x x ≠ ,

Chapitre VI :
Fonctions affines
Extrait du programme :
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère (O; I ; J ).
I Définitions et rappels
Définition 1 la fonction f définie sur R est une fonction affine si et seulement si il existe 2 réels a et b tels que
pour tout réel x, f (x) = ax + b.
Point-méthode 18 : Savoir reconnaitre une fonction affine
Rechercher si les fonctions f , g , h et k sont affines pour l’ensemble des réels pour lesquelles elles sont
définies :
5x − 3
5
2x
f (x) =
g (x) = −8x 2 + 5
h(x) = + 2
k(x) = p
2
x
3
Solution : Pour déterminer si une fonction est affinie, il faut pouvoir écrire f sous la forme f (x) = ax + b
et identifier les valeurs de a et b.
f (x) =
3
5x − 3 5
= x−
2
2
2
g (x) = −8x 2 + 5
affine avec a =
5
3
et b = −
2
2
n’est pas affine car il y a un x 2
5
+ 2 n’est pas affine car on ne peut pas retirer le x du dénominateur
x
2x
2
2
k(x) = p = p × x affine avec a = p et b = 0 (on dira même que la fonction k est linéaire).
3
3
3
h(x) =
Propriété :
Une fonction affine f : x 7−→ ax + b est représentée graphiquement par une droite qui n’est pas parallèle à
l’axe des ordonnées.
Cas particuliers :
y
• Les fonctions linéaires : x 7−→ ax sont des fonctions affines
(avec b = 0). Elles traduisent des situations de proportionnalité et sont représentées par des droites passant par l’origine du repère.
• Les fonctions constantes : x 7−→ b sont des fonctions affines
(avec a = 0). Elles sont représentées par des droites parallèles à l’axe des abscisses.
Exemple : Ci-contre les représentations des fonctions f et g défi1
nies par : f (x) = x − 3, g (x) = − x et k(x) = 4
4
Ce sont 3 fonctions affines :
1
Cf
5
Ck
1
1
x
10
5
Cg
• Pour f , a = 1 et b = −3
Pour tracer C f 2 points suffisent. Par exemple :
x
f (x)
0
−3
4
1
1
• Pour g , a = − et b = 0
4
Pour tracer Cg , 1 point suffit en plus de l’origine du repère. Par exemple :
x
g (x)
4
−1
• Pour k, a = 0 et b = 4
Pour tracer Ck , il suffit de prendre tous les points d’ordonnées 4.
Propriété (caractérisation d’une fonction affine) :
Soit f (x) = ax + b une fonction affine, définie sur R. Alors quelques soient les réels distincts x 1 et x 2 , on a :
f (x 2 ) − f (x 1 )
=a
x2 − x1
f (x 2 ) − f (x 1 )
Réciproquement, si pour une fonction f définie sur R on a :
= a quelques soient les réels x 1 et
x2 − x1
x 2 , alors cette fonction est une fonction affine de coefficient directeur a.
Démonstration :
• Implication : Si f (x) = ax + b alors
• Réciproque : On sait que
x 1 = 0 et x 2 = x.
f (x 2 ) − f (x 1 ) (ax 2 + b) − (ax 1 + b) a(x 2 − x 1 )
=
=
=a
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
f (x 2 ) − f (x 1 )
= a quelques soient les réels x 1 et x 2 donc en particulier pour
x2 − x1
f (x) − f (0)
= a donc f (x) = ax + f (0).
x −0
Alors f (x) = ax + b où b = f (0) est bien l’ordonnée à l’origine. Et donc f est bien une fonction affine.
On obtient alors
CQFD
Point-méthode 19 : Représenter graphiquement une fonction affine
2
Tracer la droite (d ) représentant la fonction affine définie sur R par : f (x) = x − 1.
3
Solution :
Méthode 1 : par le calcul de 2 images
Il suffit de choisir 2 valeurs de x et de calculer leur image. Il faut faire en sorte que les coordonnées soient
entières.
Si x = 0, f (0) = −1 donc la droite passe par (0; −1)
2
Si x = 3, f (3) = × 3 − 1 = 2 − 1 = 1 donc la droite passe par (3; 1)
3
y
Méthode 2 : graphiquement
2
On place l’ordonnée à l’origine b = −1 donc la droite passe par
3
1(0; −1)
On se déplace en partant du point précédent en utilisant le cox
|
| 2
|
|
|
|
∆y
2
−2 −1
1
2
3
4
efficient directeur a =
= donc depuis le point (0; −1) on
∆x 3
−1 se déplace de 2 vers le haut et de 3 vers la droite.
•
•
2
Point-méthode 20 : Déterminer graphiquement l’expression d’une fonction affine
On a représenté ci-contre la fonction affine f (x) = ax + b.
Les points A(−1; 3) et B (2; 5) sont sur la droite représentant f .
Déterminer les réels a et b.
y
6B
5-
Solution :
On commence par déterminer b en lisant l’ordonnée à l’origine, qui
est l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. ici b = 1.
•
43-
On prend 2 points de la droite à coordonnées entières. On regarde
le déplacement vertical puis le déplacement horizontal qui les
séparent en allant de gauche à droite.
2-
2
∆y
= = 2 Car de A à B , on monte de 2 carreaux, et on se dé∆x 1
place de 1 carreau vers la droite. Donc f (x) = 2x + 1.
| 0−1
A
•
1-
a=
|
1
|
2
x
Point-méthode 21 : Déterminer algébriquementl’expression d’une fonction affine
Déterminer la fonction affine telle que f (−3) = 9 et f (2) = −1.
Solution : On commence par déterminer les coordonnées de 2 points par lesquels la droite représentant
la fonction va passer :
Comme f (−3) = 9, alors elle passera par le point (−3; 9).
Comme f (2) = 1, alors elle passera par le point (2; −1)
Puis on détermine le coefficient directeur en utilisant la formule : a =
f (x 2 ) − f (x 1 ) −1 − 9
∆y
=
= −2
=
∆x
x2 − x1
2+3
On peut alors écrire f partiellement : donc f (x) = −2x + b
Puis on détermine b en utilisant une des 2 images données dans l’énoncé.
f (−3) = 9 et f (x) = −2x + b donc f (−3) = 6 + b = 9
par conséquent, b = 3
Ainsi, f (x) = −2x + 3
On peut vérifier que la 2e image donnée est bonne : f (2) = −4 + 3 = 1
II Sens de variation
Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b avec a 6= 0
Propriété :
• Si a > 0 : la fonction f est strictement croissante sur R
• Si a < 0 : la fonction f est strictement décroissante sur R
3
Exemple : f : x 7−→ 3x + 5 est strictement croissante sur R car a = 3 est positif.
g : t 7−→ −2t + 3 est strictement décroissante sur R car a = −2 est négatif.
III Signe d’une fonction affine
On peut résoudre graphiquement ou algébriquement une inéquation de type ax + b Ê 0, mais il faudra toujours distinguer 2 cas en fonction du signe du coefficient directeur de la fonction affine considérée :
• Cas où a > 0 :
ax + b
ax
Ê0
·
·
⇐⇒
Ê −b Donc S = − b ; +∞
b
a
⇐⇒
x Ê−
a
On peut résumer ceci dans un tableau de signe :
b
−∞
x
+∞
−
a
−
f (x)
0
+
|
|
y
1|
0
- 1
-
f (x) = ax + b
−
|
|
|
b
a
•
|
|
|
|
|
|
|
|
x
|
|
|
|
x
• Cas où a < 0 :
ax + b
ax
Ê0
Ê −b
b
⇐⇒
x É−
·
·a
b
Donc S = −∞; −
a
⇐⇒
Attention, on change de sens !
On peut résumer ceci dans un tableau de signe :
b
−∞
x
+∞
−
a
|
f (x)
+
0
−
4
|
y
f (x) = ax + b
1|
|
|
|
|
|
0
1
-
−
•
|
b
a
|