Théorèmes généraux sur les circuits

G. Pinson - Physique Appliquée
Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /1
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A12. Théorèmes généraux sur les circuits
Courant Continu – CC (Direct Current – DC)
A
• Différence de potentiel (ddp)
U = VA – VB
B
U
VA
VB
U1
ΣU = 0
Loi des mailles
⇔ + U1 – U2 ... = 0
U2
ΣI = 0 ⇔ + I1 – I2 ... = 0
Loi des nœuds
I
I2
I1
I
• Dipôle récepteur :
dipôle générateur :
U
U
U
générateur
récepteur
P = UI < 0
P = UI > 0
Dipôle ou source réversible (en convention récepteur)
P = UI > 0
récepteur
I
• Loi d’Ohm (en convention récepteur)
0
P = UI < 0
générateur
R
U = R.I
U
! : en convention générateur (U et I de même sens), la loi devient : U = – R I
Résistances en série
R = R1 + R2
R = ∑ Ri
Résistances en parallèle
G = G1 + G2 ⇔ R =
R1 .R2
(avec G = 1/ R)
R1 + R2
1
1
G = ∑ Gi ou = ∑
R
Ri
I
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /2
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• Sources de tension
U
U0
I
Source idéale : ∀ I : U = U0
U0
U
I
U
U0
! Source de tension avec limitation de courant
I
Imax
Source réelle (modèle de Thévenin) :
I
Rs
U = – Rs .I + U0
U
U0
U
–Rs
U0
I
• Sources de courant
I
Icc
I
Source idéale : ∀ U : I = Icc
Icc
U
U
I
Icc
! Sources de courant avec limitation de tension
U
Umax
Source réelle (modèle de Norton) :
I
Icc
I
U
I=−
+ Icc
Rs
• Équivalence Thévenin / Norton :
réseau en fonctionnement normal :
Rs
U
Icc
–1/Rs
U
U0 = Rs .Icc
sortie en court-circuit :
sortie à vide :
I
réseau
U
charge
réseau
Icc
réseau
U0
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /3
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Calcul de Rs : c'est la résistance équivalente au réseau vu entre ses points de sorties lorsque ses
sources autonomes de tension et de courant sont passivées.
Sources passivées : une source de tension est remplacée par un court-circuit ; une source de
courant est remplacée par un circuit ouvert.
Source autonome : source non commandée.
• Adaptation d'impédance
Quand la puissance délivrée par le générateur de Thévenin à sa charge est maximale, on dit que
cette charge est "adaptée" au générateur . Soit Pa cette puissance :
charge quelconque : Pa =U 02
I
Rs
U
Rc
charge adaptée :
U0
Rc
( Rs + Rc )
2
 Rc = Rs


U 02
P
=
 a max 4R

s
• Diviseur de tension (et son modèle équivalent de Thévenin) :
R2
U0 = k.E avec k =
à vide :
R1
R1 + R2
E
R1
Rs
U 0 = kE
en charge (modèle de Thévenin) :
R1.R2
= k (1− k )R
R1 + R2
(avec R = R1 + R2 )
U0
I
U
Rs =
U0
Application : étude d'un potentiomètre R (ou d'un capteur résistif) chargé par une résistance Rc
Lorsque le potentiomètre n'est pas chargé (Rc ∞), celui-ci délivre une tension U0 = kE
proportionnelle à la position de son curseur. Problème : quelle erreur commet-on en mesurant la
tension de sortie U du potentiomètre lorsque celui-ci est en charge au lieu d'être à vide ? Pour
répondre à cette question, on remplace le potentiomètre par son modèle équivalent de Thévenin :
E
R2
R1
{R
{
R = R1 +R2
I
⇔ modèle de Thévenin :
U
Rc
On calcule : U =U 0 − Rs I =U 0 − Rs
Rs
U
Rc
U0
U0
. D'où l'on tire l'erreur absolue ∆U = U0 – U et
Rs + Rc
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /4
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l'erreur relative ∆U/U0 .
R
rapport entre la résistance totale du potentiomètre et sa charge.
Rc
kE
∆U
1
On trouve : U =
et
= 1−
:
1 + k(1− k )a
U0
1 + k(1− k)a
Pour cela, on pose : a =
Évolution de U et de
∆U
U0
en fonction de la position du curseur, donc de k, pour différentes valeurs de a (avec E = 1 V)
 ∆U 
d

(1− 2k)a
 U0 
En calculant la dérivée de l'erreur par rapport à k, on trouve que
=
=0
2
dk
1+
k(1−
k)a
[
]
1
pour k = . L'erreur relative est donc maximale lorsque le curseur est en milieu de course (k = 0,5).
2
 ∆U 
0,25 a
En ce point, elle vaut : 
=
.

 U 0 max 1+ 0,25 a
Par exemple, si la charge du potentiomètre vaut dix fois sa valeur, soit Rc = 10 R, donc a = 0,1,
on commet une erreur relative maximale ≈ 2,5 %. Inversement, si l'on veut que l'erreur ne dépasse
pas 1% quelle que soit la position du curseur, il ne faut pas que l'impédance de charge Rc soit
inférieure à une valeur minimale de l'ordre de 25 fois R : ∆U/U0 < 1% ⇔ Rc > 25 R.
• Pont de Wheatstone (et son modèle équivalent de Thévenin) :
R2 R3 − R1R4
U 0 = (U AB) à vide = E
(R1 + R3 )(R2 + R4 )
RR
RR
Rs = RAB = 1 3 + 2 4
R1 + R3 R2 + R4
U 0 = 0 (pont équilibré) pour R2 R3 = R1R4
E
R1
R2
A
UAB
R3
R4
B
• Théorème de superposition
L'intensité du courant dans une branche appartenant à un circuit maillé est égale à la somme
algébrique des intensités que ferait passer séparément chaque source autonome seule en circuit, les
autres sources autonomes étant passivées.
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /5
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Courant Alternatif – CA (Alternative Current – AC)
U = Z .I
U = Z.I ⇔ 
 Arg(U ) = Arg(Z ) + Arg( I )
• Loi d’Ohm en alternatif
Impédance (soit ϕ = Arg(Z))
Z = R + jX
 Z = R2 + X 2


X
tan ϕ = R
 R = Z .cosϕ

 X = Z .sinϕ
Z
ϕ
jX
R
ϕ > 0 : dipôle inductif
ϕ < 0 : dipôle capacitif
R : résistance ; X : réactance
Admittance
1
= G + jS
Z
G : conductance ; S : susceptance
Y=
• Inductance
i
L
convention générateur
(avec circuit magnétique non saturé)
dΦ
di
e=−
= −L
dt
dt
convention récepteur
di
u=L
⇒ Z = jLω
dt
Dipôle inductif série

2
2 2
Z = R + L ω
Z = R + jLω ⇒ 
Lω
 Arg(Z ) = arctan

R
e
i
L
u
(⇔ ϕ > 0)
Les paramètres apparents R et L d'une bobine réelle ne sont pas constants et dépendent de la
fréquence et de la tension d'alimentation. Dans le cas d'une bobine à noyau, la résistance apparente
tient compte non seulement de la résistance du fil mais aussi des pertes Joule (pertes par hystérésis
et par courants de Foucault).
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /6
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exemple : R = 68 Ω ; L = 10 mH
• Condensateur
convention récepteur
Dipôle capacitif série
exemple : R = 100 Ω ; C = 1 µF
i =C
du
1
−j
⇒ Z=
=
dt
jCω Cω
i
C
u

1
2

Z
=
R
+

1
C 2ω 2
Z=R+
⇒
jCω
Arg( Z ) = − arctan 1

RCω
(⇔ ϕ < 0)
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /7
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• Équivalence des représentations série et parallèle des dipôles réactifs
Rs
jXs
⇔
Zs = Rs + j Xs
Zs ≡ Zp

R 2 + X s2
Rp = s

Rs

2
2
 X = Rs + X s
 p
Xs
Il vient :
jXp
1
1
1
=
+
Z p Rp jX p
Rp

X 2p
 Rs = Rp

R 2p + X 2p

R 2p

Xs = X p 2
R p + X 2p

et
• Adaptation d'impédance, cas d'une charge complexe :
Pa : puissance active absorbée par la charge :
I
Rs +jXs
Rc = Rs
Xc = − X s
Pamax =
Rc+jXc
U
U0
U 02
4Rs
• Quadripôles réactifs
Ue
Ie
U
Zs = s
Is
impédance de sortie
Théorème de Kennelly :
quadripôle en Τ
Z1
Z3
1
Z1 =
Ie
Ze =
impédance d’entrée
Z 12.Z 31
Z12 + Z 23 + Z 31
Ue
↔
3
Z2
Is
Us
quadripôle en Π
Z31
1
3
Z12
Z23
2
Y 12 =
Y 1 .Y 2
Y1 +Y 2 + Y 3
2
(permuter les indices pour les autres impédances)
Impédance caractéristique : c'est l'impédance Zc telle que, si l'on connecte une charge égale à Zc à
la sortie du quadripôle, son impédance d'entrée est encore égale à Zc.
Exemples : cas de quadripôles symétriques :
Z1
Τ
Z1
Z2
Zc
Z e = Z1 +
Z2 ( Z1 + Z c )
Z1 + Z2 + Z c
= Zc ⇒ Zc =
2
Z1 + 2Z1 Z2
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Théorèmes généraux sur les circuits - A12 /8
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Y1
Π
Y2
Y2
Yc
Y e = Y2 +
Y 1(Y 2 + Y c )
2
= Y c ⇒ Y c = Y 2 + 2Y 1Y 2
Y1 + Y2 + Y c
Réalisations :
L
L
C
1 
2C
1
1− LCω 2
jLω  ⇒ Y c =
L
2
Y 2 = jCω
Y1 =
L
C
Z 1 = jLω 
2L
1
1  ⇒ Zc =
1− LCω 2
Z2 =
C
2
jCω 
C
NB : dans le cas de quadripôles symétriques, on montre que : Z c = Z e0 .Z ecc =
1
Y e0 .Y ecc
où Ze0 (resp Ye0 ) et Zecc (resp Yecc) sont les impédances (resp. admittances) d'entrée lorsque la
sortie du quadripôle est en circuit ouvert (indice "0") ou en court-circuit (indice "cc").