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Nombre pi
PI = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 …
Définition :
Le nombre pi désigne le rapport entre la circonférence et
le diamètre d'un cercle.
C
π=
D
ou plus classiquement :
C = 2π.R
Démonstration de l'existence de pi :
Pour démontrer que ce rapport est constant quel que soit la taille du cercle, on utilise classiquement
la démonstration suivante :
Considérons 2 cercles de même centre et de
rayons respectifs R1 et R2. Divisons ces deux
cercles en n triangles à partir d'un polygone de n
côtés. Pour chaque triangle, nous avons selon le
théorème de Thalès la relation :
R1 I1
=
R2 I2
Soit pour les n triangles composant les deux
cercles :
R1 n.I1
=
R2 n.I2
Pour n tendant vers l'infini, le périmètre d'un
polygone tend vers le périmètre des cercles, en
conséquence :
R1 C1
C1 C2
C1 C2
=
=
=
soit :
ou
R2 C2
R1 R2
D1 D2
En conséquence, quel que soit le rayon d'un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est
une constante que l'on nomme pi.
Dans le même esprit, on peut montrer que cette constante nommée pi intervient également dans le
calcul de l'aire d'un disque.
Cette aire est divisée en triangle par un polygone de n
côtés. L'aire du polygone est la somme des aires des
triangles le constituant. Quand n tend vers l'infini, l'aire du
polygone tend vers l'aire du disque.
En conséquence, la somme de l'aire des triangles
correspond à l'aire du disque, soit :
Aire d'un triangle : Base * R / 2
Somme des aires : C * R / 2
Or C = 2π.R (C : circonférence)
Donc : S = π.R²
Historique des valeurs de pi :
Le nombre pi est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une
fraction de deux nombres entiers.
La conséquence de l’irrationalité de pi est l'impossibilité d'un calcul simple de ces décimales. Ce
calcul est d'autant plus complexe que pi est transcendant (il ne s'exprime pas sous la forme d'une
équation polynomiale à coefficients entiers).
Quelques rappels historiques :
–
–
–
–
–
–
–
–
Égyptien (2500 ans avt JC) :
– π = (16/9)² = 3,16049...
Babylonien (6e siècle avt JC) :
– π = 3 + 1/8 = 3,125
Hébreux dans la Bible (5e siècle avt JC)
– Livre des rois : Il fit aussi une mer de fonte de dix coudées d'un bord jusqu'à l'autre,
qui était toute ronde : elle avait cinq coudées de haut et était environnée tout à
l'entour d'un cordon de trente coudées.
– Traduction :
– diamètre : 10 coudées
– circonférence : 30 coudées
– Soit π = 3
Archimède (250 ans avt JC) :
– 3+10/71 < π < 3+1/7 soit 3,1408 < π < 3,1429
Pour réalise ce calcul, Archimède a calculer la circonférence de deux polygones
enserrant intérieurement et extérieurement un cercle.
Inde (380 de notre ère) :
– π = 3+177/1250 = 3,1416
Chine :
– 2 siècle avt JC : π = 3,1622
– 2 siècle ap JC : 3,141024 < π < 3,142704 (par étude des polygones comme
Archimède)
– 5e siècle ap JC :
– 3,1415926 < π < 3,1415927
– avec pour approximation : π = 355/113
Arabes :
– 800 de notre ère : π = 3,1416
– 1450 : Al-Kashi obtient pour la première fois plus de 10 décimales du nombre pi.
Europe :
– le calcul des décimales de pi prend véritablement son essor à partir de la renaissance.
– Au 16e siècle, l'allemand Ludolff von Ceulen calcul 34 décimales de pi (toujours à
partir des polygones)
– Au 18e siècle, John Machin calcul plus de 100 décimales de pi grâce à la découverte
d'un développement de pi en arctangente.
– …
– Jusqu'au calculateur aboutissant au milliard de décimales ...
Un élément important à noter dans le calcul des décimales de pi est la vitesse de convergence. La
vitesse de convergence désigne le nombre de décimales obtenues par itération de calcul. Cette
vitesse est un élément essentiel, surtout lorsque le calcul est réalisé à la main.
L'influence de cet élément est visible dans l'histoire du nombre pi. En effet, la découverte des
développements de pi en arctangente a induit une accélération rapide du nombre de décimale
connu :
– vitesse de convergence par la méthode de polygones d'Archimède : moins d'une décimale
par itération
– vitesse de convergence par la méthode des arctangente : plus d'une décimale par itération.
A ce jour, plus de 5000 milliards de décimales ont été calculées !!!
Quelques formulation de pi :
François Viète (16e siècle) :
2
...
– π = 2. 2 . 2 .
√ 2 √ 2+√ 2 √2+√ 2+√ 2
– John Wallis (17e siècle) :
2∗2 4∗4 6∗6
.
.
...
– π = 2.
1∗3 3∗5 5∗7
– William Brouncker (17e siècle) :
4
1
–
= 1+
π
3²
2+
5²
2+
...
– James Gregory (17e siècle) :
1 1 1
– π = 4. [1− + − +...]
3 5 7
– …
– Formules en arctangente (première obtenue par John Machin au 18e siècle) :
– π = 16.arctan( 1/5)−4.arctan(1/ 239)
– π = 20.arctan (1/7)−8.arctan (3/79)
– π = 24.arctan (1/8)+8.arctan (1/57)+4.arctan (1/ 239)
Cette dernière a été récemment utilisée pour calculer quelques millions de décimales
de pi...
– ...
Sans oublier les formulations de Srivinisa Ramanujan qu'il obtenait de tête …
–
Formulations approchées de pi :
–
–
–
–
–
π=3
π = 3 + 1/7
π = √10
π = 22/7
…
Pourquoi calculer les décimales de pi :
Question sans réponse sinon par le mystère qui entoure ce nombre.
Pi est une constante de l'univers, en conséquence, la recherche d'un ordre des décimales représente
ni plus ni moins que la quête d'une loi de l'univers.
Éléments d'intérêts sur les décimales de pi :
–
Le chiffre 0 apparaît en 32e position alors que l'ensemble des autres chiffres (123456789)
apparaît dans les 13 premières décimales, pourquoi ce retard ?
–
A partir de la 762e décimale on trouve 999.999, soit six 9 avant la millième décimale,
–
la somme des vingts premières décimales est égale à 100
–
la somme des 144 premières décimales est égale à 666
–
les 3 décimales à partir de la position 315 sont « 315 »
–
les 3 décimales à partir de la position 360 sont « 360 »
Plus étonnant :
–
Si dans l'alphabet français on colorie les lettres ayant un axe de symétrie verticale, on
obtient les 4 premières décimales de pi via les groupes de lettres non colorier :
RSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH
–
IJK : 3 lettres
–
N : 1 lettre
–
PQRS : 4 lettres
–
Z : 1 lettre
–
BCDEFG : 6 lettres
Soit : 3,1416 !
–
le poids moyen (statistique sur un grand nombre d'individu) d'un enfant à la naissance est de
~3,14 kg, soit pi kg.
Réflexion sur pi :
Le nombre pi intervient dans un grand nombre de relations de physique et chimie. Il constitue donc
sans aucun doute une relation entre des fonctions précises de notre monde.
Géométriquement, il constitue le lien entre les lignes droites et les courbes.
La ligne droite représentent le mouvement, l'action.
Le cercle représente la stabilité dans la perfection.
Pi représenterait-il le lien entre l'existant (fixe) et ce qui doit-être créer (mouvement) ?