Traitement du Signal Echantillonnage des Signaux

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
2000/2001
Séance 5 :
20 octobre 2000
Echantillonnage des Signaux
Formule du Jour :............................................... 1
Echantillonnage des Signaux ................................. 2
Le modèle général d'un échantillonneur idéal.............................3
La transformée de Fourier d'une suite de deltas..........................4
Schéma de l'échantillonage .......................................................6
Théorème de Shannon..............................................................7
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur..............................9
Schématiquement.....................................................................10
Filtre Anti-repliement..............................................................11
Schèma d'un dispositif de traitement numérique du signal
s(t)
A/N
DFT
F(ω)
IDFT
N/A
Formule du Jour :
fe
1
La Fréquence Nyquist : fN = 2 = 2T
e
F{s(t)}
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Echantillonnage des Signaux
Soit un signal continu :
x(t)
t
Si l'on veut traiter un signal par voie numérique à l'aide d'un calculateur, il faut le
représenter au préalable par une suite de valeurs numériques ponctuelles prélevées
régulièrement ou irrégulièrement. Un tel prélèvement est appelé échantillonnage.
Une échantillonage représent un signal par une suite de valeurs ponctuelles :
x(t)
t
La représentation numérique des échantillons requiert une opération
complémentaire de quantification et de codage, dont la nature et les conséquences
sont examinées dans le prochaine séance. L'ensemble réalise une fonction de
conversion analogique-numérique A/N, (Dite Analog to Digital ou A/D en Anglais).
x(n)
4∆
3∆
2∆
∆
0
–1∆
–2∆
t
Reversibilité : Seules les conditions théoriques, irréalisables parfaitement dans la
pratique (voir théorème de Paley-Wiener), permettent une reconstitution exacte du
signal analogique à partir de ses échantillons. La procédure d'échantillonnage
introduit toujours une distorsion quil convient de limiter à un niveau acceptable.
5-2
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Le modèle général d'un échantillonneur idéal
Le modèle général d'un échantillonneur idéal est :
xei(t)
x(t)
δTe(t)
xei(t) = x(t) . δΤe(t) =
∞
∑ x(t)
δ(t – nT e)
n=∞
par convention on dit que Te = 1, et que xei(n) = xei(nT e)
On peut assimiler théoriquement la suite idéale d'échantillons prélevés avec une
1
cadence fixe fe= T à un signal xei(t) obtenu par la multiplication du signal
e
analogique x(t) par une fonction d'échantillonnage idéalisée :
Le fonction peigne ("Unit Impulse Train" or "Sampling Function")
ei(t) = δΤe(t) =
∞
∞
n
δ(t – nT e) = ∑ δ(t – f )
e
n=-∞
n=-∞
∑
5-3
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
La Transformée de Fourier d'une suite de deltas
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
1
de poids f e = T .
e
∞
∞
n
{δΤe(t) } = { ∑ δ(t – fe)} = fe δfe(f) = fe ∑ δ(f – k fe)
n=-∞
k=–∞
La forme de la transformée de Fourier Xe(f) = Xe(ω/2π) devient :
Xe(f) = X(f) * f e δfe(f) = fe
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
1
1
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre –2 ≤ f ≤ 2.
∞
Demonstration : Par suite de Fourier :
∞
∞
∑
∑
δ(t – nT e) =
αn
n=-∞
n=-∞
ejnωοt
f(x) =
∑
αn e jn2πfox
n=-∞
2π
ω o= T
e
-T e T e
les coeficients sont determiné par l'integrale dans la periode [ 2 , 2 ].
T e/2
∫
1
1
αn = T
δ(t) e–jnωοt dt = T
e -T /2
e
e
∞
1
Donc : ∑ δ(t – nT e) = T
e n=-∞
n=-∞
∞
∑
ejnωοt
∞
1
j n(2π/Te) t
=T
e
∑
e
n=-∞
1
2π
ou bien δ(t – nTe) = T δ(t) ejn(2π/Te)t (Rétard en phase par n T )
e
e
5-4
Echantillonnage des Signaux
∞
∞
1
δ(t – nT e)} = T
∑
e
n=-∞
n=-∞
{ ∑
∞
{
∑
Séance 5
{ej2π n/Te }
δ(t – nT e)}
n=-∞
1
= T
e
∞
1
2πn
= T
δ(ω – T )
∑
e
e
n=-∞
∞
∑
n=-∞
2πn
δ(ω – T )
e
1
ou en f avec fe = T
e
∞
∞
1
{ ∑ δ(t – n f )} = fe ∑ δ(f – n f e) = fe δfe(f)
e
n=-∞
n=–∞
5-5
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Schéma de l'échantillonage
Spectre d'un échantillonneur idéal :
X(f)
f
–2fe
–fe
0
fe
2fe
Spectre du signal analogique :
X(f)
f
Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) :
fe
1
Replié autour du fréquence de “Nyquist”. fN = 2 = 2T
e
X(f)
f
–2 fN
–fe
– fN
0
fN
fe
2 fN
2fe
5-6
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Théorème de Shannon
Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limité à 2F hz ne peut
être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(n∆t) que si ceux-ci ont été
1
1
prélevés avec une période Te = f ≤ 2F.
e
Spectre du signal analogique :
X(f)
x(t)
f
–FN –F
F F
N
Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déforme pas le motif répété, Il
1
faut et il suffit que la fréquence de répétition fe = T (la fréquence
e
d'échantillonnage) soit égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximum F du
signal.
f
F ≤ f N = 2e
5-7
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Exemple :
Pour une sinusoïde, Cos(2πfot), la fréquence d'échantillonnage minimale est deux
λ
1
1
échantillons par cycle. Te = 2 = 2f ou f = 2T (Cycle/échantillon)
o
e
Soit une fréquence d'échantillonage fe.
fe
Si la fréquence du signal, fo, est supérieure à 2 par ∆f :
fe
c-à-d :
si f o = 2 + ∆f tel que ∆f > 0
alors, la séquence d'échantillons est assimilée à une suite de fréquence falias tel que
:
fe
falias = 2 – ∆f.
fe
fe
c-à-d : E2{ Cos( 2πt ( 2 + ∆f))} = Cos( 2πt ( 2 – ∆f))
5-8
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur
Le modèle général d'un échantillonneur idéal E2{} est :
xei(t)
x(t)
δTe(t)
∞
xei(t) = x(t) . δΤe(t) =
∑ x(t)
δ(t – nT e)
n=∞
par convention on dit que Te = 1, et que xei(n) = xei(nT e)
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
1
de poids f e = T .
e
{δΤe(t)}
∞
=
{ ∑
n=-∞
n
δ(t – f )} = fe δfe(f) = fe
e
∞
∑
δ(f – k fe)
k=–∞
La forme de la transformée de Fourier Xe(f) = Xe(ω/2π) devient :
Xe(f) = X(f) * f e δfe(f) = fe
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
1
1
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre –2 ≤ f ≤ 2.
5-9
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Schématiquement
Spectre d'un échantillonneur idéal :
X(f)
f
–2fe
–fe
0
fe
2fe
Spectre du signal analogique :
X(f)
f
Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) :
fe
1
Replié autour du fréquence de “Nyquist”. fN = 2 = 2T
e
X(f)
f
–2 fN
–fe
– fN
0
fN
fe
2 fN
2fe
5-10
Echantillonnage des Signaux
Séance 5
Filtre Anti-repliement
Afin d'éviter ce repliement de spectre, Il est indispensable d'introduire un
préfiltrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage.
x(t)
xe(nTe)
g (t)
δTe(t)
Le filtre Anti-repliement (ou filtre de garde) parfait serait un filtre passe-bas idéal
fe
de bande passante B = 2 . Tout filtre anti-repliement réel comporte une bande de
transition qui reporte la bande passante limite BM au delà de la bande passante
effective.
Spectre Réel
Spectre Idéel
–Fmax
Fmax
Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spécifie les caractéristique d’un
filtre avec un gabarit en donnant des paramètres:
δp :
ωp
ωa :
δa :
L’ondulation en bande passant
Dernière fréquence passante
première fréquence atténuée
L’ondulation en bande atténuée.
| H(ω) |
1 + δp
1 – δp
1 – δa
ω
ωp ωc ω a
1 + δa
π
5-11