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Amérique du sud 2015. Enseignement spécifique EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : • en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ; • chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; • chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale. Pour tout entier naturel n, on note : • un la population en zone rurale, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants ; • vn la population en ville, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants. On a donc u0 = 90 et v0 = 30. Partie A 1) Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant un et vn . 2) On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites (un ) et (vn ). Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettant d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 59 60 61 62 63 A n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 57 58 59 60 61 B Population en zone rurale 90 82,5 76,125 70,706 66,100 62,185 58,857 56,029 53,625 51,581 49,844 48,367 47,112 46,045 45,138 44,368 43,713 43,156 42,682 42,280 41,938 ... 40,005 40,004 40,003 40,003 40,002 C Population en ville 30 37,5 43,875 49,294 53,900 57.815 61,143 63,971 66,375 68,419 70,156 71,633 72,888 73,955 74,862 75,632 76,287 76,844 77,318 77,720 78,062 ... 79,995 79,996 79,997 79,997 79,998 3) Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ? Partie B On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 85un + 6. 1) a) Démontrer par récurrence que la suite (un ) est décroissante. b) On admet que un est positif pour tout entier naturel n. Que peut-on en déduire quant à la suite (un ) ? 2) On considère la suite (wn ), définie par : wn = un − 40, pour tout n ! 0. a) Démontrer que (wn ) est une suite géométrique de raison 0, 85. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. ⃝ b) En déduire l’expression de wn puis de un en fonction de n. c) Déterminer l’expression de vn en fonction de n. 3) Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3) de la partie A. 4) On considère l’algorithme suivant : Entrée : n et u sont des nombres Initialisation : n prend la valeur 0 u prend la valeur 90 Traitement : Tant que u ! 120 − u faire n prend la valeur n + 1 u prend la valeur 0, 85 × u + 6 Fin Tant que Sortie : Afficher n a) Que fait cet algorithme ? b) Quelle valeur affiche-t-il ? http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. ⃝ Amérique du Sud 2015. Enseignement spécifique EXERCICE 4 : corrigé Partie A 1) Pour tout entier naturel n, un + vn = u0 + v0 = 120. 2) Soit n un entier naturel. La population en zone rurale l’année 2010 + n + 1, à savoir un+1 est obtenu en retirant 10% de la même population l’année 2010 + n (10% qui émigrent vers la ville) et en ajoutant 5% de la population en zone urbaine l’année 2010 + n ou encore un+1 = un − 0, 1un + 0, 05vn = 0, 9un + 0, 05vn . Dans la case B3, il faut donc écrire : =0,9*B2+0,05*C2 D’autre part, vn+1 = 120 − un+1 et donc, dans la case C3, il faut écrire : =120-B3 3) Il semble que la population en zone rurale décroisse pour se stabiliser à long terme autour de 40 millions de personnes et qu’inversement la population en zone urbaine croisse pour se stabiliser à long terme autour de 80 millions de personnes. Partie B Remarque. Pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 9un + 0, 05vn = 0, 9un + 0, 05 (120 − un ) = 0, 85un + 6. 1) a) Montrons par récurrence que pour tout n ! 0, un+1 " un . • u1 = 0, 85u0 + 6 = 0, 85 × 90 + 6 = 82, 5. Donc, u1 " u0 . L’inégalité à démontrer est vraie quand n = 0. • Soit n ! 0. Supposons que un+1 " un . Alors un+2 = 0, 85un+1 + 6 " 0, 85un+1 + 6 (par hypothèse de récurrence) = un+1 . On a montré par récurrence que pour tout n ! 0, un+1 " un . La suite (un )n∈N est décroissante. b) La suite (un )n∈N est décroissante et minorée par 0. On en déduit que la (un )n∈N converge. 2) a) Soit n ∈ N. wn+1 = un+1 − 40 = 0, 85un + 6 − 40 = 0, 85un − 34 = 0, 85 (un − 40) = 0, 85wn . Donc, la suite (wn )n∈N est une suite géométrique de raison q = 0, 85. b) D’autre part, w0 = u0 − 40 = 50. On en déduit que pour tout entier naturel n, wn = w0 × q n = 50 × (0, 85)n puis que un = 40 + wn = 40 + 50 × (0, 85)n . c) Enfin, pour tout n ∈ N, vn = 120 − un = 80 − 50 × (0, 85)n . Pour tout n ∈ N, un = 40 + 50 × (0, 85)n et vn = 80 − 50 × (0, 85)n . 3) Puisque −1 < 0, 85 < 1, on sait que lim (0, 85)n = 0. On en déduit que n→+∞ lim un = 40 et n→+∞ lim vn = 80. Ceci n→+∞ valide les conjectures émises dans la partie A. 4) a) L’algorithme calcule les valeurs successives de la suite (un )n∈N en testant à chaque étape si un " vn . L’algorithme s’arrête à la première valeur de n pour laquelle un < vn et l’affiche. Cet algorithme affiche donc le numéro de la première année pour laquelle le nombre de personnes habitant en zone rurale est strictement inférieur au nombre de personnes habitant en zone urbaine. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. ⃝ b) Soit n ∈ N. un < vn ⇔ 40 + 50 × (0, 85)n < 80 − 50 × (0, 85)n ⇔ 100 × (0, 85)n < 40 ⇔ (0, 85)n < 0, 4 ⇔ ln (0, 85)n ) < ln(0, 4) (par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, +∞[) ⇔ n ln(0, 85) < ln(0, 4) ln(0, 4) (car ln(0, 85) < 0) ln(0, 85) ⇔ n > 5, 6 . . . ⇔n> ⇔ n ! 6. L’algorithme affiche la valeur 6 ou encore en 2016, le nombre de personnes habitant en zone rurale devient strictement inférieur au nombre de personnes habitant en zone urbaine pour la première fois. http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. ⃝