décembre 2007 - Texas Instruments

Pourquoi le professeur devrait-il utiliser
des logiciels de calcul formel
(CAS : Computer Algebra System) ?
Mémoire de Recherche 10
Préparé pour Texas Instruments par le Centre pour la Technologie dans l’apprentissage, SRI International
7 Décembre 2007
Pourquoi le professeur devrait-il utiliser des logiciels
de calcul formel (CAS : Computer Algebra System) ?
Alors que certains outils mathématiques permettent de saisir des expressions symboliques mais de
seulement produire des nombres ou des graphiques, les logiciels dotés de moteur de calcul formel
peuvent également produire des expressions mathématiques symboliques. Les chercheurs
recommandent aux professeurs d’utiliser les fonctions formelles afin de mettre l’accent sur des
concepts, de personnaliser leur programme d’enseignement de sorte à ce qu’il soit adapté aux besoins
des élèves et de mettre l’accent sur des devoirs mathématiques intelligibles. Bien que nous attendions
des preuves basées sur des recherches formelles très pointues, dans le monde entier, des recherches
attestent régulièrement des avantages acquis lorsque les professeurs intègrent des outils de calcul
formel en mettant l’accent sur l’apprentissage des concepts mathématiques.
Les outils formels permettent aux professeurs d’insister sur les questions « Comment,
Pourquoi et Que se passe-t-il si ? »
Dans le cadre des mathématiques enseignées dans le secondaire, au lieu de mettre l’accent sur le calcul
de nombres particuliers, il faudrait insister sur une utilisation symbolique des mathématiques pour
analyser, démontrer ou résoudre un problème. Une utilisation symbolique des mathématiques ne
consiste pas simplement à poser la question « Comment » faire une mesure algébrique particulière. Elle
doit également soulever les questions « pourquoi » et « que se passe-t-il si » ?
Grâce aux outils formels, les élèves peuvent manipuler des expressions mathématiques, afin de
répondre à ces questions. Par exemple, un professeur peut demander à une calculatrice formelle de
« soustraire x » de chaque côté de l’équation « x + 10 = 3x –20 » ce qui donne « 10 = 2x – 20 ». Le
professeur peut alors se concentrer sur la question pourquoi s’agit-il d’une étape importante pour
résoudre l’égalité, plutôt que d’insister sur la manière de trouver le résultat de l’étape. (Bien sûr, les
deux questions « comment » et « pourquoi » sont importantes et le professeur peut décider de ne pas
utiliser les fonctions formelles lorsqu’il met l’accent sur le « comment ».)
De la même manière, un professeur peut former de nouvelles fonctions associées à la parabole f(x) = x2
en « ajoutant 5 » ou en « ajoutant x ». Ces trois fonctions peuvent ensuite être exprimées sous forme
graphique, ce qui entraîne une discussion sur la manière dont l’ajout d’un nombre ou d’un « x » modifie
l’allure graphique de la parabole. De ce fait, le professeur met l’accent sur la question « que se passe-til si ? » et non pas sur les mécaniques du graphique.
Nous décrivons ci-dessous trois touches favorisant une utilisation appropriée des outils formels puis
nous résumons la recherche évaluative existante.
Préparé pour Texas Instruments par le Centre pour la Technologie dans l’apprentissage, SRI International. 7 décembre 2007
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1.
Utiliser les gains d’efficacité afin de mettre l’accent sur les concepts mathématiques
Les outils formels réalisent des manipulations avec précision et rapidité et les élèves peuvent obtenir
des résultats exacts et approximatifs sans avoir à se soucier des étapes ennuyeuses et des erreurs. Les
chercheurs affirment que les professeurs peuvent utiliser l’efficacité acquise par l’utilisation du calcul
formel pour se concentrer sur le raisonnement conceptuel, la résolution de problèmes et l’exploration
de problèmes de la vie réelle (Heid, 1988 ; Hillel, 1993). En outre, ils suggèrent que les élèves
rencontrant des difficultés peuvent tirer un avantage considérable de la précision et du caractère
immédiat des outils formels. Au lieu de s’enliser dans des procédures routinières, les élèves peuvent
accomplir une tâche plus complexe, en établissant des liens entre une expression algébrique et un
graphique, par exemple (Kuzler, 2000). Des chercheurs (tels que Heid, 1988 ; Porzio, 1999 ; Kaput,
1996) ont également affirmé que les outils formels aident les élèves à explorer des problèmes et des
concepts en manipulant des expressions algébriques sous diverses formes de représentations (ex :
numérique, graphique et symbolique). Un professeur peut aider les élèves à donner du sens aux
mathématiques et à apprendre des stratégies leur permettant de développer leur « connaissance de
l’algèbre », en se concentrant davantage sur l’interprétation et la réflexion que sur la simple application
des procédures (Arnold, 2004 ; Pierce & Stacey, 2007).
2.
Personnaliser le programme d’enseignement en fonction des besoins des élèves
En outre, grâce aux outils formels, les professeurs disposent de plus de flexibilité au niveau de la
planification de leur programme d’enseignement : ils peuvent enseigner des concepts et des
applications avant les opérations d’algèbre, ce qui auparavant, était impossible (Heid et al., 1988). En
parlant des outils formels, Day (1993) a déclaré avec enthousiasme : « le pouvoir et la flexibilité de la
technologie peuvent aider à changer la concentration sur l’algèbre scolaire et permettre à des élèves de
devenir des analystes accomplis alors qu’ils n’étaient que de médiocres manipulateurs » (p.30). Les
professeurs peuvent profiter de ces capacités pour personnaliser leur programme d’enseignement de
sorte à ce qu’il soit adapté aux besoins des élèves.
3. Mettre l’accent sur des tâches significatives d’un point de vue pédagogique
A l’instar de tous les outils d’apprentissage, la recherche montre que la simple présence d’outils de
calcul formel ne garantit pas un meilleur apprentissage de l’élève. Par exemple, en examinant les études
empiriques publiées jusqu’en 1995, Mayes (1997, cité dans Hoyles & Noss, 2006) a découvert des
résultats moins positifs dans les cas où les outils formels étaient principalement utilisés pour augmenter
l’efficacité et la rapidité de l’application des approches traditionnelles de résolution de problèmes. Si les
chercheurs continuent à débattre sur le moment et la fréquence d’utilisation des outils de calcul formel
(Bohm et al, 2004), ils soulignent unanimement l’importance des enseignants en tant qu’agents
d’intégration et de changement. Par exemple, pour éviter une utilisation superficielle et improductive
des outils de calcul formel, les professeurs peuvent confier aux élèves des tâches présentant les
avantages pédagogiques et fonctionnels, clairs et authentiques des outils de calcul formel (Pierce &
Stacey, 2004 ; Ruthven, 2002).
Pourquoi le professeur devrait-il utiliser des logiciels de calcul formel (CAS : Computer Algebra System) ?
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La recherche démontre des atouts, quant aux résultats obtenus par les élèves et à leur
motivation
Depuis la fin des années 1980, des chercheurs du monde entier ont régulièrement signalé que les
classes ayant correctement intégré des outils de calcul formel en tiraient un avantage important en
termes d’apprentissage. Si toutes les études n’impliquent pas un style de recherche pointu ou un vaste
panel, les preuves issues d’un vaste éventail de pays et de paramètres accumulés au cours de deux
décennies valent la peine d’être notées. Les premières expériences d’utilisation d’outils de calcul formel
en classe ont démontré que les élèves qui suivaient des leçons orientées vers le concept parvenaient à
bien mieux comprendre les connaissances conceptuelles que les élèves suivant des cours traditionnels
orientés vers les compétences, sans pour autant porter préjudice à l’apprentissage des compétences en
calcul (Heid, 1992 ; Heid, 1988 ; Palmiter, 1991). Des études plus récentes ont confirmé cette tendance.
Par exemple, une vaste étude impliquant des centaines d’élèves a démontré que lorsque les professeurs
utilisaient la technologie formelle en mettant correctement l’accent sur l’enseignement (à savoir en
donnant du sens aux mathématiques lors de discussions en groupe), les élèves apprenaient à réfléchir
sur les expressions symboliques (Keller & Russell, 1997). Les élèves qui ont suivi un enseignement
dispensé avec des outils formels ont mieux réussi que les élèves ne l’ayant pas utilisé et ce, à trois
niveaux : le calcul de base, le calcul plus avancé et les problèmes symboliques complexes. Des
conclusions similaires ont été déclarées pour les élèves du deuxième cycle de l’enseignement
secondaire (âgés de 16 à 19 ans) en Finlande, à qui l’on a enseigné le concept des dérivées avec et sans
outil formel (Repo, 1994).
Les recherches ont également étudié la motivation des élèves. Lorsqu’ils sont utilisés efficacement, les
outils formels peuvent rendre les mathématiques plus intéressantes et intelligibles pour les élèves. Une
étude menée auprès d’étudiants grecs en commerce a montré que les étudiants utilisant le calcul formel
s’intéressaient davantage, participaient plus activement et consacraient plus de temps à la préparation
de leurs cours que leurs homologues qui n’utilisaient pas le calcul formel (Vlachos & Kehagias, 2000).
De même, une étude récente, réalisée sur 3 ans auprès d’élèves de première et de terminale1, en
Allemagne, a démontré un enthousiasme modéré pour les mathématiques et une attitude globalement
positive vis-à-vis des outils de calcul formel (Schmidt et Moldenhauer, 2002).
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NdT : équivalence avec le système français
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