Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite numérique (un )) définie sur N par :
3
1
u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − .
2
2
Partie A : Conjecture
1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 .
2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 .
3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ).
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n, par : vn = un − 3.
1
1) Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = − v2n .
2
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, −1 ! vn ! 0.
!
"
1
3) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn = −vn
vn + 1 .
2
b) En déduire le sens de variation de la suite (vn ).
4) Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn ) converge ?
5) On note ℓ la limite de la suite (vn ).
1
On admet que ℓ appartient à l’intervalle [−1; 0] et vérifie l’égalité ℓ = − ℓ2 .
2
Déterminer la valeur de ℓ.
6) Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
Partie A : Conjecture
3
1
3
5
1
1) u1 = − u20 + 3u0 − = − 22 + 3 × 2 − = = 2, 5.
2
2
2
2
2
! "2
1 2
3
1 5
5 3
25
23
u2 = − u1 + 3u1 − = −
+3× − =− +6=
= 2, 875.
2
2
2 2
2 2
8
8
u1 =
23
5
et u2 =
.
2
8
2) La calculatrice fournit
u3 = 2, 99219 à 10−5 près et u4 = 2, 99997 à 10−5 près.
3) La suite (un ) semble croissante, convergente, de limite égale à 3.
Partie B : Validation des conjectures
Soit n un entier naturel.
1
3
9
1
vn+1 = un+1 − 3 = − u2n + 3un − − 3 = − u2n + 3un −
2
2
2
2
$
1# 2
1
2
= − un − 6un + 9 = − (un − 3)
2
2
1 2
= − vn .
2
1
Pour tout entier naturel n, vn+1 = − v2n .
2
2) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, −1 ! vn ! 0.
• v0 = u0 − 3 = 2 − 3 = −1 et donc −1 ! v0 ! 0. L’encadrement à démontrer est vrai quand n = 0.
• Soit n " 0. Supposons que −1 ! vn ! 0 et montrons que −1 ! vn+1 ! 0.
−1 ! vn ! 0 ⇒ 0 ! v2n ! 1 ⇒ −
1
1
1
! − v2n ! 0 ⇒ −1 ! − v2n ! 0
2
2
2
⇒ −1 ! vn+1 ! 0.
On a montré par récurrence que,
pour tout entier naturel n, −1 ! vn ! 0.
3) a) Soit n un entier naturel.
1
vn+1 − vn = − v2n − vn = −vn
2
!
"
1
vn + 1 .
2
b) Soit n un entier naturel. D’après la question 2) vn ! 0 et donc −vn " 0. D’autre part, vn " −1 et donc
1
1
1
1
1
vn + 1 " − + 1 puis vn + 1 " et en particulier, vn + 1 " 0.
2
2
2
2!
2
"
1
On en déduit que vn+1 − vn = −vn
vn + 1 " 0.
2
Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn " 0 ou encore pour tout entier naturel n, vn ! vn+1 . Ceci montre que
la suite (vn ) est croissante.
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4) La suite (vn ) est croissante et majorée par 0. Donc, la suite (vn ) converge.
5) Soit ℓ un réel de [−1, 0].
1
ℓ = − ℓ2 ⇔ ℓ
2
!
"
1
ℓ + 1 ⇔ ℓ = 0 ou ℓ = −2
2
⇔ ℓ = 0 (car ℓ ∈ [−1, 0]).
ℓ = 0.
6) Pour tout entier naturel n, on a un = vn + 3.
La suite (vn )n∈N est croissante d’après la question 3) b) et donc la suite (un )n∈N est croissante.
La suite (vn )n∈N est convergente, de limite égale à 0 et donc la suite (un )n∈N est convergente, de limite égale à 3.
Les conjectures faites dans la partie A sont validées.
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