u8
∙
× 6.
u11 = 750 et u0 =
6
.
390 625
13 a. v4 = q²v2, donc q² = 36.
Les raisons possibles sont – 6 et 6.
1
b. v0 =
et v3 = – 12 ou 12.
18
14
a. Pour tout n, un + 1 = 4 × 2n + 1 = 2 un.
La suite u est géométrique de raison 2.
b. u est une suite géométrique positive de raison
2 > 1, donc elle est croissante.
3n
3
15 a. Pour tout n, vn + 1 = n+3 = un.
5
5
3
La suite v est géométrique de raison .
5
b. u est une suite géométrique positive de raison
comprise entre 0 et 1, donc elle est décroissante.
16
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
17 a. u0 = 0 et u1 = 3 et on ne peut pas passer de
u0 à u1 par une multiplication, donc la suite u n’est
pas géométrique.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 2 – un + 1 = 4n + 2 – 1 – (4n + 1 – 1)
= 4(4n + 1 – 4n) = 4(4n + 1 – 1 – (4n – 1)) = 4vn,
donc la suite v est géométrique de raison 4.
c. La suite v est positive et de raison supérieure à 1,
donc elle est croissante.
u
u
18 u0 = 2 , u1 = 4, u2 = 10. Comme 1 ≠ 2 la suite
u0 u1
u n’est pas une suite géométrique.
Pour n entier naturel :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 3un – 2 – 1 = 3 (un – 1) = 3vn.
19 1. u1 = 6 ; u2 = 8 ; u3 = 10.
2. a. v0 = 16 ; v1 = 64 ; v2 = 256.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = 2un+1 = 2un +2 = 4 × 2un = 4vn.
La suite v est géométrique de raison 4.
20 a. Il faut 4 piquets.
b. Il faut 14 piquets.
21 S1 = 0 + 1.
S2 = 0 + 1 + 2 = 3.
S4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
22 S1 = 0 + 1 = 1.
S2 = 0 + 1 + 2² = 5.
S4 = 0 + 1 + 2² + 3² + 4² = 30.
23 S est la somme des 11 premiers termes de la
suite géométrique de raison 4 et de premier terme 1
d’où :
1 − 411
S=
= 1 398 101.
1− 4
24 S est la somme des 19 premiers termes de la
suite géométrique de raison 0,75 et de premier
terme 1 d’où :
1 − 0,7519
S=
≈ 3,98.
1 − 0,75
25
S est la somme des 8 premiers termes de la
1
suite géométrique de raison
et de premier
3
terme 1 d’où :
8
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
19 680
=
.
S=
1
13 122
1−
3
26 S est la somme des 10 premiers termes de la suite
géométrique de raison 2 et de premier terme 1 d’où :
1 − 210
S = 10 + 21 + 22 + … + 29 =
= 1 023.
1− 2
27 S est la somme des 7 premiers termes de
la suite géométrique de raison 0,5 et de premier
terme 1 d’où :
1 − 0,57
254
S = 0,50 + 0,51 + … + 0,56 =
=
.
1 − 0,5
128
28 S est la somme des 9 premiers termes de
la suite géométrique de raison – 3 et de premier
terme 1 d’où :
19 684
1 − (−3)9
S=
=
= 4 921.
1 − (−3)
4
1. Suites • 19
29
S est la somme des 11 premiers termes de la suite
1
géométrique de raison et de premier terme 1 d’où :
4
11
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
1 398 101
=
.
S=
1
1 048 576
1−
4
30
c. S’’ = S – S’ =
710 775
1 024
40 S ≈ 5,187 377 817 64.
Sur Ti :
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
31 S est la somme des 7 premiers termes de la suite
géométrique de raison 5 et de premier terme 2 d’où :
1 − 57
78 124
S=2
=2
= 39 062.
1− 5
4
Sur Casio :
32
S est la somme des 6 premiers termes de la
5
et de premier
6
terme 5 d’où :
5
5
⎛ 5⎞
+…+ ⎜ ⎟
S=5 1+
⎝ 6⎠
6
suite géométrique de raison
∙
∙
6
⎛ 5⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
31 031 155 155
= 5×
=
=5
5
7 776
7 776
1−
6
41 S ≈ 27,467.
Sur Ti :
33
S = 1 + 6 + 6² + … + 68 – 9.
1 + 6 + 6² + … + 68 est la somme des 9 premiers
termes d’une suite géométrique de raison 6 et de
premier terme 1 d’où :
1 − 69
S=
– 9 = 2 015 530.
1− 6
34
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
35 S = 10 – 2 + 100 – 2 + 1 000 – 2 + … + 1 000 000 – 2
= 10 + 100 + … + 1 000 000 – 6 × 2.
10 + 100 + … + 1 000 000 est la somme des 6 premiers
termes d’une suite géométrique de raison 10 et de
premier terme 10 d’où :
1 − 106
S = 10 ×
– 12 = 1 111 098.
1 − 10
6
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
n+1
⎝ 5⎠
1− q
11 718
36 S = u0
=3
=
.
1
1− q
3 125
1−
5
37
38
39
Sur Casio :
n
S = v1 1 − q = 124( 2 + 1).
1− q
S = 2(n + 1).
a. S = w0
1 − q n+1
1− q
3 6+1
1−
875 495
2
=5
=
3
1 024
1−
2
3 10+1
1−
1 − q n+1
10 295
2
b. S’ = w0
=5
=
3
64
1− q
1−
2
20 • 1. Suites
42 a. N1 = 333.
b. N2 = 3 333.
⎛ A⎞
c. NA = E ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠
d. La suite u a pour limite +3.
43 a. N1 = 10.
b. N2 = 10 000.
⎛ 1⎞
c. N = E ⎜ ⎟ .
⎝ A⎠
d. La suite u tend vers 0.
44 La suite u semble tendre vers 6.
La suite v ne semble pas avoir de limite.
45 La suite u n’a pas de limite.
La suite v semble tendre vers – 4.
46
Les suites u et v semblent tendre vers +3.
47 La suite u n’est pas convergente.
La suite v tend vers l’infini.
48 a. 3 > 1, donc u tend vers +3.
b. 0,5 ∈ ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.
n
5
⎛ 5⎞
c.
> 1, donc ⎜ ⎟ tend vers +3.
⎝
⎠
4
4
54
a. Pour tout n entier :
n
n
⎛ 3⎞
⎛ 2 × 3⎞
2n – 4 × ⎜ ⎟ = 2n – 4 ⎜
⎟
⎝ 2⎠
⎝ 4 ⎠
n
d. tn =
1
1 ⎛ 1⎞
∈ ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.
=⎜ ⎟ ;
3
3n ⎝ 3 ⎠
49
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
50
a. 2 > 1 donc lim 2n = +3 et lim un = +3.
n→+3
n→+3
n
⎛ 3⎞
= 2n – 4 × 2n × ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
∙
⎛ 3⎞
= 2n 1 – 4 ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
b.
n
n
∙
3
⎛ 3⎞
< 1, donc lim ⎜ ⎟
n→+3 ⎝ 4 ⎠
4
n
= 0,
n
n
⎛ 1⎞
b. 0 < 0,5 < 1 donc lim ⎜ ⎟ = 0
n→+3 ⎝ 2 ⎠
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
d’où lim 4⎜ ⎟ = 0 et lim 1 – ⎜ ⎟ = 1.
⎝ 4⎠
n→+3 ⎝ 4 ⎠
n→+3
et lim vn = 0 – 2 = – 2.
⎛ 3⎞
donc lim 2n = +3 lim 2n (1 – 4 ⎜ ⎟ ) = +3.
⎝ 4⎠
n→+3
n→+3
n
n→+3
c. wn = 2n –
n
1
, 2 > 1 donc lim 2n = +3
n→+3
3
⎛ 3⎞
Au final lim 2n – 4 × ⎜ ⎟ = +3.
⎝ 2⎠
n→+3
n+1
et lim wn = +3.
n→3
d. 2 > 1 donc lim
n→+3
2n
= +3 , lim 1 –
n→+3
2n
= –3
et lim ( – 3)(1 – 2n) = +3
n→+3
51
n
⎛ 3⎞
a. Pour n entier, un = 14 ⎜ ⎟ , 0 < 34 < 1
⎝ 4⎠
n
⎛ 3⎞
donc lim ⎜ ⎟ = 0 et lim un = 0.
n→+3 ⎝ 4 ⎠
n→+3
3 > 1 donc lim 2n = 3 et lim tn = +3.
b.
n→+3
n→+3
1
c. Pour n entier, wn = 2n – , 2 > 1,
3
donc lim 2n = +3 et lim wn = +3.
n→+3
n→+3
d. Pour n entier, tn = 3 2n – 3, 2 > 1,
donc lim 2n = +3 et lim tn = +3.
n→+3
n→+3
52 a. La suite u tend vers +3, car c’est une suite
géométrique positive de raison supérieure à 1.
b. La suite v tend vers +3, car c’est une suite
géométrique positive de raison supérieure à 1.
c. La suite w tend vers 0, car c’est une suite géométrique positive de raison comprise entre 0 et 1.
d. La suite t tend vers 0, car c’est une suite géométrique positive de raison comprise entre 0 et 1.
53
a. Pour tout entier n :
n
⎛ 2n
⎞
⎛ 2⎞
n
2 – 3n = 3n ⎜ 3n − 1⎟ = 3n ⎜ ⎟ – 1
⎝
⎠
⎝ 3⎠
∙
n
n+1
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
55 un =
et lim
1
1
n→3
1−
1−
3
3
1 − 6n+1
1 − 6n+1
et lim
= +3.
vn =
n→+3
1− 6
1− 6
=
3
.
2
56 a. u0 = 0,75 ; u1 = 0,007 5 ; u2 = 0,000 075 ;
u3 = 0,000 000 75 ; u4 = 0,000 000 007 5 ;
u5 = 0,000 000 000 075.
b. S0 = 0,75 ; S1 = 0,757 5 ; S2 = 0,757 575 ;
S3 = 0,757 575 75 ; S4 = 0,000 000 007 5 ;
S5 = 0,757 575 757 575.
c. lim Sn = 0,757 575 757 575……….
0,75(1 – 0,01n )
75
7 500 2 500
Sn =
=
=
=
.
(1 – 0,01)
0,99
99
33
57 a. La limite de la suite u est égale à 0, car
c’est une suite géométrique de raison 0 < 0,4 < 1,
donc il existe un entier N tel que pour tout n > N,
un < 0,1.
b. Sur Ti :
Sur Casio :
∙
n
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
b. On a lim ⎜ ⎟ = 0 d’où lim ⎜ ⎟ – 1 = – 1
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n
∙
⎛ 2⎞
puis lim 3n ⎜ ⎟ – 1
⎝ 3⎠
n→+3
Au final lim
n→+3
2n
–
3n
∙ = –3.
= –3 .
58 a. La suite v est une suite géométrique positive de raison 1,5 > 1, donc sa limite sera égale à +3.
1. Suites • 21
Il existera donc un entier N tel que pour tout n > N,
un > 200.
b. Sur Ti :
Sur Casio :
S = 8 166.
64 La suite v est arithmético-géométrique, donc il
existe deux réels a et b tels que pour tout n entier :
vn + 1 = avn + b.
En appliquant cette relation de récurrence pour
n = 0 puis n = 1, on obtient le système :
⎧2 = a + b
⎨
⎩5 = 2a + b
Sur Casio :
59 a. Le programme permet de connaître le
premier entier n tel que :
0,80 + 0,81 + 0,82 + … + 0,8n ⩾ 5.
1 − 0,8n+1
b. Soit Sn = 0,80 + 0,81 + 0,82 + … + 0,8n =
.
1 − 0,8
On trouve a = 3 et b = – 1 d’où pour tout n entier :
vn + 1 = 3vn – 1.
65
S est une suite strictement croissante de limite 5.
Normalement Sn est toujours inférieure à 5 ; la
calculatrice arrondit les résultats.
60 u1 = 4u0 + 2 = 6.
u2 = 4u1 + 2 = 26.
u3 = 4u2 + 2 = 106.
61
a.
y
9
A0
8
7
6
5
4
3
2
1
d2
0
A et D.
B0
A2
A4
B4
B2
A3
A1
B1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
62 a. La relation vérifiée est la C.
b. u3 = – 1.
b. u0 = 8 ; u1 = 4 ; u2 = 6 ; u3 = 5 ; u4 = 5,5.
c. un + 1 = – 0,5un + 8.
63
d. La limite de la suite u va se rapprocher de
a. Sur Ti :
Sur Casio :
d1
x
16
.
3
66 a. u1 = 3 ; u2 = 4,5 ; u3 = 5,25.
b. un + 1 = 0,5un + 3 donc u est une suite arithméticogéométrique.
c. La limite de la suite u semble être 6.
u10 = 4 094.
b. Sur Ti :
67 a. u1 = 5 u2 = 17.
b. Pour tout n entier :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 4 (un – 1) = 4 vn.
v est une suite géométrique de raison 4.
c. Pour n entier : vn = 4n et un = 4n + 1.
68
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
69 a. u1 = 7 ; u2 = 13.
b. v0 = 3 ; v1 = 6 ; v2 = 12.
c. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 2un – 2 = 2(un – 1) = 2 vn.
La suite v est géométrique de raison 2.
d. Pour tout entier n : vn = 3 × 2n et un = 3 × 2n + 1.
22 • 1. Suites
e. La suite v est croissante, car c’est une suite
géométrique positive de raison 2 > 1.
Le suite u est aussi croissante,
car un + 1 – un = vn + 1 – vn > 0 pour tout entier n.
2. a. u20 > 10 000 et la suite est croissante
donc N doit être inférieur à 20.
b. 7 000 × 1,03N > 10 000.
c.
Sur Ti :
f. Comme 2 > 1, lim 2n = +3 et lim 2n + 1 = +3.
n→+3
n→+3
lim un = +3.
n→+3
70 a. Pour tout entier n on a :
vn + 1 = un + 1 – 5 = (0,2un + 4) – 5 = 0,2un – 1
= 0,2(un – 5) = 0,2vn.
La suite v est donc une suite géométrique de raison 0,2.
b. v est une suite géométrique de raison 2, donc
pour tout entier n on a :
vn = 0,2nv0 = 2n(u0 – 5) = – 3 × 0,2n.
c. Pour tout entier n, on a :
vn = un – 5 ⇔ un = vn + 5.
D’où un = – 3 × 0,2n + 5.
d. Pour tout entier n, on a :
un + 1 – un = ( – 3 × 0,2n + 1 + 5 )– ( – 3 × 0,2n + 5 )
= 3 × 0,8 × 0,2n > 0.
La suite u est donc une suite strictement croissante.
e. Comme 0,2 ∈ ]0 ; 1[, lim 0,2n = 0
n→+3
donc lim – 3 × 0,2n = 0 et lim – 3 × 0,2n + 5 = 5.
n→+3
n→+3
On a donc lim un = 5.
n→+3
Sur Casio :
Il faut 13 ans pour que le capital passe à 10 000 €.
73 1. a. un + 1 = 0,95un.
b. u est une suite géométrique de raison 0,95.
c. u est une suite géométrique de raison comprise
entre 0 et 1, donc la suite est décroissante.
d. Pour tout entier n : un = 2 000 × 0,95n,
donc u24 = 2 000 × 0,9524 = 583.
2.
Sur Ti :
f. u0 + u1 + u2 + … + u10 = – 3 × 0,20 + 5 + (– 3) × 0,21
+ 5 + (– 3) × 0,22 + 5 + … + (– 3) × 0,210 + 5.
= – 3 × (0,20 + 0,21 + 0,22 + … + 0,210) + 11 × 5.
1 − 0,211
500 488 282
=–3×
+ 55 =
.
1 − 0,2
9 765 625
Exercices d’approfondissement
71
Sur Casio :
1. a. u1 = 9 ; u2 = 3 89 .
u
u
89
, donc la suite u n’est pas
b. 1 = 9 ≠ 2 =
u0
u1
3
géométrique.
2. a. v0 = 10 ; v1 = 90 ; v2 = 810.
b. Pour tout entier n :
2
vn + 1 = un + 1² + 9 = 9 un2 + 8 + 9 = 9(un² + 9) = 9vn.
La suite v est géométrique de raison 9.
3. a. Pour tout entier n : vn = 10 × 9n.
b. Pour tout entier n : un =
10 × 9n − 9
72 1. a. À une augmentation de 3 % correspond
un coefficient multiplicateur de 1,03,
d’où un + 1 = 1,03un.
b. u est une suite géométrique de raison 1,03.
c. u est une suite géométrique positive de raison
supérieure à 1, donc la suite est croissante.
d. Pour tout entier n : un = 7 000 × 1,03n,
donc u20 = 7 000 × 1,0320 = 12 642.
En suivant son système, au 14e mois, le prix de la
voiture passe sous les 1 000 €.
74
a. et b.
n
an
bn
0
230
0,014 740 75
1
237
0,014 968 74
2
243
0,015 121 34
3
245
0,015 018 7
4
248
0,014 977 65
c. La variation relative semble constante, donc la
population se rapproche d’une suite géométrique.
1. Suites • 23
2. a. Pour tout n entier : un = 1,015n × 16 806.
b. La population de la ville en 2020 sera égale à
u14 = 19 216.
75 a. Pour tout i entier : di + 1 = Ai + 1Ai + 2 = OAi + 1.
OAiAi + 1 est un triangle rectangle en Ai, donc, d’après
le théorème de Pythagore :
OAi + 1² = OAi² + AiAi + 1 = 2di²,
d’où di + 1 = 2 di.
b. La suite est géométrique de raison 2 .
9
c. d9 = 2 = 16 2 .
i
1− 2
1− 2
2 ).
b.
c.
d.
e.
Pour tout entier n : un = 3(n – 1) + 2.
u7 = 20.
v n = u 1 + … + u n.
Sur Ti :
Sur Casio :
d. Pour i > 0 Li = d0 + d1 + di – 1 =
et pour i = 20 : L20 = 1 023(1 +
76 1. a. L0 = 450. L1 = 1,02 × 450 = 459.
b. Pour tout n entier : Ln + 1 = 1,02Ln. La suite L est
une suite géométrique de raison 1,02.
2. On cherche à calculer :
1 − 1,0212
12 (L0 + L1 + … + L11) = 12 × 450
= 72 425,28 €.
1 − 1,02
77 a. u1 = 0,96 × u0 = 144 ; u2 = 138,24.
b. Pour tout entier n : un + 1 = 0,96un.
c. La suite u est une suite géométrique de raison
0,96, donc :
1 − 0,9612
S = u0 + u1 + … + u11 = 150
= 1 450,33.
1 − 0,96
f. Sur Ti :
Sur Casio :
1 450 personnes se sont abonnées la première année.
78
1. a. Pour tout n entier :
n+1
n
2 ⎛ 2⎞
2
⎛ 2⎞
un + 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = un . La suite u est géomé⎝ 3⎠
3 ⎝ 3⎠
3
trique de raison
2
.
3
2
< 1, donc la suite u a pour limite 0 lorsque
3
4
n tend vers +3.
⎛ 2⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
65
=
.
2. a. v3 = u0 + u1 + u2 + u3 =
2
27
1−
3
b. vn est la somme des n + 1 premiers termes d’une
2
suite géométrique de raison
et de premier terme
3
u0 = 1, donc pour tout entier n :
b. 0 <
n+1
⎛ 2⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
.
vn =
2
1−
3
n+1
1− 0
⎛ 2⎞
= 3.
c. lim ⎜ ⎟ = 0, donc lim vn =
2
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n→+3
1−
3
79 a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 3. La suite u
est arithmétique de raison 3.
24 • 1. Suites
80
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
81 1. a. un + 1 = 0,81 un. La suite u est une suite
géométrique de raison 0,81.
b. vn + 1 = 0,9vn. La suite v est une suite géométrique
de raison 0,9.
c. La suite v est une suite géométrique de raison 0,9
et de premier terme v1 = 1, donc, pour tout n entier
supérieur à 1, vn = 0,9n – 1.
2. a. w est la somme de la suite géométrique v de
raison 0,9 donc pour tout entier n :
1 − 0.9n
wn =
.
1 − 0.9
1
= 10.
b. lim 0,9n = 0, donc lim wn =
n→+3
n→+3
1 − 0,9
La balle s’arrête de rebondir au bout de 10 s.
c. Pour calculer la distance parcourue par la balle
après le premier rebond, on calcule le double de la
limite de la somme des un quand n tend vers l’infini
soit :
200
1 − 0,81n
2
lim 1,25 ×
=
=
m.
n→+3
1 − 0,81
0,19
19
On peut choisir de rajouter à cette distance la
1,28 128
hauteur d’où on lâche la balle soit :
.
=
0,81 81
82 a. un + 1 = (1 – 0,000 121)un = 0,999 879 un. La
suite u est une suite géométrique de raison 0,999 879
inférieure à 1.
b. La suite u est une suite géométrique positive de
raison q < 1, donc la limite de la suite quand n tend
vers +3 est 0.
c. Sur Ti :
Sur Casio :
3n+1 − 1
= 3n + 1 – 1.
2
b. Sn = (u1 – u0) + (u2 – u1) + … + (un + 1 – un)
= un + 1 – u0 = un + 1 – 2.
c. un + 1 = 3n + 1 + 1, donc pour n > 0, un = 3n + 1,
et comme ceci est également vrai pour n = 0,
un = 3n + 1.
Sn = v0
85 1. a. Hugo doit 1,01 × 1 000 = 1 010 euros.
b. Hugo doit rembourser 1 010 – 30 = 980 euros
après son premier remboursement.
c. Mn + 1 = 1,01Mn – 30.
2. a. u est une suite arithmético-géométrique.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 1 – 3 000 = 1,01un – 30 – 3 000
= 1,01(un – 3 000) = 1,01vn.
La suite v est donc géométrique de raison 1,01.
c. La suite v étant géométrique de raison 1,01, on a
pour tout n entier :
vn = v0qn = – 2 000 × 1,01n.
vn = un – 3 000,
donc un = vn + 3 000 = – 2 000 × 1,01n + 3 000.
d. Sur Ti :
Sur Casio :
83 b. La suite u semble convergente de limite 4.
c. vn + 1 = un + 1 – 4 = 0,5un + 2 – 4 = 0,5 (un – 4) = 0,5vn.
La suite v est une suite géométrique de raison 0,5 et
de premier terme v0 = – 2.
d. Pour tout entier n :
vn = – 2 × 0,5n et un = – 2 × 0,5n + 4.
e. 0,5 ∈ ]0 ; 1[, donc lim 0,5n = 0
n→+3
d’où lim – 2 × 0,5n = 0 et lim – 2 × 0,5n + 4 = 4.
n→+3
n→+3
La suite u est convergente et tend vers 4.
84 1. a. u1 = 4 ; u2 = 10 ; u3 = 28 ; u4 = 82 ; v0 = 2 ;
v1 = 6 ; v2 = 18 ; v3 = 54.
b. Il semble que la suite u soit géométrique de
raison 3.
c. Pour n entier :
vn = un + 1 – un = 3 un – 2 – un = 2un – 2.
d. Pour tout entier n :
vn + 1 = 2(un + 1 – 1) = 2(3un – 2 – 1)
= 6un – 6 = 3(2un – 2) = 3vn.
La suite v est donc géométrique de raison 3.
2. a. Sn est la somme des n + 1 premiers termes
d’une suite géométrique, donc :
e. Il faut 41 mois à Hugo pour rembourser l’emprunt. Il a remboursé :
40 × 30 = 1 200 € les 40 premiers mois de son emprunt
et 1,01u40 = 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) ≈ 22,49 euros le
dernier mois. En tout, il a versé :
1 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) ≈ 122,49 euros.
Le total des intérêts versés est alors de :
1 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) – 1 000
= 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140),
soit environ 222,49 euros.
86 1. a. Pour tout entier n, un + 1 = 0,9un + 10 000.
b. u0 = 200 000 u1 = 190 000 u2 = 181 000.
u1 – u0 ≠ u2 – u1 donc la suite u n’est pas arithmétique.
u1
≠ u2 – u1 donc la suite u n’est pas géométrique.
u0
2. a. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
vn + 1 = un + 1 – 100 000 = 0,9un + 10 000 – 100 000
= 0,9un – 90 000 = 0,9(un – 100 000) = 0,9vn.
1. Suites • 25
Donc la suite v est une suite géométrique de raison
0,9.
b. La suite v est géométrique de raison 0,9, donc
pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
vn = v1 * 0,9n – 1 = 100 000 × 0,9n – 1.
et
un = vn + 100 000 = 100 000(0,9n – 1 + 1)
c. Pour n entier supérieur à 1,
un + 1 – un = 100 000 × 0,9n (0,9 – 1) = – 0,9n × 10 000 < 0.
La suite u est donc décroissante.
d. Comme 0,9 ∈ ]0 ; 1[, 0,9n tend vers 0 quand n
tend vers l’infini. La suite u va donc tendre vers
100 000(0 + 1) = 100 000.
Le nombre de spectateurs va se rapprocher de
100 000 mais ne descendra pas en deçà.
e. S20 = u1 + u2 + … + u20
= 200 000 + 100 000(0,9 + 1) + … 100 000(0,919 + 1)
= 100 000(0,90 + 0,91 + 0,92 + … + 0,919 + 20)
1 − 0,920
= 100 000(
+ 20)
1 − 0,9
≈ 2 878 423.
Le total cumulé des spectateurs est de 2 878 423.
87
1. a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 400. La suite u
est donc arithmétique de raison 400.
b. Pour tout entier n : un = 800 + 400n.
c. un > 5 000 ⇔ 800 + 400n > 5 000 ⇔ n > 10,5.
À partir du 11e jour après le début de son entraînement, Luna va dépasser 5 km de course.
2. a. D’après le logiciel,
u0 + u1 + … + uN = 200N² + 1 000N + 800.
b. u0 = 800 = 200 × 0² + 1 000 × 0 + 800.
u0 + u1 = 800 + 1 200 = 2 000
= 200 × 1² + 1 000 × 1 + 800.
u0 + u1 + u2 + u3 = 5 600 = 200 × 3² + 1 000 × 3 + 800.
La formule est exacte pour N = 0, 1 ou 3.
3. a. Pour le logiciel, Sn – Sn – 1 = 400n + 800 = un,
pour tout n entier supérieur à 0.
b. Pour n entier :
Sn – Sn – 1 = 200n² + 1 000n + 800 – (200(n – 1)² +
1 000(n – 1) + 800) = 400n + 800.
c. Pour tout entier n :
u0 + u1 + u2 + … ; uN = u0 + S1 – S0 + S2 – S1 + … ;
S N – S N – 1 = u 0 – S 0 + S N = S N.
d. Sn > 20 000 ⇔ 200n² + 1 000n + 800 > 20 000
⇔ 200n² + 1 000n – 19 200 > 0.
n est compris dans
⎡ −1 000 − 16 360 000 −1 000 + 16 360 000 ⎤
;
ℕ\ ⎢
⎥.
400
400
⎣
⎦
Au final, comme n est un entier naturel, n doit être
supérieur ou égal à 8.
26 • 1. Suites
Objectif bAC
Se tester sur les suites
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le
manuel, p. 390.
Sujets type BAC
97
Exercice résolu.
98
A 1. 2. et 3.
A
A0
A1 A2 B
b.
B. 1. d1 =
1
1
; d2 =
.
2
4
2. a. La suite d est géométrique de raison
1
et de
2
premier terme d0 = 1.
1
et de
2
premier terme d0 = 1, donc pour tout entier n :
n
⎛ 1⎞
dn = ⎜ ⎟ .
⎝ 2⎠
b. La suite d est géométrique de raison
3. a. Sn = d0 + d1 + d2 + … + dn = 1 +
n+1
n+1
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
=
1
1−
2
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
=
=2 1–
1
2
1
∈ ]0 ; 1[, alors lim
b. Comme
n→+3
2
∙
∙
⎛ 1⎞
et lim 2 1 – ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
n→+3
n
1
1²
1n
+
+…
2
2
2
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2
n+1
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2
∙.
n
=0
∙ = 2(1 – 0) = 2.
c. La distance AAn se rapproche de 2.
99
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.
100
Partie A
7
37
1. A2 =
; A3 =
.
4
16
(Pour justifier, on peut demander aux élèves de
construire une figure).
2. a. Avec P = 3, le programme va afficher :
7 43
;
.
1;
4 16
b. La proposition 1 est juste, car U2 = A2.
La proposition 2 est fausse, car U3 ≠ A3.
Partie B
1. a. B1 = A1 – 4 = – 3.
Problèmes
b. Pour tout entier n strictement positif :
3
3
Bn + 1 = An + 1 – 4 =
An + 1 – 4 =
An – 3
4
4
=
102 Étude d’un bénéfice
Partie A
1.
3
3
(An – 4) =
B n.
4
4
c. La suite B est une suite géométrique de raison
3
.
4
d. Comme la suite B est géométrique de raison
3
4
on a pour tout entier n strictement positif :
n−1
⎛ 3⎞
Bn = B1 qn – 1 = – 3 ⎜ ⎟ .
⎝ 4⎠
2. Pour tout entier n strictement positif : Bn = An – 4
n−1
⎛ 3⎞
d’où An = Bn + 4 = 4 – 3 ⎜ ⎟ .
⎝ 4⎠
3
3
< 1, lim
= 0 et lim An = 4.
n→+3 4
n→3
4
À terme, le carré donnera l’impression d’être entièrement bleu.
Comme 0 <
101 Partie A
1. u1 = 1,035u0 = 4 140 ; u2 = 1,035u1 = 4 284,9.
2. Le capital augmente de 3,5 % chaque année.
3,5
Il est alors multiplié par 1 +
.
100
Pour tout entier n, un + 1 = 1,035 un. La suite u est
donc une suite géométrique de raison 1,035.
3. La suite u est géométrique de raison 1,035, donc
pour tout entier n, on a :
un 1,035nu0 = 1,03n × 3 000.
4. Au bout de 6 ans, le capital d’Agnès sera égal à
u6 = 1,0356 × 3 000 ≈ 3 687,77 euros.
Partie B
1. v1 = 1,002 5v0 + 50 = 1 052,5 ;
v2 = 1,002 5v1 + 50 = 1 105,13 ;
v3 = 1,002 5v2 + 50 ≈ 1 157,89.
2. Pour tout entier n : vn + 1 = 1,002 5vn + 50.
3. a. Pour tout entier n : wn + 1 = vn + 1 + 20 000
= 1,002 5vn + 20 050 = 1,002 5(vn + 20 000)
= 1,002 5wn.
w est une suite géométrique de raison 1,002 5, donc
pour tout entier n :
wn = 1,002 5n × w0 = 1,002 5n × 21 000.
et comme wn + 1 = vn + 1 + 20 000, ceci entraîne que :
vn = wn – 20 000 d’où :
vn = wn – 20 000 = 1,002 5n × 21 000 – 20 000.
b. v72 ≈ 51 365,92.
Janvier
2012
Rang du mois
Recettes
Coûts
Bénéfices
0
2 300
800
1 500
Février
2012
1
2 323
820
1 503
Mars
2012
2
2 346,23
840,5
1 505,73
2. a. R est une suite géométrique de raison 1,01 et
de premier terme 2 300,
donc pour tout entier n, Rn = 2 300 × 1,01n.
C est une suite géométrique de raison 1,025 et de
premier terme 800,
donc pour tout entier n, Cn = 800 × 1,025n.
b. Pour tout entier n :
Bn = Rn – Cn = 2 300 × (1,0 × 1)n – 800 × (1,025)n.
3. a. Pour tout entier n :
Bn + 1 – Bn = 2 300 × (1,01)n + 1 – 800 × (1,025)n + 1
– 2 300 × (1,01)n – 800 × (1,025)n
n
= 2 300 × (1,01) (1,01 – 1) – 800 × (1,025)n(1,025 – 1)
= 2 300 × (1,01)n(0,01) – 800 × (1,025)n(0,025)
= 23 × 1,01n – 20 × 1,025n.
b. 23 × 1,01n – 20 × 1,025n > 0.
23 × 1,01n > 20 × 1,025n
n
20
⎛ 1,01 ⎞
⎜⎝ 1,025 ⎟⎠ > 23 .
⎛ 1,01 ⎞
est compris entre 0 et 1,
c. ⎜
⎝ 1,025 ⎟⎠
⎛ 1,01 ⎞
donc lim ⎜
⎟ = 0.
n→+3 ⎝ 1,025 ⎠
Au bout d’un certain rang, le bénéfice sera décroissant car pour tout n supérieur à un certain rang :
n
20
⎛ 1,01 ⎞
⎜⎝ 1,025 ⎟⎠ < 23 .
4. Sur Ti :
Sur Casio :
1. Suites • 27
Partie B
1. Pour tout n entier :
Bn = 2 300 × (1,01)n – 800 × (1,025)n
⎛ 1,01 ⎞ n
= 1,025)n(2 300 × ⎜
– 800 .
⎝ 1,025 ⎟⎠
∙
∙
2. a. 1,025 > 1, donc lim 1,025n = +3.
⎛ 1,01 ⎞
lim ⎜
⎟ = 0,
n→+3 ⎝ 1,025 ⎠
donc lim
n→+3
∙
n→+3
⎛ 1,01 ⎞
2 300 × ⎜
⎝ 1,025 ⎟⎠
n
∙
– 800 = – 800.
et lim Bn = – 3.
n→+3
L’artisan aura des déficits à long terme.
3. Sur Ti :
Sur Casio :
Partie C
1. SRn est une somme des n + 1 termes de la suite
géométrique R d’où :
1 − 1,01n
SRn = 2 300 ×
= 230 000(1,01n + 1 – 1).
1 − 1,01
2. SCn est une somme des n + 1 termes de la suite
géométrique C d’où :
1 − 1,025n
SCn = 800 ×
= 32 000(1,025n + 1 – 1).
1 − 1,025
3. SBn = SRn – SCn
= 230 000(1,01n + 1 – 1) – 32 000(1,025n + 1 – 1).
4. Pour n = 11, SB11 = 18 133. La première année,
l’artisan fait un bénéfice de 18 133,3 euros.
103
Somme des termes d’une suite arithmétique
1. a. Pour tout n,
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
–
= n + 1.
vn = un + 1 – un =
2
2
v est une suite arithmétique de raison 1.
b. Pour tout n entier : vn = n + 1.
2. a. Pour n > 1,
Sn = v0 + v1 + … + vn – 1
= u1 – u0 + u2 – u1 + … + un – un – 1 = un – u0
n(n + 1)
=
.
2
28 • 1. Suites
b. Or on a aussi :
Sn = v0 + v1 + … + vn – 1 = 1 + 2 + 3 + … + n
n(n + 1)
d’où 1 + 2 + 3 + … + n =
.
2
3. a. Pour n > 1, Sn = 0 + 1 + 2 + … + 100
100 (101)
=
= 5 050.
2
b. 0 + 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100
51
= 2 550.
2
c. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 = 5 050 – 2 550 = 2 500.
= 2 (0 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50) = 2 × 50 ×
104 Construire une suite
Partie A
y
a.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A4
A2
A1
x
A0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 131415
b. u0 = 1 ; u1 = 3 ; u2 = 7 ; u3 = 15.
c. Pour tout n entier : un + 1 = 2un + 1.
d. Il semble que u est croissante et a pour limite +3.
Partie B
a. Pour tout entier n :
wn + 1 = vn + 1 + 1 = 2vn + 1 + 1 = 2(vn + 1) = 2wn.
La suite w est géométrique de raison 2 et pour tout
n : w n = w 0 2 n = 2 n + 1.
b. Pour tout entier n : vn = wn – 1 = 2n + 1 – 1.
c. Comme 2 > 1, lim 2n + 1 = +3
n→+3
et lim vn = lim 2n + 1 – 1 = +3.
n→+3
Partie C
Sur Ti :
n→+3
Sur Casio :
3. a. v n correspond à l’évolution absolue de la
population de la ville entre l’année n – 1 et l’année n.
b. Pour n > 0, vn = un – un – 1 = 0,95un – 1 + 800 – un – 1
= – 0,05un – 1 + 800.
c. Pour n > 0, vn + 1 = – 0,05un + 800
= – 0,05(0,95*un – 1 + 800) + 800
105
Population
1. a. Il n’y a pas le même nombre d’habitants
supplémentaires d’une année sur l’autre, donc il
n’est pas adapté de prendre une suite arithmétique
pour modéliser la population de la ville.
b. Il n’y a pas la même proportion d’habitants
supplémentaires d’une année sur l’autre, donc il
n’est pas adapté de prendre une suite géométrique
pour modéliser la population de la ville.
2. a. On doit résoudre le système
⎧⎪ 12200 = a × 12000 + b
.
⎨
12390 = a × 12200 + b
⎩⎪
On trouve a = 0,95 et b = 800.
b. u3 = 12 570,5.
u4 = 12 741,975.
u5 = 12 904,876 25.
u6 = 13 059,632 437 5.
L’erreur absolue entre le nombre d’habitants trouvé
avec le modèle et la population réelle ne dépasse
pas 1 ; la modélisation est valable.
= 0,95( – 0,05un – 1 + 800)
= 0,95vn.
v est une suite géométrique de raison 0,95.
d. Pour n > 0,
Sn = v1
1 − 0,95n 200
=
(1 − 0,95n ) = 4 000(1 − 0,95n ).
1 − 0,95 0,05
e. Pour n > 0, Sn = v1 + v2 + … + vn
= u1 – u0 + u2 –u1 + … + un – un – 1 = un – u0.
f. Pour n > 0, un – u0 = 4 000(1 – 0,95n)
d’où un = 16 000 – 4 000 × 0,95n.
La relation est également exacte si n = 0 ; elle est
donc vraie pour tout entier n.
g. Pour tout entier n,
un + 1 – un = vn + 1 = 200 × 0,95n – 1 > 0,
donc la suite u est croissante.
h. lim 0,95n = 0 ,
n→+∞
donc lim 16 000 − 4 000 × 0,95n = 16 000 .
n→+∞
La population de la ville va se rapprocher de 16 000
habitants.
1. Suites • 29