Masse et inertie

C - MASSE ET INERTIE
C - 1 - Masse
La masse d’un objet est proportionnelle à la quantité de matière. Elle s’exprime
en kilogrammes (kg).
La masse d’un ensemble est égale à la somme des masses
des parties de cet ensemble.
A
A+B
m A+B = mA + mB
Observations :
• Plus la masse d’un objet est grande, plus il est difficile de le mettre en
mouvement, de l’arrêter, de modifier son mouvement : cette caractéristique
liée à la masse est appelée « inertie »
beaucoup plus inerte que :
• Dans un mouvement complexe (massue de
jongleur, bâton de majorette), il y a toujours un
point du mobile qui a un mouvement plus
simple et qui va moins vite que les autres. Ce
point est appelé centre d’inertie. Il coïncide
avec le centre de masse.
B
C - 2 - Centre de masse
2.1 Définition :
Si un système est constitué de plusieurs masses, c’est le barycentre de ces
masses.
Ainsi quel que soit le repère d’origine O, pour un ensemble de deux masses mA
et mB dont les centres de masses sont respectivement GA et GB, le centre de masse
de l’ensemble est tel que :
→
→
m OG A + mB OG B
OG = A
m A + mB
→
Le centre de masse G d’un ensemble de deux objets est situé sur le segment
de droite joignant les centres de masses GA et GB de ces objets.
Dans la relation précédente, puisque le choix du repère est arbitraire, si on
prend comme origine O le centre de masse G on obtient :
→
→
m GG A + m B GG B
0= A
m A + mB
Ce qui revient à pouvoir établir une relation entre les distance GGA et GGB:
mA GGA = mB GGB
Exemple : si mB = 2mA,
G est situé au 1/3 de GAGB,
G
GA
m
A
GB
m
B
du côté de GB.
2.2 Détermination géométrique, ou graphique :
Le centre de masse d’un objet1 respecte la symétrie de cet objet :
G
G
G
G
1
2
3
• (1) si un objet possède un axe de symétrie, le centre de masse se trouve sur
cet axe.
• (2) s’il y a plusieurs axes de symétrie, le centre de masse se trouve à
l’intersection.
•
(3) s’il existe un centre de symétrie, le centre de masse est confondu avec
ce centre.
2.3 Détermination algébrique :
Comme pour un ensemble de masses :
→
→
mi OGi
mi
OG =
en projetant cette relation sur les deux axes Ox et Oy d’un repère, on obtient :
xG
1
=
mi x i
mi
;
yG
=
mi y i
mi
L'objet est supposé réalisé dans un matériau homogène, par exemple une plaque de tôle d'épaisseur constante
pour les objets plats
Exercice résolu
Énoncé : une lettre L est découpée dans une plaque homogène ; on veut déterminer son
centre de masse
Solution :
Détermination géométrique, ou graphique :
G
G
G
1
2
3
1 : On peut découper le L en deux rectangles égaux : G est alors au milieu du segment qui
joint leur centres.
2 : Dans ce 2ième découpage, un des deux rectangles est deux fois plus grand que l'autre : G
est donc deux fois plus près de son centre que de celui de l'autre, soit au tiers du segment.
3 : Quelque soit le découpage, G est sur le segment qui joint les centres ; s'il y a plusieurs
segments, G est à l'intersection.
Détermination algébrique :
y
G
O
x
Par rapport aux axes Ox, Oy, les centres des carrés ont pour coordonnées (x, y) ;
En partant du carré supérieur, ces coordonnées sont :
(0,5 ; 3,5) ; (0,5 ; 2,5) ; (0,5 ; 1,5) ; (0,5 ; 0,5) ; (1,5 ; 0,5) ; (2,5 ; 0,5)
Comme les six carrés ont des masses identiques, les coordonnées de G sont :
xG = (0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 1,5 + 2,5) / 6 = 1
yG = (3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5) / 6 = 1,5
Quelle que soit la méthode utilisée, G a la même position sur l’objet.
C - 3 - Principe de l’inertie :
3.1 Définitions :
Système : objet ou ensemble d’objets dont on fait l’étude, contenu à l’intérieur d’une
surface fermée. Tout le reste de l’Univers est dit extérieur au système.
Action : tout ce qui déforme un système, ou modifie son mouvement
Système isolé : système qui n’a pas d’échanges avec l’extérieur et ne subit pas
d’action de l’extérieur (cas idéal).
Système pseudo-isolé : On appelle système pseudo-isolé un système soumis à des
actions extérieures réversibles et qui se compensent.
Une action est réversible si, quand on cesse de l'
exercer, le système revient à
son état initial.
Exemple : si on tire sur un ressort, il s'
allonge, si on cesse de tirer, il reprend sa
longueur initiale. l’action est réversible.
Par contre, pour faire glisser un objet sur une table, il faut le pousser, mais il ne
revient pas en place quand on cesse de pousser : l'
action est irréversible.
3.2 Enoncé du principe d’inertie
Dans certains repères dits galiléens, le centre de masse d’un système
isolé (ou pseudo-isolé) est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme :
→
→
v G = cste
Voici la chronophotographie d’un palet lancé avec un mouvement de rotation sur
une table à coussin d’air horizontale ; le centre d’inertie est repéré par un point à ne
pas confondre avec la tache.
On remarque que les positions successives du centre d’inertie sont alignées et
équidistantes.
Exercice résolu
Énoncé : l'haltère dissymétrique ci-dessous a été photographié à intervalles réguliers lors
de son mouvement (chronophotographie). Le point repéré sur la première image est le
centre d'inertie. Le principe d'inertie est-il vérifié dans ce mouvement ?
Solution : si on détermine la position de G pour chaque image du mobile, en utilisant la
propriété mA.GGA = mB.GGB GGA/ GGB = mB/ mA == cste, on obtient l'image ci-dessous :
Les positions successives de G sont alignées et équidistantes, donc, puisque les intervalles
de temps entre deux relevés de position sont égaux, le mouvement de G est rectiligne et
uniforme, et le principe d'inertie est vérifié : le mobile est un système pseudo-isolé.
G