Concours Commun Centrale-Supélec − option MP

Concours Commun Centrale-Supélec − option MP
Planche 3
La surface latérale d’un cylindre de
longueur L et de rayon R est parfaitement calorifugée, ainsi sa température n’est fonction que de x et t.
On impose T (0, t) = T0 + θ0 cos ωt.
Trouver θ et φ pour une solution de
la forme :
T (x, t) = T0 + θ(x) cos ωt + φ(x) .
Planche 1
Un condensateur est constitué de deux armatures cylindriques de
rayons r1 = 4, 9 mm et r2 = 5, 0 mm, de charges +q et −q,
séparées par une distance h = 2 cm. L’espace inter-armatures est
un diélectrique de permittivité ε = 80ε0 (on fera les calculs comme
d’habitude en remplaçant ε0 par ε).
Il existe en outre une tension de seuil Ed = 2.106 V.m−1 au bout de
laquelle le condensateur claque , c’est à dire que le milieu interarmatures devient conducteur.
1. Calculer la capacité du condensateur.
2. Calculer l’énergie maximale que peut emmagasiner le condensateur avant de claquer.
3. En réalité, le milieu inter-armatures est légèrement conducteur,
de conductivité γ. Initialement, le condensateur est à la tension U .
On le débranche et on le laisse se décharger. Au bout d’une durée
T = 7 mn, U est égale à la moitié de sa valeur initiale : calculer γ.
Planche 2
Le chariot ci-contre est constitué d’un cylindre creux de masse M et de moment d’inertie
J1 = M R2 par rapport à son axe, et d’un
cylindre plein de masse µ et de moment
1
d’inertie J2 = µR2 par rapport à son axe,
2
reliés par une tige de masse négligeable.
L
O
z
y
On enferme le cylindre dans le sol : justifier que la température au
niveau du sol peut être modélisée par une sinusoı̈dale.
Cours : interpréter physiquement le fait que la dérivée par rapport
au temps (dans l’équation de la chaleur par exemple) soit simple et
non double.
Planche 4
I) Les deux surfaces en regard d’un cable coaxial de rayons a et b
= E(r) exp j(kz −ωt) er ,
avec a < b, dans lequel existe une onde E
sont parfaitement conductrices.
→
g
α
Il roule sans glisser sur un plan incliné d’un angle α avec l’horizontale.
Calculer son accélération et la tension de la tige.
ϕ
Si on place le chariot comme
→
ci-contre, étudier le mouvement
g
dans l’hypothèse d’un roulement
sans glissement.
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x
1. Caractériser une telle onde.
2. La valeur maximale du champ électrique est 10−3 V.m−1 . Calculer la puissance moyenne maximale véhiculée par l’onde pour
a = 0, 8 mm et b = 5, 2 mm.
II) Deux plaques conductrices de températures T1 et T2 et une
plaque de température T3 , située entre les deux, sont considérées
comme des corps noirs. Justifier le nom d’écran, donné à la troisième
plaque.
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Planche 5
I) À l’instant t = 0 la vitesse du
centre de masse d’un cylindre de
centre C et rayon R placé dans
un dièdre d’angle α, est nulle et
= ω0ez .
sa vitesse angulaire est Ω
y
Que se passe-t-il si on considère deux fentes de largeur a séparées
de e > a et symétriques selon l’axe (Ox) ?
On donne sur l’ordinateur la figure obtenue dans ce cas pour
λ = 600 nm. En déduire les valeurs de e et a.
On introduit une lame mince d’indice n et d’épaisseur ε devant
l’une des fentes. Que se passe-t-il ? Expliquer pourquoi.
J
x
α
z
I
Montrer que, pour un signe convenable de ω0 , le contact entre les
plaques et le cylindre est maintenu, sachant que f est le coefficient
de frottement plaques/cylindre.
Dans ce cas, déterminer le mouvement ultérieur du cylindre et
l’expression des actions de contact.
Calculer par deux méthodes le travail des forces de contact.
II) Cours : les deux théorèmes de Koenig, avec idées de démonstration.
Planche 6
L2
L1
y
Y
X
x
.
.
S
O
.
.
.
f2
f1
z
Ω
P
E
Dans le dispositif ci-dessus, S est une source ponctuelle, L1 et L2
deux lentilles sphériques de distances focales f1 et f2 , P est une
fente fine rectangulaire et E un écran.
Expliquer le phénomène observé pour une fente de largeur a selon
(Ox). Calculer alors l’intensité lumineuse I(X, Y ) et en donner
l’allure.
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Planche 7
On place dans le vide un fil résistif cylindrique constitué d’un alliage
de conductivité γ = 0, 96.106 S.m−1 parcouru par un courant de
valeur efficace I, et une plaque d’épaisseur e très faible, tous deux
considérés comme des corps noirs.
1. On néglige l’influence de la plaque ; déterminer la valeur de
I correspondant à une température du fil égale à la température
T0 = 327, 25◦ de fusion du plomb, qui constitue le fil.
2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par T (z) en régime
stationnaire, après avoir précisé ce qu’est z. On considèrera la
température de la plaque homogène sur l’épaisseur de celle-ci.
En déduire T pour z = 0.
3. Tracer l’allure de la courbe dans ce cas particulier. Qu’obtient-on
dans le cas général ?
Planche 8
Dans le circuit
ci-contre :
√
u(t) = U 2 cos ωt.
Donner l’équation différentielle vérifiée par uc en
L
utilisant ω0 et Q = ω0 ·
R
L
u(t)
R
C
uC
√
On cherche une solution de la forme uc (t) = Uc 2 cos(ωt + φ).
Uc
ω
Résoudre, trouver
et φ en fonction de ω et Q.
0
U
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Donner qualitativement les courbes
Uc
et φ. Que représente le
U
facteur de qualité Q ?
On donne R = 100 Ω ; L = 100 mH ; C = 100 µF à ±5%.
On mesure Q = 7 ± 0, 5 ; pourquoi ce résultat est-il incompatible
avec les résultats précédents ? Donner une modélisation du GBF
permettant d’expliquer ce phénomène.
On branche l’oscilloscope sur un mode X − Y . Quelle allure a-t-on
ω
ω
ω
pour φ à ω <
< 1, à ω = 1 et à ω >
> 1 ? ω (rad.s -1)
0
0
0
On impose la courbe ci-contre
ω max
avec ωmax = 3.104 , ωmin = 3.103
les variations étant lentes.
ωmin
Uc
ω
= f ( ω ),
À partir de la courbe
t(s)
0
U
déduire la nouvelle allure de uc (t).
→
M
→
Planche 9
uθ
Un voile solaire de masi u→r
S
se m, surface S et centre
C
de masse C est soumis au
r
champ gravitationnel G du
soleil, de masse MS , placé
en O et à la puissance de
son rayonnement notée φ0
O
x
et supposé isotrope.
On note c la vitesse de la lumière.
Si une surface S absorbe totalement un rayonnement de puissance π faisant un angle θ avec l’onde, la force qu’elle subit est
2π
F = c cos2 θn. Calculer F dans le cas qui nous occupe.
Quelle valeur de i0 rend la composante orthoradiale maximale ?
B
A
Montrer que a = 2 ur + 2 uθ et identifier A et B en fonction de
r
r
m, φ0 , S, c, i. Établir les équations différentielles en r et θ.
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On suppose que ur forme un angle α constant avec v . Montrer que
k
r̈ = 2 , k < 0. Donner k en fonction de A et B.
r
Intégrer l’équation. Donner la loi horaire de θ. Quelle est la trajectoire du voile ?
Planche 10
Deux pendules identiques glissent sans
frottement sur un cercle, de part et
d’autre pour qu’il n’y ait aucun contact entre eux. La masse des tiges est
négligeable. On soumet l’ensemble du
système à un champ magnétique uniforme dans le temps et l’espace, perpendiculaire au plan d’oscillation.
O
→
g
θ1
θ2
L
P2
P1
q Les éléments sont conducteurs de courant, seules les deux masses
des pendules ont une résistance électrique non nulle.
P1 est initialement dans sa position d’équilibre et P2 est laché sans
vitesse initiale. Déterminer les lois horaires de θ1 et θ2 .
Les représenter sur un même graphe et commenter.
Planche 11
R
du centre d’un disque circulaire de rayon R tournant
À distance
2
à vitesse Ω constante, on place une particule M de masse m que
l’on guide sans frottement le long d’un rayon du disque.
À quel instant arrive-t-elle au bord ? Que se passe-t-il ensuite ?
On suppose à présent l’existence de frottements (T = f N ). À quelle
condition la particule démarre-t-elle ?
On suppose cette condition réalisée et on note v la vitesse relative de
la particule dans le référentiel lié au disque. Déterminer l’équation
différentielle vérifiée par v et montrer que l’on peut se ramener à :
√
g
du
+ f 1 + 4u2 = x. Résoudre en supposant v <
< ·
Au
Ω
dx
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Montrer que si v <
<
g
· alors R << R0 que l’on évaluera.
Ω
Planche 12
Dans le dispositif ci-contre Γ = −Cθez
où C est le couple de torsion.
Expliquer ce qui se passe qualitativement et préciser la position d’équilibre. Que signifie une grande torsion ?
Une petite torsion ? On suppose
initialement θ = 0 ; quelle est la position d’équilibre ? est-il stable ?
.
y
θ
Planche 14
m
l
x
-Cθ
Calculer la période T des petites oscillations au voisinage de θ = 0
C
en fonction de η =
·
mgl
∆T
quand g varie de ∆g. Quel est l’intérêt de ce dispositif
Calculer
T
par rapport à un pendule ordinaire ?
Planche 13
I) Une barre cylindrique verticale (selon (Oz)) de longueur a et
rayon r, uniformément chargée en volume par une charge Q0 est
permanent,
initialement au repos dans un champ magnétique B
orienté selon (Oy). À t = 0, on la relie au sol (qui fait office de
masse) par une liaison pivot parfaite en O. Elle se décharge au
bout d’une durée τ .
Expliquer qualitativement ce qui se passe : y-a-t-il mouvement et
pourquoi ? À quelle condition portant sur a, g et τ peut-on négliger
le mouvement de la barre ?
dq
et des paramètres de la barre.
Exprimer j(z, t) en fonction de
dt
Exprimer l’accélération angulaire de la barre à t = τ .
II) Cours : retrouver la loi de conservation de la charge, à partir
des équations de Maxwell par exemple.
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I) Un moteur M , essentiellement inductif, absorbe une puissance P1
avec un coefficient de puissance cos φ1 . On branche un générateur
fonctionnant en régime sinusoı̈dal de pulsation ω en parallèle avec
M résistances r, absorbant chacune une puissence P , et le moteur.
Quel est le coefficient de puissance cos φ de l’installation ?
Quel dipôle brancher aux bornes de l’installation pour maximiser
cos φ ?
II) Cours : définition et propriétés d’une liaison pivot parfaite ;
conséquence dans l’utilisation des théorèmes (moment dynamique,
énergie cinétique, etc).
Planche 15
On assimile la lune à une boule d’atmosphère homogène et d’indice
optique nL ; on rappelle la loi de Gladstone pour l’atmosphère tern−1
restre : r est constant. Au niveau du sol terrestre, n−1 = 3.10−4 .
Calculer la masse volumique maximale de l’atmosphère lunaire, assimilée à l’atmosphère terrestre, par rapport à l’atmosphère terrestre sachant que :
- les rayons rasants, issus d’une étoile lointaine, ne sont pas déviés ;
l
près
- on peut pointer des objets avec un téléscope à θ = 1, 22
2R
où R est le rayon du téléscope.
A.N. : R = 5 m ; l = 500 nm.
Détermination expérimentale de la masse volumique ρ de la terre ?
Flux solaire uniforme sur la surface de la lune ; atmosphère lunaire
homogène ; on donne le flux solaire sur une section droite de la
lune : Fs = 1, 1 kW/mΣ.
Calculer la pression sur la surface de la lune.
On rappelle s = 5, 67.10−8 W.m−2 .K−1 .
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Planche 16
La barre de longueur L est mobile
autour de O, elle est lâchée à t0 de
θ0 sans vitesse initiale. On se place
dans l’approximation des petits angles.
Présenter et justifier les approximations utilisées.
Déterminer l’équation différentielle
du mouvement.
→
g
→
O
R
B=B0 e→x
θ
L
solution conductrice
Quel est le mouvement de la barre ? (On pourra distinguer les cas
suivant les valeurs de la résistance R)
Faire un bilan d’énergie, interpréter.
Même exercice en remplaçant la résistance par une inductance puis
par un condensateur.
Planche 17
I) Physique : un cylindre de moment d’inertie
R2
J = m
est lâché sans vitesse ni vitesse de
2
rotation initiale sur un tapis roulant remontant
à une vitesse v0 . Le coefficient de frottement
vaut f .
Trouver l’expression de u, vitesse de glissement.
θ
Décrire le mouvement. De quel angle le cylindre aura-t-il tourné
avant que le glissement ne s’interrompe ? (On pourra distinguer
plusieurs cas)
Comment modifier les résultats précédents si le cylindre est muni
de dents s’adaptant à celles du tapis ?
Quand il n’y a pas/plus de glissement, comment déterminer la
force de réaction du tapis ? Comment savoir si le cylindre monte
ou descend ?
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II) Chimie : on considère les espèces Br− , Br2 (l), Br2 (aq), HBrO3 ,
BrO3
Des formulaires sont distribués à chaque candidat pour rappeler
RT
= 0, 06 log(x), etc)
certains points (loi de Beer Lambert,
F. ln(x)
On donne les valeurs de F , E 0 (Br2 (l)/Br− ), E0 (HBrO3 /Br2 (aq)),
pKa = 0, 7, µ0 (Br2 (l)), µ0 (Br2 (aq)),
par convention : 1 mole pour chaque composé du brome.
1. Donner le degré d’oxydation de chaque espèce.
2. Donner la structure de Lewis de HBrO3 ainsi que sa configuration
géométrique.
3. Montrer que E 0 (Br2 (aq)/Br− ) = 1, 087 pas sûr ?
4. Dessiner le diagramme potentiel pH.
5. Montrer qu’il y a une dismutation, donner l’équation bilan de la
réaction, la constante d’équilibre, le nouveau diagramme.
6. Le dichromate peut-il oxyder Br− ? (le E 0 du dichromate et de
son espèce associée est donné)
7. Donner l’allure du dosage de Br− − par le dichromate.
Cours : équilibre binaire liquide vapeur d’un mélange idéal, diagramme isotherme, isobare. Que se passe-t-il au niveau du bouilleur ?
Qu’est-ce qu’un réfrigérant ?
Planche 18
Une sphère de rayon R, centrée en O, est chargée uniformément,
de charge totale −Q (avec Q > 0). Elle est située dans une zone de
l’espace soumise à un champ électrique uniforme.
Déterminer le champ électrique total en tout point de l’axe Ox.
Tracer E(x).
Une particule de charge q est placée sur l’axe Ox. Montrer qu’il
existe deux positions d’équilibre pour cette particule si le champ
E0 satisfait à une condition que l’on explicitera (en fonction d’un
champ E0m ). Déterminer la stabilité de ces équilibres.
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On note A la position d’équilibre stable. La particule étant en A,
on l’écarte d’une distance a puis on la lâche sans vitesse initiale.
Déterminer la valeur maximale am de a pour obtenir des oscillations
sinusoı̈dales. Quelle est la pulsation de ces oscillations ?
Soit un atome d’hydrogène de rayon R. Déterminer E0m et am pour
E0m
ainsi que la fréquence f des oscillations.
E0 =
2
Exprimer l’énergie électromagnétique lors de la décharge dans une
résistance R. Commenter, notamment dans le cadre de l’ARQS.
II) Cours : loi de Carnot ; détente de Joule-Gay Lussac ; démonstration
de l’équation de la chaleur.
III) Question qui n’a rien à voir : pourquoi est-ce qu’une craie
crisse, et pourquoi est-ce que c’est désagréable ?
Planche 19
(ordinateur à disposition)
Un cerceau circulaire de masse M , de rayon R et de centre C,
roule sur un sol horizontal. Le coefficient de frottement est 0, 5.
L’angle dont un rayon tourne est noté y, compté positif dans le
sens trigonométrique. Le déplacement horizontal est noté x.
Établir les équations vérifiées par x et y.
Déterminer les conditions initiales pour que le cerceau fasse demi
tour après avoir roulé pendant 5 m, et revienne à son point de départ
avec une vitesse de 3 m.s−1 .
Faire un bilan énergétique complet.
Reprendre les deux premières questions lorsque le cerceau roule sur
un plan incliné d’un angle α.
Planche 20
I) Un condensateur est formé de 2 plaques circulaires de rayon
= B(r, t)eθ en
= E0 (t)ez et B
a, distantes de e. On donne E
coordonnées cylindriques.
Donner la valeur de E uniforme entre les armatures du condensateur. Interpréter la forme des champs E et B.
Rappeler les équations de Maxwell. Donner la forme intégrale de
Maxwell-Ampère. En déduire B(r, t).
Exprimer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance rayonnée
au travers de la surface latérale.
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