Econométrie - Sciences.ch

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EXERCICES D'
ÉCONOMÉTRIE
(version 2.6 Révision 9 du 29.12.2010)
Sciences.ch
Econométrie
EXERCICE 1.
Niveau : Gymnase (lycée)
Auteur : V. Isoz ([email protected]), JP. Favre
Mots-clés : système de dates exacte
Enoncé :
Le but de cet exercice est d'apprendre les techniques disponibles pour calculer le nombre de
jours entre deux dates.
Nous pouvons effectuer ce type de calcul par une méthode manuelle ou automatisée à l'aide
d'outils adéquats. Voyons les deux :
Le nombre de jours depuis l'an 0 est donné par :
 a  1
 a  1
 a  1
D  2 ( j.m.a )  365(a  1)  E 
E
E
 31(m  1)  j


 4 
 100 
 400 
où E[ x] est la partie entière de x et m  2 .
Si m  2 , nous devons utiliser la relation suivante :
a
 a 
 a 
E
 31(m  1)  j  E (0.42 M  2)
l D  2 ( j.m.a)  365(a  1)  E    E 

4
100 
 400 
Sinon dans MS Excel, il suffit simplement de faire une soustraction entre les deux dates et
d'afficher le résultat dans une cellule formatée en Standard. Nous nous passerons donc des
démonstrations MS Excel qui est accessible dans tout livre de bas niveau sur le logiciel.
Les exercices pour la méthode exacte (ou "civile") sont les suivants :
E1. Calculer le nombre de jours séparant le 07.01.2005 au 27.02.2005
Solutions :
S1. Calculer le nombre de jours séparant le 07.01.2005 au 27.02.2005 :
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D 2 (7.1.2005)  731460  501  20  5  0  7  731953
D 2 (27.2.2005)  731460  501  20  5  31  27  732004
D 2  D1  732004  731953  51
D 2 (1.5.2006)  731825  501  20  5  124  1  4  732432
D 2 (27.2.2005)  731825  501  20  5  310  1  6  732616
D 2  D1  732616  732432  184
D 2 (1.5.2006)  731825  501  20  5  31  27  732369
D 2 (13.06.2006)  731825  501  20  5  155  13  4  732475
D 2  D1  732475  732369  106
S4. Calculer le nombre de jours séparant le 15.02.2004 au 29.02.2004
D 2 (15.2.2004)  731095  500  20  5  31  15  731626
D 2 (29.2.2004)  731095  500  20  5  31  29  731640
D 2  D1  732004  731953  14
D 2 (20.2.2005)  731460  501  20  5  31  20  731997
D 2 (28.2.2005)  731460  501  20  5  31  28  732005
D 2  D1  732004  731953  8
D 2 (29.2.2004)  731095  500  20  5  31  29  731640
D 2 (15.04.2004)  731095  501  20  5  93  15  3  731686
D 2  D1  731686  731640  46
D 2 (25.2.2005)  731460  501  20  5  31  25  732002
D 2 (28.2.2005)  731460  501  20  5  31  28  732005
D 2  D1  732004  732002  3
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EXERCICE 2.
Mots-clés : système de dates allemand
Enoncé :
Il existe plusieurs systèmes de calculs d'intervalles de jours entre deux dates dans le monde.
Parmi ces système un connu est appelé "méthode Allemande" et défini sur une base 30/360
avec une exception pour le mois de février où le dernier jour (28+29) du mois est posé comme
égal à 30 sauf le 28 février d'une année bissextile.
Les exercices pour cette méthode sont les suivants :
Solutions :
Le calcul à la main s'avère assez vite ennuyant (mais pas difficile!) dès que le nombre
d'années entre les deux dates croît assez rapidement, il est alors préférable d'utiliser un
logiciel comme MS Excel (le plus commun). Ce dernier prend, comme nous l'avons vu, en
compte le système américain, européen et exacte mais pas le système allemand. Il faut alors
développer un peu :
Prenons comme exemple le calcul du nombre de jours entre le 29.02.2004 et le 15.04.2004 :
Selon la méthode exacte, nous aurions : 46 jours
Effectivement, nous avons les 15 jours du mois d'avril plus les 31 jours du mois de mars
(selon la base 30).
Selon la base 30/360 nous aurions : 46 jours
Effectivement, nous avons alors le 1 jour du 29 au 30.02.2004, les 30 jours du mois de mars et
les 15 jours du mois d'avril.
Selon le système allemand défini plus haut, nous devons alors compter du 30.02.2004 (étant
donné que le 29.02.2004 est bissextile). Dès lors le compte est de 45 jours et non de 46.
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Dans MS Excel il est alors possible de bricoler un peu en saisissant les dates de départ (Date
1) et date de fin (Date 2) en tant que texte dans des cellules. Ensuite, dans B5 nous comptons
le nombre d'années d'écart entre Date 1 et Date 2 (360 jours par an) et ensuite le nombre de
mois entre Date 1 et Date 2 (30 jours par mois) dans la cellule B4 et enfin la différence de
jours entre Date 1 Date 2.
Il ne reste alors qu'à appliquer la règle de la méthode allemande et d'écrire dans B1
30.02.2004 au lieu de 29.02.2004 (pour notre exemple).
Mais ce système ne prend pas en compte les années bissextiles…
Il est aussi possible d'écrire une fonction VBA, peut-être plus adaptée à nos car elle permet de
ne pas avoir à écrire l'adaptation des dates dans les cellules mêmes :
Méthode formule texte Excel :
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avec la fonction VBA :
=GermanDates("07/01/2005";"27/02/2005")=50
=GermanDates("01/05/2006";"01/11/2006")=180
=GermanDates("27/02/2006";"13/06/2006")=106
=GermanDates("15/02/2004";"29/02/2004")=15
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=GermanDates("20/02/2005";"28/02/2005")=15
=GermanDates("29/02/2004";"15/04/2004")=45
S7. Calculer le nombre de jours séparant le 25.02.2005 au 28.02.2005 (solution = 5)
=GermanDates("30/02/2004";"15/04/2004")=45
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EXERCICE 3.
Mots-clés : système de dates européen
Enoncé :
La méthode européenne de calcul d'intervalles de date est défini sur une base 30/360. En
d'autres termes les dates de début et de fin correspondant au 31 du mois deviennent le 30 du
même mois.
Le calcul peut se faire très simplement à la main mais de nos jours l'informatique nous permet
d'accélérer la procédure. Ainsi dans MS Excel une fonction est disponible pour cette méthode
de calcul.
=JOURS360(Date début;Date Fin;VRAI)
Les exercices numériques seront des les suivants :
Solutions :
JOURS360("07.01.2005";"27.02.2005";VRAI)=50
JOURS360("01.05.2006";"01.11.2006";VRAI)=180
JOURS360("27.02.2006";"13.06.2006";VRAI)=106
JOURS360("15.02.2004";"29.02.2004";VRAI)=14
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JOURS360("20.02.2005";"28.02.2005";VRAI)=8
JOURS360("29.02.2004";"15.04.2004";VRAI)=46
JOURS360("25.02.2005";"298.02.2005";VRAI)=3
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EXERCICE 4.
Mots-clés : système de dates américaines
Enoncé :
La méthode américaine de calcul d'intervalles de date est définie sur une base 30/360. Avec si
la date de début est le 31 du mois, la date de début devient le 30 du même mois. Si la date de
fin est le 31 du mois et que la date de début est avant le 30 du mois, la date de fin devient le
1er du mois suivant ; sinon, la date de fin devient le 30 du même mois (on ne peut faire moins
compliqué…)
Le calcul peut se faire très simplement à la main mais de nos jours l'informatique nous permet
d'accélérer la procédure. Ainsi dans MS Excel une fonction est disponible pour cette méthode
de calcul.
=JOURS360(Date début;Date Fin;FAUX)
Les exercices numériques seront des les suivants :
Solutions :
JOURS360("07.01.2005";"27.02.2005";FAUX)=50
JOURS360("01.05.2006";"01.11.2006";FAUX)=180
JOURS360("27.02.2006";"13.06.2006"; FAUX)=106
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JOURS360("15.02.2004";"29.02.2004"; FAUX)=14
JOURS360("20.02.2005";"28.02.2005"; FAUX)=8
JOURS360("29.02.2004";"15.04.2004"; FAUX)=45
JOURS360("25.02.2005";"28.02.2005"; FAUX)=3
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EXERCICE 5.
Niveau : Cycle d'orientation (collège)
Auteur : V. Isoz ([email protected]), JP Favre
Mots-clés : conversions de durées
Enoncé :
Il est souvent du travail du financier de convertir une durée en une unité de base et homogène.
Nous proposons ici une série d'exercices selon une base 30/360 :
E1. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en mois
E2. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en jours
E3. Convertir 3 ans, 4 mois et 15 jours en années
E4. Convertir 46 semestres en mois
E5. Convertir 46 trimestres en années (solution = 11.5)
E6. Exprimer 12.175 années en années/mois/jours
Solutions :
S1. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en mois
6  12  6  6 / 30  78.2
S2. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en jours
6  360  6  30  6  2 '160  180  6  2 '346
S3. Convertir 3 ans, 4 mois et 15 jours en années
3  4 /12  15 / 360  3.375
S4. Convertir 46 semestres en mois
46  6  276
S5. Exprimer 12.175 années en années/mois/jours (solution = 12 ans, 2 mois et 3 jours)
Il faut décomposer 12.175 d'abord en années ce qui est simple : 12 ans
Ensuite il faut convertir 0.175 en mois ce qui est aussi simple : Ent[0.175  12]  Ent[2.1]  2
Enfin, convertir 0.1 (différence entre 2.1 et 2) en jours : 0.1  30  3
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EXERCICE 6.
Mots-clés : arrondis
Enoncé :
E1. Arrondir 16.43 au cinq centimes près
E2. Arrondir 102.25 à l'unité la plus proche
E3. Arrondir 58.64 au cinq francs les plus proches
E4. Arrondir 25.34 aux vingt-cinq centimes les plus proches
E5. Arrondir 16.54 au dixième supérieur
E6. Arrondir 16.55 au dixième inférieur
Solutions :
S1. Nous utilisons la relation :
Nous avons alors :
f (16.43,1/ 0.05) 
E (20  16.43  0.5)
 16.45
20
S2. Idem que précédemment :
f (102.25,1) 
E (1  102.25  0.5)
 102
1
f (58.64,1/ 5) 
E (0.2  58.64  0.5)
 60
0.2
f (16.54,1/ 0.1) 
E (10  16.54  1)
 16.6
10
S5. Un peu différent pour arrondir non pas au plus proche mais toujours à la valeur
inférieure :
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f (16.55,1/ 0.1) 
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E (10  16.55)
 16.5
10
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EXERCICE 7.
Mots-clés : intérêts simples
Enoncé :
E1. On a placé 2'500.- durant n mois sur un compte à 5%/an en intérêts simples (on retire
donc l'intérêt chaque mois pour un usage précis). Quelle est la durée de ce placement si le
capital avec les retraits successifs se monte à 2'531.25.- ?
E2. On a placé 2'500.- durant 3 mois sur un compte. Quel est le taux de ce placement si le
capital final avec les retraits successifs se monte à 2'531.25.- en intérêts simples?
E3. Trouver l'intérêt global des trois placements suivants {1'000.-;90 jours;3%/an} {2'000.;120 jours;3%/an} {3'000.-;170 jours; 3%/an}
E4. On place 22'340.- pendant 43 ans sur un compte épargne à 1.5%/an en intérêts simples
(on retire donc l'intérêt chaque mois pour un usage précis). Quel est le capital final obtenu
avec les retraits successifs?
Solutions :
S1. Le capital d'une épargne C0 à un taux t% après une capitalisation pendant n périodes est
défini logiquement par :
Cn  C0 (1  n  t %)  C0  I
Nous avons donc :
2 '531.25  2 '500(1  5%  n)
2 '531.25  2 '500
1
n
 0.25  an  3mois
2 '500  5%
4
S2. Nous réutilisons la relation définie précédemment et procédons à de l'algèbre
élémentaire :
2 '531.25  2500
 0.05  5%
2 '500  3
S3. L'intérêt global est donné par la méthode des diviseurs fixes :
m
I  i  Ck nk
k 1
Nous avons alors (il n'y pas de fonctions MS Excel incorporées):
I  0.03  1'000  90 / 360  2 '000  120 / 360  3'000  170 / 360   70
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S4. Nous réutilisons ici la définition de l'intérêt simple :
Cn  C0 (1  n  t %)  22 '340  (1  43  1.5%)  36'749.3
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EXERCICE 8.
Niveau : Gymnase (Lycée)
Mots-clés : taux géométrique moyen
Enoncé :
Une entreprise voit son bénéfice annuel augmenter de 2% la première année, 1.5% la
deuxième, 3% la troisième, 0.5% la quatrième, 6% la cinquième, 0% la sixième. Quelle est
son taux d'augmentation de bénéfice moyen sur 6 ans?
Solutions :
Le piège serait d'utiliser la moyenne arithmétique. Il faut utiliser ici la moyenne géométrique:
n
 g  n  (1  ti )
i 1
ce qui donne immédiatement dans MS Excel:
=MOYENNE.GEOMETRIQUE(102%;101.5%;103%;100.5%;106%;100%)=102.15%
alors que la moyenne arithmétique donnerait:
=MOYENNE (102%;101.5%;103%;100.5%;106%;100%)=102.17%
ce qui peut paraître peu mais sur des millions de francs ou des milliards cela fait assez vite un
somme d'argent non négligeable!
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EXERCICE 9.
Mots-clés : taux proportionnel et moyen sur intérêts simples
Enoncé :
E1. Trouver le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12%
E2. Trouver le taux mensuel proportionnel au taux semestriel de 3% ? (solution = 0.5%)
E3. Trouver le taux annuel moyen des trois placements suivants {1'000.-;90 jours;3%}
{2'000.-;120 jours;4%} {3'000.-;170 jours;5%} (solution = 4.5%)
Solutions :
S1. Nous avons selon la définition de l'intérêt simple :
C0 1  teq. %  n   C0 (1  t %)
Nous avons alors :
teq % 
t % 12%

 1%
m
12
S2. Selon le même principe qu'avant nous avons :
teq % 
t % 3%

 0.5%
m
6
S3. Nous appliquons le raisonnement suivant :
k
k
T   Ct nt   Ct it nt
t 1
t 1
k
T
C i n
t 1
k
t t
t
C n
t 1
t
t
Nous avons alors :
T
1000  3%  90 / 360  2000  4%  120 / 360  3000  5%  170 / 360
 0.045  4.5%
1000  90 / 360  2000  120 / 360  3000  170 / 360
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EXERCICE 10.
Mots-clés : Escompte
Enoncé :
E1. Calculer le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours
E2. Calculer le taux implicite i relatif à un escompte annuel de 1% à 10 jours ou net à 30 jours
E3. Un effet de valeur nominale de 1000.- est remis à l'escompte le 20 avril. La date
d'échéance de l'effet est le 15 juin, le taux d'escompte est de 10%.
Calculez le taux implicite, la valeur de l'escompte et la valeur actuelle.
Solution :
S1. Nous appliquons simplement la relation ci-dessous pour les escomptes :
i
t%
1%

 0.505%
n(1  t %) 20(1  1%)
S1. Nous appliquons encore une simplement la relation ci-dessous pour les escomptes :
i
t%
1%

 18.18%
20
n(1  t %)
(1  1%)
360
S3. D'abord il faut que nous déterminions le nombre de jours n. Entre le 20 avril et le 15 juin
nous avons:
n  56 j.
i
t%
n
(1  t %)
360

10%
 0.19%
56(1  10%)
La valeur de l'escompte est donnée par:
e  t %  Cn  10%  1000  100. 
Et donc la valeur actuelle:
VA  1000  100  900. 
Nous avons donc bien:
1000  900 1  56  i % 
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EXERCICE 11.
Mots-clés : Intérêts composés
Enoncés :
E1. On a aujourd'hui 3'582.15.- pour un dépôt effectué il y a 6 ans à 3% d'intérêt. Quel était le
montant de ce dépôt ?
E2. Un budget prévisionnel a doublé en 20 ans. Quel est le taux d'intérêt correspondant ?
E3. Un investisseur a placé 50'000.- à 2.5%. Il a retiré son capital investi quand celui-ci s'est
monté à 53'000.-. Quelle a été la durée du placement ?
E4. Imaginons que vous devez voir pour un ensemble d'emprunts donnés combien vous aurez
d'intérêt après un nombre donné d'années. Créez des scénarios avec l'Outil Table de
MS Excel.
Solutions :
S1. Nous savons que l'intérêt composé est donné trivialement par :
Cn  C0 (1  t %) n
Donc :
Co 
Cn
3'582.15

 3'000. 
n
(1  t %)
(1  3%)6
Dans MS Excel cela donne :
=VA(3%;6;0;-3582.15;0)=2'999
S2. De par la relation de l'intérêt composé :
i
n
Cn
 1  20 2  1  3.526%
C0
Dans MS Excel cela donne :
=TAUX(20;0;-1;2;0)
Ce qui correspond si on avait un capital final Cn et inital Co à:
=TAUX(20;0;-1;Cn/C0;0)
S3. De par la relation de l'intérêt composé :
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C 
log  n  log  53000 
 C0  
 50000   2.35
n
log(i  1) log(2.5%  1)
Dans MS Excel :
=NPM(2.5%;0;-50000;53000;0)=2.35
S4. Il serait aisé de résoudre cet exercice à la main mais un peu long et ennuyeux quand
même. Nous allons alors utiliser l'outil "Table" de MS Excel :
La méthode est simple : on créé dans une feuille MS Excel la zone suivante et on utilise la
fonction VC( ) :
Ensuite de sélectionner la zone A5 à F15 et d'aller dans le menu Données et de sélectionner
l'option Table et d'y faire la sélection suivante :
et de valider par OK pour obtenir :
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EXERCICE 12.
Mots-clés : Taux composés équivalents
Enoncés :
E1. Trouver le taux mensuel composé équivalent au taux annuel composé de 12%
E2. Trouver le taux trimestriel composé équivalent au taux mensuel composé de 1%
Solutions :
S1. Nous savons que par définition :
Cn  C0 (1  tn %) n
il convient alors de trouver :
C0 (1  tn %) n  C0 (1  t %)
 tn %  (1  t %)1/ n  1
 t %  (1  tn %) n  1
il vient alors :
tn %  (1  12%)1/12  1  0.949%
S2. Le principe est identique :
t %  (1  1%)3  1  3.03%
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EXERCICE 13.
Mots-clés : Taux nominal et effectif
Enoncés :
E1. Dans un intérêt annuel à un taux nominal 12% payable par tranches mensuelles de 1%,
quel est le taux effectif réel
E2. Calculer le taux annuel effectif correspondant au taux nominal de 8% payable par fraction
trimestrielles de 2%.
Remarque:
Solutions :
S1. Les taux annuel effectif et nominal interviennent parfois dans les calculs d'emprunts,
comme le petit crédit par exemple. Ils permettent à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux
inférieur à ce qu'il est réellement.
Le scénario est le suivant : intérêt annuel de 12% payable par tranches mensuelles de 1%. Un
lecteur attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts
composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de (cf. exercice précédent) :
i  (1  1%)12  1  12.682%
Pour que l'énoncé soit correct, il faudrait donc écrire : "Taux annuel de 12.682% par tranches
mensuelles de 1%".
Nous avons donc :
Le taux effectif de 12.682% est le taux nominal de 12% !
Dans MS Excel vous pouvez utiliser la fonction : =TAUX.EFFECTIF(12%;12)
A l'inverse: =TAUX.NOMINAL(12%;12)
S2. Nous appliquons toujours la même relation mais pour un trimestre :
4
 8% 
i  1 
  1  8.243%
4 

Dans MS Excel vous pouvez utiliser la fonction : =TAUX.EFFECTIF(8%;4)
A l'inverse: =TAUX.NOMINAL(8%;12)
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EXERCICE 14.
Mots-clés : Taux instantané
Enoncés :
E1. Calculer le taux annuel effectif correspondant au taux instantané de 8%
E2. Au taux d'intérêt continu de 10% l'an, calculer le nombre d'années qu'il faut pour qu'un
capital de 6'000.- atteigne 15'000.E3. Comparer le dernier résultat à taux d'intérêt composé normal
Solutions :
S1. Le taux effectif est défini par (rappel) :
Lorsque l'on fait tendre m vers l'infini le relation précédente devient :
qui est le taux effectif donné par le taux appelé maintenant "taux instantané" i ( m ) . Nous
avons alors :
i  e8%  1  8.329%
S2. Nous avons par extension :
il vient alors :
C  1
 15000  1
 9.1629
n  ln  n   ( m )  ln 

 6000  10%
 Co  i
S3. Il suffit de calculer :
C 
1
1
 15000 
 log 
 9.61378
n  log  n  

(m)
 6000  log(1  10%)
 Co  log(1  i )
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EXERCICE 15.
Mots-clés : Taux moyen équivalent composé
Enoncé :
En utilisant l'outil "valeur cible" de MS Excel résolvez l'équation ci-dessous afin de trouver le
taux moyen équivalent des capitalisations du tableau suivant:
Placement Durée Taux
1000.1 an 3%
2000.2 an 4%
3000.3 an 5%
Astuce : posez x=1+T
Solution :
Dans MS Excel, nous écrivons dans la cellule A2 :
=1000*A1^1+2000*A1^2+3000*A1^3-1000*(1+3%)^1-2000*(1+4%)^2-3000*(1+5%)^3
et avec l'outil valeur cible de MS Excel nous définissons :
Nous trouvons alors A1=1.0459 et donc T=4.59%
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EXERCICE 16.
Mots-clés : Rentes post et praenumerando
Enoncés :
E1. Calculer la valeur actuelle d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et
calculée au taux d'intérêt de 6%
E2. Calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500 versée durant 10 ans et
calculée au taux d'intérêt de 6%
E3. Calculer la valeur actuelle d'une rente praenumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et
calculée au taux d'intérêt annuel de 6%
E4. Calculer la valeur finale d'une rente praenumerando de 3'500 versée durant 10 ans et
calculée au taux d'intérêt de 6% (sol. = 48.900.-)
E5. On dispose aujourd'hui de 17'757.22.- permettant de verser une rente praenumerando de
2'000.- par an durant 10 ans. A quel taux d'intérêt cette opération correspond-elle ?
E6. On dispose aujourd'hui de 17'000.- permettant de verser une rente de 2'000.- par an.
Pendant combien d'années peut-on verser cette rente (y compris paiement partiel) si le taux
d'intérêt est de 3%
Solutions :
S1. La valeur actuelle d'une rente postnumerando (retirement en fin de période) correspond à
la valeur qu'il faudrait avoir pour retirer pendant 10 ans 3'500 par an sur un compte à 6% l'an
(en retirant donc l'argent dès la fin de la première période).
Nous savons que cette somme est donnée par :
avec : v 
1
1 i
Nous avons alors :
  1 10
1 

1  6% 


Cn  3500

6%




  25'760.30. 



Dans MS Excel, il suffit d'écrire :
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=3500*VA(6%;10;-1;0)
S2. La valeur finale d'une rente postnumerando (versement en fin de période) représente le
capital acquis au bout d'un certain nombre d'années après avoir capitalisé périodiquement une
certaine somme fixe.
avec : r  1  i
Nous avons alors :
 1  6% 10  1 
  46'132.80.Cn  3500 


6%


=3500*VC(6%;10;-1;0;0)
S3. La valeur actuelle d'une rente praenumerando (retirement en début de période) représente
correspond à la valeur qu'il faudrait avoir pour retirer pendant 10 ans 3'500 par an sur un
compte à 6% l'an (en retirant donc l'argent dès le début de la première période).
avec : v 
1
1 i
Nous avons alors :
  1 10 
1 
 
1  6%  


Cn  3500
 27 '305.92. 

 1 
 6%  

 1  6%  

=3500*VA(6%;10;-1;0;1)
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S4. La valeur finale d'une rente preanumerando (versement en début de période) représente le
capital acquis au bout d'un certain nombre d'années après avoir capitalisé périodiquement une
certaine somme fixe.
 rn 1
 rn 1
n
2

Cn  C0 sn  C0  r  r  ...  r   C0 
  C0 

 d 
 iv 
avec : r  1  i et v 
1
1 i
Nous avons alors :


 1  6% 10  1 
  48'900.75.Cn  3500 

 1 
 6%  1  6%  



=3500*VC(6%;10;-1;0;1)
S5. Pour ce genre de question il faut utiliser des outils numériques comme l'ordinateur.
Ainsi : on peut écrire la relation suivante :
2000  an  17 '572.22 , donc an 
17 '572.22
 8.786109
2000
En utilisant le fonction MS Excel :
=Taux(10;-1;8.786109;0;1)=3%
S6. Il est possible de résoudre cet exercice à la main mais c'est très calculatoire et quasi
élémentaire. Il vaut alors mieux passer par MS Excel à nouveau, le résultat est donnée par la
démarche suivante :
On peut écrire :
2000  an  17 '000 , donc an 
17 '000
 8.5
2000
En utilisant le fonction MS Excel :
=NPM(3%;-1;8.5;0;0)=9.958
Soit 9 paiements de 2'000.- et un paiement partiel de :
2000  a0.9958  1'918.82
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Soit dans MS Excel:
=VA(3%;0.99588829;-1;0;1)
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EXERCICE 17.
Niveau : Université (Fac)
Mots-clés : Emprunts (indivis) à échéance fixe
Enoncés :
E1. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Etablir le
tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit.
E2. Etant donné un montant d'emprunt, un taux et un nombre de périodes, créez une routine
VBA qui génère automatiquement un tel tableau (puisque MS Excel ne comprend pas cette
fonctionnalité).
Solutions :
Rappel :
Chaque année l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt. La dernière année, l'annuité
comprend l'intérêt ainsi que la totalité du remboursement de l'emprunt.
Etat de la dette (capital emprunté) :
Remboursement (amortissement) :
Annuité :
Intérêt :
S1. Le tableau d'amortissement est alors le suivant :
Période
k
1
2
3
4
Etat de la dette Amortissement
Ck
Rk
1000
0
1000
0
1000
0
1000
1000
Amort. Cumulé
Sk
0
0
0
1000
Intérêt
Ik
100
100
100
100
Annuité
Ak
100
100
100
1100
Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-
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S2. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait un peu à la
bourrin mais fonctionne…) :
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EXERCICE 18.
Mots-clés : Emprunts (indivis) à amortissements constants
Enoncés :
E1. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans.
Etablir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit.
VBA qui génère automatiquement un tel tableau.
Solutions :
Rappel :
Le montant annuel remboursé est constant. Les relations sont alors données par :
S1. Le tableau d'amortissement est alors le suivant :
Période
k
1
2
3
4
Ck
Rk
1000
250
750
250
500
250
250
250
Amort. Cumulé
Sk
250
500
750
1000
Intérêt
Ik
100
75
50
25
Annuité
Ak
350
325
300
275
Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.S2. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait toujours un peu à
la bourrin mais fonctionne…) :
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EXERCICE 19.
Mots-clés : Emprunts à annuités constantes
Enoncés :
E1. Soit un emprunt à 20'000.- à 5% l'an sur 10 ans, calculer le payement annuel selon un
système à annuités constantes formellement et avec MS Excel.
E2. Selon l'exercice précédent, créer un tableau représentant dans l'ordre le numéro de la
période, l'état de l'emprunt, l'intérêt, l'amortissement cumulé et l'annuité.
E3. Avec MS Excel, déterminez la valeur de la 4ème période de l'amortissement et des intérêts
du tableau créé précédemment.
E4. Calculer avec MS Excel la somme d'intérêts payés entre la période 1 et 10 (total des
intérêts) et 5 et 10 ainsi que la somme de l'amortissement entre les mêmes périodes.
E5. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Etablir le
tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit.
VBA qui génère automatiquement un tel tableau.
Solutions :
Rappel :
Le montant annuel remboursé est constant. Les relations sont alors données par :
S k  Av n sk
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S1. Soit un emprunt à 20'000.- à 5% l'an sur 10 ans, calculer le payement annuel selon un
système à annuités constantes formellement et avec MS Excel.
Nous avons selon les relations données :
A  Ak 
C
C
20000


 2590.09. 
n
1
an 1  v
1
10
t%
1  5% 
5%
dans MS Excel, il suffit d'écrire :
=VPM(5%;10;20000;0;0)=-2590.09.S2. Selon l'exercice précédent, créer un tableau représentant dans l'ordre le numéro de la
période, l'état de l'emprunt, l'intérêt, l'amortissement cumulé et l'annuité.
Le tableau est construit ainsi :
1. Première colonne, nous numérotons tout simple les périodes
2. Deuxième colonne, nous prenons la valeur de l'emprunt initial auquel nous
soustrayons la valeur de l'amortissement cumulé (4ème colonne)
3. Troisième colonne, nous calculons l'intérêt sur l'emprunt en multipliant simplement
l'état de la dette par le taux de 5%.
4. Quatrième colonne, il s'agit des 2'509.09.- calculés dans l'exercice précédent auxquels
nous additionnons l'intérêt.
5. Cinquième colonne : il s'agit de l'annuité constante à chaque période et calculée dans
l'exercice précédant.
Période
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Etat de la dette
-20'000.00
-18'409.91
-16'740.31
-14'987.24
-13'146.51
-11'213.74
-9'184.34
-7'053.46
-4'816.04
-2'466.75
Coût du crédit :
Intérêt
1'000.00
920.50
837.02
749.36
657.33
560.69
459.22
352.67
240.80
123.34
5'900.91
Amortissement
-1'590.09
-1'669.60
-1'753.08
-1'840.73
-1'932.77
-2'029.40
-2'130.87
-2'237.42
-2'349.29
-2'466.75
-20'000.00
Annuité
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
-2'590.09
Le coût des intérêts sur l'ensemble de l'emprunt est donc de 5'900.91.- et l'amortissement
cumulé bien évidemment de 20'000.-
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S3. Avec MS Excel, déterminez la valeur de la 4ème période de l'amortissement cumulé et
l'intérêt du tableau créé précédemment.
Pour ce faire, dans MS Excel, il suffit d'écrire :
=PRINCPER(5%;4;10;20000;0;0)= -1'840.73
=INTPER(5%;4;10;20000;0)=-749.36
S4. Calculer avec MS Excel la somme d'intérêts payés entre la période 1 et 10 (total des
intérêts) et 5 et 10 ainsi que la somme de l'amortissement entre les mêmes périodes.
Pour cela, il suffit d'écrire :
=CUMUL.INTER(5%;10;20000;1;10;0)=-5'900.91
= CUMUL.INTER (5%;10;20000;5;10;0)=-2'394.04
=CUMPRINC(5%;10;20000;5;10;0)= -13'146.51
=CUMPRINC(5%;10;20000;1;10;0)=-20'000
S5. Le tableau d'amortissement est alors le suivant (calculé avec MS Excel ou à la main selon
les outils vus dans les exercices précédents) :
Période
k
1
2
3
4
Ck
Rk
1000
215
785
237
548
261
287
287
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Amort. Cumulé
Sk
215
452
713
1000
Intérêt
Ik
100
78
55
29
Annuité
Ak
315
315
315
315
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S6. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait toujours un peu à
la bourrin mais fonctionne…) :
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EXERCICE 20.
Auteur : V. Isoz ([email protected])
Mots-clés : Taux effectif (annuel) global (sur la base d'un emprunt à annuité constante)
Enoncés :
Une banque propose un prêt de 100'000.- sur 15 ans aux taux d'intérêt nominal fixe de 4.3%).
E1. Convertir le taux nominal et taux mensuel effectif.
E2. Calculer les mensualités avec MS Excel.
E3. Calculer le taux effectif mensuel particulier en incluant 800.- de frais de dossier + 1'600.de frais de garantie sur le crédit global ainsi que des frais d'assurance de 27.-/mois sur la
mensualité avec MS Excel.
E4. Transformer le taux effectif mensuel en taux nominal annuel avec MS Excel.
E5. Donner la différence entre le taux nominal et le taux effectif annuel nominal avec
MS Excel.
Solutions :
Nous construisons d'abord dans MS Excel le tableau suivant (sans formules):
S1. Nous allons pour répondre à la première question, calculer les cellules B2 et B3 en
utilisant des fonctions MS Excel intégrées quand celles-ci sont disponibles sinon utiliser les
relations démontrées dans le chapitre d'Économétrie. Ce qui donne:
S2. Nous allons calculer maintenant les mensualités basées sur le taux mensuel effectif ce qui
donne:
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soit les valeurs suivantes:
S3. Pour calculer le taux effectif mensuel (particulier!) en incluant 800.- de frais de dossier +
1'600.- de frais de garantie sur le crédit global ainsi que des frais d'assurance de 27.-/mois
nous créons le petit tableau suivant:
ce qui donne:
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S4. Nous transformons le taux effectif mensuel en taux nominal annuel avec MS Excel.
ce qui donne:
ce qui est représenté traditionnellement sous la forme suivante:
S5. Le dernier point consiste simplement à donner la représentation traditionnelle de ces
derniers calculs:
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EXERCICE 21.
Mots-clés : Amortissement linéaire
Enoncés :
E1. Une machine valant initialement 20'000.- perd 18'000.- de sa valeur en 6 ans. Quel
amortissement annuel faut-il enregistrer selon la méthode de l'amortissement linéaire ?
Calculer cette valeur à la main et avec MS Excel.
E2. Calculer le pourcentage de perte en valeur par an de la machine à l'exercice 1 à la main et
avec MS Excel.
E3. Une machine valant initialement 1'000.- perd 90% de valeur en 5 ans. Quel amortissement
annuel faut-il enregistrer selon la méthode de l'amortissement linéaire ?
E4. Construire le tableau d'amortissement de l'exercice 3.
E5. Ecrivez une procédure VBA créant automatiquement un tel tableau
Solutions :
Rappel :
La valeur de l'immobilisation est diminuée d'un montant annuel constant durant sa durée de
vie selon :
S1. L'amortissement annuel se calcule donc selon :
A
20000  2000
 3000. 
6
avec MS Excel, nous pouvons écrire :
=AMORLIN(20000,2000,6)=3000.S2. Ce calcul est facile (il est normalement inutile de faire usage d'Excel pour une telle
chose) :
20000  2000
3000
6
%

 15%
20000
20000
ou dans MS Excel (petite tricherie…) :
=TAUX.INTERET(01.01.1999;01.01.2005;20000;2000;4)=-15%
S3. La méthode de calcul est la même qu'en l'exercice E1, nous avons :
A
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1000  100
 180. 
5
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S4. Le tableau d'amortissement est trivialement donné par :
Date
0
1
2
3
4
5
Amortissement
180
180
180
180
180
Valeur
1000
820
640
460
280
100
S5. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la
même remarque…) :
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EXERCICE 22.
Mots-clés : Amortissement arithmétique dégressif
Enoncés :
E1. Un bien d'une valeur initiale de 75'000.- doit être amorti en 5 ans selon l'amortissement
arithmétique dégressif. Etablir le tableau d'amortissement
Solutions :
Rappel :
La valeur de l'immobilisation décroît inversement à l'ordre des années :
Nous utilisons la fonction SYD dans Excel : SYD(valeur initiale,valeur finale,nombre de
périodes,période)
S1. Nous construisons le tableau selon la relation indiquée où :
n  5, S5  1  2  3  4  5  15,V0  75'000., V5  0. 
Ainsi :
5
 75'000  25'000. 
15
4
A2   75'000  20 '000. 
15
3
A3   75'000  15'000. 
15
2
A1   75'000  10 '000. 
15
1
A1   75'000  5'000. 
15
A1 
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Le tableau d'amortissement est donc le suivant :
Date Amortissement Valeur
0
75'000
1
25'000
50'000
2
20'000
30'000
3
15'000
15'000
4
10'000
5'000
5
5'000
0
Avec MS Excel, il est possible de déterminer les valeurs d'amortissement avec la relation
SYD comme indiqué, par exemple :
=SYD(75000;0;5;3)=15'000.S5. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la
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EXERCICE 23.
Mots-clés : Amortissement dégressif géométrique
Enoncés :
E1. Supposons qu'une vous achetiez une nouvelle machine dont la valeur neuve est de
20'000.- et dont la durée de vie prévue sur 6 années avec une valeur résiduelle de 2'000.-.
Quel va être la perte de valeur à chaque période et la valeur amortie réelle ?
Effectuez le calcul à la main et avec MS Excel !
E2. Un bien d'une valeur initiale de 1'000.- doit être amorti en 4 ans selon l'amortissement
géométrique dégressif. Valeur résiduelle de 200.-. Etablir le tableau d'amortissement.
Solutions :
Rappel :
Nous démontrons que la valeur d'amortissement à une période k est donnée par :
S1. Le tableau d'amortissement se construit à la main à l'aide des valeurs suivantes :
Vn  2 '000., V0  2000, n  6
et le tableau :
Date k
0
1
Amortissement Ak
0
6'380.00
Valeur résiduelle
20'000
13'620
2
3
4
5
6
4'344.78
2'958.79
2'014.93
1'372.19
934.45
9'275.22
6'316.42
4'301.49
2'929.31
1'994.86
Par exemple pour A4 (4ème année) nous avons
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4 1
4


6
6
2
'000
2
'000



 

A4  20 '000  

  2014.93. 
  20 '000 
 20 '000  


La somme des amortissements est donc d'environ : 18'005.13.Dans MS Excel pour obtenir l'amortissement A4 , nous utilisons la fonction :
=DB(20000;2000;6;4;12)=2014.93
S2. La construction du tableau demandé peut être faite aussi bien avec MS Excel qu'avec la
relation donnée ci-dessus. Nous avons alors :
Date
0
1
2
3
4
Amortissement
331.26
221.52
148.14
99.07
Valeur
1000
668.74
447.22
299.07
200
Attention ! MS Excel cependant fait quelques erreurs d'arrondis (qui sont de longues périodes
deviennent non négligeables…)
S3. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la
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EXERCICE 24.
Auteur : JP. Favre
Mots-clés : Calcul d'obligations
Enoncés :
E1. Calculer le prix actuel de l'obligation, connaissant les informations suivantes : taux du
marché 4%, coupons annuels 450.-, remboursement de l'obligation au pair dans 5 ans :
10'000.E2. Calculer le prix actuel de l'obligation connaissant les informations suivantes : taux du
marché 7%, coupons annuels de 400.- pour une valeur nominale de 5'000.-. Il reste 6 coupons
sur l'obligation et le prochain est échu dans trois mois
Solutions :
Rappel :
S'il reste n année à courir, le prix P d'une obligation au taux du marché i sera :
P  can  Rv n
S1. Le prix est donné par :
P  450a5  10 '000v 5  450  v  v 2  ...  v5   10 '000v5
 1  v5 
5
 450 
  10 '000v  450  4.45  10 '000  0.821  10 ' 222.60. 
 i 
avec : v 
1
1

1  i 1  4%
avec MS Excel :
=450*VA(4%;5;-1;0;0)+10000/(1+4%)^5
S2. On commence par calculer :
 1  v6 
6
P  400a6  5'000v  400 
  5'000v  400  4.77  5'000  0.666  5'238.33. 
 i 
6
on capitalise cette valeur sur 9 mois :
P  5'238.33  (1  7%)9 /12  5'511.00. 
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EXERCICE 25.
Auteur : JP. Favre
Mots-clés : Taux de rendement actuariel
Enoncé :
A l'aide de l'outil cible de MS Excel, calculer le taux de rendement actuariel nécessaire à
l'émission d'une obligation connaissant les informations suivantes : coupons annuels de 450.-,
valeur nominale 10'000.-, remboursable dans 10 ans au pair pour avoir une valeur d'émission
de 9'950.Solution :
Pour répondre à cette question il est nécessaire dans MS Excel, de mettre en place le tableau
suivant :
et dans l'outil valeur cible (menu Outils) vous saisissez :
Vous obtiendrez alors dans la cellule B5 la valeur 4.56%
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EXERCICE 26.
Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org)
Mots-clés : Calcul de covariance de titres
Enoncé :
Soit la table ci-dessous :
Calculez la covariance à la main entre les variations des titres de France Télécom et ST
Microélectronics et ensuite vérifiez le résultat avec la fonction intégrée de la covariance dans
MS Excel
Solution :
Rappel : la covariance est définie par :
Nous avons alors à la main (voir page suivante) :
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Attention, nous supposons dans le calcul ci-dessus que les variations sont équiprobables d'où
le fait que nous nous permettons de faire un moyenne selon la relation :
c X ,Y 
1 n
  yi  Y  xi   X
n i 1

Nous pouvons vérifier finalement le résultat avec la fonction intégrée de MS Excel :
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EXERCICE 27.
Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org), Vincent Isoz ([email protected])
Mots-clés : Calcul de la matrice des covariances et des corrélations
Enoncés :
Soit la table ci-dessous dans MS Excel :
E1. Calculez la matrice des covariances à l'aide des fonctions intégrées de MS Excel et
ensuite de l'utilitaire d'analyse (on va plus faire ceci à la main de nos jours c'est inutile
tellement c'est simpliste)
E2. Calculez la matrice des corrélations à l'aide des fonctions intégrées de MS Excel et
ensuite de l'utilitaire d'analyse (même remarque que précédemment)
Solutions :
S1. Par définition, la matrice des covariances (matrice symétrique !) est définie par :
avec :
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C'est une matrice qui apparaît dans les modèles d'optimisation de portefeuilles (le modèle de
Markowitz pour le plus connu) elle demande donc une attention particulière ! Nous verrons
applicatif par ailleurs plus loin avec un portefeuille de titres.
La table matrice à construire est alors :
ce qui donne numériquement :
Remarque : nous appelons cette matrice aussi "matrice des variances-covariances" car la
diagonale n'est d'autre que la variance d'un même et unique vecteur selon les propriétés
mathématique de la covariance d'une variable aléatoire avec elle-même !
Dans MS Excel il est possible de calculer très rapidement la moitié de cette matrice
(puisqu'elle symétrique) avec l'utilitaire d'analyse disponible dans le menu Tools. (il faut
d'abord l'installer en passant par Tools/Add-Ins et ensuite cocher Analysis Toolpack). Ensuite
vous sélectionnez l'option Covariance :
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et enfin, votre sélection (voir page suivante) :
Le résultat sera alors :
S2. Par définition, la corrélation est définie par :
RX ,Y 
c X ,Y
V ( X )V (Y )
il est donc facile de construire une matrice des corrélation à partir de la matrice des
covariances.
Quels que soient l'unité et les ordres de grandeur, le coefficient de corrélation est un nombre
sans unité, compris entre -1 et 1. Il traduit la plus ou moins grande dépendance linéaire de X et
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Y et ou, géométriquement, le plus ou moins grand aplatissement. Un coefficient de corrélation
nul ou proche de 0 signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les caractères. Mais il
n'entraîne aucune notion d'indépendance plus générale.
Quand le coefficient de corrélation est proche de 1 ou -1, les caractères sont dits fortement
corrélés. Il faut prendre garde à la confusion fréquente entre corrélation et causalité. Que deux
phénomènes soient corrélés n'implique en aucune façon que l'un soit cause de l'autre.
Ainsi:
- si RX ,Y  1 nous avons affaire à une corrélation négative dite "corrélation négative
parfaite" (tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente
négative).
- si 1  RX ,Y  1 nous avons affaire à une corrélation négative ou positive dite "corrélation
imparfaite"
- si RX ,Y  0 la corrélation est nulle
- si RX ,Y  1 nous avons affaire à une corrélation positive dite "corrélation positive parfaite"
(tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente positive).
Pour calculer la matrice des coefficients corrélation dans MS Excel il suffit de lancer le
l'utilitaire d'analyse (toujours de la même table) avec l'option corrélation :
et de choisir les options :
pour obtenir (voir page suivante) :
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Il est possible d'obtenir les carrés des éléments de cette matrice (le coefficient de
détermination) en utilisant la fonction COEFFICIENT.DETERMINATION dans MS Excel
ou à la main en écrivant (toujours pour le carré) :
=covariance(Matrice1;Matrice2/racine(Var.P(Matrice1)*Var.P(Matrice2))
ce qui donne R, il suffit ensuite d'élever le tout au carré pour retrouver la valeur du coefficient
de détermination R^2.
Le lecteur peut aussi vérifier les valeurs de la matrice en traçant les graphiques des différentes
données et en interpolant les points par une droite tout en demandant à MS Excel d'afficher el
coefficient de détermination.
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EXERCICE 28.
Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org), Vincent Isoz ([email protected])
Mots-clés : Calcul de la variance d'un portefeuille
Enoncés :
Soit les tables ci-dessous dans MS Excel :
E1. Calculez en vous inspirant de l'exercice précédent la totalité de la matrice des covariances
des différents titres
E2. Calculez la matrice des covariances pondérées par les poids des portefeuilles
E3. Calculez la variance et l'écart-type de ce portefeuille
Solutions :
Rappel : la variance d'un portefeuille est donnée par (démontrée dans le cadre du modèle de
Markovitz) :
n
n
n
   X    X i Y j ci , j
2
p
2
i
2
i
i 1



i j
i 1 j 1



i j
où nous retrouvons la matrice des covariances.
S1. Nous calculons la matrice des covariances avec la même méthode que dans l'exercice
précédant ce qui donne immédiatement :
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S2. Pour calculer la matrice pondérée des covariances nous utilisons la relation :
n
n
n
 p2   X i2 i2   X i Y j ci , j
i 1



i j
i 1 j 1



i j
Ce qui donne dans MS Excel :
Ce qui donne pour la matrice pondérée :
S3. La variance du portefeuille est alors donnée par la somme arithmétique des termes de
cette matrice pondérée. Ce qui donne :
 P2  0.044538
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EXERCICE 29.
Auteur : Vincent Isoz ([email protected])
Mots-clés : Calcul du bêta d'un portefeuille
Enoncé :
Soit le bêta calculé pour des titres du CAC 40. Calculez le bêta du portefeuille du tableau cidessous :
Actions
Alcatel
Ste Générale
L'Oréal
Renault
Air liquide
Altadis
Total du portefeuille
Montant en €
1000
2000
2500
2000
1500
2500
11500
Bêta de l'action
2.14
1.81
1.02
0.65
0.15
0.27
Solution :
Le bêta du portefeuille est simplement donné par la pondération des montants sur le total.
Nous avons alors :
P 
1000
2000
2500
2000
1500
2500
2.14 
1.81 
1.02 
0.65 
0.15 
0.27  0.914
11'500
11'500
11'500
11'500
11'500
11'500
Le bêta de ce portefeuille est donc de 0.914 Cela signifie que lorsque l'indice du CAC 40
monte de 1%, le portefeuille va s'apprécier de 0.914%. A l'opposé, si le CAC 40 baisse de
1%, le portefeuille va baisser que de 0.914%
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EXERCICE 30.
Auteur : Vincent Isoz ([email protected])
Mots-clés : Equation de Black & Sholes
Enoncé :
Soit une titre ayant une valeur de support S de 61.- et un prix d'exercice E de 65.- avec une
expiration T dans 0.25 an avec un intérêt r de 8% et une volatilité  de 30%.
Quelle est la valeur du call (option d'achat d'une titre à une date future T) et du put européen
(option de vente d'une titre à une date future T) de ce support au temps t=0 ?
Calculer également le delta du put et du call.
Solution :
Il suffit d'appliquer les relations du modèle de Black & Sholes:
avec :
Nous avons alors .
d1  0.2151
d 2  0.3651
et :
C ( S , t )  C ( S , 0)  2.53. 
P ( S , t )  P( S , 0)  5.24. 
Le delta du call est donné par :
  N (d1 )  41%
et du put par :
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  N (d1 )  1  59%
Il est clair qu'au temps t=0 le valeur du call et du put sont maximum et qu'au temps t=T le call
à une valeur nulle et le put comme valeur la différence entre 65.- et 61.- soit 4.-
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EXERCICE 31.
Auteur : Alain Boitel
Mots-clés : MEDAF
Enoncé :
Le rendement espéré d'une action A présentant un bêta de 0.75 est de 15% et le rendement
espéré d'une action B présentant un bêta de 1.5 est de 20%.
Q1. Considérant que le MEDAF est vérifié et validé quel est le taux d'intérêt sans risque et le
rendement espéré de marché.
Q2. Calculez le ratio de Sharpe pour chacune des actions sachant que la volatilité du taux de
rendement du marché est de 3%.
Solutions :
S1. Si E ( RA ) est le rendement moyen d'un titre A, R f le taux sans risque et E ( Rm ) le
rendement moyen (du portefeuille) du marché, nous avons la relation suivante du MEDAF
(démontrée dans le chapitre d'Économétrie):


E ( RA )  E ( Rm )  R f   R f
Ce qui donne deux équations à deux inconnues R f et E ( Rm ) . Le problème est aisé à
résoudre (niveau collège):


0.20   E ( Rm )  R f 1.50  R f
0.15  E ( Rm )  R f 0.75  R f
Ce qui nous donne (peut-être facilement résolu dans MS Excel et généraliser
automatiquement avec du VBA):
E ( Rm )  0.16  16.6%
R f  0.1  10%
S2. La ration de Sharpe est simplement donné par pour les deux actions par:
S
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E ( Rm )  R f


0.16  0.1
 2.22
3%
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EXERCICE 32.
Auteur : Vincent Isoz
Mots-clés : MEDAF
Enoncé :
Soit les données suivantes:
Q1. Déterminer le beta du portefeuille avec une régression linéaire graphique dans MS Excel
Q2. La moyenne géométrique du taux sans risque avec MS Excel
Q3. Le rendement espéré du portefeuille
Solutions :
S1. Il y a plusieurs manière de calculer le beta directement mais comme il l'est demandé de
faire sous forme graphique, nous obtenons:
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En ayant au préalable calcul les rendements des deux portefeuilles de la manière suivante:
Le beta est donc de:
  1.056
S2. La moyenne géométrique du taux sans risque est aisément obtenue avec MS Excel à l'aide
de le relation:
R f =GEOMEAN(B11:B15)=1.88%
S3. Le rendement espéré du MEDAF est étant donné par:


E ( R)  E ( Rm )  R f   R f
Le rendement moyen du portefeuille de marché (benchmark) est simplement la moyenne
arithméatique. Nous avons alors:
E ( Rm ) =AVERAGE(H3:H7)=11.14%
Nous avons alors:


E ( R )  E ( Rm )  R f   R f  11.66%
ce qui est supérieur au rendement donné par la moyenne arithmétique des données de
rendement du portefeuille connues jusqu'à présent (10.99%). Ce qui est mathématique normal
puisque le beta est supérieur à l'unité et donc que le rendement du portefeuille doit alors être
supérieur à celui du marché.
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EXERCICE 33.
Mots-clés : Frontière de Markowitz
Enoncé :
Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales (que nous
supposerons dans des proportions égales dans le portefeuille) et les n observations de leur
rendement Ri , j saisis dans MS Excel (la composant j pouvant être vu comme une période
temporelle) :
Déterminez la frontière d'efficience du portefeuille selon le modèle de Markowitz ainsi que la
C.M.L. et la pondération des actifs qui minimise la variance pour une espérance maximum
pour une portefeuille composé d'un actif sans risque d'un rendement de 0.22.
Remarque :
Harry Max Markowitz (né le 24 août 1927 à Chicago) est un économiste américain. lauréat du
Prix Nobel d'économie en 1990. C'est donc l'auteur du modèle de diversification efficiente des
portefeuilles d'actifs financiers.
Markowitz développa la base mathématique et les conséquences de cette analyse dans sa
thèse, soutenue en 1954. Milton Friedman, qui faisait partie du jury, lui aurait déclaré :
"Harry, ceci n'est pas une thèse d'économie, et nous ne pouvons vous donner un doctorat
d'économie pour quelque chose qui n'est pas de l'économie. Ce n'est pas des maths, ce n'est
pas de l'économie, ce n'est même pas de la gestion."
Solution :
Dessous la table donnée précédemment nous allons créer dans MS Excel le tableau contenant
les proportions X i des titres (que nous supposerons équidistribuées, soit 1/3), nous
afficherons la moyenne du rendement i calculée bien évidemment selon l'estimateur :
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n
E  Ri   ˆ i 
 Ri, j
j 1
n
 Moyenne( B 2 : B6)

  Moyenne(C 2 : C 6)
 Moyenne( D 2 : D6)

et la variance  i2 calculée pour chaque titre par l'estimateur :
n
  Ri, j  ˆi 
ˆ i2 
j 1
n 1
2
Var ( B 2 : B6)

 Var (C 2 : C 6)
Var ( D 2 : D6)

Ce qui nous donne le tableau suivant dans MS Excel :
Soit sous forme détaillée dans MS Excel toujours :
Nous devons maintenant calculer le rendement moyen du portefeuille selon :
 
n
E R p   X i Ri  X1 ˆ1  X 2 ˆ1  X 3 ˆ1
i 1
Cette relation est un peu longue à saisir, et le sera davantage si nous avons un nombre bien
plus important de titres.
Dans notre cas, il s'agit de faire la somme des produits terme à terme de deux plages de
cellules ( X i et ˆ i ) ayant la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de
colonnes). Nous pouvons alors utiliser la fonction suivant dans MS Excel :
SOMMEPROD(B14:D14;B15:D15)
Pour la variance du portefeuille, c'est un peu plus compliqué puisqu'il s'agira de calculer :
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 
V Rp  
2
n
 R p    X i2V  Ri   2 X i X j cov  R j , Ri 
i 1
n
i

  X i2 i2  2 X i X j cov R j , Ri
i 1
i
j

j
La relation développée dans notre cas particulier donne :
 2  R p   X12 12  X 22 22  X 32 32  2 X1 X 2 cov  R1 , R2 
2 X1 X 3 cov  R1 , R3   2 X 2 X 3 cov  R2 , R3 
L'astuce pour appliquer ceci dans MS Excel consiste à utiliser l'algèbre linéaire et écrire cette
relation sous forme matricielle comme nous l'avons démontré :
 2  R p   X T  cij  X
Ce qui équivaut dans MS Excel à écrire :
=SOMMEPROD(PRODUITMAT(B14:D14;G14:I16);B14:D14)
Soit sous forme matricielle explicite :
 2  R p    X1
X2

12
cov  R2 , R1  cov  R3 , R1    X1 



X 3  cov  R1 , R2 
 22
cov  R3 , R2    X 2 



 32
 cov  R1 , R3  cov  R2 , R3 
  X 3 
Donc en se basant sur les tableaux précédents, il est simple dans MS Excel d'obtenir la
matrice de covariance :
Soit sous forme détaillée dans MS Excel toujours :
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Rappel : La matrice des covariances est symétrique… (cf. chapitre de Statistiques).
Et pour l'espérance et la variance du portefeuille nous aurons donc le tableau suivant :
en appliquant donc les relations susmentionnées:
Le problème maintenant est de déterminer pour un rendement du portefeuille fixé (B19), les
proportions des différents titres qui minimisent le risque.
Après avoir ajouté les deux cellules B24 (rendement espéré/attendu du portefeuille) et B25
(nombre total des parts du portefeuille) :
Nous devons donc maintenant résoudre le problème d'optimisation non linéaire :
 
min :  2 R p
 
E R p  0.2
 Xi  1
et ceci ne peut que se faire (simplement) à l'aide du solveur :
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Ce que nous allons faire à l'aide du solveur est de chercher et reporter les solutions pour des
rendements de 0.2 à 0.245 par pas de 0.05. A chaque résultat, nous noterons le numéro de
l'itération, la variance du portefeuille  2 R p et l'espérance de rendement E R p qui était
 
 
exigée. Cela devrait donner (bon il faudrait automatiser dans l'idéal la procédure par du
VBA) :
Ce qui donne la frontière efficiente de Markowitz suivante sous forme graphique dans
MS Excel :
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Maintenant il est aisé avec MS Excel de déterminer l'équation de cette parabole en utilisant
l'outil d'interpolation (nous sommes obligés dans MS Excel de tourner la parabole pour
cela…) :
Maintenant, nous allons déterminer la C.M.L (capital market line) qui est la droite formée par
l'ensemble des portefeuilles composés de l'actif sans risque, d'une part, et du portefeuille de
marché, d'autre part. Par construction, elle associe à chaque niveau de risque, la rentabilité
espérée la plus élevé.
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Nous allons pour déterminer cette droite avec MS Excel nous fixer dans un premier temps un
taux de rendement sans risque que nous noterons R f et que nous prendrons arbitrairement
comme valant 0.22. Nous avons donc la courbe de Markowitz d'équation :
y  18.795 x 2  8.389 x  0.9384  ax 2  bx  c
et la droite :
y  a'x  b'
avec la condition :
a'  
b'
0.22
Nous avons alors deux équations connues à deux inconnues pour résoudre ce problème
(l'intersection de la droite et la parabole pour la première et l'égalité de la pente de la parabole
et de la droite au point d'intersection) :
2
axM
 bxM  c  a ' xM  b '
2axM  b  a '
La deuxième équation nous donne :
xM
b '
b
a ' b 0.22


2a
2a
Injecté dans la première équation :
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2
 b '

 b '

 b '

b
 0.22  b 
 0.22  b 

b ' 0.22
a
  b
c  

  b'
0.22  2a 
 2a 
 2a 








Si nous résolvons ce polynôme du deuxième degré nous avons deux solutions réelles (Excel
n'arrive pas à déterminer les racines de ce polynôme) :
b '1  -0.6822748631 b '2  0.1207634890
La solution 2 est à éliminer (nous le savons en essayant de la prendre comme solution). Nous
avons donc:
b '  -0.6822748631
a'  
b'
=0.3101249378
0.22
Ce qui donne sous forme graphique :
Soit sous forme traditionnelle :
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Il vient aussi immédiatement :
xM
b '
b
0.22

 0.2314265746
2a
Ainsi, en réutilisant le solveur comme plus haut mais avec cette nouvelle valeur pour
l'espérance, nous obtenons pour un portefeuille du marché composé d'un actif sans risque de
rendement 0.22, un rendement global efficient de 0.2314276… avec la composition suivante
du portefeuille donnée par le solveur :
X1  0.055
X 2  1.079
X 3  0.024
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EXERCICE 34.
Mots-clés : Frontière de Sharpe
Enoncé :
Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales et les n observations
de leur rendement Ri , j saisis dans MS Excel. Ces rendements seront comparés à un indice de
référence I qui sera le rendement d'un portefeuille de marché de référence PFM :
Le but se de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille avec le modèle de Sharpe.
Solution :
En détail sous forme graphique voici d'abord les bêta (rendement de l'actif en fonction du
rendement du portefeuille de marché/indice de référence) obtenus par MS Excel :
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et le tableau de construction suivant pour le calcul des bêta, la variance et l'espérance des
différents titres :
Voici les détails du calcul (remarquez que les bêta sont obtenus à l'aide d'une simple
régression linéaire avec l'indice de référence qui est le portefeuille et les autres paramètres
avec les estimateurs non biaisés) :
L'espérance du rendement du portefeuille composé des trois titres est facile à calculer puisque
nous avons leur rendement. Donc :
 
n
E R p   X i Ri  X1 ˆ1  X 2 ˆ1  X 3 ˆ1
i 1
Ce qui donne sous MS Excel :
Soit de manière détaillée :
Maintenant, il nous faut calculer l'espérance en utilisant la relation démontrée dans la partie
théorique des paragraphes précédents :
 
 

V R p   2 R p   I2  X T  ij  X
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
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avec pour rappel dans notre cas particulier :
i , j
  12
 2
 I

   2 1



 3 1

1  2
 22
 I2
3  2

1 3 


 2 3 


 22 

 I2 
avec dans notre exemple  I2  0.039 (cellule B13).
Soit sous forme développée pour notre exemple :
 2  R p   X12 12  X 22 22  X 32 32
2 X 1 X 2 I2 1  2  2 X 1 X 3 I2 1 3  2 X 2 X 3 I2  2 3
Ce qui donne dans MS Excel pour notre matrice des bêta :
Soit sous forme développée (la matrice est symétrique) :
Et finalement le couple variance/espérance du portefeuille est donné par :
Soit sous forme détaillée :
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Une fois ceci fait, nous procédons comme pour la frontière de Markowitz. Nous utilisons le
solveur en minimisant la variance tout en imposant une espérance et une contrainte comme
quoi la somme des parts des actifs financiers est égale à l'unité :
Ce qui donne le tableau variance/rendement suivant (à comparer avec le même tableau de
Markowitz) :
et le graphique suivant (comparaison directe avec Markowitz mise en évidence) :
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La suite de l'exercice (C.M.L.) se fait de la même manière que dans le modèle de Markowitz.
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EXERCICE 35.
Mots-clés : Mouvement brownien standard et géométrique (exponentiel)
Enoncé :
Un portefeuille de 500M$ a un rendement mensuel de 5% avec une volatilité mensuelle de
20%.
En utilisant MS Office Excel, représentez graphiquement et dans un tableau:
E1. La valeur espérée du portefeuille et l'intervalle de confiance à 95% en se basant sur le
modèle de Bachelier à mouvement brownien standard sur 27 mois.
E2. La valeur espérée du portefeuille et l'intervalle de confiance à 95% en se basant sur le
modèle de Samuelson à mouvement brownien géométrique (exponentiel) sur 27 mois.
Solution :
S1. Nous utilisons donc l'expression explicite discrète du mouvement brownien standard (cf.
chapitre d'Économétrie).
Nous obtenons alors directement le tableau suivant:
Soit avec le détail des relations:
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et avec la graphique associé:
2250
2000
1750
1500
1250
1000
750
500
250
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Intervalle 95% Standard Sup.
Intervalle 95% Standard Inf.
Espérance Brow nien Standard
Mvt. Brow nien Standard
S2. Nous utilisons donc l'expression explicite discrète du mouvement brownien géométrique
(cf. chapitre d'Économétrie).
Nous obtenons alors directement le tableau suivant:
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Soit avec le détail des relations:
et avec la graphique associé:
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2250
2000
1750
1500
1250
1000
750
500
250
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Mouv. Brow Exp. Géométrique
Espérance Brow nien Exp. Géométrique
Intervalle 95% Exp. Inf.
Intervalle 95% Exp. Sup.
Donc dans 6 mois, nous voyons que le portefeuille à 95% de probabilité cumulée de se situer
entre 404.49 et 885.90 millions avec une espérance de 662.54 millions.
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EXERCICE 36.
Mots-clés : Value At Risk delta-normale relative et absolue
Enoncé :
Soit un portefeuille de valeur initiale de 10000.- M$ dont le rendement à une espérance
mensuelle actuelle de:
  0.01 M$
et une variance mensuelle actuelle:
Var  0.005 M$
Nous voulons calculer la Value At Risk relative (VaRrev) et absolue (VaRabs) avec un seuil
de confiance c de 95% en recourant à MS Excel sur cette période.
Solution :
Dans MS Excel, il suffit de créer la fonction et le petit tableau suivant: 
Soit de manière explicite:
Nous y avons donc la VaR relative qui vaut 163.087.-
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Pour obtenir la VaRabs (VaR absolue) il suffit d'appliquer la relation que nous avons
démontrée dans le chapitre d'Econométrie :
VaRa  VaRr  S    t  63.08
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EXERCICE 37.
Mots-clés : Value At Risk delta-normale relative avec scaling law
Enoncé :
Nous possédons 10 millions de CHF en actions Novartis. La volatilité annuelle du titre est de
20%.
Quelle est la VaR relative à 99% sur un horizon de jours.
Solution :
Le calcul étant trivial il est inutile de sortir un tableau pour cela. Nous avons immédiatement
la volatilité pour un horizon de 3 jours:
j 
20%
252
D'où:
VaRr  S t  10 '000 '000  2.326 
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20%
252
 3  507 '574
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EXERCICE 38.
Mots-clés : Value At Risk variance-covariance
Enoncé :
Nous possédons 10 millions de CHF en actions Novartis. La volatilité annuelle du titre est de
20%.
Quelle est la VaR relative à 99% sur un horizon de jours.
Solution :
Le calcul étant trivial il est inutile de sortir un tableau pour cela. Nous avons immédiatement
la volatilité pour un horizon de 3 jours:
j 
20%
252
D'où:
VaRr  S t  10 '000 '000  2.326 
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20%
252
 3  507 '574
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EXERCICE 39.
Mots-clés : Modèle logistique, Lissage exponentiel
Enoncé :
Considérons le tableau suivant fait avec MS Excel (les ventes sont en centaines de millier
d'unités):
et le graphique associé:
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qui pourrait être jugé comme linéaire suivant à quel moment commence l'analyse descriptive
des ventes dans l'entreprise.
Déterminer le modèle théorique prédictif des ventes avec le modèle logistique linéarisé, le
modèle logistique optimisé et le lissage exponentiel.
Solution :
Pour déterminer le modèle théorique, nous allons linéariser l'équation logistique en utilisant
un seuil hypothétique (objectif de ventes du marché) 800.
Donc:
Soit à calculer la nouvelle variable à expliquer:
et le modèle linéaire s'écrit donc:
avec donc:
Soit:
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Dans notre exemple, la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) donne:
Nous avons alors immédiatement:
Soit sous forme graphique:
avec ce modèle formel, nous avons une somme des carrés des écarts entre les mesures et le
modèle (cf. chapitre de Statistique) de:
Maintenant, entrons ces données dans MS Excel sous la forme suivante:
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avec la structure suivante:
Si nous lançons le solveur avec les paramètres suivants:
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Ce qui donne:
Soit:
avec:
soit nettement inférieur à notre approche utilisant la régression linéaire et donc meilleur.
Graphiquement cela donne:
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Nous voyons nettement que le modèle du solveur (modèle numérique) est meilleur que le
modèle formel donné par une régression linéaire!
Maintenant, comparons à au lissage exponentiel. Pour cela créez une nouvelle colonne
comme indiqué ci-dessous:
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et lancez l'outil de lissage exponentiel (exponential smoothing) de l'utilitaire d'analyse de
MS Excel:
et validez par OK. Vous aurez alors:
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Nous voyons nettement l'infériorité du modèle de lissage par rapport au modèle logistique et
ce même graphiquement (bon objectivement il est injuste des les comparer car ils n'ont
absolument pas les mêmes fondements mathématiques):
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EXERCICE 40.
Auteur : ?
Mots-clés : Résultat probabiliste de production
Enoncé :
Une analyse temporelle (A.S.T.) des ventes (V) d'une entreprise par période fixe donnée
suivent une loi Normale de moyenne E (V )  60 '000 unités et d'écart-type  (V )  25'400 .
- Les charges variables s'élèvent à 85% du chiffre d'affaire.
- Les charges fixes s'élèvent à 915'000 .- Le prix de vente unitaire est de 150.Q1. Déterminez l'espérance mathématique et l'écart-type de la loi R du résultat ?
Q2. Déterminez la probabilité cumulée d'être au-delà ou égal au seuil de rentabilité
Q3. Et calculer l'objectif de ventes tel qu'il ait 2 chances sur 3 de l'égaliser ou dépasser.
Solutions :
Le résultat aléatoire est:
R  150  15%  V  915'000  22.5  V  915'000
en effet les charges fixes prennent 85 % du chiffre d'affaires calculé en multipliant P  150. 
par le chiffre aléatoire V des ventes et de plus il faut soustraire les charges fixes de 915'000.S1. L'espérance mathématique du résultat est en utilisant la propriété de linéarité de
l'espérance:
E ( R)  22.5  E (V )  915'000  22.5  60 '000  915'000  435'000. 
et l'écart-type du résultat est en utilisant les propriétés de ce moment:
 ( R)  22.5   (V )  571'000. 
S2. Le seuil de rentabilité est défini par:
R  150  15%  V  915'000  0
Puisque les ventes suivent une loi Normale, la rentabilité aussi suit une loi Normale de
paramètres:
 ( R)  571'000.  et E ( R)  435'000. 
La question est donc de savoir la probabilité cumulée que P ( R  0) . Dans MS Excel (version
anglophone), il suffit de saisir:
=1-LOI.NORMALE(0;435000;571000;1)=77.62%
2

S3. Il s'agit donc de calculer P  V   c'est-à-dire de mettre dans MS Excel:
3

=LOI.NORMALE.INVERSE(1-2/3; 435000; 571000)= 189054.71
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EXERCICE 41.
Auteur : ?
Mots-clés : Coût total et marginal
Enoncé :
Une entreprise produit un bien A et le coût moyen de fabrication de q unités de A est donné
par la fonction notée CM (q ) qui est définie, et dérivable pour q  0 . Nous noterons C(q) le
coût total de fabrication de q unités de A et Cm (q) le coût marginal.
Nous supposerons que le coût moyen est donné par:
Cm ( q )  q  3 
18
q
Q.1. Déterminer les fonctions de coût total et de coût marginal
Q2. Déterminer la valeur de q telle que CM (q )  Cm (q )
Solutions :
S1. Puisque:
Cm ( q ) 
CT
 CT  Cm (q )  q
q
Soit:
CT  q 2  3q  18
et puisque:
CM ( q ) 
dCT (q)
dq
par intégration il vient immédiatement:
CM  2 q  3
S2. Il suffit de poser l'égalité entre les deux relations:
q 3
18
 2q  3
q
Soit après simplification:
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18  q 2  q  18
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