Finance et mathématiques (modèles discrets)

INSA
Laboratoire Statistique et Probabilités
Université Paul Sabatier
Finances et Mathématiques, modèles discrets, 1998-2000
INTRODUCTION
C’est un cas particulier de problème de contrôle. Les courtiers échangent
des actions en bourse. Pour choisir une stratégie d’échange optimale (ici le
contrôle est la stratégie d’échange), ils consultent les données informatiques
sur les consoles, les nouvelles économiques et politiques, etc. C’est un monde
plein d’aléas que l’on essaye de modéliser en tenant compte des éléments
suivants :
- l’incertitude, l’aléa (généralement sous-jacent aux prix) : Ω.
- les informations au jour le jour (filtration observable) : (Ft , t ≥ 0) où Ft
est la tribu engendrée par les prix observés au temps t.
- la consommation de biens et des ressources exogènes.
- la stratégie de portefeuille, c’est à dire les décisions à prendre D dont le
résultat est la valeur du portefeuille à valeurs dans R tout en tenant compte
d’éventuelles contraintes permettant de définir les contrôles admissibles.
- les préférences des usagers qui aident à munir D d’un ordre ; de fait
l’utilité (ressentie) de la richesse et de la consommation.
Au point de vue vocabulaire, on aura à faire avec :
- les biens d’échange (exchange goods)
- les actifs financiers (securities, stocks...)
- les agents économiques (traders)
- les ressources perçues par ces agents (endowments), salaire par exemple.
On va étudier d’abord un modèle simple (chapitre 1) :
. une période de temps et deux dates : 0 et 1
. des aléas en nombre fini au temps 1 : Ω = {ω1 , · · · , ωK }, c’est à dire qu’il
y a un nombre fini d’états de la nature possibles et dans un premier temps,
Ω = {ω1 , ω2 }.
. des échanges en 0 et 1
On peut ensuite généraliser à plusieurs étapes ti , en gardant Ω de cardinal fini, muni d’une filtration, suite croissante de tribus Fti qui représente
1
l’information disponible au temps ti , avec des échanges à tout instant ti . En
général, F0 = {∅, Ω} et FT = P(Ω). C’est l’objet du chapitre 2.
Enfin, on peut complètement généraliser avec un modèle continu : Ω de
cardinal infini et le temps continu à valeurs dans [0, T ]. C’est l’objet d’un cours
de DEA du second semestre.
2
1
Marchés financiers à deux périodes
Voir le livre de R.A. Dana et M. Jeanblanc [1], chapitre 1.
1.1
1.1.1
Modèle à deux dates, deux états du monde, deux actifs
Description du modèle
Au temps 0, l’actif vaut S0 , au temps 1, noté S1 , il vaut soit Sh , soit Sb . Ce sont
les deux états du monde pour cet actif à risque.
Au temps 0, l’actif sans risque vaut 1, au temps 1, il vaut 1 + r, r est le
rendement de cet actif, nommé parfois le “bond”.
Définition 1.1 On appelle option d’achat (“call”) le contrat suivant : l’acheteur
paye en 0 une somme q qui lui donne la possibilité d’acheter au temps 1
l’action au prix K sans en avoir l’obligation. Si en 1, S1 > K, il exerce son
droit et gagne S1 − K − q. Sinon, et s’il n’exerce pas son droit, il aura perdu
q. Globalement, il gagne (S1 − K)+ − q.
On appelle option de vente (“put”) le contrat suivant : l’acheteur paye
en 0 une somme q qui lui donne la possibilité de vendre au temps 1 l’action
au prix K sans en avoir l’obligation. Si en 1, S1 < K, il exerce son droit
et gagne K − S1 − q. Sinon, et s’il n’exerce pas son droit, il aura perdu q.
Globalement, il gagne (K − S1 )+ − q.
Le problème est alors de trouver un prix “équitable” (fair price), q, entre
l’acheteur et le vendeur de ce contrat.
1.1.2
Portefeuille de couverture, valeur de l’option
Valeur de l’option signifie valeur du prix équitable q
. Il est clair que le seul cas intéressant est celui où K ∈]Sb , Sh [ et où E(S1 ) ≥
S0 (1 + r) : sinon, autant tout mettre sur le bond ! On cherche un portefeuille
(α, β), α somme versée sur le bond, β sur l’actif risqué, qui “couvre” l’option,
c’est à dire que sa valeur en 1 rapporte la même chose que le contrat d’option :
α → (1+r)α; βS0 → βS1 . La valeur finale de ce portefeuille est donc (1+r)α+βS1 .
Le couple (α, β) est solution du système :
(1 + r)α + βSh = Sh − K; (1 + r)α + βSb = 0
3
avec comme condition initiale q = α + S0 β. Tout calcul fait, on obtient :
α=−
Sh − K
Sb (Sh − K)
;β =
.
(Sh − Sb )(1 + r)
Sh − S b
Et le prix de l’option, le prix équitable (fair price) est
q = α + S0 β =
Sh − K
Sb
(S0 −
).
Sh − S b
1+r
Interprétation : avec au moins q, le vendeur peut se constituer le portefeuille (α, β) qui rapporte (S1 − K)+ pour tout ω ce qui lui permettra de payer
l’acheteur.
L’acheteur ne veut pas payer plus que q, car sinon, avec ce portefeuille, il
pourrait gagner plus que (S1 − K)+ .
. Si K n’appartient pas à ]Sb , Sh [, le système devient :
(1 + r)α + βSh = (Sh − K)+ noté Ch ; (1 + r)α + βSb = (Sb − K)+ noté Cb
et on trouve
α=
Ch − C b
C b Sh − S b C h
;β =
.
(Sh − Sb )(1 + r)
Sh − S b
Et le prix de l’option est
q=
Sh Cb − Sb Ch + (1 + r)S0 (Ch − Cb )
.
(Sh − Sb )(1 + r)
On peut récrire ceci :
(1)
(1 + r)q = πCh + (1 − π)Cb , avec π =
(1 + r)S0 − Sb
.
Sh − S b
Pour l’option de vente on trouve (exercice) :
(1 + r)p = πPh + (1 − π)Pb , avec P. = (K − S. )+ .
1.1.3
Probabilité neutre au risque
De la définition de π on tire la relation S0 (1 + r) = πSh + (1 − π)Sb . Dans le cas
où π est dans [0, 1], ce qui équivaut à Sb ≤ (1 + r)S0 ≤ Sh (exercice), on peut
interpréter π comme une nouvelle probabilité sur Ω et l’équation du prix est
alors
(1 + r)q = Eπ [(S1 − K)+ ].
Définition 1.2 on appelle cette probabilité la probabilité “neutre au risque”.
4
Interprétation : sous cette probabilité, il est équivalent en moyenne de placer
son argent avec ou sans risque.
Proposition 1.3 Le prix équitable de l’option est l’espérance du gain actualisé
sous la probabilité neutre au risque.
1
Preuve : q = Eπ [ 1+r
(S1 − K)+ ].
1.1.4
Parité put-call
Remarquons que (S1 − K)+ − (K − S1 )+ = S1 − K et (1 + r)S0 = Eπ (S1 ). Alors,
Eπ [(S1 − K)+ ] − Eπ [(K − S1 )+ ] = (1 + r)S0 − K. C’est à dire que le prix du call est
le prix du put plus (1 + r)S0 − K.
(q = p + S0 − K/(1 + r)... à voir)
1.1.5
Opportunité d’arbitrage
Définition 1.4 on dit qu’il existe une “opportunité d’arbitrage” si l’on peut
avoir une richesse initiale X0 < 0 et une richesse terminale X1 ≥ 0, ou
X0 ≤ 0, X1 ≥ 0 avec X1 (ω1 ) ou X1 (ω2 ) > 0.
exercice : Sb ≤ (1 + r)S0 ≤ Sh équivaut l’absence d’opportunité d’arbitrage.
D’une part si (1 + r)S0 < Sb , il est clair que l’on a intérêt à emprunter S0 sur
le bond, et placer cette somme sur l’action. Donc, X0 = 0 et X1 = −(1+r)S0 +S1
qui est strictement positif par hypothèse : il y aurait arbitrage. De même si
Sh > (1 + r)S0 , il vaut mieux emprunter sur l’action et placer sur le bond, et
l’on aboutit encore à une politique d’arbitrage.
Réciproquement, sous l’hypothèse Sb ≤ (1 + r)S0 ≤ Sh , on a trouvé π =
probabilité neutre au risque qui vérifie Eπ [X1 ] = (1 + r)X0 , puisque
r)S00 , Eπ [S11 ] = (1 + r)S01 . S’il y avait une opportunité d’arbitrage, il
y aurait par exemple un portefeuille (α, β) donnant lieu à la richesse initiale
X0 = α + βS0 < 0, et la richesse terminale X1 = α(1 + r) + βS1 ≥ 0. En prenant
l’espérance sous π de S1 , on obtient α(1 + r) + βS0 (1 + r) qui est strictement
négatif, d’où la contradiction.
(1+r)S0 −Sb
,
Sh −Sb
0
S1 = (1 +
1.1.6
Risque d’une option
Soit p la probabilité que S1 = Sh . Le rendement moyen de l’actif est
noté mS . La variance de ce rendement est
(Sh − Sb )2
S1
2
.
E[( − mS ) ] = p(1 − p)
S0
S02
5
pSh +(1−p)Sb
S0
Définition
1.5 on appelle volatilité de l’action l’écart-type de ce rendement,
q
Sh −Sb
p(1 − p) S0 , notée vS . Elle mesure le risque couru en moyenne.
Pour ce qui concerne l’option, on appelle ∆ la quantité β à mettre sur
b
. rappelons que c’est le β du portel’action pour couvrir le contrat : ∆ = CShh −C
−Sb
feuille qui sert à couvrir l’option. Les économistes appellent cela la “sensibilité” de C à S, en gros la variation relative de l’étendue de C (prix de
l’option) par rapport à celle du prix de l’action S.
Définition 1.6 on appelle élasticité de l’option Ω =
S0
∆.
q
Proposition 1.7 Le rendement moyen de l’option est mC = p Cqh + (1 − p) Cqb et
sa volatilité
q
b
p(1 − p) Ch −C
, notée vC .
q
Remarquons que vC = vS × Ω. On suppose ici que mS ≥ 1 + r, sinon, autant tout
mettre sur le bond...
Proposition 1.8 On suppose que mS ≥ 1 + r. Alors : (i) vC ≥ vS .
(ii) Le rendement excédentaire du call est supérieur à celui de l’actif,
c’est à dire :
mC − (1 + r) ≥ mS − (1 + r).
Preuve :
Ch +(1+r)S0 (Ch −Cb )
b
≥ 1. Or q = Sh Cb −Sb(1+r)(S
,
1. On veut en fait montrer que Ω ≥ 1, soit Sq0 CShh −C
−Sb
h −Sb )
il faut donc comparer (1 + r)S0 (Ch − Cb ) et Sh Cb − Sb Ch + (1 + r)S0 (Ch − Cb ).
Or, il est facile de vérifier que Sh Cb − Sb Ch ≤ 0, ce qui montre la première
assertion.
2. On rappelle mS =
obtient
pSh +(1−p)Sb
S0
et mC =
pCh +(1−p)Cb
q
; par conséquent, on
(mS − (1 + r))S0 = pSh + (1 − p)Sb − πSh − (1 − π)Sb = (p − π)(Sh − Sb )
et de même,
(mC − (1 + r))q = pCh + (1 − p)Cb − πCh + (1 − π)Cb = (p − π)(Ch − Cb ).
Ainsi, on obtient que le quotient
mC − (1 + r)
S0 (Ch − Cb )
=
,
mS − (1 + r)
q(Sh − Sb )
c’est à dire exactement Ω dont on vient de voir qu’il est plus grand que 1.
L’interprétation est que le rendement d’une option est plus grand que celui
de l’actif sous-jacent ; le risque (la variance, lavolatilité) est plus grand. commentaire personnel : si l’on prend plus de risques, il ne faut pas s’étonner que
la probabilité de perdre de l’argent n’est pas nulle....
6
1.2
Modèle à deux dates, N actifs et K états de la nature,
plusieurs agents.
On considère toujours deux dates 0 et 1 où se passent des échanges et où des
biens sont consommés. Mais en 1 : Ω = {ω1 , · · · , ωK }, ensemble des états de
la nature, muni d’une probabilité P. Il n’y a qu’un bien de consommation,
périssable : on ne peut le stocker. Par ailleurs, il y a maintenant N actifs,
échangés au temps 0. Si l’un d’eux est sans risque, on les renumérote de 0 à N
et l’actif sans risque n’est pas nécessairement de valeur initiale 1. On fait les
hypothèses suivantes :
- il n’y a pas de coût de transaction.
- le prix de la n-ème action au temps 1 est une variable aléatoire sur
(Ω, P(Ω), P).
- il y a I agents économiques ; tout est connu (déterministe) au temps 0
et une fois au temps 1, ils savent lequel des ω est réalisé. Ils sont caractérisés
par leurs
. ressources : ei (0), ei (1, ω), i = 1, ..., I ,
. consommations : ci = (ci (0), ci (1, ω))
(qui sont des variables aléatoires comme les prix, à valeurs dans X = R × RK
donc pas forcément positives contrairement à l’intuition naturelle !!)
- X est muni d’une préférence ≺ c’est à dire une relation binaire, totale et
vérifiant :
si c ∈ X, {c0 ≺ c} et {c ≺ c0 } sont des fermés de X.
si toutes les coordonnées de c0 sont supérieures ou égales à celles de c, alors
c ≺ c0 .
si c ≺ c0 et c ≺ c00 , alors pour tout α ∈ [0, 1], c ≺ αc0 + (1 − α)c”
1.2.1
Ensemble budgétaire
Budget set, en anglais
On note S0 = (p1 , ..., pN ) le vecteur des prix initiaux des N actifs et < x, y >
le produit scalaire dans RN , D la matrice des prix au temps T : D = [dn (ωk ) n =
1, ...N ; k = 1, ...K] et S le système de prix (S0 , D).
S’il y a un actif sans risque, on a : S0 = (p0 , p1 , ..., pN ) ; d0 (ωk ) = p0 (1 + r), ∀k.
Définition 1.9 On appelle ensemble budgétaire du ième agent l’ensemble
B(ei , S) = {c ∈ X/∃θ1 , ..., θN : c(0) = ei (0)− < θ, S0 >; c(1) = ei (1) + Dθ}
7
C’est à dire qu’il existe une stratégie d’achat qui permet de financer la
consommation terminale.
Comme il y a plusieurs agents, on parle plutôt de stratégies d’échange, et
l’on dit que c est engendrée par (ei , θ).
Exemple : On donne le tableau des prix pour K = 2, N = 4
S0 50 4 22 44
d. (ω1 ) 100 40 60 120
d. (ω2 ) 100 0 40 80
exercice : y a-t-il un actif sans risque ? si oui, quel est son taux ?
La ressource de l’agent considéré est donnée par e(0) = 9, e(T, ω1 ) = 10, e(T, ω2 ) =
20. Dans X = R3 , B(e, S) est l’ensemble des c ∈ R3 tels qu’il existe θ ∈ R4 solution
du système de trois équations à quatre inconnues :
c(0) − 9 = −50θ1 − 4θ2 − 22θ3 − 44θ4
c(T, ω1 ) − 10 = 100θ1 + 40θ2 + 60θ3 + 120θ4
c(T, ω2 ) − 20 = 100θ1 + 0θ2 + 40θ3 + 80θ4
(2)
(3)
Trouver c dans R3 revient à éliminer θ ; tous calculs faits, on obtient la relation
:
1
4
c(0) + c(T, ω1 ) + c(T, ω2 ) = 18
10
10
c’est à dire que l’ensemble budgétaire B(e, S) est un plan de R3 .
1.2.2
Equilibre
Le but des agents est d’optimiser leurs préférences, évidemment ! Mais
les échanges ne peuvent avoir lieu en dehors d’un certain “équilibre”. Plus
précisément, on a besoin que les marchés soient “clairs”, c’est à dire que pour
toute action n, n = 1, ..., N :
I
X
θni = 0
i=1
autrement dit “rien ne se perd, rien ne se crée”...
Définition 1.10 On dit qu’il y a équilibre (Arrow-Debreu : cf [1]) relatif au
système de prix S si (S, θ) vérifie que ∀e, ∀i, le processus de consommation
ci de B(ei , S) engendré par (ei , θ i ) est optimal pour tout agent et si le marché
est “clair”.
Un tel ensemble de consommations {ci , i = 1, ...I} s’appelle l’allocation d’équilibre
relatif à (e, S).
8
1.2.3
Efficacité de Pareto
Il s’agit d’un critère de désir social pour le choix de la politique de consommation à ressource fixée e dans un système de prix S.
Définition 1.11 une allocation {ci , i = 1, ...I} est possible (“feasible”) dans ce
système si
I
X
ci (t) =
i=1
I
X
ei (t), t = 0, 1.
i=1
Remarquons en comparant les définitions qu’une allocation d’équilibre est
toujours possible.
Définition 1.12 Dans un système (e, S), on dit qu’une allocation {ci , i = 1, ...I}
possible a l’efficacité de Pareto s’il n’y a pas d’autre allocation possible qui
lui soit strictement préférable, c’est à dire qu’il n’existe pas d’allocation
{bi , i = 1, ...I} telle que pour tout i, ci ≺ bi et l’un au moins des bi est différent
de ci .
Définition 1.13 Un processus de consommation c est accessible (“attainable”)
dans le système de prix (S0 , D) s’il existe un processus de ressource e tel que
:
e(1) = 0; c ∈ B(e, (S0 , D)).
On note M l’ensemble des consommations accessibles. On a la suite d’équivalences
:
c ∈ M ⇔ ∃e : c ∈ B(e, S), e(1) = 0 ⇔ ∃θ, e : c(0) = e(0)− < θ, S0 > ; c(1) = Dθ,
c’est à dire qu’il existe un portefeuille permettant de réaliser cette consommation.
On peut alors montrer le théorème suivant.
Théorème 1.14 Si tout processus de consommation est accessible, alors toute
allocation d’équilibre a l’efficacité de Pareto.
De fait, l’hypothèse utile dans ce théorème est que le rang de la matrice D est
K.
Preuve :
(i) Supposons que (ci , i = 1, · · · , I) est une allocation d’équilibre sans efficacité
de Pareto, c’est à dire qu’il existe une autre allocation (bi , i = 1, · · · , I) possible
qui lui est strictement préférable ; donc on a
(∗)
X
i
ci =
X
i
ei =
X
bi , ci ≺ bi , ∀i = 1, · · · , I.
i
9
On pose ai = bi − ci : par hypothèse, cette allocation est accessible et il existe
(θ, α) tels que ∀i = 1, · · · , I :
bi (0) − ci (0) = ai (0) = αi − hθ i , S0 i ; ai (1) = Dθ i .
On tire de (*) que i ai (t) = 0, t = 0, 1, c’est à dire
P i
P P i
i
iα =
i hθ , S0 i =
i
n θn pn .
P
P
P P
i
i
n θn d n
=
P
i
Dθ i = 0, et
(ii) Supposons que cette somme i αi soit strictement positive. Alors, un des
P
agents dans l’équilibre change sa politique θ avec la politique : θ 0 = θ − i θ i et
il obtient la consommation
P
c0 (0) = c(0) + h
X
θ i , S0 i > c(0) ; c0 (1) = Dθ 0 = c(1)
i
qui est une consommation strictement préférable à c, et appartenant à l’ensemble
budgétaire pour le portefeuille θ 0 , ce qui n’est pas possible à cause de l’hypothèse
d’optimalité de l’allocation c sous l’équilibre : par définition, c est optimal dans
B(e, S).
P
On effectue un raisonnement analogue avec θ 0 = θ+ i θ i si la somme est stricteP
ment négative ; donc elle est nulle : i αi = 0.
(iii) Supposons qu’il existe i tel que αi < 0 : alors si on note η i la stratégie
optimale associée à ci ,
bi (0) − αi = ci (0) + ai (0) − αi = ci (0) − hθ i , S0 i,
bi (1) = ai (1) + ci (1) = D(η i + θ i ).
Le couple (bi (0)−αi , bi (1)) est donc une consommation dans l’ensemble budgétaire
B(ei , S) via la stratégie θ i + η i et de plus
bi (0) − αi > bi (0) ≥ ci (0),
ce qui montre que cette consommation est préférable à bi , donc à ci , ce qui
contredit l’hypothèse d’optimalité de ci sous l’équilibre : donc αi ≥ 0, ∀i et
comme leur somme est nulle, ils sont tous nuls.
Mais alors les équations précédentes montrent que bi ∈ B(ei , S) ; comme par hypothèse il est strictement préférale à ci , ceci contredit l’hypothèse d’optimalité
de ci dans B(ei , S) sous l’équilibre : donc cette allocation (bi ) n’existe pas et
l’allocation (ci , i = 1, · · · , I) a bien l’efficacité de Pareto.
2
Théorème 1.15 Si le rang de la matrice D est égal à K, alors tout processus
de consommation est accessible et toute allocation d’équilibre a l’efficacité
de Pareto.
10
Preuve La consommation c est accessible si et seulement si pour tout ω le
système c(1, ω) = hD(ω), θi admet une solution, ce qui est bien équivalent au
fait que le rang de la matrice D soit égal à K. Dans ce cas e(0) = c(0) + hθ, S0 i.
2
La moralité est la suivante : on a besoin d’un nombre suffisant d’actifs
indépendants pour “couvrir” l’aléa, l’incertitude...
1.2.4
Ensemble accessible
C’est une notion analogue à celle de l’ensemble bugdétaire, mais sans tenir
compte des ressources.
Soit D : RN −→ RK telle que D(θ) = D.θ.
Théorème 1.16 L’ensemble M des consommations que l’on peut atteindre est
R × Im(D).
En effet, il s’agit de l’ensemble engendré par c(0), c(1) = D.θ, et l’on a bien que
c(0) ∈ R ; c(1) ∈ Im D.
Théorème 1.17 Pour tout processus de ressource e et pour tout système de
prix S = (S0 , D) :
c ∈ B(e, (S0 , D)) ⇔ c−e est accessible avec une ressource initiale 0, c’est à dire c−e ∈ B(0,
En effet, on peut procéder par une suite d’équivalence :
(4)
c ∈ B(e, S) ⇔ ∃θ/c(0) = e(0)− < θ, S0 >; c(1) = e(1) + D d’une part,
c − e ∈ B(0, S) ⇔ ∃θ/c(0) − e(0) = − < θ, S0 >; c(1) − e(1) = D d’autre part
ce qui est de fait la même chose...
1.2.5
Stratégies d’arbitrage
Comme dans la section précédente, la philosophie de cette notion est la
suivante : un agent économique qui utilise une stratégie d’arbitrage est sûr
d’obtenir un bénéfice (retour) sans investissement initial.
Définition 1.18 Une stratégie d’arbitrage est une stratégie d’échange qui permet à un agent de fortune initiale nulle d’obtenir une consommation strictement positive ; précisément :
- soit < θ, S0 >≤ 0 ; D(ω) ≥ 0 et ∃ω/D(ω) > 0,
-soit < θ, S0 >< 0 et ∀ωD(ω) ≥ 0
11
Il s’agit d’un moyen de s’enrichir sans apport personnel.
Exemple : On considère trois états et trois actions. Le prix initial S0 =
(8, 10, 3) ; la matrice D est donnée par :
6 11 3
5 11 3
12 9 3
On montre que le portefeuille θ = (1, 7/2, −87/6) est d’arbitrage :
1
< θ, S0 >= − ; < θ, D(ω1 ) >= 1; < θ, D(ω2 ) >= 0; < θ, D(ω3 ) >= 0.
2
On fait en général l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (notée
A.O.A.) et on montre le théorème utile suivant, connu sous le nom de lemme
de Farkas :
K
Théorème 1.19 L’hypothèse A.O.A. équivaut à l’existence de β ∈ (R+
∗ ) , apPK
i
i
pelé prix d’état, tel que S0 = j=1 d (ωj )βj , ∀i = 0, ...N.
La preuve utilise le théorème de séparation de Minkowski :
si C1 et C2 sont deux convexes non vides de Rk , C1 fermé et C2 compact, il
existe a ∈ Rk , non nul, b1 , b2 ∈ R tels que ha, xi ≤ b1 < b2 ≤ ha, yi, ∀x ∈ C1 , y ∈ C2 .
P
On note le simplexe ∆n = {y ∈ (R+ )n+1 , i yi = 1}.
Preuve : On pose U = {z ∈ RK+1 , z0 = −hS0 , xi, ; (z1 , · · · , zK ) = D.x, x ∈ RN }.
(i) On suppose AOA. Alors U ∩ (R+ )K+1 = {0} car sinon, si z non nul est dans
cette intersection, on aurait z0 = −hS0 , xi ≥ 0 soit hS0 , xi ≤ 0, et les autres coordonnées D.xj positives, ce qui est de l’arbitrage sauf si z est nul. En particulier,
U ∩ ∆K = ∅, U est un convexe fermé, ∆K est compact et convexe. On peut
appliquer le théorème de Minkowski : ∃β ∈ (RK+1 )∗ , hβ, zi ≤ b1 < b2 ≤ hβ, yi, ∀z ∈
U, ∀y ∈ ∆K .
Comme 0 ∈ U, b1 ≥ 0, b2 > 0 et y = (0, ...0, 1, 0, ..., 0) ∈ ∆K , βj > 0. On peut
K
toujours supposer β0 = 1 et (β1 , · · · , βK ) ∈ (R+
hβ, zi = −hS, xi +
∗ ) . Alors, ∀z ∈ U,P
N
t
t
i
β .D.x ≤ b1 , ∀x ∈ R . Ceci n’est possible que si S0 = D .β : S0 = kj=1 di (ωj )βj .
K
(ii) Réciproquement, s’il existe β ∈ (R+
tel que S0 = D t β, calculons la valeur
∗)
d’un portefeuille θ : X0 = hθ, S0 i, X1 = D.θ. Donc X0 = θ t D t β = hX1 , βi. Aucun
portefeuille ne peut donc être d’arbitrage, puisque cette dernière équation
montre que l’on ne peut avoir en même temps X0 < 0 et X1 ≥ 0.
2
L’interprétation probabiliste est la suivante : pour tout i = 1, · · · , N, S0i =
12
βj di (ωj ) et s’il existe un actif (indicé 0) sans risque, pour tout j, d0 (ωj ) = 1 + r
et donc
P
1 = j βj (1+r), ce qui définit une probabilité Π sur Ω : πj = βj (1+r), j = 1, · · · , K.
P
j
π
j
1
Remarquons enfin que S0i = j 1+r
di (ωj ) = 1+r
Eπ [S1i ]. On en déduit (1 +
P
i
i
i
r)hθ, S0 i = (1 + r) i,j θ βj d (ωj ) = Eπ [hθ, S1 i] : la valeur initiale du portefeuille,
actualisée au temps 1, est égale à la valeur moyenne du portefeuille au temps
1 sous la probabilité Π.
P
Définition 1.20 On dit que Π est une probabilité neutre au risque : sous Π,
cela revient au même de placer à la caisse d’épargne ou sur les actifs risqués.
Le rendement de l’actif i pour l’état ωj est
j (1
P
+ r)βj
di (ω
S1i
j)
di (ωj )
S1i
d’espérance sous Π égale à
= 1 + r.
Proposition 1.21 Sous l’hypothèse AOA, il existe une probabilité neutre au
risque sous laquelle le prix au temps 0 de tout actif est l’espérance du prix
au temps 1, actualisé.
Théorème 1.22 Il n’existe pas de stratégie d’arbitrage en situation d’équilibre.
i
Démonstration : soit ∀i, (θ1i , ..., θN
) la stratégie qui finance la consommation
d’équilibre de l’agent i. Supposons qu’il existe une stratégie θ d’arbitrage
selon le premier cas donné dans la définition 1.18. Alors, θ 0 = θ i + θ engendre
la consommation c0 (1) = Dθ i + Dθ et c0 (1) > ci (1) pour au moins un ω tandis que
c0 (0) = ci (0)− < θ, S0 >≥ ci (0). Or c0 ∈ B(ei , S). Ceci contredit le fait que ci serait
optimal pour l’agent i dans B(ei , S).
Faire la démonstration dans le deuxième cas donné dans la définition 1.18
à titre d’exercice.
2
13
1.2.6
Marchés complets
Le théorème 1.15 de la section 1.2.3 indique que si le rang de D vaut K, toute
allocation d’équilibre a l’efficacité de Pareto. Ajoutons une action de prix
pN +1 au temps 0 et dN +1 au temps 1. On obtient dans ce cas particulier une
autre conséquence importante. On considère l’équilibre du marché aux prix
((p1 , ..., pN +1 ), D). Or DN , la matrice des N premières actions, est de rang K.
Alors,
DN .θ = dN +1 admet une unique solution (θ1 , ..., θN )
N
0
Nécessairement, pN +1 = N
n=1 θn pn , car si pN +1 >
n=1 θn pn , la stratégie θ =
(θ1 , ..., θN , −1) serait une stratégie d’arbitrage : en effet, θ 0 est de valeur initiale
< θ, S0 > −pN +1 < 0 et de valeur terminale Dθ − dN +1 = 0. Mais il n’existe pas
P
d’arbitrage en situation d’équilibre (cf 1.22). Si l’on avait pN +1 < N
n=1 θn pn , la
stratégie θ 00 = (−θ1 , ..., −θN , 1) serait par symétrie une stratégie d’arbitrage.
Dans ce cas, toute action supplémentaire est de prix obtenu par combinaison
linéaire des prix des actions précédentes.
P
P
Pour interdire l’arbitrage, on introduit la notion suivante.
Définition 1.23 Un marché est dit complet si tout processus de consommation est accessible, c’est à dire si pour tout objectif C ∈ RK , il existe un
portefeuille θ qui permet de réaliser cet objectif :
D.θ = C,
N
X
θi di (ωj ) = C(ωj ), j = 1, · · · , K.
i=1
Proposition 1.24 Un marché est complet si et seulement si le rang de la
matrice D est K, cardinal de Ω.
La preuve est exactement dire que l’application f : θ 7→ D.θ est surjective sur
RK .
Interprétation économique du prix d’état en marché complet :
. Si l’objectif C est de coordonnées nulles sauf la jème qui vaut 1, et s’il existe
θ j permettant de le réaliser, si l’on fait le produit scalaire avec le prix d’état
(cf le théorème 1.19) β, hβ, Ci = β t Dθ j = βj = hS, θ j i : on obtient que βj est le
prix à payer au temps 0 pour avoir 1F au temps 1 si l’état du monde est alors
ωj . D’où la terminologie de prix d’état.
Théorème 1.25 Si un marché est complet, toute allocation d’équilibre a l’efficacité
de Pareto.
La démonstration n’est rien d’autre que celle du théorème de la section 1.2.3 2
14
1.2.7
Mesures de prix d’équilibre, ou “neutres au risque”
Dans un marché complet, soit le portefeuille θ = (θ1 , · · · , θN ) tel que la valeur
P
Dθ = 1 pour tout ω. Alors, le prix initial hS0 , θi = β t Dθ = kj=1 βj . On peut
P
1
supposer que l’actif 1 est sans risque : on obtient pour cet actif kj=1 βj = 1+r
,
c’est la valeur que l’on gagne avec ce portefeuille.
Si les composantes du prix d’état sont strictement positives, on définit
πj = (1 + r)βj , ce qui donne la probabilité sur Ω “neutre au risque”.
Hypothèse : on suppose maintenant que l’un des actifs (numéroté 0) est
“sans risque”, de prix initial 1, c’est à dire du type caisse d’épargne (“bond”,
en anglais) : précisément :
d0 (ω) = (1 + r), ∀ω ∈ Ω.
Définition 1.26 Soit S un système de prix. Si D t .Q = (1 + r)S0 admet une
solution dans RK de coordonnées toutes > 0, on dit que Q est une mesure de
prix d’équilibre.
On numérote o le bond : do = (1 + r) avec (1 + r) > 0 et l’on note le vecteur
S0 = (1, p1 , ..., pN ). On obtient le système :
K
X
dj (ωk )Q(ωk ) = (1 + r)pj , j = 0, ...N.
k=1
C’est à dire que si Q(ωk ) > 0, ∀k, on a obtenu une mesure sur Ω qui se trouve
même être une probabilité : pour j = 0, do (ωk ) = (1 + r) ∀k, ce qui montre que
l’équation pour j = 0 du système revient à :
K
X
(1 + r)Q(ωk ) = (1 + r),
k=1
soit exactement
PK
k=1
Q(ωk ) = 1.
Théorème 1.27 Q existe si et seulement si le système de prix S interdit
l’arbitrage.
Preuve : de fait c’est une deuxième preuve du théorème 1.19, à sauter en
première lecture.
Lorsque Q existe, par définition, D t .Q = (1 + r)S0 admet une solution dans
RK de coordonnées toutes > 0. Soit un portefeuille θ tel que toutes les composantes de θ t D t ≥ 0. Alors, θ t D t Q = (1 + r)θ t S0 ≥ 0 et l’on ne peut avoir
d’arbitrage :
15
- si Dθ(ω) ≥ 0 ∀ω, < θ, S0 > ne peut être strictement négatif,
- si de plus il existe ω tel que Dθ(ω) > 0 , < θ, S0 > ne peut être négatif ou nul.
Réciproquement, supposons que l’arbitrage soit interdit, et considérons l’ensemble
budgétaire B(0, S) et l’ensemble de consommations accessibles ou non :
H = {c : c(0) ≥ 0; c(1) ≥ 0; c(0) +
K
X
c(1, ωi ) ≥ 1}
i=1
Remarquons que :
B(0, S) = {c : ∃θ ∈ RN +1 /c(0) = − < θ, S0 >; c(1) = Dθ}
est un sous espace vectoriel de RK+1 tandis que H est un sous-ensemble convexe
fermé de RK+1 . Or, on peut voir que leur intersection H ∩ B(0, p) est vide, car
si l’arbitrage est interdit, c(1) ≥ 0 ⇒ c(0) ≤ 0 et ils ne peuvent être nuls en
même temps (à cause de la troisième condition de H). Donc, il existe une
forme linéaire f : RK+1 → R qui “sépare” H et B(0, S) au sens où :
f (c) = 0, ∀c ∈ B(0, S) ; f (c) > 0, ∀c ∈ H.
Soit alors une base (α0 , · · · , αK ) de RK+1 (αi a toutes ses coordonnées nulles
P
sauf la i-ème = 1) ; on note c = c(0)α0 + i c(1, ωi )αi et l’on peut considérer que
(α0 , · · · , αK ) sont des éléments de H puisque en quelque sorte la consommation
P
αk est telle que c(1, ωi ) = δi,k et i c(1, ωi ) = 1. Donc, ∀i = 1, · · · , K, f (αi ) > 0. De
P
façon générale f (c) = c(0)f (α0 ) + i c(1, ωi )f (αi ). Considérons c un élément de
B(0, S) associé à la stratégie θ = δn,1 :
c(0) = − < θ, S0 >= −pn ; c(1, ωi ) = Dθ(ωi ) = dn (ωi )
Donc f (c) = 0, soit pour tout n = 0, · · · , N :
−pn f (α0 ) +
X
dn (ωi )f (αi ) = 0
i
On a ainsi mis en évidence le système d’équations D t f (α) = f (α0 )S0 dont f est
solution et il suffit alors de poser
Q(ωi ) = (1 + r)
f (αi )
f (α0 )
(qui est bien > 0 par définition de f ) pour avoir obtenu une mesure de prix
d’équilibre.
2
Corollaire 1.28 Une mesure de prix d’équilibre existe si et seulement si le
système de prix (S0 , D) admet un équilibre pour une population d’agents
ayant des préférences continues croissantes convexes.
16
Rappel :
. ≺ est continue sur RK+1 si {c0 ≺ c} et {c ≺ c0 } sont fermés.
. ≺ est croissante si le fait que toutes les coordonnées de c0 ≤ celles de c implique que c0 ≺ c
. ≺ est convexe si c ≺ c0 et ≺ c00 implique ∀α ∈]0, 1[, c ≺ αc0 + (1 − α)c”
Preuve : D’après le théorème 1.22 s’il y a équilibre il ne peut y avoir d’arbitrage.
Le théorème 1.27 dit alors qu’une mesure de prix d’équilibre existe.
Réciproquement supposons que Q, mesure de prix d’équilibre, existe et soit
(e1 , · · · , eI ) un jeu de ressources. On définit une préférence de la façon suivante
:
1
1
b ≺ c : c(0) +
EQ (c(1)) ≥ b(0) +
EQ (b(1)).
1+r
1+r
(Vérifier en exercice qu’il s’agit bien d’une relation continue croissante convexe).
On vérifie que l’on est alors en situation d’équilibre. Soit pour l’agent i
une consommation ci ∈ B(ei , S) financée par une stratégie θ i :
ci (0) = ei (0)− < θ i , S0 >; ci (1) = ei (1) + Dθ i .
On calcule le critère de préférence pour cette consommation :
(5)
ci (0) +
1
1
EQ (ci (1)) = ei (0) +
EQ (ei (1)) +
1+r
1+r
1 X
Q(ωk )θni dn (ωk )− < θ i , S0 >
1 + r k,n
Or puisque Q est une mesure de prix d’équilibre, ∀n,
et l’on obtient pour tout agent i :
ci (0) +
P
k
Q(ωk )dn (ωk ) = (1 + r)pn ,
1
1
EQ (ci (1)) = ei (0) +
EQ (ei (1)).
1+r
1+r
Mais ei ∈ B(ei , S) pour la stratégie nulle qui rend bien le marché clair ! Donc
ei et ci sont équivalentes, ei est optimale dans B(ei , S) et elle est atteinte pour
une stratégie qui rend le marché clair : on a effectivement mis en évidence
une situation d’équilibre avec (p, e, c = e).
2
Théorème 1.29 Lorsqu’il existe une mesure de prix d’équilibre, Q est unique
si et seulement si le marché est complet.
Preuve : L’hypothèse est donc que le système D t Q = (1 + r)S0 admet une
solution dont les coordonnées sont toutes > 0. Alors, l’unicité de la solution
équivaut classiquement au fait que le rang de D = K dont on sait que cela
17
équivaut au fait que le marché est complet (cf 2.5).
2
Exemple : soit la matrice :
1 3 9
D= 1 1 5
1 5 13
et le vecteur de prix initiaux : S0 = (1, 3, 9).
On vérifie que le marché n’est pas complet, qu’il existe une mesure de prix
d’équilibre, que les seules consommations accessibles vérifient c3 = 2c1 − c2 .
Donner l’ensemble des probabilités neutres au risque.
1.2.8
Valorisation par arbitrage dans le cas d’un marché complet
Proposition 1.30 Sous l’hypothèse A.O.A. et si le marché est complet, pour
atteindre au temps 1 un objectif C ∈ RK , appelé parfois actif contingent, il
1 PK
faut avoir au départ la richesse 1+r
j=1 πj C(ωj ) c’est à dire l’espérance de C
sous la probabilité neutre au risque actualisée.
Preuve : sous ces deux hypothèses, d’après l’exercice 1.2.8., on a vu que l’application
de matrice D est surjective et qu’il existe un portefeuille θ qui permet de
réaliser C et que la valeur initiale de ce portefeuille hθ, S0 i ne dépend pas du θ
choisi. (Un tel portefeuille s’appelle “portefeuille de couverture”). Cet exercice
permet enfn de montrer que justement cette valeur initiale hθ, S0 i = θ t D t β =
1
E [C].
2
1+r Π
Ceci s’appelle la “valorisation” parce que l’on trouve la valeur initiale d’un
actif, son prix ( en anglais, on dit parfois “pricing”) ; on dit “par arbitrage”
parce que l’on est sous l’hypothèse A.O.A.
exercice : Soit l’actif contingent la valeur d’une option “call” : C = (S1i −K)+ .
Donner le prix de cette option.
1.2.9
Problème d’optimisation
On cherche maintenant un politique optimale permettant de maximiser l’utilité
de la consommation :
F : B(e, S) → R+ ; c 7→ U (c).
On définit ici un ensemble budgétaire particulier avec la contrainte que la
richesse reste positive :
B = {c/X0 = e(0) − c(0) − hθ, S0 i ≥ 0 ; XT = e(1) − c(1) + Dθ ≥ 0}.
18
On suppose la fonction U positive croissante et strictement concave.
Proposition 1.31 Il existe une consommation optimale si et seulement si le
marché vérifie l’hypothèse A.O.A. Dans ce cas, la solution optimale apartient
à l’ensemble (R∗+ )K+1 .
Preuve : on fait la preuve seulement dans le cas où D est injective, N + 1 ≤ K
et le rang de D est N + 1 (nombre d’actifs sur le marché).
(i) Supposons l’existence d’une consommation optimale c∗ : il existe un portefeuille θ tel que la richesse initiale X0 = e(0) − c∗ (0) − hθ, S0 i et la richesse terminale X1 = e(1)−c∗ (1)+Dθ. Supposons qu’il existe une possibilité d’arbitrage avec
un portefeuille θ1 , c’est à dire que hθ1 , S0 i = 0 et Dθ1 ≥ 0 sans être nul. Alors
avec le portefeuille θ+θ1 , l’agent a une consommation toujours dans l’ensemble
budgétaire, la même richesse initiale X0 et une richesse terminale supérieure
à XT qui peut donner lieu à une consommation c1 (T ) = c∗ (T ) + Dθ1 ≥ c∗ (T ) et
donc préférable à c∗ optimale : d’où la contradiction et l’absence d’arbitrage.
(ii) Réciproquement, sous A.O.A., les hypothèses sur U assurent l’existence
d’un optimum dans l’ensemble budgétaire B dès que celui-ci est borné. Supposons B non borné : il existe une suite (cn , θn ) satisfaisant les contraintes
et kθn k → ∞. Soit θ ∗ une valeur d’adhérence de la suite ( kθθnn k ) ; on tire des
contraintes les relations pour tout n :
cn (0)
θn
e(0) cn (T )
e(T )
θn
+h
, S0 i ≤
;
≤
+D
kθn k
kθn k
kθn k kθn k
kθn k
kθn k
et on fait tendre n vers l’infini :
hθ ∗ , S0 i ≤ 0 ; Dθ ∗ ≥ 0
c’est à dire un arbitrage sauf si Dθ ∗ = 0 ce qui n’est pas possible car par
définition θ ∗ est de norme 1 et D injective par hypothèse : l’ensemble budgétaire
est borné et c∗ existe.
(iii) Montrons enfin que toutes les composantes de cette consommation optimale sont strictement positives. On est dans un problème d’optimisation
convexe sous contraintes linéaires : à l’optimum, les contraintes sont saturées,
c’est à dire
(6)
c∗ (0) + hθ, S0 i = e(0) ; c∗ (T ) − Dθ = e(T ).
On peut résoudre ce problème par la méthode des multiplicateurs de Lagrange
:
L(c, θ, λ) = U (c) + λ0 [c(0) + hθ, S0 i − e(0)] +
K
X
j=1
19
λj [cT (ωj )Dj θ − eT (ωj )].
On obtient le système différentiel suivant :
∇c L = ∇U − λ = 0 ∈ RK+1
λ0 S 0 −
(7)
K
X
λj d(ωj ) = 0 ∈ RN +1 ,
j=1
les deux dernières dérivations étant les dérivées du lagrangien en λ, c’est à
dire la saturation des contraintes (6). La fonction d’utilité U est strictement
croissante donc tous les multiplicateurs de Lagrange optimaux λ∗j > 0. On
∇j U
introduit βj = λλ0j = ∇
: on tire alors de (7)
0U
S0i =
K
X
βj di (ωj ), i = 0, · · · , N
j=1
qui est une formule d’évaluation des prix.
Les équations de la saturation (6) montrent que la consommation optimale
c est strictement positive de la manière suivante. Il existe ε ∈]0, 1[ tel que
∗
c(0) = c∗ (0) + εhθ, S0 i > 0; c(1) = c∗ (T ) − εDθ > 0,
en effet, si une composante de c∗ est strictement positive, il existe ε assez petit
pour que la composante correspondante de c reste strictement positive ; si une
composante de c∗ est nulle, par les équation (6), soit hθ, S0 i = e(0) > 0 soit il
existe un ω où −D(ω)θ = e(T, ω) > 0 et la composante correspondante de c est
strictement positive pour tout ε.
Cette consommation c appartient à l’ensemble budgétaire pour le portefeuille (1 − ε)θ. Par ailleurs, comme la fonction d’utilité U est concave :
U (c) − U (c∗ ) ≥
X
(cj − c∗j )∇j U (c) = ε[hθ, S0 i∇0 U (c) −
X
(Dθ)j ∇j U (c)]
j
j
qui, lorsque ε tend vers zéro, tend vers hθ, S0 i∇0 U (c∗ ) − j (Dθ)j ∇j U (c∗ ) qui est
nul par (7) ; c serait préférable à c∗ ce qui contredit l’optimalité de c∗ : c = c∗
qui est donc strictement positive.
2
P
Dans le cas d’un marché complet, on peut aller plus loin, car alors on a
l’unicité du vecteur λ∗ et on obtient la relation :
c∗ (0) + hβ, c∗ (T )i = e(0) + hβ, e(T )i.
20
2
Marchés financiers à plusieurs périodes
On généralise le modèle du chapitre précédent à T périodes : (0, · · · , T ) au lieu
de seulement (0, 1). Le principe de modélisation est le même, mais on a alors
des processus aléatoires sur Ω×(0, · · · , T ) au lieu de variables aléatoires pour les
consommations, les ressources et les prix. Les stratégies sont aussi indexées
par le temps en plus du numéro de l’actif concerné.
2.1
Le modèle
Comme pour les modèles de contrôle, les agents économiques vont tenir compte
des informations disponibles sur les prix et donc les stratégies (les contrôles)
vont être des processus adaptés à ce que l’on vient d’observer. Les composantes du modèle sont donc :
- le temps (0, · · · , T ),
- l’incertitude, l’aléa (généralement sous-jacent aux prix) : Ω = {ω1 , · · · , ωK },
muni de la probabilité “naturelle” P,
- les informations au jour le jour (filtration observable) : F engendrée par
les prix observés et l’on suppose que Fo = {∅, Ω} et FT = P(Ω) : à la fin, on
sait “tout” ! On peut figurer cette succession de connaissances croissantes sur
l’état du monde par une arborescence. Ceci est bien modélisé par la filtration,
c’est à dire la suite croissante de tribus sur Ω qui modélise l’information au
jour le jour :
F0 = {Ω, ∅},
FT = P(Ω),
Ft = σ({Aj (t), j ∈ Ωt }
où Aj (t) sont les atomes de Ft , réunion d’atomes Al (t + 1) de Ft+1 .
- un seul bien de consommation périssable (exchange good)
- les actifs financiers (securities) : un bond et N actifs “risqués” de prix les
variables aléatoires
pn (t); n = 1, · · · , N ; t = 1, · · · ; T, pn (t) > 0 ;
soit S0 le vecteur des prix initiaux et D le processus de la matrice des prix qui
est un processus F -adapté (c’est à dire ∀t, le vecteur aléatoire Dt , noté aussi
pt , est Ft -mesurable) :
S0 = (p1 (0), · · · , pn (0)) ; Dt = pt = [pn (ωk , t) n = 1, ...N ; k = 1, ...K].
21
On note S = (S0 , D) le système de prix sur les T + 1 dates.
- les I agents économiques (traders) qui reçoivent des ressources (endowments, salaire par exemple) ei (t) et consomment ci (t), e, c étant des processus
adaptés (∀t, et , ct sont Ft -mesurables) réels.
- il n’y a pas de coût de transaction.
- on note X l’ensemble de consommation R × {processus adaptés }, muni
d’une préférence ≺ complète, continue, croissante et convexe, c’est à dire :
. (X, ≺) est totalement ordonné
. si c ∈ X, {c0 ∈ X : c0 ≺ c} et {c0 ∈ X : c ≺ c0 } sont des fermés.
. si toutes les coordonnées de c sont supérieures ou égales à celles de c 0 ,
alors c ≺ c0 .
. si c ≺ c0 et c ≺ c00 alors pour tout α ∈ [0, 1], c ≺ αc0 + (1 − α)c”.
2.2
Stratégies et ensemble budgétaire
On suppose de plus l’existence d’un actif sans risque, indicé par 0, de prix
initial 1 et de prix déterministe p0t , par exemple (1 + r)t .
Les stratégies (cf Lamberton et Lapeyre p.13) sont des processus à valeurs
dans RN +1 :
θ = (θt0 , ..., θtN ) ; t = 1, ..., T.
On demande à θ d’être prévisible, c’est à dire que θt est Ft−1 mesurable : on
se sert de l’information déjà reçue pour recomposer son portefeuille, avant de
savoir les nouveaux prix.
Avec la stratégie θt au temps t, l’agent dispose de la fortune
Vt (θ) = Dt θt notée parfois
N
X
θti .pit ou hθt , pt i.
i=0
variable aléatoire Ft -mesurable. On note Ṽt (θ) = (pot )−1 Vt (θ) la valeur “actualisée” du portefeuille, et p̃t = (pot )−1 pt les prix “actualisés”, le bond servant
en quelque sorte de référence. En particulier, p̃0t = 1 pour tout t. On note
Rt = (p0t )−1 le coefficient d’actualisation du marché.
Définition 2.1 On dit que θ est une stratégie autofinancée si pour tout t =
1, ..., T − 1 :
hθt , pt i = hθt+1 , pt i
22
(cf Dothan page 69 et Lamberton et Lapeyre p.14 : il n’y a pas de coûts de
transaction).
Interprétation : le nouveau portefeuille est réalisé uniquement par une redistribution interne entre les actifs ; la consommation est financée uniquement
par les ressources.
Remarque 2.2 θ est une stratégie autofinancée si et seulement si
Vt+1 (θ) − Vt (θ) = hθt+1 , pt+1 − pt i,
c’est à dire que la variation de valeur du portefeuille est uniquement due à
la variation des prix.
Preuve en exercice.
Définition 2.3 On appelle ensemble budgétaire pour un processus de ressource
ei et un système de prix p :
B(ei , p) = {c ∈ X/∃θ prévisible : c(t) = ei (t)+hθt −θt+1 , pt i; ∀t ∈ {0, ..., T } ; θo = θT +1 = 0}
C’est à dire qu’il existe une stratégie d’achat qui permet de financer la
consommation terminale. Remarquons qu’il n’y a pas dans cette définiiton de
contrainte sur le signe du processus de consommation.
Si de plus θ est autofinancée,
B(ei , p) = {c : c(0) = ei (0)−hθ1 , S0 i, c(t) = ei (t), t = 1, · · · , T −1, c(T ) = ei (T )+hθTi , pT i}.
Comme il y a plusieurs agents, on parle plutôt de stratégies d’échange, et
l’on dit que c est engendrée (ou simulée, ou atteinte) par (ei , θ).
Proposition 2.4 On a les équivalences entre les assertions suivantes :
(i) θ est autofinancée,
(ii) ∀t ∈ {1, ..., T }, Vt (θ) = V0 (θ) +
Pt
(iii) ∀t ∈ {1, ..., T }, Ṽt (θ) = V0 (θ) +
s=1 hθs , ps
Pt
− ps−1 i,
s=1 hθs , p̃s
− p̃s−1 i.
Preuve : on montre la première équivalence en utilisant la remarque ci-dessus :
Vs+1 (θ) − Vs (θ) = hθs+1 , ps+1 − ps i
et on fait la somme.
Pour montrer (i) ⇐⇒ (iii), θ est autofinancée ⇐⇒ hθt , p̃t i = hθt+1 , p̃t i ⇐⇒
Ṽs+1 (θ) − Ṽs (θ) = hθs+1 , p̃s+1 − p̃s i ⇐⇒ (iii).
23
2
Proposition 2.5 (cf [3] p.15) Pour tout processus prévisible θ à valeurs dans
RN et pour toute valeur réelle V0 , il existe un unique processus prévisible
réel θ o tel que le processus à valeurs dans RN +1 θ̄ = (θ o , θ) soit une stratégie
autofinancée de valeur initiale V0 .
Preuve (exercice) : on tire de l’identité :
Ṽt (θ̄) =
θto
+
N
X
θtn .p̃nt
= Vo +
t
X
hθ̄s , (p̃s − p̃s−1 )i,
s=1
n=1
et du fait que pour tout s, p̃os = 1 et après simplification, l’expression :
(8)
θto = V0 +
t−1 X
N
X
θsn .(p̃ns − p̃ns−1 ) −
s=1 n=1
N
X
θtn .p̃nt−1 , t > 1 et θ10 = V0 −
n=1
N
X
θ1n .p̃n0 ,
n=1
ce qui est bien une expression prévisible.
2.3
Notion d’équilibre, efficacité de Pareto
Le but des agents est d’optimiser leurs préférences, évidemment ! Mais
les échanges ne peuvent avoir lieu en dehors d’un certain “équilibre”. Plus
précisément, on a besoin que les marchés soient “clairs”, c’est à dire que pour
toute action n, n = 0, ..., N :
I
X
θni = 0
i=1
autrement dit “rien ne se perd, rien ne se crée”...tout en offrant à chacun la
possibilité d’optimiser sa stratégie dans son ensemble budgétaire.
Définition 2.6 Pour un ensemble de ressources ei , un système de prix S et
un jeu de stratégies θi permettant d’atteindre les consommations ci , on dit
qu’on est en situation d’ équilibre si
(i) ∀i, le processus de consommation ci est optimal dans B(ei , S) muni de la
relation de préférence ≺ pour l’agent i,
(ii) le marché est “clair” à tout instant t et pour tout ω, c’est à dire que
pour toute action n, n = 0, ..., N :
I
X
θni (t, ω) = 0, ∀n, ∀ω.
i=1
Un tel ensemble de consommations {ci , i = 1, ...I} s’appelle l’allocation d’équilibre
relatif à (e, S). (Rappel :S = (S0 , D)).
24
Définition 2.7 Une allocation {ci , i = 1, ...I} est possible (feasible en anglais) si
∀i, ci ∈ X et
I
X
i=1
ci (t) =
I
X
ei (t), ∀t = 0, · · · , T.
i=1
Définition 2.8 On dit qu’une allocation possible {ci , i = 1, ...I} a l’efficacité
de Pareto s’il n’y a pas d’autre allocation possible {bi , i = 1, ...I} qui soit
préférable pour chaque agent.
Définition 2.9 un processus de consommation est accessible (ou simulable)
dans le système de prix S s’il existe un processus de ressource e tel que :
e(0) > 0 ; e(t) = 0, t = 1, ..., T ; c ∈ B(e, S).
A S fixé, on note M (S) l’ensemble des consommations accessibles. On a
l’équivalence : c ∈ M (S) ⇔ ∃θ permettant de simuler c. On peut alors montrer
le théorème suivant.
Théorème 2.10 (cf [2] p.57) Si tout processus de consommation est accessible, alors toute allocation d’équilibre a l’efficacité de Pareto.
Démonstration identique au cas à deux périodes (cf le théorème 1.14), à faire
en exercice.
2.4
Stratégies admissibles et d’arbitrage
Cette section s’appuie sur [3] page 15 et [2] 3.7, pages 69-71.
Définition 2.11 Une stratégie θ est dite admissible si elle est autofinancée
et si de plus la valeur du portefeuille Vt (θ) reste positive ou nulle pour tout
t ; c’est dire que l’investisseur doit pouvoir rembourser à tout instant ses
emprunts, par exemple en réalisant le portefeuille.
Une variante est d’autoriser un déficit fixe : Vt (θ) ≥ a où a est une valeur
négative.
L’arbitrage est comme dans le chapitre précédent la possibilité pour un
agent économique d’obtenir un retour (bénéfice) sans investissement initial.
25
Définition 2.12 Une stratégie d’arbitrage est une stratégie d’échange admissible qui permet à un agent de fortune initiale nulle d’obtenir une consommation strictement positive ; précisément :
- hθ, S0 i(0) = 0 ; DT θ(ω) ≥ 0 et ∃ω/DT θ(ω) > 0.
Avec la définition étendue de l’admissibilité ( Vt (θ) ≥ a où a est une valeur
négative), cela donne
- soit hθ, S0 i(0) ≤ 0 ; DT θ(ω) ≥ 0 et ∃ω/DT θ(ω) > 0.
-soit hθ, S0 i(0) < 0 et ∀ω, Dθ(ω) ≥ 0
On peut montrer sans difficulté que, s’il existe un actif sans risque, l’existence
de telles stratégies est équivalente à l’existence de stratégies vérifiant plus
simplement :
- hθ, S0 i(0) = 0 ; DT θ(ω) ≥ 0 et ∃ω/DT θ(ω) > 0.
L’interdiction d’arbitrage va se caractériser par des propriétés de martingales (cf J. Neveu [4]), d’où les “rappels” suivants.
Sur un espace de probabilité filtré (Ω, A, P, Ft ) un processus adapté M est
une martingale si ∀t, Mt ∈ L1 (Ω, A, P) et l’espérance conditionnelle EP [Mt+1 /Ft ] =
Mt . Les principales propriétés à savoir sont (voir par exemple [4]) :
- M est une martingale ⇔ ∀s ≤ t EP [Mt /Fs ] = Ms .
- EP [Mt ] = EP [M0 ].
- la somme de deux martingales est une martingale.
Définition 2.13 On dit qu’un marché est viable (ou arbitré) s’il n’existe pas
de stratégie d’arbitrage.
Théorème 2.14 La viabilité d’un marché est équivalent à l’une des deux conditions équivalentes :
(i) ∃Q probabilité équivalente à P telle que les prix actualisés sont des
Q−martingales,
(ii) pour tout t = 1, · · · , T pour tout atome Ajt−1 de la tribu Ft−1 , le système
X
i
(Ajt−1 ), i = 1, · · · , N,
Dti (Atk )Qt (Atk ) = (1 + r)Dt−1
Atk ∈At−1
j
où Atk sont les atomes de Ft de réunion Ajt−1 , admet une solution de composantes strictement positives.
Définition 2.15 On dit alors que Q est une mesure de prix d’équilibre.
26
De fait, les systèmes ci-dessus s’entendent de la manière suivante : il y a
autant de systèmes d’équations que d’atomes dans la tribu Ft−1 , notés At−1
:
j
(9)
∀Ajt−1 atome de Ft−1 ,
X
t
D(t, Bi )Qt (Bi ) = (1 + r)pt−1 (ω), ∀ω ∈ At−1
j ,
i
où Bi sont les atomes de Ft contenus dans Ajt−1 , et cela est exactement l’équation
donnant les mesures de prix d’équilibre dans le cas à deux périodes, de t−1 à t,
tout simplement. Donc, l’assertion (ii) est équivalente à l’absence d’arbitrage
entre t − 1 et t.
Preuve
(i) ⇒ le marché est viable : soit θ admissible (donc autofinancée) ; alors on
a vu (proposition 2.4) que la valeur actualisée du portefeuille vérifie :
Ṽt (θ) = Vo (θ) +
t
X
hθs , p̃s − p̃s−1 i.
s=1
C’est une somme finie de variables aléatoires intégrables ; donc Ṽt (θ) est
intégrable ; de plus, θt est Ft−1 -mesurable ; on calcule l’espérance conditionnelle suivante :
EQ [Ṽt (θ)/Ft−1 ] = Ṽt−1 (θ) + EQ [hθt , p̃t − p̃t−1 i/Ft−1 ]
= Ṽt−1 (θ) + hθt , EQ [p̃t − p̃t−1 /Ft−1 ]i = Ṽt−1 (θ)
puisque l’hypothèse dit que p̃ est une Q−martingale. Donc Ṽt (θ) est aussi une
Q−martingale ; en particulier, EQ [Ṽt (θ)] = Vo (θ). Si θ était d’arbitrage, soit
hθo , So i = Vo (θ) = 0, et VT (θ) ≥ 0, on aurait EQ [ṼT (θ)] = 0, soit ṼT (θ) = hθT , pT i = 0
c’est à dire l’impossibilité de l’arbitrage, et le marché est viable.
La réciproque directe est difficile (cf pages 18-19 de Lamberton et Lapeyre
[3]). En revanche, la démonstration est plus facile en passant par (ii) et en
notant que c’est équivalent à l’absence d’arbitrage entre t − 1 et t.
Le marché est viable implique (ii).
Supposons que (ii) n’est pas réalisée : il existe t et une stratégie admissible
d’arbitrage θ entre les instants t et t + 1, c’est à dire
hθt+1 , pt i = hθt , pt i = 0 ; hθt+1 , pt+1 i > 0.
On complète alors pour avoir une stratégie admissible autofinancée d’arbitrage
entre 0 et T. On propose :
θ1 = · · · = θt−2 = 0
θt−1 choisi tel que hθt−1 , pt−1 i = hθt , pt−1 i et hθt−1 , pt−2 i = 0
hθt+1 , pt+1 i
θjo =
∀j ≥ t + 2
pot+1
θjn = 0 ∀n = 0, · · · , N, ∀j ≥ t + 2
27
Cette stratégie est admissible :
elle est manifestement prévisible ; de plus, elle est autofinançante :
- ∀j ≥ t + 2, hθj , pj i = hθj+1 , pj i puisque θj est constante,
o
- hθt+2 , pt+1 i = θt+2
.pot+1 = hθt+1 , pt+1 i par construction,
- hθt+1 , pt i = hθt , pt i par hypothèse,
- hθt , pt−1 i = hθt−1 , pt−1 i par construction,
- enfin hθj , pj−1 i = hθj−1 , pj−1 i = 0, ∀j ≥ t − 1 par construction.
Ce dernier point montre en particulier que hθ1 , S0 i = 0, alors que l’on peut
po
vérifier sans difficulté que hθT , pT i = hθt+1 , pt+1 i poT > 0. C’est dire que θ est
t+1
d’arbitrage, ce qui contredit l’hypothèse.
(ii) implique (i)
L’hypothèse permet de construire une probabilité Q équivalente à P qui fait
des prix actualisés des Q−martingales. En effet, on propose (cf Dothan [2],
page 75 et sq) :
Q(ω) =
T
Y
Qt (ft (ω)),
t=1
où ft (ω) est l’atome de Ft contenant ω, et Qt est solution du système (ii) :
t
D(t, ω)Qt = (1 + r)pt−1 (ω)
d’une part que ceci définit bien une probabilité, puis que les prix actualisés
sont des Q−martingales.
Plus précisément, l’hypothèse est la suivante :
soit t fixé entre 1 et T et les atomes A1 , · · · , Ant−1 de Ft−1 ; pour tout j = 1, · · · , nt−1 , Aj =
∪Bjk où les Bjk sont des atomes de Ft ; la variable aléatoire Dt est constante sur les Bjk
P
et la variable aléatoire pt−1 est constante sur les Aj et le système k Dt (Bjk )Qt (Bjk ) =
(1 + r)pt−1 (Aj ) admet une solution (Qt (Bjk ) > 0, j = 1, · · · , nt−1 ).
Soit alors ω ∈ Ω, FT = P(Ω), ce singleton est inclus dans une suite d’atomes
pour les filtrations successives : {ω} ⊂ fT −1 (ω) ⊂ · · · ⊂ f1 (ω). la définition est :
Q{ω} = QT {ω}QT −1 (fT −1 (ω)) · · · Q1 (f1 (ω)).
Propriété : on écrit la coordonnée 0 du système donnant Qt : Dt0 (Bjk ) = (1 + r)t
et p0t−1 = (1 + r)t montrent que
∀j = 1, · · · , nt−1 ,
X
Qt (Bjk ) = 1.
k
a) Q est une probabilité : on va sommer progressivement les Q{ω} par récurrence
28
:
X
X
Q{ω} =
ω
X
(
les atomes de
FT −1
QT (ω)QT −1 (fT −1 (ω)) · · · Q1 (f1 (ω)).
ω∈fT −1 (ω)
Or les atomes fi (ω) sont fixes une fois que fT −1 (ω) est donné et le produit
P
QT −1 (fT −1 (ω)) · · · Q1 (f1 (ω)) est facteur de la somme ω∈fT −1 (ω) QT (ω) qui vaut 1.
On obtient alors :
X
ω
QT −1 (AjT −1 ) · · · Q1 (f1 (AjT −1 )).
X
Q{ω} =
les atomes de
FT −1
Il est facile d’obtenir par récurrence pour tout t :
X
ω
Qt (Ajt )Qt−1 (ft−1 (Ajt )) · · · Q1 (f1 (Ajt )),
X
Q{ω} =
les atomes de
Ft
car à j fixé, les atomes des tribus d’indices inférieurs à t ft−1 (Ajt ), · · · , f1 (Ajt )
sont constants et on obtient le résultat avec t = 1 puisqu’au départ ∪j Aj1 = Ω.
b) Les prix actualisés sont des martingales, c’est à dire qu’il faut montrer
:
EQ [p̃nt+1 /Ft ] = p̃nt .
Soit donc A un atome de Ft et Aj les atomes de Ft+1 dont il est la réunion :
Z
A
p̃nt+1 dQ =
XZ
j
Aj
p̃nt+1 dQ =
X
p̃nt+1 (Aj )Q(Aj )
j
puisque par définition pnt+1 est Ft+1 -mesurable, donc constant sur les atomes.
Le calcul en a) de Q(Ω) s’applique de la même façon au calcul de Q(Aj ) et on
obtient par récurrence :
Q(Aj ) = Qt+1 (Aj )Qt (A)Qt−1 (ft−1 (A)) · · · Q1 (f1 (A)),
et de même :
Q(A) = Qt (A)Qt−1 (ft−1 (A)) · · · Q1 (f1 (A)),
d’où l’on tire par substitution :
Z
A
p̃nt+1 dQ =
X
p̃nt+1 (Aj )Qt+1 (Aj )Qt (A) · · · Q1 (f1 (A)).
j
Or par définition des Qt et l’hypothèse de départ,
ce qui permet de conclure.
29
P
j
p̃nt+1 (Aj )Qt+1 (Aj ) = p̃nt 1A ,
2
2.5
Marchés complets
(cf Lamberton et Lapeyre [3], pages 19-21 ; Dothan [2], pages 57 et sq.)
Cette notion est relative au système de prix, comme la notion de simulabilité.
Définition 2.16 Un marché de système de prix S est dit complet si tout
processus de consommation est simulable à l’aide d’une stratégie autofinançante.
Théorème 2.17 Si un marché est complet, toute allocation d’équilibre a l’efficacité
de Pareto.
Ce n’est rien d’autre qu’un corollaire du théorème 2.10.
2
Remarque 2.18 Dans un marché viable, sous une mesure de prix d’équilibre
Q, les prix actualisés, donc la valeur actualisée d’un portefeuille autofinançant, sont des Q−martingales. Donc, Ṽt (θ) = EQ [ṼT (θ)/Ft ] est donné de
façon unique par sa valeur terminale.
Théorème 2.19 Un marché viable est complet si et seulement si il existe une
unique mesure de prix d’équilibre.
Preuve : Si le marché est complet, toute variable aléatoire X FT −mesurable
et intégrable est une consommation “terminale” et il existe un portefeuille
autofinançant θ tel que X = VT (θ). Si de plus le marché est viable, supposons
qu’il existe deux mesures de prix d’équilibre Q1 , Q2 , soit :
Ṽt (θ) = hθt , pt i = EQi [ṼT (θ)/Ft ], i = 1, 2.
En particulier, pour tout événement A de FT et pour t = 0, il vient avec
X = 1A × p0T :
V0 (θ) = Q1 (A) = Q2 (A),
soit l’unicité de la mesure de prix d’équilibre.
Réciproquement, supposons le marché viable (et notons Q une mesure de prix
d’équilibre) mais non complet : il existe une variable aléatoire X FT −mesurable
et intégrable et positive non nulle qui n’est pas accessible.On définit alors
l’ensemble V des richesses accessibles :
V = {uo +
T
X
hθt , p̃t − p̃t−1 i; uo ∈ R; θ prévisible }.
t=1
30
Puisque X n’est pas accessible, pXo n’est pas dans V d’après la caractérisation
T
(iii) des stratégies autofinancées. Soit alors Q une mesure de prix d’équilibre ;
V est un sous-espace vectoriel fermé strict de L2 (Q) et donc il existe Y ∈ L2 (Q),
orthogonal à V. Donc EQ [Y h] = 0, ∀h ∈ V et en particulier EQ [Y ] = 0 puisque V
contient les constantes (avec θ = 0). On définit alors la mesure :
Q0 = (1 +
Y
)Q
2kY k
qui est équivalente à Q, donc à P, et qui est une probabilité puisque EQ [Y ] = 0.
Soit alors pour tout A ∈ Ft la stratégie θ définie par
θsk = 1A δn,k , s = t + 1 ; θs = 0 ∀s 6= t + 1, k = 0, · · · , N
et uo = 0 : (uo , θ) permet de réaliser la valeur 1A (p̃nt+1 − p̃nt ) qui donc appartient
à V. Il vient alors :
EQ [Y 1A (p̃nt+1 − p̃nt )] = 0,
et l’on obtient :
EQ0 [1A (p̃nt+1 − p̃nt )] = EQ [(1 +
Y
)1A (p̃nt+1 − p̃nt )] = EQ [1A (p̃nt+1 − p̃nt )]
2kY k
ce qui est nul, puisque les prix actualisés sont des Q−martingales et donc ils
sont aussi des Q0 −martingales, ce qui contredit l’hypothèse d’unicité : Q = Q0
soit Y = 0 et V = L2 (Q).
2
2.6
Evaluation et couverture
Dans un marché viable et complet, soit Q l’unique mesure de prix d’équilibre.
On se fixe un objectif au temps T , soit la variable aléatoire h FT −mesurable
et intégrable, et θ une stratégie autofinançante permettant de la réaliser :
VT (θ) = h. On sait que pour tout t, Ṽt (θ) = EQ [ pho /Ft ] ou Vt (θ) = pot EQ [ pho /Ft ],
T
T
c’est à dire la valeur du portefeuille θ au temps t, la richesse initiale étant
Vo (θ) = EQ [ pho ]. En partant de cette valeur, et en suivant la stratégie θ, dont
T
l’existence est assurée par l’hypothèse de complétude, on est sûr d’obtenir h
au temps T : la “couverture” est assurée.
Cette technique permet de connaitre à quel prix initial mettre sur le marché
des actifs financiers, fonction de plusieurs actions. Les plus courants sont les
“options” :
- une option call de valeur terminale (pT − K)+ ,
31
- une option put de valeur terminale (K − pT )+ .
Il y a une variante à ces options, dites “européennes”, les options “américaines”
où l’on achète le droit d’exercer l’option de vente ou d’achat avant la “maturité” T , en un temps aléatoire, et l’on cherche à optimiser sur l’ensemble
des “temps d’arrêt” (qui sont des variables alátoires à valeurs entières particulières) :
τ 7→ E[(pτ − K)+ ] ; τ temps d’arrêt
C’est un problème de contrôle particulier : l’arrêt optimal.
Dans le paragraphe suivant, on regarde la possibilité pour la stratégie θ
d’être de plus admissible.
2.7
Optimisation dans un marché viable et complet
Soit x = X0 la richesse initiale de l’agent concerné. Il cherche une stratégie
θ optimale pour une certaine utilité U de la valeur terminale du portefeuille.
Comme précédemment, U est une fonction sur R+ croissante strictement concave. On caractérise d’abord les stratégies admissibles, c’est à dire que θ est
autofinançante, à tout instant la valeur Vt (θ) ≥ 0, et (Vt (θ), t = 0, · · · , T ) est une
martingale pour la probabilité neutre au risque Q.
Proposition 2.20 Soit V ∈ L1+ (Ω, Q) et RT = (p0T )−1 . Alors, V est la valeur
terminale d’une stratégie admissible de valeur initiale x si et seulement si
EQ [RT V ] = x.
Preuve :
Soit θ le portefeuille qui permet de réaliser l’objectif V : RT V = RT VT (θ). La
propriété de martingale montre que EQ [RT V ] = EQ [ṼT (θ)] = V0 (θ), c’est à dire x.
Réciproquement, comme le marché est complet, il existe une stratégie autoP
finançante θ telle que V = VT (θ) et dans ce cas RT V = V0 (θ) + Ts=1 hθs , (p̃s+1 − p̃s )i
(cf le (iii) de la proposition 2.4), et puisque Q est neutre au risque, Mt =
P
V0 (θ) + ts=1 hθs , (p̃s+1 − p̃s )i est une martingale et Mt = Ṽt (θ) = EQ [RT V /Ft ] est
positive puisque V l’est ; ainsi θ est-elle admissible. Enfin, par hypothèse
EQ [RT V ] = x, donc V0 (θ) = x, valeur initiale de la stratégie admissible θ.
2
L’objectif est maintenant de trouver V ∗ qui réalise le maximum de V 7→
EP [U (V )] sous la contrainte que V est la valeur terminale d’une stratégie admissible de valeur initiale x. On est donc ramené comme dans le cas à deux
dates à un problème d’optimisation sous contrainte. On introduit le Lagrangien :
L(V, λ) = EP [U (V )] − λ(EQ [RT V ] − x)
32
qui se récrit
dQ
RT V − x)].
dP
Les hypothèses de concavité permettent d’obtenir l’optimum en annulant le
gradient du Lagrangien :
L(V, λ) = EP [U (V ) − λ(
(10)
∂L
dQ
= EP [U 0 (V ) − λ RT ]
∂V
dP
∂L
= EQ [RT V ] − x.
∂λ
La stricte concavité de U assure l’existence de I = (U 0 )−1 et une solution du
système est par exemple :
dQ
V ∗ = I λ∗
RT
dP
∗
∗
avec λ tel que X (λ ) = x où
(11)
X :R → R
dQ
dQ
λ 7→ EP [ RT I(λ RT )].
dP
dP
La monotonie de cette application (théorème de Lebesgue) et sa surjectivité
sur R+ assure l’existence d’un unique λ∗ = X −1 (x) :
V ∗ = I(X −1 (x)
dQ
RT ).
dP
La stratégie optimale θ ∗ est celle déduite de V ∗ dans la proposition 2.20.
References
[1] Rose Ann DANA et Monique JEANBLANC : “Marchés financiers en
temps continu, valorisation et équilibre”, Economica, deuxième édition,
Paris, 1998.
[2] M.U. DOTHAN : “Prices in financial Markets”, Oxford University Press,
Oxford, 1990.
[3] D. LAMBERTON et B. LAPEYRE : “Introduction au calcul stochastique
appliqué à la finance”, Ellipses, Paris, 1991.
[4] J. NEVEU : “Martingales à temps discrets”, Masson, Paris, 1972.
[5] S. R. PLISKA : “Introduction to Mathematical Finance”, Blackwell, Oxford, 1998.
33