Axes principaux d`inertie

Axes principaux d’inertie
• Théorème:
– se démontre en
algèbre linéaire
Pour tout point C d’un solide, il est toujours
possible de choisir un repère orthonormé au
point C tel que la matrice représentant le
I1 0 0 tenseur d’inertie soit diagonale:
˜IC = 0 I 2 0 ~
(IC est diagonalisable)
0 0 I 3 • Définitions (au point C):
~
– Repère d’inertie: repère dans lequel IC est une matrice diagonale
– Axes principaux d’inertie: axes du repère d’inertie
– Moments d’inertie principaux: moments d’inertie par
~ rapport aux axes
principaux d’inertie, c-à-d éléments diagonaux de IC dans le repère d’inertie
I1 0 0 1 I11 r
r
• Dans le repère d’inertie: L C = ˜IC = 0 I 2 0 2 = I 2 2 I
0
0
I
3 3
3 3 r
• Axe fixe r
L
=
I
est un axe principal d'inertie
C
passant par C:
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Recherche des axes principaux d’inertie
• Il faut trouver les valeurs et vecteurs propresr de ˜IC ,
donc les moments d'inertie I et les vecteurs tels que :
I11 I I12
I13 1 r
r
r
r
L C = ˜IC = I ( ˜IC I) = 0 I 21
I 22 I I 23 2 = 0
I 32
I 33 I 3 I 31
I11I I12 I13
I21 I22I I23 = 0 équation polynomiale de degré 3 pour I
I31 I32 I33I
en général,
3 solutions I1, I 2 et I 3 r
r
(˜IC-Ii ) ei = 0 donne l'axe principal ei
• Si le solide est symétrique, les axes suivants
sont des axes principaux d’inertie au point C:
– Tout axe de symétrie passant par C
– L’axe passant par C et perpendiculaire à un plan de symétrie
– Tout axe passant par C et perpendiculaire à un axe de symétrie d’ordre n 3
démo: anagyre
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Cas particuliers simples
3
c
• Parallélépipède rectangle plein
(plaque rectangulaire si a, b ou c 0):
G
b
1
R
2
a
3
I1 = 121 M(b2 +c2)
I2 = 121 M(c2 +a2)
I3 = 121 M(a2 +b2)
• Cylindre de révolution
G
2
L
1
3
G
R
1
Axes et moments d’inertie principaux par
rapport au centre de masse G de quelques
solides homogènes de masse M
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(tige si R 0, disque si L 0):
«toupie asymétrique»:
seulement trois axes
principaux par G
démo: hélices bipales
et tripales
«toupie symétrique»:
tout axe par G dans
le plan 12 est principal
plein: I1 = I 2 = I = 14 MR 2 + 121 ML2 , I3 = 12MR 2
vide: I1 = I 2 = I = 12MR 2 + 121 ML2 , I3 = MR 2
sans masse sur les bases circulaires
• Sphère:
pleine: I1 = I 2 = I 3 = I = 25MR 2
2
vide: I1 = I 2 = I 3 = I = 23MR 2
«toupie sphérique»:
tout axe par G
est principal
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Application: équilibrage d’un solide en rotation
démo: rotation autour d’un axe non-principal moment
• Dans beaucoup de situations, il est nécessaire qu’un solide en
rotation soit «équilibré»
– Exemples: roues de voiture, hélices d’avion, pâles de ventilateur,
turbines, arbres de transmission, …
• Pour un axe de rotation :
Solide équilibré statiquement
G
Solide équilibré dynamiquement est un axe principal d’inertie
L
L
L
L
axe – Si le solide n’est pas équilibré dynamiquement, le moment cinétique
précesse autour de , et un moment de force perpendiculaire à doit
être appliqué pour garder fixe:
vibrations, usure des coussinets et supports, ...
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Roue mal équilibrée en rotation
• Axe de rotation fixe faisant un angle avec l’axe de symétrie
• On choisit un repère d’inertie (lié à la roue, donc en mouvement):
– Origine au centre de masse G
r
L
MG
– Axe 3 selon l’axe de la roue
e3
– Axe 1 dans le plan défini par l’axe
de la roue et l’axe de rotation G
r
e2
axe • Dans le repère d’inertie:
r sin ˜ I 0 0 r
= 0 IG = 0I 0
e1
0 0I cos
// r
r
r
L
=
I
sin
e
+
I
cos
e
1
//
3
rG r r
r r
dL G
= I sin ( e1 ) + I // cos ( e 3 )
dt
r
r
= I sin ( cos e 2 ) + I // cos ( sin e 2 )
r
r
r
dL G
2
MG = 0 si et seulement si
= (I I // ) sin cos e 2 = M G
= 0, = /2 ou I = I//
dt
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Théorème de Steiner
• Par rapport à un point A quelconque :
2
˜
(IA)ij = mAP ij (AP)i (AP) j
2
= m AG+GP ij ((AG)i +(GP)i ) ((AG) j +(GP) j )
2
2
= m AG + GP + 2 AG GP ij
(AG )i (AG) j (GP)i (GP) j (AG)i (GP) j (GP)i (AG ) j
(
)
2
2
= mGP ij (GP)i (GP) j + m AG ij (AG)i (AG) j
[
[
2
˜
˜
(IA)ij = ( IG)ij + M AG ij (AG)i (AG ) j
]
]
]
permet de calculer le tenseur
d’inertie au point A quelconque
connaissant celui au centre de
masse G
= tenseur d’inertie au point A
d’une masse M au point G
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Théorème de Steiner (applications)
• Formule de Steiner pour les moments d’inertie:
– C = axe de direction ^u passant par un point C quelconque
– G = axe de direction u^ passant par le centre de masse G
– d = distance entre les deux axes C et G
I
C
2
˜
˜
= (IC)ij ui u j = ( IG)ij ui u j + M CG ui u jij (CG)i ui (CG) j u j
i, j
[
i, j
2
= I G + M CG (CG uˆ )
]
2
i, j
I = I + M d2
C
[
u^
d
3
C
G
= moment d’inertie d’une
masse M à une distance d de C
1
G
2
]
C
G
solide
• Axes principaux:
Si les axes G et CG sont des axes principaux d’inertie au point G
alors les axes C et CG sont des axes principaux d’inertie au point C
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Problème de la meule
• Description et hypothèses:
–
–
–
–
Meule: disque mince de masse M, rayon R, centre de masse G
Axe de la meule CG: horizontal, sans masse, longueur d
Roulement sans glissement sur le sol avec point C fixe sur un axe vertical
= rotation propre de la meule, = rotation autour de l’axe vertical
r r
• Vecteur instantané derrotation total = + r
0 = rvA = rvG + (
r ) GA
r
r
r +
0 = vC =rvG + ( + ) GC
r
r r
3
(r + ) GA
r = ( + ) GC
1
GA = GC
C R = d
T
d
2
• Equations
du mouvement:
r
r r
r˙
r
dp
= Mv G = T + N + Mg
dt
r
r
r
dL C r ext
= M C = CG (N + Mg)
dt
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N
G
R
A
Mg
157
Problème de la meule (suite)
démo
2
˜
˜
(IC)ij = ( IG)ij + M CG ij (CG)i (CG) j
(dans repère d’inertie
12MR 2 0
0 0 0
d’axes 1, 2, et 3,
0 ˜IC = 0 14 MR 2 0 + M 0d2 0 en rotation avec l’axe
de la meule autour de 3)
1
2
2
0 4 MR 0
0 0d • Moment
cinétique:
r
r
r
r
r
L C = ˜IC ( + ) = ( ˜IC)11 + ( ˜IC)33 r
r
r
r
d
L
C
1
d
2
˜
= (IC)11
= MR 3
dt
dt 2
N
1
• Equations du mouvement:
C M2d = T1
r
T
r˙
Mv G = F 0 = T2
G
d
2
0 = T3 + N Mg
r
R
dL C r ext
2
1
A
= M C 2 MR = d(N Mg)
dt
N = Mg + 12 MR 2 = Mg + 12 MR2 > Mg
Mg
d
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158
• Tenseur d’inertie:
[
]