optimal regularity for square roots régularité optimale

OPTIMAL REGULARITY FOR SQUARE ROOTS
RÉGULARITÉ OPTIMALE DE RACINES CARRÉES
P.-L. LIONS AND C. VILLANI
Table des matières
1. Introduction
2. Démonstration du théorème 1
3. Démonstration du théorème 2
2
3
5
Nous établissons un résultat de régularité sur les racines
carrées de matrices symétriques positives.
Résumé.
We establish a regularity result for square roots of nonnegative
symmetric matrices.
Abridged English Version : It is well-known that whenever a is
a nonnegative
function on R with bounded second-order derivatives,
√
then a has bounded rst-order derivatives. This result can be extended to symmetric nonnegative matrices aij (x) depending on x ∈ Rp
(see [1,2]). More precisely, let a be a symmetric matrix function on Rp
with bounded second derivatives, then we have
° 1/2 °
°Da ° ∞ p ≤ CkD2 ak1/2
L∞ (Rp ) ,
L (R )
where C depends only on N and P .
We shall show that this result extends in a natural way to the case
when a has second-order derivatives in Lp , 1 < p ≤ ∞ : in particular,
£
¤1/2
we show, when P = 1, k(a1/2 )0 (x)k ≤ C M (ka00 k)
(x), a.e. x ∈ R,
where C depends only on N , and M (u) denotes the maximal function
of u. This pointwise inequality will allow us to show that if D2 a ∈ Lp
1/2
then Da1/2 ∈ L2p and kDa1/2 kL2p ≤ CkD2 akLp , where C depends only
on p, P and N .
Such results are useful for the study of the Fokker-Planck-Landau
equation (see [3,4] and the references therein).
1
2
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This theorem fails if p = 1, as can be seen from the following simple
counterexample when P = N = 1 :
x
a(x) =
, 0 < α < 1, x ∈ (0, 1/2).
(log 1/x)α
Finally, we present an extension of the above estimations : let a
be a symmetric N × N matrix function such that a ≥ 0 a.e., and
a ∈ Ẇ s,p (RP ), 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < s < 1, then a1/(1+s) ∈ Ẇ 1,p(1+s) .
1. Introduction
Rappelons tout d'abord le fait suivant bien connu√: si a est une fonction positive sur R, de dérivée seconde bornée, alors a a sa dérivée première bornée. Ce théorème peut être étendu aux matrices symétriques
positives dépendant d'un paramètre réel x, ou de x ∈ Rp (voir [1,2] par
exemple). Plus précisément, soit a une fonction matricielle symétrique
sur Rp , de dérivées secondes bornées, alors
° 1/2 °
°Da ° ∞ p ≤ CkD2 ak1/2
L∞ (Rp ) ,
L (R )
où C ne dépend que de N et P .
Le résultat qui suit est une extension naturelle de ce fait. Dans cet
énoncé, C désigne diverses constantes positives indépendantes de a.
Théorème 1. Soit a une fonction sur RP , à valeurs dans l'espace des
matrices N × N symétriques réelles, telle que a ≥ 0 (p.p. x). Alors,
(i) Si P=1,
£
¤1/2
k(a1/2 )0 (x)k ≤ C M (ka00 k)
(x) p.p.
√
(ii) Si D2 a ∈ Lp (RP ), 1 < p ≤ ∞, alors D( a) ∈ L2p (RP ) et
1/2
kDa1/2 kL2p ≤ CkD2 akLp .
(iii) Si α, β et p vérient 1/α + 1/β = 2/p, α ≥ 1, β > 1, alors
1/2
1/2
kDakLp ≤ CkakLα kD2 akLβ .
(iv) Si b = b(x) est une matrice N ×N , symétrique réelle, alors, sous
les mêmes hypothèses qu'en (i) et (iii) respectivement,
[T r(a0 b)]2 ≤ C M (ka00 k) T r(bab)
1/2
1/2
kT r(a0 b)kLp ≤ Cka00 kLβ kT r(bab)kLα .
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Ici M (u) est la fonction maximale de u,
µ Z x+r
¶
1
(1)
M (u) = sup
|u(y)| dy .
2r x−r
r>0
Signalons que ces résultats sont utiles pour l'étude de l'équation de
Fokker-Planck-Landau, où l'on est naturellement amené à considérer
des matrices symétriques positives vériant des estimations analogues
à celles présentées ci-dessus (Cf [3,4] et les références incluses).
Remarque : L'estimation (i) montre que dans le cas p = 1, Da1/2 ∈
2,∞
L
si D2 a ∈ L1 . En revanche, le résultat n'est plus vrai avec L2
comme le montre l'exemple simple suivant, où P = N = 1 :
x
a(x) =
, 0 < α < 1;
(log 1/x)α
√
En eet, on vérie sans peine que alors a00 ∈ L1 (0, 1/2) mais ( a)0 6∈
L2 (0, 1/2).
Enn nous établissons une extension du Théorème 1 dans les espaces
de type Ẇ s,p . On note Ẇ s,p (0 < s < 1, 1 ≤ p < ∞) l'espace des
fonctions u ∈ Lploc telles que
ZZ
|u(x) − u(y)|p
dx dy < ∞,
RP ×RP |x − y|P +sp
1,p
s,p
et Ẇ 1+s,p l'espace des fonctions u ∈ Wloc
telles que Du ∈ Ẇloc
.
Théorème 2. Soit a une fonction sur Rp , à valeurs dans l'espace des
matrices N × N symétriques réelles, telle que a ≥ 0 (p.p. x), a ∈
Ẇ s,p (RP ), 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < s < 1, alors a1/(1+s) ∈ Ẇ 1,p(1+s) .
Notons enn que ces résultats sont bien sûr locaux.
2. Démonstration du théorème 1
Un raisonnement élémentaire de densité permet de ne considérer que
le cas où a est régulière et dénie positive.
Nous commençons par le cas où a est une fonction positive sur R.
On écrit, pour tous x, y ∈ R,
Z 1
0
2
a00 (x + sy)(1 − s) ds.
0 ≤ a(x + y) = a(x) + ya (x) + y
0
Interprétant cette inégalité comme la positivité d'un trinôme en y , et
R1
R x+|y|
remarquant que 0 |a00 (x + sy)| ds ≤ 2 x−|y| |a00 (x + z)|/(2|y|) dz ≤
2M [a00 ](x), nous obtenons
(2)
|a0 (x)|2 ≤ 16 a(x) M [|a00 |](x).
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√
√
Sachant que ( a)0 = a0 /(2 a), nous en déduisons immédiatement (i)
dans le cas N = P = 1. Les points (ii) et (iii) du Théorème 1 s'obtiennent alors facilement grâce au célèbre théorème de Hardy-Littlewood
(et aux inégalités de Hölder dans le cas de (iii)).
Nous passons maintenant au cas où x varie dans RP : en appliquant
les résultats précédents aux restrictions de a à Ri = x + Rei (ei la base
canonique), on obtient immédiatement (ii) ; en ce qui concerne (iii) on
a, en réappliquant l'inégalité de Hölder,
p/2
p/2
k∂i akpLp (Ri ) ≤ C kakLα (Ri ) kD2 akLβ (Ri )
µZ
¶p/(2α) µZ
¶p/(2β)
Z
Z
0
α
2 β
p
0
|a| dxi
|D a| dxi
k∂i ak dxi dxi ≤ C dxi
R
ce qui prouve notre résultat (nous notons dx0i pour l'intégration selon
les variables autres que xi ).
Passons au cas où a est une matrice N × N , positive sur R. Comme
dans [1], nous introduisons les fonctions
φ± (x) = aii (x) ± 2aij (x) + ajj (x) = (ei ± ej , a(x)(ei ± ej )) ≥ 0.
Grâce au résultat monodimensionnel, nous obtenons |φ0± |2 ≤ CM (kD2 ak) φ± .
Or aij (x) = 41 [φ+ (x) − φ− (x)], donc
(3) |a0 (x)ij | ≤ C M (kD2 ak)1/2 [φ+ (x)1/2 + φ− (x)1/2 ]
≤ C M (kD2 ak)1/2 {aii (x) + ajj (x)}1/2 .
1/2
1/2
Par Hölder nous avons |a0ij |2 ≤ C kD2 akLβ kaii + ajj kLα , et aussitôt
(iii) dans le cas général.
Nous allons maintenant établir (i) dans le cas général. On prend
P
que a est diagonale en x ∈ RP ; alors
√ = 1. Nous pouvons supposer
0
a l'est aussi, et, puisque a (x) = a1/2 (x) (a1/2 )0 (x) + (a1/2 )0 (x) a1/2 (x),
nous avons
a0ij (x)
1/2 0
(a ) (x)ij =
.
(aii (x))1/2 + (ajj (x))1/2
Combinant cette formule avec (3), nous obtenons
|(a1/2 )0 (x)ij | ≤ CM (ka00 k)1/2 (x),
d'où (i) en tenant compte de toutes les composantes, et (ii). Nous
pouvons aussitôt généraliser (ii) au cas général (P quelconque).
Nous allons enn établir (iv). On commence par le cas P = 1. En
tout point x où a est diagonale, d'après (3),
´2
³X
X
X
(aii +ajj )b2ij (x).
(a0ij (x))2 (bij (x))2 ≤ CM (|D2 a|)(x)
a0ij (x) bij (x) ≤ N 2
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P
Comme
aii b2ij = T r(bab), le résultat est vrai au point x ; il l'est
partout par invariance de la trace sous les rotations.
Le cas général se déduit du cas P = 1 comme précédemment.
3. Démonstration du théorème 2
Nous allons démontrer le Théorème 2 dans le cas où p < ∞, le cas
p = ∞ se traitant d'une manière analogue. Comme dans la démonstration du Théorème 1, il sut de considérer le cas où a est régulière
et dénie positive pour tout x ∈ RP .
Commençons par le cas où N = P = 1. On écrit, pour x, y ∈ R,
Z y
0
0 ≤ a(x + y) = a(x) + ya (x) +
(a0 (x + z) − a0 (x)) dz
0
≤ a(x) + ya0 (x) + C b(x)|y|1+s
en notant
µZ
¶1/p
|a0 (x + z) − a0 (x)|p
b(x) =
dz
.
|z|1+sp
R
En particulier, nous avons, pour x, y ∈ R, y 6= 0,
1
|a0 (x)| ≤
a(x) + C |y|s b(x),
|y|
d'oú nalement
(4)
s
1
|a0 (x)| ≤ C a(x) 1+s b(x) 1+s , ∀x ∈ R.
En particulier, on en déduit
¯³
´0 ¯¯
¯
1
1
¯
¯ ≤ C b 1+s
1+s
(5)
sur R,
¯ a
¯
ce qui achève la démonstration dans le cas où N = P = 1.
Toujours dans le cas N = 1, l'extension au cas P ≥ 1 peut se faire
comme suit. Tout d'abord, on déduit du cas P = 1 l'inégalité suivante,
valable pout tout ω ∈ S P −1 :
Z ¯
ZZ
¯
1 ¯(1+s)p
|Da(x + zω) − Da(x)|p
¯
dx dz.
dx ≤ C
¯ω · Da 1+s ¯
|z|1+sp
RP
Rp ×R
On conclut alors la démonstration en intégrant par rapport à ω ∈ S P −1
et en remarquant que
ZZ
|ϕ(x + zω) − ϕ(x)|p
dx dz
|z|P +sp
RP ×RP
Z
ZZ
|ϕ(x + rω) − ϕ(x)|p
=
dω
dx dr
|r|P +sp
S P −1
RP ×[0,∞[
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1
=
2
Z
ZZ
dω
S P −1
|ϕ(x + rω) − ϕ(x)|p
dx dr.
|r|P +sp
RP ×R
Démontrons enn le Théorème 2 dans le cas où N ≥ 1, P = 1,
l'extension au cas général se faisant exactement comme ci-dessus. En
raisonnant comme dans la démonstration du Théorème 1, on obtient
s
1
|a0ij | ≤ C (aii + ajj ) 1+s b 1+s
(6)
sur R
où
µZ
b=
ka(x + z) − a(x)kp
dz
|z|1+sp
R
¶1/p
.
Pour estimer (a1/(1+s) )0 : on xe x0 ∈ R et sans restreindre la généralité
on peut supposer que a est diagonale en x0 . En notant σ = a1/(1+s) , on
démontre que l'on a
µ
(7)
σij0 (x0 )
=
a0ij (x0 )
1
1+s
1
1+s
aii (x0 ) − ajj
¶
¡
¢−1
(x0 ) aii (x0 ) − ajj (x0 ) .
Cette relation se vérie aisément dans le cas où 1+s ∈ Q, le cas général
s'en déduisant par densité.
En combinant (6) et (7), on obtient alors
¡
¢ 1
kσ 0 (x0 )k ≤ C b(x0 ) 1+s ,
(8)
il sut en eet d'observer que
Ã
sup
α,β>0
1
1
α 1+s − β 1+s
α−β
!
s
(α + β) 1+s < ∞.
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Références bibliographiques
[1] D.W. Stroock et S.R.S. Varadhan, Multidimensional Diusion Processes (pp. 7374 et 131-132). Springer-Verlag, 1979.
[2] O.A. Oleinik. Alcuni resultati sulle equazioni lineari e quasi lineari elliticoparaboliche a derivate parziali del second ordine. Rend. Classe. Sci. Fis. Mat., Nat.
Acad. Naz. Lincei, Ser. 8, 40 : 775-784, 1966.
[3] P.-L. Lions, On Boltzmann and Landau Equations, Phil. Trans. R. Soc. Lond.,
346 A : 191-204, 1994.
[4] C. Villani. On the Cauchy problem for Landau equation : sequential stability,
global existence. Adv. Di. Eq., 1 (5) : 793816, 1996.
Ceremade, Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal de Lattre
de Tassigny, 75775 Paris Cedex 16.
École Normale Supérieure, DMA, 45 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05,
FRANCE. e-mail [email protected]