Équations différentielles : Fiche résumé de cours

Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines
Préparation à l’Agrégation interne de Mathématiques
Année Universitaire 2014-2015
P. Gabriel
Équations différentielles : Fiche résumé de cours
1
Équations différentielles linéaires
Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et I un intervalle de R.
1.1
Systèmes linéaires
Théorème. Soit un système différentiel linéaire
X 0 = A(t)X + B(t)
(1)
où A : I → Mn (C) et B : I → Cn sont des fonctions continues. Alors pour tout t0 ∈ I et pour tout
X0 ∈ Cn , il existe une unique solution V de (1) définie sur I tout entier, telle que V (t0 ) = X0 .
Théorème. Soit A : I → Mn (C) une fonction continue. L’ensemble des solutions de l’équation
différentielle linéaire homogène
X 0 = A(t)X
(2)
est un sous-espace vectoriel de dimension n de l’espace C 1 (I, Cn ).
Remarque. De ce second théorème, on déduit que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (1) est un espace affine de dimension n. En effet, si V0 est une solution particulière de (1), les
solutions de (1) s’écrivent V + V0 où V décrit les solutions de (2).
Méthode de la variation des constantes
Dans la pratique, si l’on connaît n solutions V1 , · · · , Vn de (2) linéairement indépendantes, on
peut résoudre le système différentiel inhomogène (1)Ppar la méthode de la variation des constantes.
On sait que la solution générale de (2) s’écrit P i λi Vi où les λi ∈ C. La méthode consiste alors à
chercher des solutions de (1) sous la forme V : t 7→ ni=1 λi (t)Vi (t) où les λi : I → C sont des fonctions
C 1 . Par dérivation on obtient que V est solution de (1) si et seulement si
n
X
λ0i (t)Vi (t) +
i=1
et comme Vi0 = A(t)Vi on obtient
n
X
λi (t)Vi0 (t) =
i=1
n
X
n
X
λi (t)A(t)Vi (t) + B(t),
i=1
λ0i (t)Vi (t) = B(t).
i=1
Les Vi étant indépendants, ceci apparaît comme un système de Cramer dont les inconnues sont les
λ0i (t). Par résolution puis intégration on trouve les λi .
1
Remarque. Dans le cas scalaire (n = 1), il est facile de résoudre l’équation différentielle linéaire
homogène x0 = a(t) x, où a : I → C est continue. Les solutions sont toutes proportionnelles à t 7→ eψ(t) ,
où ψ est une primitive de a sur l’intervalle I. Ensuite pour résoudre l’équation différentielle inhomogène
x0 = a(t) x + b(t) où b : I → C est continue, on utilise la méthode de la variation de la constante.
Pour n > 2 en revanche, il n’existe pas de méthode générale pour résoudre l’équation homogène (2).
1.2
Systèmes à coefficients constants
Lorsque A(t) est une matrice constante A, il est possible de résoudre l’équation différentielle
=P
AX en utilisant une exponentielle de matrice. Rappelons que pour A ∈ Mn (C) on note exp(A) =
n
eA = +∞
n=0 A /n! .
X0
Proposition. Soit A ∈ Mn (C). L’équation différentielle
X0 = A X
admet des solutions définies sur R, et la solution prenant une valeur donnée X0 ∈ Cn en t = 0 est
V (t) = t 7→ etA X0 .
Remarque. En diagonalisant ou en triangularisant la matrice A, on peut donc avoir de précieux
renseignements sur les solutions.
1.3
Équations scalaires du second ordre
On considère l’équation différentielle linéaire scalaire
x00 + a(t) x0 + b(t) x = c(t),
(3)
où a, b et c sont des fonctions continues de I dans C. Cette équation peut se ramener à une équation
différentielledupremier ordre. En effet il est équivalent de dire qu’une fonction v est solution de (3)
v
est solution de
et que V =
v0
0
1
0
0
X =
X+
.
−b(t) −a(t)
c(t)
On peut donc déduire du premier théorème le résultat d’existence et unicité suivant.
Corollaire. Pour tout t0 ∈ I et pour tout couple (x0 , y0 ) ∈ C2 , il existe une unique solution v de (3)
définie sur I tout entier, telle que v(0) = x0 et v 0 (0) = y0 .
Méthode de la variation des constantes
Supposons connues deux solutions linéairement indépendantes u et v de
x00 + a(t) x0 + b(t) x = 0.
(4)
La méthode de la variation des constantes décrite dans le paragraphe 1.1 nous conduit à chercher des
solutions de (3) sous la forme w(t) = λ(t)u(t) + µ(t)v(t) où λ et µ sont solutions de
0
λ u + µ0 v = 0
.
λ0 u0 + µ0 v 0 = c(t)
2
Wronskien
Comme nous l’avons déjà fait remarquer, il n’existe pas de méthode générale pour trouver deux
solutions linéairement indépendantes de (4). Par contre si on en connaît une qui ne s’annule pas sur I,
alors on sait en trouver une autre (linéairement indépendante).
Pour cela on définit le wronskien d’un couple de solutions (u, v) de l’équation (4) par
W (t) = u(t)v 0 (t) − u0 (t)v(t).
On peut montrer facilement que W 0 + a(t)W = 0 et donc
Z t
a(s) ds .
W (t) = W (t0 ) exp −
t0
Si on connaît une solution u qui ne s’annule pas sur I, on peut alors trouver une autre solution v en
résolvant l’équation scalaire du premier ordre
Z t
u0
W (t0 )
v0 − v =
exp −
a(s) ds .
u
u
t0
2
2.1
Équations différentielles non linéaires
Solutions maximales pour le problème de Cauchy
On considère l’équation du premier ordre
x0 = f (t, x),
(5)
x00 = f (t, x, x0 ).
(6)
ainsi que l’équation du second ordre
Théorème (Cauchy-Lipschitz). Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert Ω ⊂ R2 , (resp. ⊂ R3 ).
Alors pour tout (t0 , x0 ) ∈ Ω [resp. (t0 , x0 , y0 ) ∈ Ω], il existe un intervalle I voisinage de t0 dans R
et une application ϕ : I → R solution de (5) [resp. (6)] telle que ϕ(t0 ) = x0 [resp. ϕ(t0 ) = x0 et
ϕ0 (t0 ) = y0 ]. De plus il y a unicité pour le problème de Cauchy de cette équation différentielle en
(t0 , x0 ) [resp. (t0 , x0 , y0 )].
2.2
Quelques équations particulières
Équations à variables séparables
Ce sont les équations de la forme
x0 = f (t)g(x),
où f et g sont des fonctions de la variable réelle. Dans ce cas on peut, en théorie, résoudre complètement
le problème dès lors qu’on sait calculer (puis inverser ! !) les primitives de la fonction 1/g et les primitives
de f. C’est donc le cas par exemple si f est constante et que g est une fraction rationnelle, ou un
polynôme trigonométrique, etc ... il n’en demeure pas moins que le calcul est souvent long et pénible.
Exemple : x0 =
1−x2
.
1−t2
3
Équations homogènes
Ce sont les équations de la forme
x0 = f (x/t).
On effectue le changement de fonction inconnue y = x/t de sorte que
y0 =
f (y) − y
,
t
et on est ramené à une équation à variables séparables.
2.3
Approximation numérique : la méthode d’Euler
L’objectif est de donner un algorithme de résolution numérique pour l’équation (5).
Soit {t0 < t1 < ... < tN = t0 + T } une subdivision de [t0 , t0 + T ]. On veut déterminer des
valeurs approchées xn de x(tn ) (0 6 n 6 N ), où x est la solution de l’équation (5). On choisit ici une
T
subdivision régulière, et on note h = N
le pas de la subdivision.
xn+1 − xn
. Elle s’écrit donc :
La méthode d’Euler consiste à approcher x0 (tn ) par
h

x0

xn+1 = xn + hf (tn , xn )

tn+1 = tn + h.
Remarque. On peut utiliser la méthode d’Euler implicite. Cette méthode est plus stable que la méthode
d’Euler classique (explicite), mais un peu plus compliquée à programmer. On considère une subdivision
de l’intervalle de temps t0 < · · · < ti−1 < ti < ti+1 < · · · < tN = t0 + T , avec ti+1 = ti + h, puis on
définit le schéma d’Euler implicite pour calculer successivement les valeur xi = x(ti ) :

x0

xn+1 = xn + hf (tn+1 , xn+1 )

tn+1 = tn + h.
Il s’agit alors de résoudre une équation d’inconnue xn+1 à chaque itération. Si cette équation ne peut
pas être résolue explicitement, on utilise une méthode numérique comme la méthode de Newton (cf.
fiche d’Analyse numérique).
4