Mathématiques avancées : Analyse fonctionnelle Année 2009

Mathématiques avancées : Analyse
fonctionnelle
Année 2009-2010
Angela Pasquale
Relectures et corrections par Philippe Bonneau
Laboratoire de Mathématiques et Applications (LMAM), Université Paul
Verlaine – Metz
E-mail address: [email protected]
Table des matières
Introduction
1. Notations et rappels
5
6
Chapitre 1. Opérateurs et formes linéaires
1. Opérateurs linéaires bornés
2. Dual topologique d’un espace vectoriel normé
3. Topologies faibles
9
9
10
14
Chapitre 2. Opérateurs compacts
1. Opérateurs de Hilbert-Schmidt
17
19
Chapitre 3. Théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints sur un espace de
Hilbert
25
Bibliographie
29
3
Introduction
L’analyse fonctionnelle est la partie de l’analyse qui étudie les espaces vectoriels de dimension
infinie sur R ou sur C ainsi que les applications linéaires sur ces espaces. Ce qui distingue
l’analyse fonctionnelle de l’algèbre linéaire est le rôle important joué par la topologie. Sur
les espaces vectoriels de dimension finie toutes les normes sont équivalentes 1, donc elles
définissent la même topologie. En outre, toute application linéaire est automatiquement
continue. Dans le cas de dimension infinie les choses ne sont pas aussi simples.
Considérons par exemple l’espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs
complexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normes
Z 1
|f (x)| dx et kf k∞ := sup |f (x)|
kf k1 :=
x∈[0,1]
0
ne sont pas équivalentes sur C([0, 1]), mais on a l’inégalité kf k1 ≤ kf k∞ pour tout f ∈
C([0, 1]). Pour montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes, on considère la suite
de fonctions {fn } avec fn (x) := xn . Alors
Z 1
1
→ 0 pour n → ∞ ,
xn dx =
kfn k1 =
n+1
0
kfn k∞ = 1 pour tout n .
Ainsi la suite {fn } converge en vers 0 par rapport à k · k1 , mais elle ne converge pas uniformément vers 0 sur l’intervalle [0, 1].
Si on considère maintenant l’espace X = C 1 ([−1, 1]) des fonctions complexes de classe
1
C sur [−1, 1], muni de la norme kf k∞ = supx∈[−1,1] |f (x)|, alors l’application T : X → C
définie par T (f ) = f 0 (0) est C-linéaire, mais pas continue. En effet, soit {fn } la suite de
fonctions définies pour n ≥ 1 par
fn (x) =
sin(n2 x)
.
n
Alors {fn } converge uniformément vers 0 sur [−1, 1], mais T (fn ) = n converge vers ∞ et pas
vers T (0) = 0.
1. On rappelle que deux normes k · k et k · k0 sur un espace vectoriel X sont équivalentes s’il existe deux
constantes C > 0 et C 0 > 0 telles que pour tout x ∈ X on a
Ckxk ≤ kxk0 ≤ C 0 kxk .
Cette condition est équivalente à la suivante : Toute suite {xn } in X converge vers x ∈ X pour k · k si et
seulement si elle converge vers x pour k · k0 .
5
1. Notations et rappels
Dans ce paragraphe nous commençons par introduire les notations qui seront employées
ensuite et nous rappelons brièvement les définitions d’espaces de Banach et de Hilbert.
Nous désignerons par N, Z, R et C les ensembles usuels de nombres. Ainsi, R sera par
exemple l’ensemble des nombres réels et C celui des nombres complexes. La partie réelle d’un
nombre complexe z sera notée Re z ; la partie imaginaire de z sera notée Im z.
On considère dans ce qui suit des espaces vectoriels sur un corps K qui sera R ou C. Soit
X un espace vectoriel sur K. Une norme sur X est application x 7→ kxk de X dans [0, ∞[
qui vérifie les trois conditions suivantes :
(1) kx + yk ≤ kxk + kyk pour tout x, y ∈ X,
(2) kλxk = |λ| kxk pour tout x ∈ X et λ ∈ K,
(3) kxk = 0 si et seulement si x = 0.
Un espace vectoriel muni d’une norme est dit un espace vectoriel normé.
Exemple 1 (Exemples en dimension finie). Pour tout x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn on pose :
(1) kxk∞ := supi=1,...,n |xi | ,
P
1/p
(2) kxkp := ( ni=1 |xi |p ) (pour p ≥ 1 ; pour p = 2, on retrouve la norme associée au
produit scalaire euclidien ou hermitien usuel).
Les applications k · k∞ et k · kp sont des normes sur Kn .
Exemple 2 (Exemples en dimension infinie).
(1) Soit X un ensemble non vide, M
une tribu sur X (dont les éléments sont appelés les ensembles mesurables) et enfin
soit µ une mesure sur M. Deux fonctions mesurables sur X à valeurs complexes
sont dites équivalentes (et par la suite identifiées) lorsque elles sont presque partout
égales. Pour 1 ≤ p < +∞, l’espace Lp (X, M, µ) est l’espace vectoriel des (classes
d’équivalence des) fonctions f : X → C, définies et mesurables sur l’espace mesuré
(X, M, µ) et pour lesquelles
1/p
Z
p
< ∞.
|f | dµ
kf kp :=
X
p
Ici kf kp désigne la norme L de f . Suivant le contexte, les symboles M et µ peuvent
être sous-entendus dans la notation Lp (X, M, µ) ; on écrira dans ce cas Lp (X).
(2) Soit (X, M, µ) un espace mesuré. On dit qu’un fonction mesurable f : X → C
est essentiellement bornée s’il existe un presque majorant de |f |, c’est-à-dire une
constante C ≥ 0 telle que |f (x)| ≤ C pour presque tout élément x ∈ X. Dans
ce cas, on définit la borne supérieure essentielle sup ess|f | comme l’inf des presque
majorants. L’espace L∞ (X, M, µ) est l’espace obtenu en considérant les (classes
d’équivalence de) fonctions essentiellement bornées (la relation d’équivalence étant
l’égalité presque partout). Il est muni de la norme kf k∞ := sup ess|f |.
Un espace vectoriel normé est un espace métrique par rapport à la distance d(x, y) :=
kx − yk. Une suite (xn ) dans un espace métrique est dite suite de Cauchy si pour tout > 0
il existe un N ∈ N tel que pour tout n, m > N on a d(xn , xm ) < . Un espace métrique X
est dit complet si toute suite de Cauchy de X a une limite dans X. Un espace de Banach
est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme.
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Exemple 3. Les espaces vectoriels normés des exemples 1 et 2 sont des espaces de
Banach.
Pour λ ∈ K on définit λ comme le conjugué de λ si K = C et comme λ si K = R. Soit X
un espace vectoriel sur K. Un produit scalaire sur X est une application h·, ·i : X × X → K
qui vérifie les propriétés suivantes pour tout x, y, x0 ∈ X et λ, µ ∈ K :
(1) hλx + µx0 , yi = λhx, yi + µhx0 , yi ,
(2) hx, yi = hy, xi
(3) hx, xi ≥ 0 ,
(4) hx, xi = 0 si et seulement si x = 0 .
Un espace de Hilbert est un espacepde Banach X dont la norme k · k découle d’un produit
scalaire h·, ·i par la formule kxk = hx, xi pour tout x ∈ X.
Exemple 4. Les espaces de Banach des exemples 1 et 2 sont des espaces de Hilbert pour
p = 2. Les produits scalaires sont
n
X
hx, yi :=
xj y j ,
j=1
n
pour K , et
Z
hf, gi :=
f (x)g(x) dµ(x)
X
pour L2 (X).
7
CHAPITRE 1
Opérateurs et formes linéaires
Ici commence réellement le sujet central de ce cours que l’on peut renommer “Introduction
à la théorie des opérateurs”.
Un magnifique exposé des problèmes de physique pouvant être résolus (notamment) par
les techniques exposées ci-dessous est donné dans [CH89] ([CH93] pour les germanophones).
Un exposé classique et plus moderne restant proche des préoccupations physiques se
trouve dans [RS80].
Une référence très complète sur le sujet est [DS88].
Une bonne référence en français est [Br83]. Il en existe de nombreuses autres (souvent
bonnes également).
Des références plus récentes peuvent être [Fo99] et [Ru95]. Là encore il en existe un
grand nombre, sûrement consultables avec profit.
1. Opérateurs linéaires bornés
Soient X et Y deux espaces vectoriels normés. 1 Un opérateur linéaire T : X → Y est dit
borné s’il existe un réel C ≥ 0 tel que
kT xk ≤ Ckxk
pour tout x ∈ X. 2 Dans ce cas, on définit
kT kop := inf{C : kT xk ≤ Ckxk pour tout x ∈ X}
= sup{kT xk : kxk = 1}
= sup{kT xk : kxk ≤ 1}
n kT xk
o
= sup
: x 6= 0 .
kxk
(1)
On a alors kT xk ≤ kT kop kxk pour tout x ∈ X.
Exercice 1. Vérifier les égalités dans la définition de kT kop .
On note L(X, Y ) l’ensemble des opérateurs linéaires bornés de X dans Y . On écrira L(X)
à la place de L(X, X). L’ensemble L(X, Y ) est un espace vectoriel sur K pour les lois :
(T + S)x := T x + Sx
S, T ∈ L(X, Y ), x ∈ X
(λT )x := λ(T x)
λ ∈ K, T ∈ L(X, Y ), x ∈ X .
1. Nous utilisons le même symbole k · k pour noter la norme sur chacun des deux espaces vectoriels X et
Y.
2. On écrira souvent T x au lieu de T (x).
9
En outre, l’application T 7→ kT kop est une norme sur L(X, Y ), que l’on appelle la norme
d’opérateurs.
Lemme 1. Si T : X → Y est une application linéaire, alors les affirmations suivantes
sont équivalentes :
(1) T ∈ L(X, Y ),
(2) L’ensemble {T x : kxk ≤ 1} est borné dans Y ,
(3) T est continu en l’origine 0 de X,
(4) T est continu,
(5) T est lipschitzien (c’est-à-dire, il existe une constante C > 0 telle que pour tout
x, y ∈ X on a kT x − T yk ≤ Ckx − yk).
Preuve. Exercice.
Lemme 2. Si Y est un espace de Banach, alors il en est de même pour (L(X, Y ), k · kop ).
Preuve. Soit {Tn } une suite de Cauchy de L(X, Y ). Si x ∈ X, alors {Tn x} est une suite
de Cauchy de Y car kTn x − Tm xk ≤ kTn − Tm kop kxk. On définit T : X → Y par T x :=
limn→∞ Tn x. Il est facile de vérifier (exercice) que T est linéaire. Montrons maintenant que
T est borné. Par hypothèse, il existe N ∈ N tel que si n, m > N alors kTn − Tm kop < ε,
d’où |kTn kop − kTm kop | < ε. La suite numérique {kTn kop } est donc de Cauchy. Elle est en
particulier bornée, c’est-à-dire il existe C > 0 tel que kTn kop ≤ C pour tout n. On en déduit
que kTn xk ≤ Ckxk. Par passage à la limite, on a donc kT xk ≤ Ckxk pour tout x ∈ X. Reste
encore à montrer que {Tn } converge vers T pour la norme d’opérateur. Soit ε > 0. Pour tout
x ∈ X et n, m ≥ N on a kTn x − Tm xk ≤ kTn − Tm kop kxk ≤ εkxk. Fixons n ≥ N et faisons
tendre m vers l’infini. On obtient kTn x − T xk ≤ εkxk, d’où kTn − T kop < ε pour n > N , ce
qui nous assure de la convergence cherchée.
Nous remarquons aussi que la composée S ◦ T de deux opérateurs linéaires bornés S et
T est un opérateur linéaire borné.
Le théorème suivant est un des résultats fondamentaux de la théorie des opérateur
linéaires sur les espaces de Banach.
Théorème 1 (Théorème de l’application ouverte). Soient X et Y deux espaces de Banach et soit T : X → Y un opérateur linéaire borné. Si T est surjectif, alors T est une
application ouverte, c’est-à-dire T (U ) est un ouvert de Y pour tout ouvert U de X.
Preuve. Voir p.ex. [Br83], théorème II.5.
Du théorème 1 et du fait que l’inverse d’une application linéaire est linéaire, on déduit
immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire 1. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit T : X → Y un opérateur
linéaire borné. Si T est bijectif, alors l’inverse T −1 de T est aussi borné.
2. Dual topologique d’un espace vectoriel normé
Soit X un espace vectoriel normé sur K, où K = R ou C. Dans ce paragraphe, on étudie
les formes linéaires sur X, c’est-à-dire les applications linéaires définies sur X à valeurs dans
K.
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Si X est un espace vectoriel sur C, alors il est aussi un espace vectoriel sur R. Donc on
peut considérer soit les formes linéaires complexes X → C, soit les formes linéaires réelles
X → R. La relation entre ces deux types de formes linéaires est donnée par le lemme suivant.
Lemme 3. Soit X un espace vectoriel sur C. Si f : X → C est une forme linéaire
complexe, alors u := Re f : X → R est une forme linéaire réelle telle que f (x) = u(x)−iu(ix)
pour tout x ∈ X. Réciproquement, si u : X → R est une forme linéaire réelle, alors f : X →
C défini par f (x) := u(x) − iu(ix) est une forme linéaire complexe.
Preuve. Exercice
Définition 1. L’espace L(X, K) des applications linéaires continues de X dans K s’appelle l’espace dual topologique de X, noté X 0 .
On remarque que, si l’espace X est de dimension finie, alors son dual topologique coı̈ncide
avec le dual (algébrique) puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.
Pour f ∈ X 0 et x ∈ X on notera généralement hf, xi au lieu de f (x) (on dit que h·, ·i est
le produit scalaire dans la dualité de X et X 0 ).
D’après le lemme 2, le dual topologique X 0 de X muni de la norme d’opérateurs est un
espace de Banach. On parlera dans ce cas de norme duale sur X 0 ; elle sera notée k · k0 . En
outre, X 0 muni de cette norme sera dit le dual fort de X. Explicitement, la norme duale de
f ∈ X 0 est donnée, d’après (1), par
kf k0 = sup{|hf, xi| : kxk ≤ 1}.
On remarque que sup{|hf, xi| : kxk ≤ 1} == sup{hf, xi : kxk ≤ 1} si K = R.
Pour compléter la relation entre formes linéaires réelles et complexes du lemme 3, on
a le lemme suivant. On rappelle que la fonction “sgn” est définie pour y ∈ C \ {0} par
sgn(y) := y/|y|.
Lemme 4. Soit X un espace vectoriel normé sur C, et soient f et u comme dans le
lemme 3. Alors kf k0 = kuk0 .
Preuve. L’inégalité |hu, xi| = |hRe f, xi| ≤ |hf, xi| entraı̂ne que kuk0 ≤ kf k0 . Réciproquement,
soit x ∈ X tel que hf, xi 6= 0. On pose α := sgn hf, xi. Alors |hf, xi| = αhf, xi = hf, αxi =
hu, αxi (la dernière égalité étant due au fait que hf, αxi = |hf, xi| ∈ R). Donc |hf, xi| ≤
kuk0 kxk, ce qui entraı̂ne que kf k0 ≤ kuk0 .
La propriété suivante, que nous énonçons sans démonstration, est une conséquence du
théorème de Hahn-Banach sur le prolongement des formes linéaires définiés sur des sousespaces vectoriels d’un espace normé.
Proposition 1. Soit X un espace vectoriel normé et soit 0 6= x ∈ X. Alors existe une
forme linéaire f ∈ X 0 telle que kf k0 = 1 et hf, xi = kxk.
Preuve. Voir p.ex. [Fo99], Theorem 5.8 (b).
Corollaire 2. Les éléments de X 0 séparent les points de X.
Preuve. Si x 6= y, d’après la proposition 1 il existe f ∈ X 0 tel que f 6= 0 et hf, x − yi =
kx − yk =
6 0. Donc hf, xi =
6 hf, yi.
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Corollaire 3. Pour tout x ∈ X on a
kxk = sup{|hf, xi| : f ∈ X 0 , kf k0 ≤ 1} .
Preuve. La proposition 1 montre qu’il existe f ∈ X 0 telle que kf k0 = 1 et hf, xi = kxk.
D’autre part on a, pour tout f ∈ X 0 vérifiant kf k0 ≤ 1, que |hf, xi| ≤ kf k0 kxk ≤ kxk.
Le corollaire 3 nous permets de donner une autre description de la norme d’opérateurs.
Corollaire 4. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit T ∈ L(X, Y ). Alors
kT kop = sup{|hf, T xi| : f ∈ Y 0 , kf k0 ≤ 1, x ∈ X, kxk ≤ 1} .
Preuve. En appliquant le corollaire 3 à Y on obtient
kT xk = sup{|hf, T xi| : f ∈ Y 0 , kf k0 ≤ 1} ,
d’où le résultat cherché car kT kop = sup{kT xk : kxk ≤ 1} .
2.1. Dual topologique d’un espace de Hilbert. On supposera dans ce paragraphe
que K = C. Des propriétés analogues sont valables pour le cas d’espaces de Hilbert sur R.
Soit H un espace de Hilbert sur C. Pour tout y ∈ H on définit fy : H → C par fy (x) = hx, yi.
Lemme 5. fy ∈ H 0 avec kfy k = kyk.
Preuve. Ceci résulte de l’inégalité de Schwarz : |hx, yi| ≤ kxkkyk pour tout x, y ∈ H.
On rappelle que, si X et Y sont deux espaces vectoriels complexes, une application
j : X → Y est dite antilinéaire si, pour tous x, y ∈ X et tout λ ∈ C on a j(x+y) = j(x)+j(y)
et j(λx) = λj(x). Une application (anti)linéaire T : X → Y est une isométrie si kT xk = kxk
pour tout x ∈ X.
Théorème 2 (Riesz-Fréchet). L’application j : y 7→ fy est une isométrie antilinéaire de
H sur son dual topologique H 0 .
Preuve. D’après le lemme 5, il reste seulement de montrer que j est surjective. Tout d’abord
j(0) = 0. Soit maintenant f ∈ H 0 une forme linéaire continue non nulle. L’hyperplan vectoriel
M d’équation hf, xi = 0 est fermé (M = f −1 ({0}) ⊂ X). La théorie de la projection sur un
hyperplan fermé d’un espace de Hilbert montre qu’il existe un vecteur unitaire u orthogonal
à cet hyperplan et que de plus H = M ⊕ Cu. Tout vecteur x ∈ H s’écrit alors de manière
unique x = hx, uiu + x0 avec x0 ∈ M . Il en résulte que
hf, xi = hx, uihf, ui + hf, x0 i
= hx, hf, uiui
= fhf,uiu (x) ,
puisque hf, x0 i = 0. Ainsi f = j(hf, uiu).
Corollaire 5. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert et soit T ∈ L(H1 , H2 ). Alors
kT kop = sup{|hT x, yi| : x ∈ H1 , kxk ≤ 1, y ∈ H2 , kyk ≤ 1} .
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Preuve. D’après le corollaire 4 et le théorème 2, on a :
kT kop = sup{|hfy , T xi| : y ∈ H2 , kyk ≤ 1, x ∈ H1 , kxk ≤ 1}
= sup{|hT x, yi| : y ∈ H2 , kyk ≤ 1, x ∈ H1 , kxk ≤ 1} .
2.2. Espace bidual. Soit X un espace de Banach et soit X 0 son dual topologique muni
de la norme duale k · k0 . On définit l’espace bidual X 00 de X comme étant l’espace dual de
X 0 . Aussi X 00 est muni de la norme duale, que l’on note k · k00 : donc
kξk00 := sup{|hξ, f i| : f ∈ X 0 , kf k0 ≤ 1} .
Il existe une application linéaire canonique J : X → X 00 associant à x ∈ X la forme
linéaire Jx : X 0 → K définie par hJx, f i := hf, xi pour toute forme linéaire f ∈ X 0 . Cette
définition entraı̂ne que pour tout f ∈ X 0 on a |hJx, f i| ≤ kf kkxk, d’où Jx ∈ X 00 avec
kJxk00 ≤ kxk.
Lemme 6. L’application linéaire J : X → X 00 est une isométrie de X sur un sous-espace
de X 00 .
Preuve. On a pour tout x ∈ X :
kJxk00 = sup{|hJx, f i| : f ∈ X 0 , kf k0 ≤ 1}
= sup{|hf, xi| : f ∈ X 0 , kf k0 ≤ 1}
(corollaire 3)
= kxk .
En général, l’application J n’est pas surjective.
Définition 2. Soit X un espace de Banach et soit J : X → X 00 l’isométrie du lemme 6.
On dit que X est réflexif si J est surjective.
Exemple 5 (Le dual de Lp ). Soit (X, M, µ) un espace mesuré et pour 1 ≤ p ≤ ∞ on
considère l’espace Lp (X) = Lp (X, M, µ). On rappelle que deux exposants 1 ≤ p, q ≤ ∞ sont
dits conjugués si 1/p+1/q = 1. L’inégalité de Hölder montre que si p et q sont deux exposants
conjugués et si f ∈ Lp et g ∈ Lq , alors f g ∈ L1 et kf gk1 ≤ kf kp kgkq . Par conséquent, tout
élément g ∈ Lq définit un opérateur linéaire borné φg sur Lp par
Z
φg (f ) :=
f (x)g(x) dµ(x) .
X
En outre, kφg kop ≤ kgkq . On peut montrer que pour 1 ≤ q < ∞ on a kφg kop = kgkq et que
cette égalité est vraie aussi pour g = ∞ lorsque la mesure µ est semi-finie (c’est-à-dire, pour
tout E ∈ M avec µ(E) = ∞, il existe F ∈ M tel que F ⊂ E et 0 < µ(F ) < ∞). On peut
aussi montrer que, si 1 < p < ∞, alors tout opérateur linéaire borné sur Lp est de la forme
φg pour une certaine fonction g ∈ Lq . Donc, pour 1 < p < ∞, l’espace dual de Lp est Lq .
On en déduit aussi que pour 1 < p < ∞ l’espace Lp est réflexive. Pour les démonstrations
de ces résultats, nous référons le lecteur à [Fo99], §6.2.
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3. Topologies faibles
Soit X un ensemble et soit {Xα }(α∈A) une famille d’espaces topologiques. Pour chaque α ∈ A
on considère une application fα : X → Xα . La topologie faible induite par la famille {fα }
est la topologie T la moins fine (c’est-à-dire avec le minimum d’ouverts) qui rende continue
toutes les applications fα ; elle est la topologie dont les éléments d’une base d’ouverts sont
les intersections finies d’ensembles de la forme fα−1 (Uα ) où α ∈ A et Uα est un ouvert de Xα .
Remarque 1. Si X est muni de la topologie discrète (dans laquelle tout sous-ensemble
de X est ouvert), alors chaque fα est continue. C’est donc possible de chercher la topologie
la plus faible induite par {fα }. Dans une topologie sur X pour laquelle fα est continue, pour
tout ouvert Uα de Xα , l’ensemble fα−1 (Uα ) doit nécessairement être ouvert dans X.
La motivation pour chercher des topologies faibles est la suivante : si une topologie
possède moins d’ouverts, elle possède plus d’ensembles compacts.
3.1. La topologie faible σ(X, X 0 ). Soit X un espace vectoriel normé. La topologie
faible σ(X, X 0 ) sur X est la topologie faible induite par X 0 (on pose donc ci-dessus Xα = K
pour tout α ∈ A := X 0 , et fα = α).
Remarque 2. La topologie sur X qui correspond à sa norme est aussi appelée la topologie
forte de X. Comme tout f ∈ X 0 est une fonction continue sur X pour la topologie forte,
tout ensemble f −1 (U ) avec U ouvert de K est un ouvert de X. Donc tout ouvert de X pour
la topologie faible σ(X, X 0 ) est aussi ouvert de X pour la topologie forte.
Lemme 7. Une base de voisinages de x0 ∈ X pour la topologie faible σ(X, X 0 ) consiste
en tous les ensembles de la forme
V (x0 ; f1 , . . . , fn ; ε) := {x ∈ X : |hfj , x − x0 i| < ε pour tout j = 1, . . . , n}
où n ∈ N, fj ∈ X 0 et ε > 0.
Preuve. Exercice.
Remarque 3. On peut montrer que la topologie faible σ(X, X 0 ) est séparée. Toute suite
convergente par rapport à cette topologie a donc une limite unique.
Exercice 2. Montrer que la topologie faible σ(X, X 0 ) est séparée.
On écrit “xn → x faiblement” si la suite {xn } converge vers x pour la topologie faible
σ(X, X 0 ), et on écrit “xn → x fortement” si kxn − xk → 0.
Lemme 8.
(a) xn → x faiblement si et seulement si hf, xn i → hf, xi pour tout
0
f ∈X.
(b) Si xn → x fortement, alors xn → x faiblement.
Preuve. (a) résulte de la définition de topologie faible σ(X, X 0 ) et (b) résulte de (a) et de
l’inégalité |hf, xn i − hf, xi| ≤ kf kkxn − xk.
Exercice 3. Montrer que la convergence faible n’implique pas la convergence forte.
[Indication : On pourra considérer une suite orthonormée dans un espace de Hilbert de
dimension infinie puis montrer qu’elle converge faiblement vers 0, mais pas fortement (en
fait, que l’on ne peut en extraire aucune sous-suite fortement convergente).]
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3.2. Topologie faible-*.
Définition 3. Soit X un espace vectoriel normé. La topologie faible-*, designée aussi
par topologie faible σ(X 0 , X), est la topologie sur X 0 induite par la famille des applications
Jx pour x ∈ X.
Lemme 9. Une base de voisinages de f0 ∈ X 0 pour la topologie faible-* consiste en tous
les ensembles de la forme
V (f0 ; x1 , . . . , xn ; ε) := {f ∈ X 0 : |hf − f0 , xj i| < ε pour tout j = 1, . . . , n}
où n ∈ N, xj ∈ X et ε > 0.
Preuve. Exercice.
Lemme 10. La topologie faible-* est séparée.
Preuve. Soient f, g ∈ X 0 avec f 6= g. Il existe alors x ∈ X tel que hf, xi 6= hg, xi. Donc
|hf − g, xi| = 2α > 0 et les voisinages V (f ; x; α) de f et V (g; x; α) de g sont disjoints. En
effet, si h ∈ V (f ; x; α) ∩ V (g; x; α), alors 2α = |hf − g, xi| ≤ |hh − g, xi| + |hh − f, xi| < 2α.
∗
On note fn → f la convergence de la suite fn vers f dans X 0 pour la topologie faible*. On écrit “fn → f faiblement” si la suite {fn } converge vers f pour la topologie faible
σ(X 0 , X 00 ), et on écrit “fn → f fortement” si kfn − f k0 → 0.
∗
Lemme 11.
(a) fn → f si et seulement si hfn , xi → hf, xi pour tout x ∈ X.
(b) Si fn → f fortement, alors fn * f faiblement.
∗
(c) Si fn * f faiblement, alors fn → f .
Preuve. Exercice.
Théorème 3 (Banach-Alaoglu). La boule unité fermée BX 0 = {f ∈ X 0 : kf k0 ≤ 1} est
compacte pour la topologie faible-*.
Preuve. On supposera dans
Q cette preuve que K = C. Pour x ∈ X soit Dx := {z ∈ C :
|z| ≤ kxk} et soit D := x∈X Dx muni de la topologie produit. Puisque chaque Dx est un
fermé borné de C, donc compact, et puisque le produit de compacts est compact (théorème
de Tychonov), l’espace D est compact. Les éléments de D peuvent être identifiés avec les
fonctions ϕ : X → C telles que |ϕ(x)| ≤ kxk pour tout x ∈ X, et BX 0 consiste en les éléments
de D qui sont linéaires. Les topologies de BX 0 induites respectivement par la topologie faible* de X 0 et par la topologie produit de D coı̈ncident d’après le lemme 11,(a). Donc il suffit
de montrer que BX 0 est fermé dans D. Pour x ∈ X soit px : D → C la projection canonique
sur le facteur Dx suivie par l’inclusion de Dx dans C. Elle est continue d’après la définition
de topologie produit. Pour tout x, y ∈ X et λ ∈ C, les applications ρx,y := px+y − px − py et
ρλ,x := pλx − λpx sont donc continues. On en déduit que
−1
BX 0 = ∩x,y∈X ρ−1
x,y (0) ∩ ∩x∈X,λ∈C ρx,λ (0)
est fermé.
Remarque 4. La topologie faible sur X 0 coincide avec la topologie faible-* sur X 0 si et
seulement si X est réflexif.
15
CHAPITRE 2
Opérateurs compacts
Dans ce chapitre, X et Y sont des espaces de Banach. On note BX := {x ∈ X : kxk < 1}
la boule unitaire ouverte de X.
Définition 4. Un opérateur linéaire T : X → Y est dit compact si T (BX ) est relativement compact dans Y (c’est-à-dire l’adhérence T (BX ) de T (BX ) est compacte). On note
K(X, Y ) l’ensemble des opérateurs compacts de X dans Y .
Remarque 5.
(1) Si T est un opérateur compact alors T est borné car la norme de
Y est bornée sur le compact T (BX ). Donc T ∈ L(X, Y ).
(2) Un opérateur linéaire T est compact si et seulement si pour toute suite bornée
{xn }n∈N de X, la suite des images {T xn }n∈N admet une sous-suite convergente.
(3) On rappelle qu’un ensemble A ⊂ Y est dit précompact si, pour tout ε > 0, on peut
recouvrir A par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε. Si Y est complet, la
précompacité de A implique la compacité de A (voir p.ex. [ST67], Theorem 1, p.
40). Donc T ∈ L(X, Y ) est compact si et seulement si T (BX ) est précompact.
On rappelle que si X et Y sont deux espaces topologiques et f : X → Y est une
application continue, alors f (A) ⊂ f (A) pour tout partie A de X. L’adhérence A de A est
le plus petit fermé qui contient A. Si donc A ⊂ B et B est fermé, alors A ⊂ B. Toute partie
fermée d’un espace compact est compacte et, réciproquement, toute partie compacte d’un
espace topologique séparé est fermée. En outre, l’image continue d’un compact est compact.
Lemme 12. Si T : X → Y et S : Y → Z sont des applications linéaires bornées entre
espaces de Banach et si S ou T est compact, alors la composée ST est un opérateur compact.
Preuve. Supposons que T est compact. Alors S(T (BX )) est compact, donc fermé, et contient
(ST )(BX ), d’où (ST )(BX ) ⊂ S(T (BX )). D’autre part, S(T (BX )) ⊂ (ST )(BX ), d’où (ST )(BX ) =
S(T (BX )) est compact. Supposons maintenant que S est compact. Comme T est borné, il
existe R > 0 tel que T (BX ) ⊂ RBY . Donc (S ◦ T )(BX ) ⊂ RS(BY ) est compact.
Lemme 13 (Théorème de Riesz). Pour un espace vectoriel normé X, les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
(a) X est de dimension finie.
(b) La boule unité fermée de X est compacte.
(c) Toute partie bornée de X est relativement compacte.
(d) X est localement compact (c’est-à-dire 0 admet un voisinage dont l’adhérence est
compacte).
17
Preuve.
Puisque BX est un voisinage de 0 et une partie de X est bornée si et seulement si elle
est contenue dans une boule rBX = {x ∈ X : kxk ≤ r}, les conditions (b), (c) et (d) sont
équivalentes.
Si X est de dimension finie, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, tout fermé borné
est compact. Donc (a) entraı̂ne (b).
Pour la réciproque, supposons que la boule unité fermée DX := BX = {x ∈ X :
kxk ≤ 1} de X est compacte. On pose B(x, r) := {y ∈ X : kx − yk < r}. Comme
DX ⊂ ∪x∈DX B(x, 1/2), il existe un recouvrement fini : DX ⊂ ∪nj=1 B(xj , 1/2). Soit alors
V := V ect(x1 , · · · , xn ) et montrons que DX est inclus dans V . Pour x ∈ DX , il existe j ∈
{1, . . . , n} tel que x ∈ B(xj , 1/2), d’où x − xj ∈ B(0, 1/2) = 1/2BX . Donc DX ⊂ V + 1/2BX .
Montrons maintenant que 1/2BX ⊂ V + 1/4BX . Si x ∈ 1/2BX , alors 2x ∈ BX ⊂ DX ,
d’où 2x = v + y où v ∈ V et y ∈ 1/2BX . Alors x = v/2 + y/2 ∈ V + 1/4BX .
Par récurrence sur n, on a alors DX ⊂ V + 1/2n BX pour tout n ∈ N. Soit alors x ∈ DX .
Pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ V tel que x − xn ∈ 1/2n BX . Donc limn→∞ xn = x, et
DX ⊂ V . Mais V est un espace vectoriel de dimension finie, donc est fermé. Alors BX ⊂ V ,
donc X ⊂ V , ce qui prouve que X est de dimension finie.
Corollaire 6. L’application identité I sur un espace de Banach X est un opérateur
compact si et seulement si X est de dimension finie.
Définition 5. Un opérateur linéaire T : X → Y est de rang fini si la dimension de son
image R(T ) est finie.
Corollaire 7. Un opérateur linéaire de rang fini est un opérateur compact.
Lemme 14. K(X, Y ) est un sous-espace vectoriel fermé de L(X, Y ).
Preuve. Il est clair que les combinaisons linéaires finies d’opérateurs compacts sont compacts.
Supposons donc que {Tn } ∈ K(X, Y ) est une suite d’opérateurs compacts, T ∈ L(X, Y ) et
kTn − T kop → 0. Comme Y est un espace complet, pour montrer que T ∈ K(X, Y ), il
suffit de montrer que, pour tout ε > 0, T (BX ) peut être recouvert par un nombre fini
de boules B(yj , ε) dans Y . Soit n ∈ N fixé tel que kTn − T kop ≤ ε/2. Comme Tn (BX ) est
relativement compact, on peut déterminer y1 , . . . , ym ∈ Y tels que Tn (BX ) ⊂ ∪m
j=1 B(yj , ε/2).
m
Donc T (BX ) ⊂ ∪j=1 B(yj , ε).
Corollaire 8. Soit {Tn } une suite d’opérateurs linéaires de rang fini de X dans Y . Si
T ∈ L(X, Y ) et kTn − T kop → 0, alors T ∈ K(X, Y ).
Le “problème d’approximation” de Banach concerne la réciproque du corollaire 8, c’està-dire si tout opérateur linéaire compact est la limite dans la norme d’opérateurs d’une suite
d’opérateurs linéaires de rang fini. En général, la réponse est négative ; la réponse est toutefois
positive sous des hypothèses additionnelles, par exemple si Y est un espace de Hilbert.
Théorème 4. Si Y est un espace de Hilbert alors tout opérateur compact T : X → Y
est limite dans L(X, Y ) d’une suite d’opérateurs de rang fini. (Autrement dit, les opérateurs
de rangs finis forment un sous-espace dense de K(X, Y ))
18
Preuve. Soit T est un opérateur compact. Puisque l’adhérence de T (BX ) est compacte, pour
tout ε > 0 il existe un ensemble fini {y1 , · · · , yn } dans Y tel que pour tout x ∈ BX il existe
j(x) tel que kT x − yj(x) k ≤ ε. On considère alors la projection Pε sur le sous-espace de
dimension finie Yε engendré par les yj . L’opérateur Tε := Pε ◦ T est alors de rang fini et
kT − Tε kop ≤ ε. En effet, si x ∈ BX , alors la projection Tε x = Pε (T x) de T x est l’élémént
de Yε de distance minimale avec T x. Donc
kT x − Tε xk ≤ kT x − yj(x) k ≤ ε .
Par continuité, kT x − Tε xk ≤ ε pour tout x ∈ X avec kxk ≤ 1. Ainsi kTε − T kop ≤ ε.
1. Opérateurs de Hilbert-Schmidt
Les opérateurs de Hilbert-Schmidt forment une classe remarquable d’opérateurs compacts
sur des espaces de Hilbert.
Dans toute cette section H, H1 et H2 désignant des espaces de Hilbert sur C. On supposera que tout espace de Hilbert est séparable (d’où, dans le cas de dimension infinie, toute
base est dénombrable).
On rappelle la définition d’adjoint d’un opérateur linéaire borné. Soit T ∈ L(H1 , H2 ).
Alors il existe un et un seul opérateur linéaire borné T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) vérifiant pour tout
x ∈ H1 , y ∈ H2 :
hT x, yi = hx, T ∗ yi .
L’opérateur T ∗ est appelé opérateur adjoint de T , et l’on a kT kop = kT ∗ kop . En effet, d’après
le corollaire 5 on a :
kT kop = sup{|hT x, yi| : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1}
= sup{|hx, T ∗ yi| : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1}
= kT ∗ kop .
En outre, si S, T ∈ L(H1 , H2 ), alors (ST )∗ = T ∗ S ∗ .
Définition 6. Soit T ∈ L(H1 , H2 ). On dit que T est un opérateur de Hilbert-Schmidt
s’il existe une base hilbertienne {en }∞
n=1 de H1 telle que
∞
X
kT en k2 ≤ ∞ .
n=1
On note LHS (H1 , H2 ) l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt de H1 dans H2 .
Remarque 6. On remarque que la condition pour T ∈ L(H1 , H2 ) d’être un opérateur
de Hilbert-Schmidt revient au fait qu’il existe une base hilbertienne {en } telle que la suite
numérique {kT en k} est dans l’espace de Hilbert `2 (N).
Lemme 15.
(a) Si T ∈ L(H1 , H2 ) alors pour toutes bases hilbertiennes {en } de H1
et {fn } de H2 , on a :
X
XX
X
kT en k2 =
|hT en , fm i|2 =
kT ∗ fm k2
(2)
n
n
m
m
(b) Si T ∈ L(H1 , H2 ) est de Hilbert-Schmidt, il en est de même pour T ∗ .
P
2
(c) La série ∞
n=1 kT en k converge pour toute base hilbertienne {en } de H1 .
19
Preuve. L’égalité (2) est une conséquence de l’égalité de Bessel et du fait qu’on peut renverser l’ordre des sommations car les sommants sont positifs ou nuls. (b) et (c) suivent
immédiatement de (a).
P
2
D’après le lemme 15, l’expression ∞
n=1 kT en k ne dépend pas du choix de la base et
dépend uniquement de T . On pose
#1/2
"∞
X
kT kHS :=
kT en k2
.
(3)
n=1
On pose aussi
hS, T iHS
∞
X
:=
hSen , T en i .
(4)
n=1
On a
kT en k2 + kSen k2
.
2
Par conséquent, la suite {hT en , Sen i} est bien sommable pour S, T ∈ LHS (H1 , H2 ).
|hT en , Sen i| ≤ kT en kkSen k ≤
Exercice 4. Monter que, pour tout S, T ∈ LHS (H1 , H2 ), le nombre hS, T iHS est indépendant
du choix de la base hilbertienne {en }.
Le lemme suivant montre notamment que LHS (H1 , H2 ) est un sous-espace vectoriel de
L(H1 , H2 ).
Lemme 16. Avec la convention 0 · ∞ = 0, nous avons les propriétés suivantes pour tout
S, T ∈ L(H1 , H2 ) et tout λ ∈ C :
(a) kT + SkHS ≤ kT kHS + kSkHS ,
(b) kλT kHS = |λ|kT kHS .
(c) kST kHS ≤ kSkop kT kHS et kT SkHS ≤ kT kHS kSkop .
(d) kT kop ≤ kT kHS .
Preuve. Dans toutes les relations, si kT kHS = +∞ (ou kSkHS = +∞ dans la première),
alors les relations sont clairement satisfaites. On suppose donc que nos opérateurs sont tous
d’image finie par k · kHS .
D’après la remarque 6, l’inégalité dans (a) correspond à l’inégalité de Minkowski pour
2
` (N).
L’égalité (b) est clairement vraie.
Pour la base hilbertienne {en } de H1 on a
X
X
X
kST en k2 =
kS(T en )k2 ≤ kSk2op
kT en k2 ,
n
n
n
ce qui preuve la première inégalité de (c). Pour la deuxième, on remarque que d’après le
lemme 15 on a
kT SkHS = k(T S)∗ kHS = kS ∗ T ∗ kHS ≤ kS ∗ kop kT ∗ kHS = kSkop kT kHS .
20
Il nous reste à prouver la dernière inégalité. Soit x ∈ H1 avec kxk = 1. On considère une
base hilbertienne {en } pour H1 telle que e0 = x. Alors on a
X
kT xk2 = kT e0 k2 ≤
kT en k2 = kT k2HS .
n
Donc kT kop = sup{kT xk : kxk = 1} ≤ kT kHS .
Théorème 5. (LHS (H1 , H2 ), h·, ·iHS ) est un espace de Hilbert.
Preuve. D’après le lemme 16, LHS (H1 , H2 ) est un espace vectoriel sur C, sous-espace vectoriel
de L(H1 , H2 ). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que h·, ·iHS est un produit scalaire
sur LHS (H1 , H2 ). Supposons que {Tn } est une suite de Cauchy de LHS (H1 , H2 ). D’après
lemme 16, (d), elle est aussi une suite de Cauchy de L(H1 , H2 ), donc convergente : il existe
T ∈ L(H1 , H2 ) tel que kTn − T kop → 0. Soit {ej } une base hilbertienne de H1 . Pour ε > 0
il existe N ∈ N tel que kTn − Tm kHS < ε pour tout n, m ≥ N . Pour tout k ∈ N on a (pour
n ≥ N fixé)
k
X
2
k(T − Tn )ej k =
k
X
j=1
j=1
lim k(Tm − Tn )ej k2
m→∞
= lim
m→∞
k
X
k(Tm − Tn )ej k2
j=1
2
≤ε ,
d’où kT − Tn kHS ≤ ε. Ceci montre que T ∈ LHS (H1 , H2 ) et kT − Tn kHS → 0.
Théorème 6.
(1) Tout opérateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt.
(2) T ∈ L(H1 , H2 ) est de Hilbert-Schmidt si et seulement s’il existe une suite {Tn }
d’opérateurs de rangs finis telle que kTn − T kHS tend vers 0 quand n tend vers
l’infini. (Autrement dit, les opérateurs de rangs finis forment un sous-espace dense
de LHS (H1 , H2 )).
Preuve. Si T est de rang fini alors on peut trouver une base hilbertienne {en } telle que
{e1 , · · · , ek } soit une base de ker(T )⊥ et {ek+1 , · · · } soit une base de ker(T ). Dans cette base
on peut alors écrire
k
X
kT k2HS =
kT en k2 < +∞.
n=1
Ainsi tout opérateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt.
Soit maintenant T un opérateur de Hilbert-Schmidt et soit {en } une base hilbertienne
de H1 . Pour tout N ∈ N on définit l’opérateur linéaire TN de rang fini par
(
T en si n ≤ N
TN en :=
0
sinon.
En calculant l’expression kTN − T kHS dans la base {en }, on obtient
X
kT − TN k2HS =
kT en k2 ,
n>N
21
qui tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini comme reste d’une série convergente.
Corollaire 9. Tout opérateur de Hilbert-Schmidt est un opérateur compact. De plus,
LHS (H1 , H2 ) est dense dans K(H1 , H2 ) pour la norme d’opérateurs.
Preuve. C’est une conséquence immédiate du théorème 6, du corollaire 8. et du théorème 4.
1.1. Opérateurs à noyau. Dans ce paragraphe nous donnons un exemple explicite et
important d’opérateurs de Hilbert-Schmidt. Soient I, J deux intervalles de R et soit K :
I × J → C une fonction mesurable. Pour une fonction mesurable f : J → C on pose
formellement
Z
(TK f )(x) := K(x, y)f (y) dy,
(5)
J
lorsque cela a un sens.
Proposition 2. Si K ∈ L2 (I × J), alors K(x, ·) ∈ L2 (J) pour presque tout x et, pour
tout f ∈ L2 (J), la fonction TK f est bien définie presque partout et est un élément de L2 (I).
De plus, TK ∈ LHS L2 (J), L2 (I) et l’application K 7→ TK est une isométrie de L2 (I × J)
sur LHS L2 (J), L2 (I) .
Preuve. On remarque d’abord que pour tout g ∈ L2 (I) on a
hTK f, gi = hK, g ⊗ f i
(6)
où (g ⊗ f )(x, y) := g(x)f (y). Donc, si K = K 0 presque partout, alors TK = TK 0 , d’où la
définition R(5)Rn’est pas ambiguë.
R
On a I J |K(x, y)|2 dy dx < ∞, d’où J |K(x, y)|2 dy < ∞ pour presque tout x.
D’après l’inégalité de Schwarz, on a donc
Z
K(x, y)f (y) dy ≤ kK(x, ·)k2 kf k2
J
et
kTK f k22
Z
|(TK f )(x)|2 dx
I
2
Z Z
= K(x, y)f (y) dy dx
I
J
Z
2
≤ kf k2 kK(x, ·)k22 dx
=
=
I
2
kf k2 kKk22
.
Ceci montre que lorsque f ∈ L2 (J), la fonction TK f est bien définie presque partout et
qu’elle est de carré intégrable. TK est clairement une opérateur linéaire, et le calcul ci-dessus
montre qu’il est borné et que kTK kop ≤ kKk2 .
On rappelle que si I est un intervalle réel, alors L2 (I) est un espace de Hilbert séparable.
Soient {en } et {fm } des bases hilbertiennes de L2 (I) et L2 (J) respectivement. En calculant
kTK kHS , on obtient :
XX
kTK k2HS =
|hTK en , fm i|2 .
n
m
22
D’après (6) on a :
hTK en , fm i = hK, en,m i
(7)
où en,m := fm ⊗ en .
On prouve maintenant que {en,m } est une base hilbertienne de L2 (I × J). Pour montrer
qu’il s’agit d’un système orthonormé, on calcule
Z
hen,m , ep,q i =
fm (y)en (x)fq (y)ep (x) dx dy
I×J
= hfm , fq ihep , en i
= δm,q δp,n .
Le système est complet, donc une base hilbertienne : en effet, si K ∈ L2 (I ×J) est orthogonal
à tout élément en,m , alors le calcul ci-dessus montre que l’opérateur TK associé à K est nul
et donc que pour presque tout x
X
X
K(x, ·) =
hK(x, ·), en ifn =
TK en (x)en = 0 ,
n
e
ce qui entraı̂ne K = 0.
Puisque {en,m } est une base hilbertienne de L2 (I × J), on déduit de (7) que
XX
X
kTK k2HS =
|hTK en , fm i|2 =
|hK, en,m i|2 = kKk22 .
n
m
n,m
Ceci prouve que TK ∈ LHS (H1 , H2 ) et que kTK kHS = kKk2 . Donc K 7→ TK est un isométrie
de L2 (I × J) dans LHS (H1 , H2 ).
On montre enfin que cette isométrie est surjective. Soit T ∈ LHS (H1 , H2 ) dans l’orthogonal de {TK : K ∈ L2 (I × J)}. Si K = en,m , alors, d’après (5), on a
Ten,m ep (x) = hen,m (x, ·), ep i = fm (x)δn,p
et donc
0 = hT, Ten,m iHS =
X
hT ep , Ten,m ep i = hT en , fm i
p
Puisque {fm } et {en } sont des bases hilbertiennes, on conclut que T = 0, d’où K 7→ TK est
une isométrie surjective.
23
CHAPITRE 3
Théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints sur un
espace de Hilbert
Dans ce chapitre H désigne un espace de Hilbert sur K où K = R ou C.
Définition 7. Soit T ∈ L(H).
Le spectre de T est l’ensemble σ(T ) des λ ∈ K tels que T − λI n’est pas bijectif sur H.
L’ensemble résolvant de T est le complémentaire ρ(T ) du spectre σ(T ).
Le spectre ponctuel de T est le sous-ensemble σp (T ) des λ ∈ σ(T ) tels que ker(T − λI) 6=
{0}. Les éléments de σp (T ) sont appelés les valeurs propres de T .
On note Eλ (T ) := ker(T − λI). La dimension de Eλ (T ) s’appelle la multiplicité de la
valeur propre λ.
Remarque 7. Si λ ∈ ρ(T ), alors (T − λI)−1 ∈ L(H) d’après le corollaire 1.
Remarque 8. En dimension finie, on a toujours σ(T ) = σp (T ) car une application
linéaire injective est automatiquement bijective. En revanche, en dimension infinie, l’ensemble
σp (T ) peut être une sous-ensemble propre de σ(T ). Soit par exemple H = `2 (N) l’espace de
Hilbert des suites numériques de carré sommable et soit T : (x1 , x2 , . . . ) 7→ (0, x1 , x2 , . . . )
l’opérateur de shift. Alors T est injectif mais pas surjectif, d’où 0 ∈ σ(T ) \ σp (T ).
Le théorème suivant nous assure que pour les opérateurs compacts on a σ(T ) − {0} ⊂
σp (T ).
Théorème 7 (Alternative de Fredholm). Soit T ∈ K(H). Si ker(I − T ) = {0}, alors
I − T est bijectif.
Preuve. Voir p.ex. [Br83], théorème VI.6, c).
Proposition 3. Soit T ∈ K(H).
(a) Si H est de dimension infinie alors 0 ∈ σ(T ).
(b) Si 0 6= λ ∈ σ(T ), alors λ ∈ σp (T ).
Preuve. Supposons que 0 ∈
/ σ(T ). Alors T est inversible et son inverse T −1 est borné d’après
le corollaire 1. Donc I = T T −1 est compact grâce au lemme 12 . Par conséquent, H est de
dimension finie d’après le corollaire 6. Ceci prouve (a). Pour démontrer (b), supposons que
λ 6= 0 est dans σ(T ). Alors l’opérateur Tλ − I n’est pas inversible. D’après l’alternative de
Fredholm, cet opérateur n’est pas injectif et donc λ ∈ σp (T ).
Proposition 4. Soit T ∈ K(H) et soit 0 6= λ ∈ σ(T ). Alors Eλ (T ) est un sous-espace
vectoriel non trivial de H et est de dimension finie.
Preuve. L’opérateur T préserve le sous-espace propre Eλ (T ) et sa restriction à ce sous-espace
fermé de H coı̈ncide avec l’homothétie λI. D’autre part, la boule unité fermée D de Eλ (T )
25
est un fermé de la boule unité fermée de H. Il s’agit donc d’un fermé borné de H, d’où
T (D) est un compact de H. Or cette image est la boule fermée de rayon |λ| de Eλ (T ). Par
conséquent, Eλ (T ) doit être de dimension finie d’après le lemme 13.
Définition 8. Soit T ∈ L(H). On dit que T est autoadjoint si T = T ∗ , c’est-à-dire si
hT x, yi = hx, T yi
pour tout x, y ∈ H.
Lemme 17. Soit T ∈ L(H) un opérateur autoadjoint.
(a) Les valeurs propres de T sont réels.
(b) Si λ et µ sont des valeurs propres distinctes de T , alors les sous-espaces propres
correspondants sont orthogonaux.
Preuve. Soit x 6= 0 un vecteur propre de T de valeur propre λ : T x = λx. Alors
λhx, xi = hλx, xi = hT x, ui = hx, T xi = hx, λxi = λhx, xi
d’où λ = λ est un réel. Pour (b), soient x et y vecteurs propres de λ et µ respectivement.
Alors
λhx, yi = hT x, yi = hx, T yi = µhx, yi .
Puisque λ 6= µ, on en déduit que hx, yi = 0.
Théorème 8. Soit T ∈ L(H) un opérateur autoadjoint compact. Alors, ou bien kT kop ,
ou bien −kT kop est une valeur propre de T .
Preuve. Le théorème étant trivialement vrai pour T = 0, on supposera dans la suite que
T 6= 0.
D’après le corollaire 5 on a
kT kop = sup{|hT x, xi| : kxk ≤ 1} .
Puisque les nombres hT x, xi sont réels, on peut supposer, quitte à remplacer T par −T , que
kT kop = sup{hT x, xi : kxk ≤ 1} .
Montrons que dans ce cas λ := kT kop est une valeur propre de T . Soit {xn } une suite dans
H telle que limn→∞ hT xn , xn i = λ et kxn k = 1 pour tout n. Puisque A est compact, en
extrayant une sous-suite si nécessaire, on peut supposer que {T xn } est convergente : soit
y = limn→∞ T xn . De
kT xn − λxn k2 = kT xn k2 − 2λhT xn , xn i + λ2
on obtient
lim kT xn − λxn k2 = kyk2 − 2λ2 + λ2 = kyk2 − λ2 .
n→∞
(8)
Mais, puisque kT xn k ≤ kT kop kxn k = λ pour tout n, on a kyk = limn kT xn k ≤ λ. Donc,
d’après (8), limn→∞ kT xn − λxn k2 = 0 et kyk = λ 6= 0. Pour ε > 0 soit N ∈ N tel que pour
tout n ≥ N, kT xn − yk < ε et kT xn − λxn k < ε. Alors ky − λxn k < 2ε. Par conséquent {xn }
est une suite convergente et, si x = limn xn , alors T x = y = λx. En particulier, x 6= 0 car
y 6= 0, donc λ est une valeur propre de T .
26
Théorème 9 (Théorème spectral). Soit T un opérateur autoadjoint compact.
(a) Les valeurs propres non-nulles de T forment une suite {λn } qui est finie ou qui tend
vers 0. En outre, kT kop = |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . est une suite décroissante.
(b) Soit En (T ) le sous-espace propre de valeur propre λn . Alors En (T ) est de dimension
finie.
(c) Soit Pn l’opérateur de projection sur En (T ). Alors
T =
N
X
λn Pn
n=1
si le nombre N des valeurs propres non-nulles de T est fini, et sinon
∞
X
T =
λn Pn .
n=1
(d) H = ker(T ) ⊕
L
n
En (T ).
Preuve. D’après le théorème 8, T admets une valeur propre λ1 ∈ R telle que |λ1 | = kT kop ,
et d’après la proposition 4, la multiplicité de chaque valeur propre non-nulle est finie.
L’opérateur T1 := T − λ1 P1 est autoadjoint et compact. En outre kT1 kop ≤ kT kop car
T1 = T sur l’orthogonal de E1 (T ) et T1 = 0 sur E1 (T ). En itérant le procédé, ou bien on
P
trouve un naturel N tel que TN = 0, et alors T = N
n=1 λn Pn , ou bien la suite {λn } est
infinie. On montre que, dans ce cas, la suite converge vers 0. On remarque que la suite {|λn |}
est décroissante par construction. Supposons que {λn } ne converge pas vers 0. Alors il existe
α > 0 tel que |λn | ≥ α pour tout n. Soit xn ∈ En (T ) tel que kxn k = 1. Puisque T est
compact, la suite T xn admet une sous-suite convergente, ce qui est impossible car (d’après
l’orthogonalité des sous-espaces propres associés à valeurs propres différentes)
kT xn − T xm k2 = kλn xn − λm xm k2 = λ2n + λ2m ≥ 2α2 .
P∞
P
Par conséquent, T = N
n=1 λn Pn .
n=1 λn Pn + TN +1 avec kTN +1 kop = |λN +1 | → 0, d’où T =
La décomposition de H est une conséquence directe de ce qui précède.
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