TPE – Mathématiques et Musique Vers une beauté objective

BINET Armand
DIA Milèna
Tale S
GOTCHAC Nicolas
SOUTY Tom
TPE – Mathématiques
et Musique
Vers une beauté objective ?
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Plan du TPE
Introduction.......................................................4
I – Première approche mathématique de la musique :. . .4
À) La construction des gammes et des échelles..........................4
1) Les différentes échelles :...................................................4
L'échelle de Pythagore....................................................... 4
L'échelle harmonique........................................................6
L'échelle Zarlinienne......................................................... 6
L'échelle bien tempérée.....................................................7
2) Quelques gammes :.......................................................... 8
B) Les modes :.................................................................9
Les modes : qu’est-ce que c’est ?.........................................9
Quelles différences avec les gammes ?.................................10
Les modes les plus utilisés et leurs caractéristiques.................10
C) Les Harmonies.............................................................10
D) La construction des accords............................................11
E) Le rythme, une décomposition mathématique de la musique.....12
1) Temps binaire :.............................................................12
2) Temps ternaire :............................................................ 12
3) Codification :................................................................12
4) Utilisation dans la musique :............................................14
F) Les différents styles musicaux, et leur système :...................14
1) Le Jazz :...................................................................... 14
2) Le blues : ....................................................................14
3) La musique orientale : ...................................................14
II – Analyse d'oeuvres musicales :...........................15
A) Musique classique : Stravinsky : Le sacre du Printemps............ 15
1) Présentation de l'oeuvre :................................................15
2) Analyse musicale :..........................................................17
1ère mesure :................................................................18
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2ème mesure :...............................................................18
3ème mesure :...............................................................18
4ème mesure :...............................................................18
B) Jazz : Herbie Hancock : Cantaloupe Island...........................19
1) Présentation de l'oeuvre :................................................19
2) Analyse musicale :..........................................................19
III – Vers une beauté objective :.............................19
A) Le beau.....................................................................19
B) Une beauté objective.................................................... 20
C) La limite entre la musique et le bruit................................. 20
D) Vers une musique mathématisée....................................... 20
IV – Bilan : mise à l'épreuve des critères de beauté –
composition...................................................... 20
Conclusion........................................................20
Bibliographie.....................................................21
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Introduction
Étymologiquement, l'esthétique (du grec αίσθησιs) désigne le sentiment et la perception. À
l'opposé, les mathématiques (du grec μάθημα) sont synonymes de sciences, de savoir, ce sont une
discipline rationnelle et rigoureuse. Une opposition s'instaure au premier abord entre esthétique et
mathématiques. Cependant, dans l'Art, un lien est souvent fait inconsciemment, et même naturellement
avec les mathématiques. Un peintre utilise des figures géométriques, des symétries, des axes tels que les
lignes de fuite. Le poète compose des vers en définissant bien souvent une longueur de pied. De même, le
musicien-compositeur utilise les propriétés des gammes et des harmonies dans sa musique. Elle est
organisée, construite. Même les improvisations, qui naissent parfois d'une créativité soudaine, peuvent
être analysées d'un point de vue mathématique. En outre, certains musiciens étaient mathématiciens
(Bach) et réciproquement (A. Einstein). Or, la beauté d'une œuvre musicale est propre à chacun, donc
subjective. Mais cette beauté, cette harmonie des notes, est née de règles musicales. On parle d'ailleurs
jusqu'au XIIXème siècle du « Beau universel et absolu ». Un lien fort entre esthétique et mathématiques
existerait-il alors dans le domaine de la musique? Cela justifierait-il une objectivité de la beauté en
musique ? La diversité des goûts musicaux suggérerait-elle nécessairement un caractère subjectif de la
beauté en musique? La beauté de la musique peut-elle être alors objective ?
Est-il possible de dégager des critères de beauté objectifs d'une œuvre musicale, notamment
grâce aux mathématiques ?
I – Première approche mathématique de la musique :
A) La construction des gammes et des échelles
1) Les différentes échelles :
La musique occidentale actuelle est fondée sur une échelle de notes que l’on nomme do, ré, mi,
fa, sol, la, si, et sur deux signes : ♯ (dièse) et ♭ (bémol). À partir de do, par exemple, les notes
successives sont : do, do dièse ou ré bémol, mi, fa, fa dièse ou sol bémol, sol, sol dièse ou la bémol, la, la
dièse ou si bémol, si. Puis on recommence avec un nouveau do, mais une octave au-dessus du premier.
Sur un piano, les notes blanches sont : do, ré, mi, fa, sol, la, si, do ; les notes noires
correspondent aux dièses et aux bémols. Cependant, certaines notes, comme do dièse et ré bémol
semblent avoir deux noms. C'est parce que le système actuel est le résultat d’une longue évolution ; c’est
un compromis qui s’est finalement établi après une histoire qui a commencé avec les pythagoriciens, en
Grèce antique.
L'échelle de Pythagore
Pythagore utilisa pour construire son échelle 3 rapports simples : 2/1 ; 2/3 ; 3/4. Le premier est
appelé l'octave, le second la quinte et la troisième la quarte. Ainsi, si nous construisons un monocorde
simple, si la note de base est de longueur 1, l'octave sera celle de longueur 2/1, sa quinte sera la corde de
longueur 2/3 et sa quarte celle de longueur ¾ :
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De même, la note jouée par la corde de longueur ½ est aussi l'octave, car l'octave est obtenue si
on divise ou multiplie la longueur par 2.
On sait maintenant que, pour une tension égale pour chaque corde, le son obtenu par une corde
de longueur 2/3 correspond à la fréquence de la note initiale multipliée par 3/2, soit l'inverse. Si nous
partons alors d'un DO de rapport 1, nous pouvons construire une première échelle :
Note
DO 3
Rapport
SOL 3
1
RE 4
2
3/2
(3/2) = 9/4
LA 4
MI 5
SI 5
27/8
81/16
243/32
Si nous considérons la gamme majeure, nous remarquons qu'il nous manque le FA. Deux méthodes,
en fait similaires, s'offrent à nous :
• Nous pouvons dire que le DO 3 est la quinte du FA 2, donc nous divisons 1 par 3/2 : d'où FA 2 a pour
rapport 2/3
• Nous pouvons aussi considérer la FA 3 comme la quarte du DO 3, donc nous multiplions par 4/3,
d'où FA 3 vaut 4/3 (ce qui équivaut au FA 2, mais multipliée par 2, donc son octave)
Ainsi, en multipliant ou divisant par 2 les différents rapports, nous pouvons ramener tous les
rapports entre 1 et 2, et ainsi construire la gamme majeure pythagoricienne, avec pour repère la LA 3 qui
vaut 440 Hz :
Note
DO 3
RE 3
MI 3
FA 3
SOL 3
LA 3
SI 3
DO 4
Rapport
1
Fréquence 260,74
(en Hz)
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
293,33
330
347,65
391,11
440
495
521,48
Nous pouvons voir ici que la gamme majeure, et donc par ailleurs l'échelle décrite par Pythagore,
est construite par succession de quintes pures : on prend une note fondamentale, puis sa quinte, puis la
quinte de la quinte, etc... Le but de créer une telle échelle est, tout d'abord, que les notes jouées vont
consoner, et d'avoir plusieurs notes qui, au bout de x notes, vont former une boucle : en prenant la quinte
de la xième quinte, on retombe sur la fondamentale. Mais il se pose alors un problème mathématique dans
cette échelle. En effet, lorsque nous cherchons des successions de quintes afin de pouvoir « boucler » les
notes et construire une échelle juste, nous avons seulement des produits de facteur 2/3. Or nous
cherchons à ce que ce produit de facteur soit le plus proche de 1, soit :
2n
 1 avec n , p ∈ ℕ
3p
Or 2 et 3 étant chacun des nombres premiers, et la décomposition en nombre de facteurs premiers
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étant unique, on ne tombera jamais exactement sur 1, ni sur 2. Cette échelle a ainsi été utilisée jusqu'au
XVIe siècle, car durant le moyen-âge les quintes étaient fortement utilisées, mais fût délaissé lors de la
Renaissance.
L'échelle harmonique
Avec les progrès de la science, nous nous sommes rendu compte que lorsque l'on jouait une note
de musique de fréquence f, le son obtenu n'était jamais pur, c'est-à-dire que son oscillation n'était jamais
parfaite. En effet, plusieurs autres notes viennent d'ajouter à cette note principale, de fréquences 2f, 3f,
4f, 5f, etc... Ce sont les sons harmoniques de cette note.
Nous pouvons dresser le tableau des harmoniques naturelles de DO, en prenant comme base une
fréquence de 66 Hz :
Rapport des
fréquences
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Fréquences
66
132
198
264
330
396
462
528
594
660
726
792
858
924
990
105
6
Notes
DO
DO
SOL DO
MI
SOL
DO
RE
MI
•
•
SOL
DO
Nous pouvons mettre le nom des notes, car nous retrouvons plusieurs choses :
La quinte du DO qui est aussi bien de rapport 3/2, que du double : 3, 6, 12, …
La quinte du SOL, le RE, qui est aussi bien de rapport 9/8 que 9/4 ; 9/2 ; 9 ; 18 ; …
Cependant, nous notons l'apparition d'une nouvelle note : le MI, qui est la tierce majeure du DO,
note exploitée par Zarlino.
L'échelle Zarlinienne
Grâce à cette échelle harmonique, nous avons pu définir les notes pures, comme les quintes
pures, mais aussi d'autres notes naturelles, comme la tierce majeure. Zarlino découvrit que la tierce
majeure était présente naturellement dans la musique et avait une fréquence de rapport 5/4. Ce qui
posait problème par rapport à l'échelle de Pythagore, c'est qu'il n'y avait aucune tierce majeure juste : le
rapport qui s'en approchait le plus était de 81/64, or 5/4 = 80/64. Il y a donc un rapport de 1/64 de
différence, ce qui n'est pas appréciable. En effet, cette tierce majeure est très importante depuis la
Renaissance, car c'est grâce à elle qu'est construit l'accord parfait, comprenant les premières notes qui
apparaissent dans les harmoniques naturelles : pour le DO, c'est DO MI SOL.
Remarque : nous remarquons aussi l'accord parfait mineur : MI SOL SI
Nous pouvons alors construire la gamme majeure selon Zarlino, tout en conservant quelques notes
de Pythagore :
Note
DO 3
RE 3
MI 3
FA 3
SOL 3
LA 3
SI 3
DO 4
Rapport
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2
297
330
352
396
440
495
528
Fréquence 264
(en Hz)
Nous avons ici obtenu la LA 3 en prenant la quarte du MI 3 : 5/4 * 4/3 = 5/3 ; et le SI 3 en prenant
sa quinte.
Le problème qui se pose alors est un problème d'intervalles. En effet, nous pouvons voir qu'il en
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existe ici de trois sortes :
•
9/8 entre le DO et le RE, entre le FA et le SOL et entre le LA et le SI : le ton majeur zarlinien
•
10/9 entre le RE et le MI, entre le SOL et le LA : le ton mineur zarlinien
•
16/15 entre le MI et le FA et entre le SI et le DO : le demi-ton majeur zarlinien
Nous remarquons qu'il y a deux tons différents. Sans même essayer de bâtir une gamme
chromatique (à 12 notes, qui comprend les dièses et/ou les bémols) qui serait obligée d’amalgamer
certaines notes très proches pour n’en garder que 12, il est clair que la présence de ces différents types
d’écarts rendra le problème de la transposition, déjà impossible chez Pythagore, tout aussi irréalisable : si
par exemple nous jouons, dans l'ordre, les notes DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI, DO, cela ne sonnera pas du
tout pareil que si nous jouons RE, MI, FA, SOL, LA, SI, DO, RE, car les intervalles entre les notes ne sont
plus dans le même ordre.
L'échelle bien tempérée
Afin de remédier à ce problème de la transposition, il faudrait trouver une échelle, et ainsi une
gamme, où chaque intervalle serait égale sur les douze notes utilisées, ou qu'il n'y ait que deux intervalles
différents sur la gamme majeure. Par exemple, entre le DO et le DO# et entre le MI et la FA, il y ait un
demi-ton qui soit égal, de même qu'entre le DO et le RE et entre le RE et le MI, il y ait un même
intervalle, un ton, qui serait égal à deux demi-tons.
Bach est aujourd'hui considéré comme l'inventeur d'une échelle mathématique permettant cela, ce
qui est notamment décrit dans son oeuvre : Le clavier bien tempéré. On nous y explique que chaque
demi-ton doit être égal à 21/12. Il en découle le tableau suivant :
Note
Rapport
DO 3
1
Fréquence 261,625
(en Hz)
RE 3
2
1/12
293,67
MI 3
FA 3
1/12
1/12
SOL 3
1/12
2
2
2
329,63
349,22
391,99
LA 3
SI 3
1/12
1/12
DO 4
2
2
21/12
440
493,88
523,25
Cette échelle a pour avantage de permettre une transposition excellente, mais cependant nous
remarquons qu'il n'y a aucune quinte juste, ni tierce majeur, ni quarte, ce qui pose certains problèmes aux
puristes, et suscita de nombreux débats lors de son acceptation.
À partir du 16e siècle, on a tenté de construire des instruments à clavier qui avaient un nombre
plus important de touches, avec par exemple un DO# et un RÉb. Mais cela complique beaucoup le jeu de
l'interprète, et cela n'a pas perduré. Toutefois, à cause du besoin actuel de retrouver une intonation juste,
cette recherche est à nouveau bien vivante, avec une technologie et une approche différentes. Le
guitariste D. Aschour joue sur une guitare dont le manche possède des frettes interchangeables en
intonation juste :
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Nous avons vu que les échelles, ce qui constitue véritablement la musique, étaient construites à
partir des mathématiques, que ce soit sous forme de fractions ou de nombre réels. Nous allons maintenant
nous intéresser à quelques gammes.
2) Quelques gammes :
Afin de définir les gammes, nous allons les présenter sous forme de succession d'intervalles dans
un ordre bien précis. Par exemple, pour la gamme de DO majeur, les notes étant DO RE MI FA SOL LA SI DO,
les intervalles entre les notes sont de : 1 ton (entre DO et RE), 1 ton (entre RE et MI), ½ ton (entre MI et
FA), etc...
Gamme majeure :
1 ton - 1 ton - 1/2 ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1/2 ton
Exemple : gamme de DO majeur : Do - ré - mi - fa - sol - la - si – do
Gamme mineure harmonique :
1 ton - 1/2 ton - 1 ton - 1 ton - 1/2 ton - 1 ton et demi - 1/2 ton
Exemple : gamme mineure harmonique en La : La - si - do - ré - mi - fa - sol♯ - la
Gamme mineure mélodique :
1 ton - 1/2 ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1/2 ton
Exemple : gamme mineure mélodique en La : La - si - do - ré - mi - fa♯ - sol♯ - la
Gamme pentatonique majeure :
1 ton - 1 ton - 1 ton et demi - 1 ton - 1 ton et demi
Exemple : gamme pentatonique majeure en Do : do - ré - mi - sol – la - do
Gamme pentatonique mineure :
1 ton et demi - 1 ton - 1 ton - 1 ton et demi - 1 ton
Exemple : gamme pentatonique mineure en Do : do - mi♭- fa - sol - si♭ - do
Il existe bien entendu bien d'autres gammes, mais nous ne les détaillerons pas ici.
B) Les modes :
Qu’est-ce que c’est ?
Quelles différences avec les gammes ?
Quels sont les modes les plus utilisés et leurs caractéristiques ?
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En reprenant les notions sur la gamme, on peut distinguer que les gammes sont composées de 12
notes dans notre schéma actuel. Celles-ci peuvent être modulées en changeant la hauteur de la première
note et en gardant le schéma de la gamme classique (un ton, un ton, un demi ton…), mais il existe une
autre alternative aux différentes gammes pour faire varier la couleur musicale d’un morceau : les modes.
Les modes : qu’est-ce que c’est ?
Un mode est en fait un découpage en ton et demi ton d’une
gamme. Celle-ci ne comporte que 7 notes parmi les douze possibles et
le choix de ses notes caractérise un mode précis.
Le mode majeur, le plus courant, est découpé en 7 intervalles
de cette manière :
Un ton, un ton, un demi ton, un ton, un ton, un ton, un demi ton.
Le schéma ci-contre peut-être une représentation possible de
ce mode. De la même façon qu’une échelle, le départ est en bas et
chaque barreau représente une note. L’espace entre les barreaux est
représentatif d’un intervalle, soit d’un demi ton, soit d’un ton.
En musique, les barreaux sont appelés des degrés. Ils sont
utilisés pour désigner le nom des notes dans un mode précis sans
prendre en compte la gamme utilisée. Ainsi en changeant de gamme,
mais en gardant le même mode, on évite de changer le nom de toute
les notes en gardant juste 1er degrés, 2ème degrés…
Il existe de multiple façon de faire varier l’ordre et la taille des intervalles permettant ainsi une
grande diversité dans les sonorités. Ces intervalles peuvent être d’un demi ton, d’un ton ou d’un ton et
demi.
Cependant pour un meilleur résultat musical on préfère utiliser l’intervalle avec la tonique (la
première note de la gamme) qui sert de note de référence plutôt que l'intervalle entre chaque notes.
Par exemple pour la gamme de Do en mode majeur on considèrera les écarts avec le do, c’est
ainsi que l’on retrouve la seconde, la tierce, la quinte, la sixte et la septième.
Exemple du mode majeur dans la gamme de Do :
Do
Ré
♪
Mi
♪
1 ton
|
Fa
♪
1 ton
|
Sol
♪
½ ton
|
La
♪
1 ton
Tonique
Seconde
Tierce
Quinte
1er degrés
2ème degrés
3ème degrés
4ème degrés
|
♪
1 ton
Dominante
5ème degrés
Si
Do
♪
|
Sixte
6ème degrés
1 ton
♪
|
Septième
½ ton
|
Octave
7ème degrés
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Quelles différences avec les gammes ?
Ces deux notions bien que fortement liées exercent des rôles différents. La gamme détermine la
hauteur de la note et alors que le mode lui détermine les intervalles entre les notes utilisées. Ainsi, le
mode correspond d’une certaine manière à la mélodie qui reste fixe et la gamme serait la justesse de
cette mélodie jouée à la bonne hauteur.
Concrètement un mode est défini par un enchaînement d’intervalles, il est donc toujours égal
pour n’importe quelle note de départ. Une mélodie jouée avec le mode majeur en Do sera reconnaissable
en Mi si elle reste jouée avec le mode majeur. Le changement de Do à Mi représente le changement de
gamme, en choisissant une nouvelle gamme on transpose tout le mode majeur dans la gamme choisie.
La combinaison des modes et des gammes permet de nombreuses possibilités harmoniques et reste
la base de la composition et de l’improvisation.
Les modes les plus utilisés et leurs caractéristiques
Les modes naturels :
Mode
Nom courant
Séquence d'intervalles en tons
I. de do
Mode ionien
1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1/2
II. de ré
Mode dorien
1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1/2 - 1
III. de mi
Mode phrygien
1/2 - 1 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1
IV. de fa
Mode lydien
1 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1/2
V. de sol
Mode
mixolydien
1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1/2 - 1
VI. de la
Mode éolien
1 - 1/2 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1
VII. de si
Mode locrien
1/2 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1
Commentaire
C'est le mode majeur
classique.
Il s'agit de la gamme mineure
naturelle (sans altération).
Les modes altérées :
Mode
Séquence d'intervalles en
tons
Nom courant, commentaire
I. mode mineur
mélodique
1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1/2
II. mode de ré à
seconde mineure
mode dorien ♭9 (peut être vu comme la
1/2 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1/2 - 1 rencontre du premier tétracorde du mode de
mi avec le second tétracorde du mode de ré)
III. mode de fa à
quinte
identique à une gamme mineure mélodique
ascendante
1 - 1 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1/2 mode lydien augmenté
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augmentée
IV. mode
acoustique,
ou mode de
Bartók
mode lydien dominant ou Lydien ♭7
(correspond à un mode exotique employé
1 - 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1/2 - 1
dans la musique occidentale : le mode
hindou Vaschaspati)
V. mode majeurmixte,
ou mode de sol à
sixte altérée
mixolydien ♭13 (peut être vu comme la
rencontre d'un tétracorde d'une gamme
1 - 1 - 1/2 - 1 - 1/2 - 1 - 1
majeure et le second tétracorde d'un mode
de la, dit « éolien »)
VI. mode de si à
seconde
majeure,
ou mode de la à
quinte diminuée
1 - 1/2 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 locrien ♯9, ou éolien ♭5
VII. mode de si à
quarte diminuée
1/2 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1 super locrien
C) Les Harmonies
L’harmonie est une des quatre composantes principales de la musique avec le timbre, la mélodie
et le rythme.
Les harmonies se résument pour certains à une appréciation auditive des notes qui « sonnent »
ensemble ou qui « s’enchaînent » bien. Cependant dans notre musique occidentale, mais également dans
toutes les cultures des règles ont été établies pour généraliser ce que l’oreille peut percevoir et juger. Ces
règles établies mathématiquement (voir construction de la gamme) sont aujourd’hui essentielles pour
l’improvisation, la composition ou la musique à plusieurs.
Les exemples de prodiges de la musique qui ne connaissaient ni le solfège ni les harmonies ont
réussi eux même à créer leurs propres règles.
La base de l’harmonie est constituée des gammes et des modes vus dans les parties précédentes.
Citation de Wikipédia :
« L'harmonie n'est pas seulement une théorie statique visant à classifier les accords selon certaines
règles, que celles-ci soient naturelles — c'est-à-dire, fondées sur des harmoniques communs — ou bien
artificielles — c'est-à-dire, fondées sur l'éducation de l'oreille et le goût d'une époque. L'harmonie, c'est
aussi l'étude des enchaînements d'accords, qui, en utilisant notes de passage, retards, dissonances
passagères, permet de structurer une œuvre de musique tonale. »
Nous pouvons cependant expliquer physiquement pourquoi certaines notes s’assemblent plus
facilement pour créer des harmonies (cf. la partie sur les gammes).
D) La construction des accords
Tout d'abord, nous allons approfondir la notion d'intervalle. Trois aspects peuvent être envisagés
pour définir un intervalle : sa nature propre, c'est le rapport qui le lie à la fondamentale, sa qualité
sonore et son rang, c'est sa position dans la gamme, dans un accord ou dans une mélodie :
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Rang / Appellation
Nature / Constitution
Qualité sonore
Seconde mineure
½ ton
Forte dissonance
Seconde majeure
1ton
Légère dissonance
Tierce mineure
1 ton ½
Douce consonance
Tierce majeure
2 tons
Douce consonance
Quarte juste
2 tons ½
Consonance ou dissonance
Quarte augmentée
3 tons
Neutre ou instable
Quinte diminuée
3 tons
Neutre ou instable
Quinte juste
3 tons ½
Consonance ouverte
Quinte augmentée
4 tons
Douce consonance
Sixte mineure
4 tons
Douce consonance
Sixte majeure
4 tons ½
Douce consonance
Septième mineure
5 tons
Légère dissonance
Septième majeure
5 tons ½
Forte dissonance
Octave
6 tons
Consonance ouverte
Neuvième mineure
6 tons ½
Forte dissonance
Neuvième majeure
7 tons
Légère dissonance
Nous pouvons remarquer que certains intervalles vont être plus ou moins dissonants avec la
fondamentale, et c'est ainsi que vont être créés les accords, en jouant sur les consonances ou les
dissonances. Nous allons maintenant détailler quelques accords en les définissant par rapport aux notes
qu'il contient et à leur rang. On prendra comme exemple sonore et pour la notation des accords ayant
pour fondamental DO :
Nom
Notation
Constitution
Majeure
CM
Fondamentale – Tierce majeure – Quinte juste
Mineure
C m ou C-
Fondamentale – Tierce mineure – Quinte juste
Septième
C7
Fondamentale – Tierce majeure – Quinte juste –
Septième mineure
Septième
Majeur
C 7M
Fondamentale – Tierce majeure – Quinte juste –
Septième majeure
C m 7 ou C- 7
Fondamentale – Tierce mineure – Quinte juste –
Septième mineure
Mineure
Sept
Mineure
Septième
Majeure
Exemple
sonore
C m 7M ou C- 7M Fondamentale – Tierce mineure – Quinte juste –
Septième majeure
Nous pouvons continuer ainsi et dérouler une très longue liste d'accord possible, mais, vous l'aurez
compris, la construction d'un accord en connaissant tous les intervalles n'est pas bien compliqué. On
parlera parfois de quinte augmentée, d'accord neuvième, etc..., et il suffira de ce reporter au tableau
précédent pour savoir comment le construire. Toutefois, nous détaillerons plus tard que certains accords
s'offrent plus à certains genres musicaux.
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E) Le rythme, une décomposition mathématique de la musique
Le rythme, tout comme le tempo, la mélodie et la nuance, est un des quatre éléments
caractéristiques d’une phrase musicale. Le rythme est en musique ce qui détermine la durée des notes les
unes par rapport aux autres. C’est la codification mathématique qui permet de retranscrire le rythme
d’une musique par division du temps.
Dans le solfège, la mesure désigne un type de structure rythmique organisée en une succession de
temps qui se répète de manière cyclique. Le premier temps, ou la première pulsation de chaque série est
toujours plus fort que les suivants. La mesure se définit donc comme une période contenant « un temps
fort suivit de X temps faibles ».
1) Temps binaire :
Un temps binaire est un temps divisible en deux parties égales. Un temps binaire est représenté
par une valeur simple (c’est à dire) comme une ronde, une blanche… La division d’un temps binaire
produit ces valeurs : la moitié, le quart, le huitième, le seizième…
Les différentes parties d’un même temps sont séparées par des accents moins marqués que l’on
pourrait qualifier de sous pulsations. Chaque temps binaire aura une sous pulsation en son milieu.
Les mesures contenant des temps binaires sont appelées des mesures simples.
2) Temps ternaire :
Un temps ternaire est un temps divisible en trois parties égales. Dans un temps ternaire, chaque
temps fort est suivi de deux sous pulsations. L’une au début du deuxième tiers de temps, l’autre, au début
du troisième.
Les mesures contenant des temps ternaires sont appelées des mesures composées.
3) Codification :
Le
Le
Le
Le
Le
En solfège, chaque unité de temps est représentée par un nombre :
nombre 1 désigne la ronde, celle-ci représente 4 temps
nombre 2 désigne la blanche (une demi-ronde), celle-ci représente 2 temps
nombre 4 désigne la noire (un quart de ronde), (1 temps)
nombre 6 désigne la croche (un huitième de ronde), (1/2 temps)
nombre 8 désigne la double croche (un seizième de ronde) (1/4 de temps)
Le chiffrage de la mesure, ou « signature rythmique », indique le type et la durée des temps dans
les mesures. Il est composé de deux nombres disposés l’un est dessous de l’autre sous forme de fraction.
13/30
Le numérateur représente le nombre de temps utilisés dans la mesure. Quant au dénominateur, il
indique l’unité de temps de la mesure.
2/4 désigne une mesure à deux noires
3/2 désigne une mesure à trois blanches
6/8 désigne une mesure à six croches.
Une mesure est qualifiée d’asymétrique si son numérateur n’est pas un multiple de 2 ou 3.
Remarque : Il existe également des mesures en 9/8 avec une décomposition du temps en 223, ce qui
diffère des mesures en 9/8 ternaires traditionnellement utilisées.
Chacune de ces mesures peut être simplifiée ou réduite à des groupes de 2 et 3 temps.
5/4 = 3 + 2
7/4 = 2 + 2 + 3
11/8 = 3 + 3 + 3 + 2
Dans le chiffrage « 3+2 sur 8 », le numérateur « 3+2 » indique une mesure à deux temps inégaux :
le premier temps est ternaire (unité de temps : la noire pointée), le second est binaire (unité de temps :
la noire).
14/30
4) Utilisation dans la musique :
Les mesures asymétriques sont fréquemment utilisées dans les musiques folkloriques d’Europe de
l’Est, et plus particulièrement dans les Balkans.
Ces mesures particulières sont également associées à certains styles de musique aux rythmiques
complexes, comme dans le jazz (Dave Brubeck), le rock progressif (Franck Zappa, King Crimson)...
Mission Impossible 5/4 – Lalo Schifrin
Take Five 5/4 – Dave Brubeck
Unsquare Dance 7/4 – Dave Brubeck
Money 7/4 – Pink Floyd
Love Is Stronger Than Justice 7/8 – Sting
Saint Augustine In Hell 7/8 – Sting
Conference Of The Birds 5/4 – Dave Holland
Living In The Past 5/4 – Jethro Tull
Blue Rondo A La Turk 9/8 – Dave Brubeck
Le rythme, qui assure la structure d’un morceau, est donc une application directe des
mathématiques en musique.
F) Les différents styles musicaux, et leur système :
Nous allons ici étudier plusieurs genres musicaux, les gammes, les modes fréquemment utilisés.
Nous allons nous baser sur l'étude du jazz, de la musique orientale et du blues.
1) Le Jazz :
Le jazz se différencie des autres genres musicaux par le recours à l'improvisation. Cependant, le
compositeur n'improvise pas au hasard total : Un morceau de jazz est souvent construit sur le même
schéma : Thème-Improvisation-Thème. Une mélodie est jouée sur certains accords, qui l'accompagnent.
Sur ces mêmes accords, on peut inventer d'autres lignes mélodiques : c'est l'improvisation. Le musicien,
lors de l'improvisation, utilise les accords préalablement définis dans le thème. Il utilise différentes
gammes selon les accords qui se succèdent dans le morceau. Il choisit ses notes au sein d'une gamme. Ces
notes peuvent être altérées, en utilisant par exemple les bémols : c'est ce qui fait la couleur, la spécificité
du jazz.
Ce genre musical est une musique au rythme ternaire. Les deux premières notes sont liées et
forment une note deux fois plus longue que la troisième, les temps faibles sont accentués : c'est le swing !
En jazz, les gammes les plus utilisées sont les gammes majeures, mineures harmoniques et
mineures mélodiques ascendantes, les gammes diminuées et les gammes pentatoniques. Les différentes
gammes se différencient par les intervalles entre les notes (tons). Les modes, utilisés en jazz sont
principalement issues de deux gammes : majeure (modes Dorien, Phrygien, Lydien, Mixoldyen) et mineure
mélodique (modes Lydien augmenté, Lydien dominant, Locrien #2, et Altéré).
2) Le blues :
Le blues se base sur le 3ème et le 7ème degré de la gamme tonale occidentale, mais de manière
altérée, ce qui fait la spécificité du blues. En effet, ces degrés étaient absents de la gamme
pentatonique, et furent transformés en les modifiant d' un demi ton, vers le mode mineur ou vers le
mode majeur. Les deux tonalités coexistent. Dans le blues, comme dans le jazz, l'improvisation a une
place très importante. Cependant, pour ne pas s'éloigner de la sonorité blues, les modes sont peu utilisés.
3) La musique orientale :
15/30
La musique orientale compte 96 modes, mais la notion de gamme n'a pas exactement le même
sens en Orient et en Occident. Dans la musique Orientale, on combine une note et un mode pour obtenir
une gamme. Par exemple, on peut avoir la gamme de do majeur, ou la gamme de ré majeur. Majeur est ici
un mode, et do ou ré sont des notes initiales pour les gammes. Un mode est une série d’intervalles, pas
toujours identiques.
La gamme Rast est la gamme la plus utilisée dans la musique Arabe, elle a le mode Rast et
commence toujours par la note Rast qui est à une position invariante. Cette gamme est composée de 7
intervalles de tons suivant : 1, ¾, ¾, 1, 1, ¾, ¾. Cette gamme possède plusieurs notes communes à celle
de la gamme de Do majeur : le do, le ré, le fa, le sol et le la.
On peut alors étudier les différences entre les demi-tons de la gamme Rast et de la gamme de Do
majeur. Les chiffres représentent la différence en demi-ton par rapport à la note initiale.
Occidentale
Orientale/ Rast
Do : O
Rast : O
Ré : 2
Doukah : 2
Mi : 4
Sikah : 3, 5
Fa : 5
Jiharkah: 5
Sol : 7
Nawa: 7
La : 9
Housaini : 9
Si : 11
Ouj: 10, 5
Do : 12
Kirdan : 12
En musique orientale, il n'y a pas d'accords : la musique est entièrement mélodique, peu
harmonique : Elle n'est pas polyphonique. Lorsque deux notes sont jouées ensemble, c'est le début d'une
harmonie simultanée, mais on ne peut pas parler d'accords, car, cela implique qu'il y ait au moins trois
notes.
Le rythme de la musique Arabe est issue du rythme de la poésie Arabe, qui lui même provient de
l'existence en Arabe de deux types de voyelles : les longues et les brèves qui sont deux fois plus courtes
que les longues. On peut donc poser la voyelle longue comme étant une noire. La voyelle courte est alors
une croche.
II – Analyse d'oeuvres musicales :
A) Musique classique : Stravinsky : Le sacre du Printemps
1) Présentation de l'oeuvre :
Le Sacre du Printemps est un ballet composé par Igor Stravinski (1882-1971) entre 1910 et 1913.
Avant d’être glorifiée, la première représentation à Paris provoqua un véritable scandale. En effet, au
début du XXème siècle, cette oeuvre marque une rupture avec la musique classique du XIXème. Dans le
Sacre du Printemps, Stravinski base toute la composition sur l’approfondissement du rythme (utilisation de
la polyrythmie) et de l’harmonie.
Stravinski s’écarte également de la musique classique « traditionnelle », en interrompant
abruptement certaines sections de l’oeuvre, au lieu de les clore par une cadence finale.
Stravinsky décrit ce ballet comme une série de « tableaux de l’ancienne Russie païenne en deux
parties ».
Premier tableau : L'adoration de la terre
1. Introduction (Lento - Più mosso - Tempo I)
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2. Augures printaniers — Danses des adolescentes (Tempo giusto)
3. Jeu du rapt (presto)
4. Rondes printanières (Tranquillo - Sostenuto e pesante - Vivo - Tempo I)
5. Jeu des cités rivales (Molto Allegro)
6. Cortège du Sage (Molto Allegro)
7. L'Adoration de la Terre (Le Sage) (Lento)
8. Danse de la terre (prestissimo)
Second tableau : Le sacrifice
1. Introduction (Largo)
2. Cercles mystérieux des adolescentes (Andante con moto - Più mosso - Tempo I)
3. Glorification de l'élue (Vivo)
4. Évocation des ancêtres (Lento)
5. Action rituelle des ancêtres (Lento) / Danse sacrale (Allegro Moderato, croche=126)
Ce ballet est écrit pour un orchestre symphonique exceptionnellement grand. La section de
percussion est la plus importante jamais mobilisée dans un ballet. Ce qui prouve le rôle majeur du rythme
dans cette oeuvre.
Instrumentation du Sacre du printemps
Cordes
premiers violons, seconds violons, altos,
violoncelles, contrebasses
Bois
1 piccolo, 3 flûtes, la troisième jouant le deuxième piccolo, 1 flûte alto,
4 hautbois, le quatrième jouant le deuxième cor anglais, 1 cor anglais,
1 petite clarinette en ré et en mi♭, 3 clarinettes si♭ et en la,
la deuxième jouant la deuxième clarinette basse, 1 clarinette basse si♭,
4 bassons, le quatrième jouant le deuxième contrebasson, 1 contrebasson,
Cuivres
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8 cors, le septième et le huitième jouant les tubas ténors si♭
1 petite trompette en ré,
4 trompettes en ut, la quatrième jouant la trompette basse en mi♭
3 trombones, 2 tubas basses
Percussions
5 timbales, jouées par deux musiciens,
grosse caisse, tam-tam, triangle,
tambour de basque, guiro,
cymbales antiques en la♭ et si♭
2) Analyse musicale :
Nous allons maintenant pouvoir passer à l'analyse d'une partie de l'oeuvre :
18/30
Malheureusement, nous n'avons pas trouvé une partition complète et de bonne qualité, nous allons
donc analyser seulement les quatre premières mesures de cette première partie. De plus, nous
analyserons seulement les notes et non le rythme. Nous pouvons ainsi lister les notes de chaque mesure :
1ère mesure :
Notes jouées :
•
DO – (appogiature : SI – DO) – SI – SOL – MI – SI – LA
•
DO – (appogiature : SI – DO) – SI – SOL – MI – SI
Nous pouvons voir ici la construction d'une mélodie, ici jouée deux fois, qui va être répétée encore
plusieurs fois. La dominante semble être le DO, et nous pouvons alors voir la gamme de DO majeur se
dessiner.
2ème mesure :
Notes jouées :
•
Clé de Sol : LA ; DO – (appogiature : SI – DO) – SI – LA – RE – LA
•
Clé de Fa : DO - RE
19/30
Nous pouvons voir ici la fin de la mélodie commencée sur la deuxième mesure avec le LA. Il y a
une sorte d'enjambement, qui ne se voit cependant pas rythmiquement. La mélodie reprend alors, mais
des notes sont changées, qui restent cependant dans la gamme de DO majeur. Une deuxième voix arrive
(transcrite sur le deuxième ligne, celle de la clé de Fa), jouant deux notes de la gamme (DO et RE).
3ème mesure :
Notes jouées :
•
Clé de Sol : DO – (appogiature : SI – DO) – SI – SOL – MI – SI – LA ; DO
•
Clé de Fa : RE - DO
Nous pouvons voir ici une nouvelle fois la mélodie jouée, avec en plus une deuxième voix qui joue
la fondamentale et la seconde du DO.
4ème mesure :
Notes jouées :
•
Clé de Sol : DO – (appogiature : SI – DO) – SI – SOL – SI♭ – SI
•
Clé de Fa : LA♭+ RE♭; SOL + DO
Nous pouvons voir ici qu'on change de sonorité, notamment par l'ajout de bémols. Nous pouvons
d'ailleurs y voir la gamme de DO mineur harmonique : DO – RE♭- MI♭- FA – SOL – LA♭- SI – DO ; on y
retrouve le LA♭et le RE♭qui ne sont pas dans la gamme de DO majeur, et donc donnent une sonorité
différente à la pièce.
Nous avons finalement vu ici que la musique est basée sur une fondamentale : le DO, une mélodie
entraînante qui revient plusieurs fois, et les gammes de DO majeure puis mineure, qui viennent être
renforcées par une deuxième voix.
B) Jazz : Herbie Hancock : Cantaloupe Island
1) Présentation de l'oeuvre :
Standard du jazz, enregistré en 1964 pour l’album « Empyrean Iles » sorti sur le label Blue Note
Records. Joué à l’origine avec Freddie Hubbard à la trompette, Ron Carter à la basse, Tony Williams à la
batterie et Herbie Hancock lui-même au piano, il continuera de le jouer tout au long de sa carrière avec
différents musiciens ; sera même reprise par d’autres groupes. Il est l’un des compositeurs et pianistes de
jazz les plus importants et influents de son époque. Il mêle au jazz des éléments de soul, de rock, de
funk, de disco et de hip-hop.
Toute sa vie il essayera d’innover en matière de rythme et d’harmonie : il développe des rythmes
extrêmement complexes autour de la mélodie et des accords ; parallèlement, ses improvisations avec
d’autres musiciens sont parfois si sophistiquées et originales qu’il devient difficile de repérer les
changements d’accords. Contrairement au free jazz qui casse les barres de mesure enlevant les accords et
les harmonies, Herbie Hancock enlève les accords, mais garde le tempo comme base.
Ici la rythmique est très en place, le piano très relax et la tension entre les deux crée le swing.
À la base, le trompettiste joue le thème, le pianiste dont la main gauche est reprise par la
contrebasse assure l’accompagnement, la batterie donne le rythme et dynamise le tout. Pour ce qui est
du thème, le piano et la contrebasse assurent toujours le même motif composé de trois accords.
Le reste du morceau et surtout la partie improvisation deviennent par la suite une dérivation des
modes, le morceau étant l’un des plus représentatifs du jazz modal. Les versions lives surtout ne montrent
que peu de contraintes hormis le rythme imposé par la batterie. Cependant malgré cette apparente
liberté, l’enchaînement des accords et le passage d’un mode à l’autre se font sur certaines règles qui ne
relèvent pas de l’improvisation. En effet malgré le niveau impressionnant des musiciens, un quartette
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tient son équilibre au bon respect des modes.
Rythmiquement le morceau est simple d’apparence avec un rythme binaire en 4/4. Cependant, les
éléments joués par la batterie témoignent des recherches complexes et des innovations musicales
d’Herbie Hancock à cette époque. Le rythme de base du piano se retrouve dans les deux mains qui
alternent temps forts et contretemps pour donner un swing au rythme.
Le schéma en dessous montre les temps joués par la main droite et la main gauche :
Ainsi on peut le voir presque tous les temps sont joués soit par la main droite ou la main gauche.
Seul un demi-temps n’est pas joué volontairement pour insérer un élément de swing.
2) Analyse musicale :
Ce qui fut difficile ici était de trouver une trace écrite des multiples improvisations, ce que nous
ne pourrons donc pas analyser. Pour combler ce trou, nous allons analyser le thème principal de l'oeuvre,
en harmonie avec les accords.
Nous pouvons déjà voir la présence d'une rythmique de base avec comme accord de base la Fa
mineur 7 : Fa, La b, Do, Mi b.
A la main gauche, on peut voir que 3 des 4 notes de l'accord sont jouées :
Fa
Do
Mi b
Fa
1,5 temps
1,5 temps
0,5 temps
0,5 temps
Fondamentale
Quinte
Tierce (mineure)
Fondamentale
À la main droite, 5 accords se suivent : 3 accords de Fa et 2 de Si, la quinte diminuée du Fa (3 tons
au dessus) :
Fa min
Si b min
Fa 7 (sans tierce)
Si b Maj
Fa min
0,5 temps
1 temps
1 temps
0,5 temps
0,5 temps
À la fin de la quatrième mesure, on voit le thème apparaître avec deux fois la note FA jouée, qui
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semblent donc être la note dominante du morceau.
Le saxophone débute le thème, une sorte de mélodie qui sera répétée tout le long du morceau. 8
notes se suivent : La♭- Si♭- La♭- Si♭- Do – Mi♭- Fa. Nous pouvons voir alors que ce sont les quatre
notes de l'accord de bas : Fa mineur 7, avec en plus un Si♭, la quinte diminuée du Fa.
Le piano passe ensuite à d'autres accords :
Le Ré bémol 7 prend la place du Fa : Ré b, Fa, La b, Si. Nous pouvons cependant voir que cet
accord et le précédent ont deux notes en commun : le Fa et le La b. Nous pouvons aussi remarquer que la
main gauche joue encore une fois les notes de l'accord : Ré b, La b, Si, Ré b. La main gauche sert donc de
support, de base.
Nous pouvons voir que le thème ne change pas, mais si nous écoutons ce changement d'accord, on
pourrait cependant le croire : cela vient du fait que ce que joue le saxophone n'a plus les mêmes rapports
avec le piano, ce qui crée une sorte de rupture sans vraiment en être une.
Finalement, nous pouvons aussi remarquer que le Fa, se retrouvant dans les deux accords, sert de
transition :
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Nous avons vu ici qu'il y avait un piano qui jouait à la main droite certains accords, tous en rapport
avec un accord de base, lequel est « émietté » à la main gauche, servant de base au morceau. On a
ensuite un soliste, ici le saxophone, qui vient jouer une mélodie, un thème, basé strictement sur les notes
de l'accord fondamental.
III – Vers une beauté objective :
A) La limite entre la musique et le bruit
Dans cette partie, nous allons tenter de dégager des critères de beauté d’une œuvre musicale, en
définissant tout d’abord la limite entre le bruit et la musique
Selon les musiciens, la musique est un assemblage de sons provenant de différents instruments de
musique. Cependant, les bruits produit par casserole, un moteur de voiture produisent également sont
également des sons. Comment différencier le bruit de la musique ?
Il existe deux types de sons, les sons purs, et les sons complexes.
Théoriquement, les son purs ont une définition précise à l’intérieur de la tonalité, dans l’échelle
de la gamme. Par exemple, l’écart entre le do et le mi, d’un ton, n’est pas le même qu’entre le si et le
do, d’un demi-ton. C’est un rapport mathématiques précis. Les notes peuvent être retranscrites sur une
portée de manière ordonnée.
Chaque son est composé d’une onde sinusoïdale de fréquence F et d’un ensemble d’ondes
sinusoïdales de fréquences multiples (2F, 3F, 4F...) qui constituent ses harmoniques.
C’est la fondamentale qui nous donne la sensation de la hauteur de la note et qui nous permet de
distinguer un DO, d’un RE etc... Les harmoniques créent le timbre de l’instrument et permettent de
différencier un violon, d’une guitare ou d’une clarinette.
Plus les fréquences de ces harmoniques sont proches des multiples entiers de la fréquence
fondamentale, plus le son est pur ou harmonique. Plus elles s'éloignent des multiples entiers, plus le son
est inharmonique
23/30
Cependant, les principes de l'harmonie s'appliquent aux deux. Entre le ré du piano qui est un son
relativement pur et un son provoqué par la chute d'une casserole, il y a donc une différence de degré
mais pas de nature.
Cependant, cette définition de la musique par des sons purs est discutable, déjà dans l’opéra, car
le compositeur fait souvent intervenir des bruits de toutes sortes, qui sont inscrits dans la composition.
Berlioz, compositeur, écrivain français du XIXème siècle admet que tout ce qui est présent dans la
composition musicale est considéré comme de la musique. Les sons purs, comme les bruits en font partie.
Il existe une distinction entre les sons purs produits par un instrument et les sons impurs mais ils
entrent tous deux dans la composition musicale.
Un autre exemple : les compositeurs italiens Francesco Pratella et Luigi Rusolo ont théorisé la
notion de bruits afin de mieux les maîtriser (Manifeste technique de la musique futuriste de F. Pratella). A
l’aide de n’analyse des bruits, Rusolo va imaginer des instruments qu’il nomme « bruiteurs ». Ces
instruments produisent aussi bien des bruits que des sons purs.
Les Stomps, groupe de percussionnistes utilisent des objets habituels qui produisent des sons
impurs afin de construire des morceaux.
Lien de la video : http://www.youtube.com/watch?v=US7c9ASVfNc
en fait.
Puisque ce n'est pas la nature du son qui distingue la musique du bruit, ce doit être l'usage qu'on
Il n’y a musique que si les sons obéissent à une organisation, une structure. En musique,
l’assemblage des sons n’est pas arbitraire, il existe toujours une volonté du compositeur.
Stravinsky dans Poétique musicale nous montre que face à l’infinité des combinaisons musicales
possibles, le compositeur doit respecter une structure, un ordre.
Puisque ce ne sont pas les types de sons qui distinguent la musique d’une nuisance sonore,
pourquoi certaines personnes qualifient-elles certains genres musicaux de « bruits », alors que ces
morceaux possèdent également une, une organisation ? Peut-on donc dégager des critères de beauté
d’une œuvre musicale ? Ces critères seraient-ils liés aux mathématiques ?
B) Le beau
Pour trouver des critères de beauté, il faut déjà définir le beau. Il y a plusieurs définitions du
beau, sur lesquelles tout le monde ne s'accorde pas. La première prend en compte l'aspect technique, les
rythmes, les accords, l'harmonie... Si la musique est complexe, alors elle est belle : Si les accords sont
bien agencés, que les modes utilisés sont fidèles au genre de musique... Le beau est alors évalué par
rapport à un idéal, une perfection que l'oeuvre devrait atteindre. La seconde est plus subjective. Elle
consiste à penser que si la musique plait à l'oreille de celui qui l'écoute, qu'il prend plaisir à l'écouter,
qu'elle est agréable, alors elle est belle. Mais une musique peut plaire à certaines personnes car elle lui
rappelle des souvenirs. Cela a un rapport avec l'intériorité de la personne, ses expériences, son ressenti,
sa sensibilité...
Dans le deuxième cas et comme le souligne le sens commun avec l'expression « chacun ses goûts »,
la beauté est subjective.
Or, selon Kant, « Est beau ce qui plait universellement et sans concept » (Critique de la faculté de
juger) : le beau n'est pas quelque chose de subjectif, mais quelque chose d'objectif. Tout le monde devrait
pouvoir s'accorder sur ce qui est beau ou sur ce qui ne l'est pas. Ainsi, la beauté n'a pas de rapport avec
l'homme en particulier, ses sentiments et ses expériences. On est aveuglé par la technicité et par notre
subjectivité. Il peut donc dire : « Cette oeuvre ne me plait pas, mais elle est belle. ». De plus, la beauté
est pour Kant liée au plaisir et pour juger une oeuvre, aucun interêt pour son existence doit rentrer en
compte : c'est une « satisfaction désintéressée ».
Cependant la définition de la beauté reste trop subjectif pour admettre des critères de beauté
universels. Même si l'on arrive à des résultats qui « plaisent» à la majorité d'une société qui possède la
même culture, l'expérience personnelle des gens ne permet pas de créer un morceau réellement beau
pour tout le monde. On arrive plus facilement à une musique considérée comme belle pour une population
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lorsque cette musique s'inscrit dans l'histoire, dans la culture de cette population. Par exemple la musique
reggae touchera plus de gens en Jamaïque qu'au Japon.
C) Vers une musique mathématisée
La stochastique est un terme grec qui se définie comme les probabilités appliquées aux données
statistiques.
La musique stochastique a été inventée par Iannis Xenakis en 1954, pour décrire la théorie et les
calculs de probabilités en musique.
Xenakis est un mathématicien, ingénieur, architecte et musicien. Il a utilisé dans son écriture
musicale les théories des jeux de hasard, statistiques, et les processus aléatoires de la recherche
opérationnelle. Il se sert par exemple de matrices qui subissent des permutations, ou des courbes de
probabilités.
Grâce aux mathématiques, et par leur utilisation, il compose alors une musique : les
mathématiques sont donc un véritable outil de l'esthétique.
Vidéo : http://www.youtube.com/watch?v=97ru68oJ9P4&feature=related
IV – Bilan : mise à l'épreuve des critères de beauté –
composition
Nous avons ici essayé de composer un petit morceau afin de mettre en pratique ce que nous avons
décrit précédemment. Nous avons choisi comme style le blues, avec son rythme particulier, mais aussi sa
facilité d'accompagnement. En effet, il n'y a que deux guitares, une qui joue la rythmique et l'autre un
petit solo. Ce blues étant en A (La en notation américaine), les accords sont les suivants : LA, RE et MI. Le
solo se base sur la gamme pentatonique de La mineure : LA – DO – RE – MI – SOL – LA.
Voilà la partition de la rythmique :
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26/30
Et voici la partition du solo :
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Conclusion
Dans ce TPE, Mathématiques et Esthétiques, nous avons donc étudié le lien entre ces deux
notions.
Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à la construction des gammes : tout est basé
sur des rapports mathématiques précis permettant de passer d'une note à une autre. De plus, de tout
temps, les hommes sont à la recherche d'une échelle quasi parfaite. Nous avons étudiés les recherches de
Pythagore et de Zarlino, qui nous ont amené vers une échelle imparfaite. L'échelle adoptée aujourd'hui
est celle proposée par Bach : l'échelle tempérée, cependant il n'est pas impossible de découvrir une
échelle plus proche de la perfection, qui pourrait changer la perception que nous avons de la musique.
Nous avons aussi décrit les différents modes, les gammes, les accords, le rythme et les différents styles de
musique. Nous avons ensuite étudiés deux oeuvres musicales : une de musique classique et une de jazz
modale, qui nous a permis de dégager quelques critères de beauté. Malgré la place très importante de
l'improvisation en jazz, celle-ci ne se fait pas totalement au hasard mais est dictée par des règles
mathématiques, nécessaires à la conservation de l'harmonie, mais qui se mettent en place parfois
inconsciemment par le compositeur. Enfin, nous nous sommes intéressés à l'aspect philosophique de la
beauté grâce aux mathématiques et notamment à la différenciation entre la musique et le bruit. Ces deux
termes que l'on peut penser opposés nous sont paru alors extrêmement liés. Il est même parfois difficile
de les différencier, de trouver la limite entre les deux. Les mathématiques ont donc une place très
importante dans la construction et dans la composition de la musique, et comme l'a montré Iannis Xenakis
avec la musique stochastique, en utilisant des lois de probabilités, et des théories des jeux de hasards, les
mathématiques peuvent à elle seule permettre la composition musicale.
Ce TPE nous aura donc permis de mieux comprendre l'aspect mathématique et l'aspect
philosophique de la musique : étant tous musiciens, nous savons maintenant pourquoi nous assemblons
certaines notes ensembles, comment ces notes ont été crées et pourquoi nous trouvons cette assemblage
beau.
Bibliographie
•
Tangente. Maths et musique. HS n°11. Juin 2005. Périodique (en entier)
Cet ouvrage nous donne une approche générale des fondements et de la composition musicale en les
mettant en liens avec les mathématiques.
•
FERON Alain. Musique-Bruit. Universalis. Consulté le : 05 novembre 2009.
http://www.universalis-edu.com/article2.php?napp=&nref=T040147
28/30
Approche générale sur la différenciation entre bruits et musique.
•
Analyses d'oeuvres musicales. Wikipédia. Consulté le : 05 novembre 2009.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_musicale
Structure d'analyse d'oeuvres musicales.
•
Bases du solfège. BTFrance. Mise à jour le 18 novembre 2009. Consulté le : 19 novembre
2009.
http://btfrance.com/musique/solfege.htm
Ce site nous a permis un rappel de la notion de rythme, de temps, ainsi que la décomposition des
mesures.
•
Mesure (solfège). Sensagent. Consulté le : 4 décembre 2009.
http://dictionnaire.sensagent.com/mesure+(solfège)/fr-fr/
Cette page nous a permis d'approfondir la notion de mesure et de mesure complexe.
•
Auteur : Jacques Vannet. Les mesures asymétriques à la guitare. La guitare éclectique de
Jacques Vannet. Consulté le : 18 novembre 2009.
http://jackguitar.com/les-mesures-asymetriques-a-la-guitare/
Ce site nous a permis de trouver des exemples d'oeuvres musicales contenant des mesures
asymétriques, ainsi que de définir une mesure asymétrique.
•
Physique Chimie Terminale S – Spécialité. Collection Durandeau/Durupthy. Hachette
Education, 2007. Chapitre 5, 6 et 7 : Les sons musicaux, Instruments à cordes, Instruments à
vent. Pages 57 à 90.
Ce manuel scolaire nous permet de mieux comprendre quelques-unes de nos recherches, notamment
sur les sons (timbre, l'intensité sonore, la hauteur, etc...).
•
Mathématiques Terminale S . Bréal, 2002. Chapitre 4 : Fonctions logarithmes. Ouvertures :
« Le bel et le décibel », « Musique et logarithmes ». Pages 191 à 193.
Ces quelques exercices nous ont permis de lier un peu plus les mathématiques à la musique,
notamment avec des éléments du programme de mathématiques en Terminale S : les logarithmes.
•
SCHAUB Stéphane. Sur le lien mathématiques-musique chez Xenakis. Entretemps. Consulté
le : 16 octobre 2009.
http://www.entretemps.asso.fr/Seminaire/Xenakis.html
•
MARINER Justin. La pensée musicale d’Iannis Xenakis. La Scena Musicale. Crée le : 1 avril
2001. Consulté le : 16 octobre 2009.
http://scena.org/lsm/sm6-7/iannis-fr.html
Metastasis (Iannis Xenakis). Wikipédia. Consulté le : 16 octobre 2009.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Metastasis_%28Iannis_Xenakis%29
Ces différents articles nous ont permis d'en apprendre un peu plus sur Iannis Xenakis, père de la
musique stochastique.
•
Site de l'IRCAM (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique).
http://www.ircam.fr/
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Acoustique musicale. Site Internet de Patrice Bailhache. Consulté le : 19 décembre 2009.
http://patrice.bailhache.free.fr/thmusique/index.html
Sur cette page sont présents quelques liens vers des articles sur la musique et les mathématiques,
comme « Euler: la musique traduite en mathématiques » ou « Leibniz et la théorie de la musique ».
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Musique minimaliste. Wikipédia. Consulté le : 10 octobre 2009.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Musique_minimaliste#.C5.92uvres_essentielles
Cet article nous a permis de connaître un autre courant de musique du XXe siècle, qui est basé sur les
répétitions.
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MINET Nicolas. « 7 notes dans la gamme... Toujours ? Pourquoi ? ». Irem de Poitiers. Consulté
le : 10 novembre 2009.
http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille7/7notes/7notes.html
Cet article détaille les gammes et leurs constructions.
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Sextus Empiricus – Contre les musiciens. Remacle.org. Consulté le : 10 novembre 2009.
http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/empiricus/contremusiciens.htm#29
Ce texte de Sextus nous montre son apriori sur les musiciens, ce qui est intéressant.
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Origine du nom des notes. Culture générale. Crée le : 21 mars 2009. Consulté le : 10
novembre 2009.
http://www.culture-generale.fr/musique/1962-le-nom-des-notes
Cet article, bien que peu nécessaire, nous a appris simplement l'origine du des notes que nous
connaissons aujourd'hui (Do, Ré, Mi...).
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Clef (musique). Wikipédia. Consulté le : 01 janvier 2010.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Clef_%28musique%29
Cet article nous permet de détailler l'aspect technique de la musique.
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R. GOUBET. « Lumière ! Esthétique : Philosophie de la critique ». Lumière.org. Consulté le :
15 novembre 2009.
http://www.lumiere.org/esthetique/philo-critique-partie1.html
Cette analyse va nous permettre de développer notre partie philosophique sur le beau.
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Kant – Critique de la faculté de juger – Analyse du beau. L'Oiselet - Annexe Philosophie.
Consulté le : 15 novembre 2009.
http://serge.boarini.free.fr/Philosophie./Oeuvres./kant/oe.kant.ku1.htm
Cette analyse va aussi nous permettre d'argumenter et d'enrichir la partie philosophique.
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Fréquence des notes. Jean Jacques Dialo Site Web. Consulté le : 15 novembre 2009.
http://jeanjacques.dialo.free.fr/Anglais/afrequenc.htm
Ce simple tableau nous a permis de connaître le fréquence de différentes notes dans la gamme
tempérée actuelle.
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Les modes naturels en harmonie. JerRock. Consulté le : 12 décembre 2009.
http://www.jerrock.com/66/modes_naturels_theorie
Cette page décrit les modes et les harmonie.
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Harmonie moderne, gammes et accords. Knol. Consulté le : 01 janvier 2010.
http://knol.google.com/k/harmonie-moderne-gammes-et-accords-iii
Ce document décrit les gammes et les harmonies.
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TPE – Harmonie musicale. L'ONERA. Consulté le : 01 janvier 2010.
http://www.cert.fr/dcsd/psev/EQUIPE/CHAUDRON/tpe_harmonie.prn.pdf
Un TPE sur l'harmonie musicale.
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CHAMARAUX François. Mathématique et musique: perception auditive et théorie musicale.
L’accordéon diatonique des amateurs. Dernière mise à jour en Janvier 2004. Consulté le
05.01.10.
http://pagesperso-orange.fr/diato-amateurs/Library/musiquemaths.doc
Approche et exposé sur les systèmes musicaux, sur la perception musicale.
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JUVENETON Jean-Luc. Généralités sur le son. Ingénierie Educative - CRDP - Grenoble. Crée en
2005. Consulté le 05.01.10.
http://www.crdp-grenoble.fr/imel/jlj/son_et_lumiere/son/son.htm
Généralités sur le son : Amplitude, période, timbre.
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« Leçon 196. Esthétique de la musique ». Philosophie et spiritualité. Consulté le : 05
décembre 2009.
http://sergecar.perso.neuf.fr/cours/art9.htm
Approche philosophie par rapport à la musique.
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« Zarlino et la gamme ». Consulté le : 20 février 2010.
http://pagesperso-orange.fr/organ-au-logis/Pages/Zarlin.htm
Description de la gamme de Zarlino
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« Ton et intonation juste ». Consulté le : 20 février 2010.
http://aboudet.chez-alice.fr/doc_musique/Intonation.html
Article très intéressant sur les gammes de Pythagore, Zarlino et la gamme « bien tempérée ».
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