PROBLEME D` OPTIQUE 1

Physique
OPTIQUE
PROBLEME
- PROBLEME D’ OPTIQUE 1 • ENONCE :
« Appareil photographique »
I. OBJECTIF STANDARD
• On assimile l’objectif d’un appareil photographique à une lentille mince convergente (L) de
centre O et de distance focale image f ' .
• La distance d entre (L) et l’écran (E) où se trouve la pellicule sensible est variable, ce qui
permet d’effectuer la mise au point.
• Sauf à la question I.1.c), on ne tiendra pas compte des effets de diffraction et le problème sera
traité dans le cadre de l’optique géométrique.
• La pellicule sensible est composée de cristaux de sels d’argent (halogénures) pris dans une
gélatine (polyesters, par exemple) : les cristaux ayant été « activés » par les photons ( on parle
d’image latente) seront plus facilement réduits en argent métallique par l’action du
révélateur ; l’image est ensuite stabilisée par l’action du fixateur, qui débarrasse la pellicule
des sels d’argent non réduits (zones de l’image faiblement éclairées).
• A ce stade, l’image apparaît en négatif, puisque les zones sombres du sujet photographié
correspondent aux zones transparentes (dépourvues de dépôts d’argent) de la pellicule fixée et
inversement.
• Il faut bien comprendre qu’un objet ponctuel (exemple d’une étoile sur un fond obscur)
donnera une tache correspondant à la taille d’un cristal de sel d’argent : il s’agit du « grain » de
la pellicule, qui dépend essentiellement de sa sensibilité (en photographie numérique, on
retrouve cette notion de « pixel », où la taille minimale de l’image d’un point correspond à celle
d’une cellule élémentaire de semi-conducteur du capteur CCD).
1.1) Mise au point de l’objectif
• On désire photographier des objets dont la distance
x à (L) varie de x0 à l’infini : dans quel
domaine doit pouvoir varier d ?
• Calculer les valeurs extrêmes,
d min et d max , de d lorsque x0 = 60 cm et f ' = 50 mm ?
1.2) Ouverture et temps de pose
• Dans des conditions d’éclairement
E (en W .m −2 ) données et pour une sensibilité de pellicule
donnée (celle-ci, exprimée en « iso », correspond à l’énergie nécessaire à l’activation
« satisfaisante » des cristaux d’halogénures d’argent), les deux autres paramètres sur lesquels
peut agir le photographe sont :
♦ le diamètre D du diaphragme circulaire (D) qui limite le faisceau lumineux entrant
dans la lentille (L) ; ce diamètre est variable afin d’intercepter plus ou moins de lumière.
On appelle « ouverture relative » de l’objectif le rapport :
D 1
=
, où N est le « numéro de diaphragme »
f' N
Les valeurs usuelles de N sont :
Page 1
2 ; 2,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
♦ le « temps d’exposition » (ou « vitesse »)
Te , qui correspond à la durée pendant
laquelle la pellicule reçoit des photons.
Les valeurs usuelles de
Te , exprimées en secondes sont :
1 1 1
1
1
1
1
1
;
;
;
;
;
;
;
8 15 30 60 125 250 500 1000
• Exprimer le lien entre les deux suites, N et Te ; proposer des couples ( N , Te ) équivalents.
1.3) Ouverture et distance hyperfocale liée au grain
• Lorsque l’appareil est mis au point sur l’infini , un point situé à l’infini donne, après
développement, une tache due à la taille g du « grain » de l’émulsion de la pellicule : pour les
applications numériques, on prendra
g = 20 µ m .
• Compte tenu des lois de l’optique géométrique, un point A , situé à distance finie sur l’axe,
donne, de toute manière, une tache dans le plan focal de la lentille (L).
a) Etablir, en s’appuyant sur une figure, l’expression de la distance hyperfocale
L0 , définie par la distance minimale entre le point A et la lentille pour que la taille de la tache
donnée par A reste inférieure à celle du grain ; on exprimera le résultat en fonction de
g , f ' et N .
Calculer la valeur numérique de
L0 pour N = 2,8 puis pour N = 16 .
b) La profondeur de champ,
Pr , est la zone de l’espace objet donnant une image
« nette », c’est-à-dire pour laquelle un point objet donne une tache image de taille inférieure à
celle du grain : quel est, qualitativement, le lien entre N et Pr ? entre f ' et Pr ?
c) On sait qu’une ouverture circulaire de diamètre
un cône de demi angle d’ouverture
θ = 1, 22 ×
D diffracte principalement dans
λ
, avec ici λ ! 0, 6 µ m (jaune).
D
On souhaite opérer à N = 11 : le phénomène de diffraction est-il à prendre en compte ?
Commenter.
1.4) Amélioration de la profondeur de champ
Nous avons remarqué précédemment que, l’appareil étant réglé à l’infini, un point situé à l’infini
donne de toute manière une tache liée à la taille du grain: il parait donc possible, en faisant la
mise au point à distance finie , de garder « nette » (au moins suffisamment…) l’image d’un point
situé à l’infini.
a) En raisonnant sur une figure simple, déterminer la valeur d ' de d permettant
de diminuer la distance hyperfocale, c’est-à-dire d’augmenter la profondeur de champ ; exprimer
le résultat en fonction de g , f ' et N . Calculer numériquement d ' pour N = 2,8 et N = 16 .
b) Déterminer la nouvelle distance hyperfocale
en fonction de
L'0 et l’évaluer approximativement
L0 et de f ' .
c) Certains appareils bon marché sont « sans mise au point » : la focale et le
numéro de diaphragme sont fixés par le constructeur. Commenter les choix retenus, ainsi que
leurs inconvénients éventuels.
Page 2
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
II. TELEOBJECTIF
On se propose de photographier une tour
AB haute de 50 m et distante de L = 2 km .
2.1) Encombrement de l’objectif standard
• Quelle serait la taille de l’image
standard de la première partie ?
A ' B ' sur la pellicule si la mise au point était faite avec l’objectif
• Quelle serait alors la valeur numérique de « l’encombrement » de l’objectif, c’est-à-dire la
distance de l’objectif à la pellicule ?
2.2) Agrandissement d’un téléobjectif
• Pour agrandir l’image, on considère le système formé par une lentille convergente ( L1 ) de
distance focale
f1' = O1 F1' = 50 mm , suivie d’une lentille divergente ( L2 ) de distance focale
f 2' = O2 F2' = −25 mm , la distance entre les deux lentilles étant O1O2 = 31, 2 mm .
• Soit
A ' B ' l’image de AB par ( L1 ) : indiquer la nature de A ' B ' pour la lentille ( L2 ) et préciser
la position de
A ' B ' par rapport à O2 et F2 (foyer objet de la deuxième lentille).
• Faire la construction géométrique donnant l’image
deux lentilles.
A " B " de la tour à travers le système des
2.3) Comparaison entre un objectif standard et un téléobjectif
a) Déterminer la position de
cette image et la comparer à celle de
A " B " par rapport à O2 , puis en déduire la taille de
A' B ' .
Evaluer l’encombrement du téléobjectif ainsi monté.
b)
Quelle serait la distance focale
donnerait de la tour la même taille d’image
fu' d’une lentille convergente unique qui
A " B " que le téléobjectif ?
Comparer son encombrement à ceux calculés précédemment et conclure.
**************
D’après le concours Mines-Ponts 93 , première épreuve P’
Page 3
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
• CORRIGE :
« Appareil photographique »
1.1) La formule de conjugaison des lentilles avec origine au centre s’écrit :
−
et
1 1
1
1 1 1
+ =
⇒
+ =
p p' f '
x d f'
(1)
d min correspond à xmax = ∞ ⇒
⇒
d max =
d max correspond à xmin = x0 ⇒
d min = f ' = 50 mm
x0 f '
= 54,5 mm
x0 − f '
Rq : l’écart entre
d min et d max est relativement faible, ce qui ne fait donc pas varier notablement
l’encombrement de l’appareil ; la variation de d est assurée par la « bague de mise au point »
(action manuelle et/ou motorisée).
1.2) Pour un éclairement
temps
E , l’énergie lumineuse W reçue par la pellicule pendant un
D2
f '2 1
W = E ×π
× Te = E × π
×
× Te
4
4 N2
Te vaut :
• Pour une distance focale et une sensibilité de pellicule données, cette énergie doit être
constante ⇒ le rapport
Te
doit être constant
N2
• C’est pourquoi les temps d’exposition forment une suite géométrique de raison 2 , lorsque les
numéros de diaphragme forment une suite géométrique de raison
• Ainsi, deux couples équivalents sont ( N
2.
= 8 ; Te = 1/125 ) et ( N = 5, 6 ; Te = 1/ 250 ).
Rq : pour un photographe, les deux couples précédents ne sont pas équivalents, car la durée
1/125 peut être jugée trop longue pour un objet en mouvement comme une voiture (risque de
flou) ; nous verrons par la suite l’importance du numéro de diaphragme dans la « profondeur de
champ ».
1.3.a) La mise au point se faisant sur l’infini, on sait que la pellicule (E) se trouve à une
distance f ' de la lentille ; on peut alors raisonner sur la figure ci-dessous :
(E)
(L)
A
D
Le point A donne sur l'écran une tache
de diamètre a ; le théorème de Thalès
fournit:
a
a d−f '
=
D
d
x
f'
d
• Par ailleurs, la relation (1) conduit toujours à :
Page 4
(2)
d=
Christian MAIRE
xf '
x− f '
(3)
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
• La relation (2) peut faire intervenir le numéro de diaphragme N , soit :
aN d − f '
2
=
⇒ d ( f '− Na ) = f ' ⇒ en reportant dans (3), il vient :
f'
d
xf '( f '− Na) = f '2 ( x − f ') ⇒
xNa = f '2
• A la limite de « netteté », on a
(4)
a = g et x = L0 ⇒ la relation (4) permet d’aboutir à :
L0 =
f '2
Ng
L0 ( N = 2,8) ! 45 m
• Application numérique :
L0 ( N = 16) ! 8 m
L0 diminue ⇒ Pr augmente.
1.3.b) Lorsque N augmente, la distance hyperfocale
En revanche, lorsque
f ' augmente (on passe d’un objectif standard à un téléobjectif), la
profondeur de champ Pr diminue (pour de très longs téléobjectifs, les zones de netteté dans
l’espace objet sont très étroites, comme le savent bien les paparazzi…).
1.3.c) Pour une mise au point à l’infini, l’image est observée dans le plan focal de la
lentille (L), et une construction géométrique évidente fournit pour le diamètre a de la tache
centrale de diffraction :
tan θ ! θ =
a/2
λ
⇒ a = 2 × f '×1, 22 ×
= 2, 44λ N
D
f'
⇒
a ! 16 µ m
Rq : dans ce cas, le phénomène de diffraction peut encore être négligé, mais on n’est pas loin
de la taille du grain et il faudrait en tenir compte pour un numéro de diaphragme de 16.
1.4.a) Tout en faisant la mise au point à distance finie, il faut qu’un point situé à l’infini
donne sur l’écran (situé à une distance d ' " f ' de la lentille) une tache de diamètre inférieur ou
égal à la taille du grain ; à la limite, on a la construction ci-dessous :
(E)
(L)
g
D
Le théorème de Thalès fournit:
g d '− f '
=
⇒
D
f'
d ' = f '+ Ng
f'
d'
• Application numérique :
d 'N = 2,8 = 50, 08 mm
d 'N =16 = 50,32 mm
1.4.b) Toujours à la limite, la mise au point peut se faire sur un point A1 donnant sur
l’écran une tache de diamètre égal à g , comme on peut le constater sur la figure ci-dessous :
Page 5
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
(E)
(L)
Le théorème de Thalès fournit:
A1
g d "− d '
=
D
d"
g
D
La relation (3) s'écrit ici:
f'
L'0 × f '
d"= '
L0 − f '
d"
L'0
d'
d'
g
Ng
f '+ Ng
= 1− = 1−
⇒ d"=
, puisque d ' = f '+ Ng ; d’où :
Ng
d"
D
f'
1−
f'
• On obtient alors :
f '+ Ng
Ng
1−
'
f '× d "
f '+ Ng
f '+ Ng L0 × f '
f'
'
⇒ L0 =
= f '×
= f '×
; on en déduit :
d"=
= '
f '+ Ng
Ng
−
L
−
f
'
d
"
f
'
2
Ng
0
1−
−f'
Ng
f'
1−
f'
L'0 =
f '2
f'
f '2
L
+
!
= 0
2 Ng 2 2 Ng 2
A.N :
L'0 ( N = 16) = 4 m
1.4.c) Pour ces appareils sans mise au point, le constructeur cherche à diminuer autant
que possible la distance hyperfocale
L'0 : il choisit une focale un peu plus courte que 50mm
(autour de 40mm) et un numéro de diaphragme élevé (par exemple, N=32 ou plus) ⇒ on arrive
à des distances hyperfocales de l’ordre du mètre.
Les problèmes de diffraction ne sont plus du tout négligeables, mais surtout, à cause du
diaphragme très « fermé », les temps d’exposition sont plus longs ⇒ les risques de flou sont plus
élevés (on peut travailler avec des films de sensibilité plus grande, mais il y a alors plus de
« grain »…).
2.1) La tour pouvant être considérée comme située à l’infini, son image sera dans le plan
focal de la lentille ⇒ l’encombrement sera de 50mm.
• La taille de l’image sera fournie par la formule du grandissement :
A ' B ' = AB ×
2.2)
f'
0, 050
= 50 ×
= 0, 00125 m = 1, 25 mm
L
2000
(5)
L’image
A ' B ' étant située à 50mm de O1 , elle se trouve entre O2 et F2 : elle
constitue donc un objet virtuel pour la lentille ( L2 ) .
• Pour la construction demandée, nous allons prendre deux rayons issus du point
parallèle à l’axe et passant virtuellement par
'
2,
F
l’autre passant par le centre
B ' , l’un
O2 de la lentille
( L2 ) et non dévié ; on obtient alors :
Page 6
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
OPTIQUE
PROBLEME
( L2 )
( L1 )
O2
O1 F2'
A'
A"
B'
B"
2.3.a) La formule de conjugaison des lentilles donne :
−
1
1
1
1
1
1
+
= ' ⇒
=− +
= 0, 01319 mm−1
25 50 − 31, 2
O2 A ' O2 A " f 2
O2 A "
⇒
O2 A " = 75,8 mm
• La taille de l’image finale s’en déduit selon :
A" B " = A ' B ' ×
• L’encombrement
O2 A "
75,8
= A ' B '×
= 4, 03 × A ' B '
50 − 31, 2
O2 A '
e est alors de :
⇒
A " B " = 5, 03 mm
e = O1O2 + O2 A " = 31, 2 + 75,8 = 107 mm
2.3.b) D’après la relation (5), une lentille unique devrait avoir une focale
f u' = A " B "×
fu' telle que :
L
! 4 f ' = 200 mm
AB
• Son encombrement serait alors quasiment le double de celui du téléobjectif réalisé avec deux
lentilles, d’où l’intérêt du montage précédent qui permet de réduire l’encombrement de l’appareil
photographique.
Rq : pour de très longues focales, on utilise des objectifs catadioptriques, faisant appel à des
miroirs, ce qui permet de réduire encore l’encombrement du téléobjectif.
***************
Page 7
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.