Comment calculer des racines carrées à la main

Comment calculer des racines carrées à la main.
Gérard Sookahet v2.0 Janvier 1998
A l'ère des calculatrices et des ordinateurs, il peut paraître un peu désuet de vouloir évaluer une racine carrée à
l'aide d'un papier et d'un crayon. Néanmoins, cette gymnastique calculatoire n'est pas dénuée d'intérêt. En
effet, en dehors de tout contexte purement culturel, il se peut q'un jour vous ayez besoin d'un tel outil alors
que vous vous trouvez démuni de tous moyens de calcul non−humain(cela m'est déjà arrivé!).
Finalement, mieux vaut savoir que ne pas savoir.
• I) Méthode de Newton.
• II) Les Fractions Continues.
• III) Une méthode sans nom mais non sans intérêt.
I) Méthode de Newton.
L'idée consiste à appliquer l'algorithme de Newton:
avec
, a étant le nombre dont on cherche la racine carrée. Cet algorithme,
se trouve dans tous les bons livres d'Analyse Numérique(réf. [1],[2]).
Avec f(x) notre formule devient:
Cette formule était déjà connue dans l'antiquité sous le nom d'Algorithme de Babylone
et Formule de Héron.
Sa convergence est quadratique. Autrement dit, le nombre de décimales exactes est doublée
à chaque itération.
Pour initier l'algorithme, le choix de xo est primordial afin d'obtenir des valeurs précises le plus
rapidement possible. Un compromis honorable est de prendre pour xo le carré parfait le plus proche de a.
Exemple:
Soit a=22
Nous avons:
Prenons xo=5 car 5x5=25 est plus proche de 22 que 16=4x4.
Ce qui nous fait:
x2 donne un résultat à 4 décimales près.
x3 donne un résultat à 8 décimales près.
N'allons pas plus loin car le calcul devient vite inextricable à la main.
Il est à noter que cet algorithme est parfois utilisé par les programmeurs de jeux vidéo
en 3D(dans une version codée en assembleur). Cela permet de normaliser certains vecteurs dans un espace
tridimensionnel.
Pour finir, il est bon de savoir que cet algorithme se généralise très bien pour calculer
la racine kième de a:
II) Les Fractions Continues.
La fraction continue est un outil mathématique remarquable très pratique et souvent sous−estimé
en calcul(réf. [3],[4]). Ici faisons fi de la théorie, et passons directement à l'exemple qui parle
de lui−même.
Exemple:
Nous voulons évaluer
Pour cela, cherchons l'entier maximal contenu dans
. Il s'agit donc de la racine carrée
du carré parfait le plus proche inférieurement. Autrement dit c'est la racine de 49 soit 7.
Nous écrivons:
Ce qui nous donne en multipliant le dénominateur par la quantité conjuguée:
Maintenant cherchons l'entier maximal contenu dans x1. Il s'agit de 3. Donc:
En remplaçant x1 par sa valeur et après calcul, il vient:
L'entier maximal est cette fois−ci 1.
D'où:
....
On pourrait continuer comme cela très longtemps.
Récapitulons ce que nous avons:
Ce qui nous permet de construire la fraction continue:
,ou en utilisant une notation plus compacte:
Il suffit donc de poser 1/x6=0 et de calculer la fraction. Cela donne:
La précision est assez variable mais en général quand on calcul jusqu'à x5 elle est située entre la quatrième et
la cinquième décimale.
III) Une méthode sans nom mais non sans intérêt.
Je ne sais pas si cette méthode porte un nom, néanmoins elle est très originale. Si vous savez additionner et
soustraire, elle est faîte pour vous. Elle est fondée sur l'observation d'un résultat d'arithmétique:" Un carré
parfait est somme d'entier impairs consécutifs ".
En voici une illustration visuelle:
Encore une fois pas de théorie mais un exemple.
Exemple:
On cherche la racine carrée de 8733.
Ecrivons: 8733,0000
Groupons deux par deux les chiffres en partant de la virgule:
87 33,00 00
Prenons la première tranche de deux chiffres en partant de la gauche: 87 .
Soustrayons à ce nombre tous les entiers impairs consécutifs possibles.
87 − 1 − 3 − 5 − 7 − 9 − 11 − 13 − 15 − 17 = 6
Le dernier résultat est 6. Nous ne continuons pas car 6−19 est négatif. Pour obtenir le premier chiffre, il suffit
de compter le nombre de soustractions réalisées: 9(c'est notre chiffre des dizaines). Prenons le dernier
résultat(6). Accolons lui la deuxième tranche de deux chiffres(33), ce qui nous fait 633. Prenons le dernier
nombre impair qui a servit à la soustraction(17). Ajoutons +1, ce qui nous fait 18. Accolons lui 1, ce qui nous
fait 181.
Maintenant, posons et soustrayons tous les entiers impairs consécutifs en commençant par 181:
633 − 181 − 183 − 185 = 84
Cela nous fait 3 opérations donc le chiffre des unités sera 3. Voilà déjà un résultat partiel: 93,....
Accolons une tranche de zéros(00) à 84, ce qui donne 8400. Ajoutons +1 à 185 et accolons un 1, d'où 1861.
Posons la soustraction et procédons de même que précédemment:
8400 − 1861 − 1863 − 1865 −1867 = 944
Cela fait 4 opérations, d'où le résultat: 93,4
Continuons:
94400 − 18681 − 18683 − 18685 − 18687 −18689 = 975
Cela fait 5 opérations, d'où le résultat: 93,45
Posons et soustrayons:
97500 − 186901 < 0
La soustraction risque de donner un résultat négatif. Nous ne la faisons pas. Cela fait donc 0 opération.
D'où: 93,450
Attention! Le fait d'avoir 0 opération est un cas de figure très particulier.
Procédons comme suit:
Ajoutons une tranche de zéros(00) à 97500 ce qui fait 9750000
Remplacons le dernier 1 par un 0 dans 186901 ce qui donne 186900.
Ensuite, accolons un 1 à ce nombre, d'où 1869001.
En fin de compte, il vient:
9750000 − 1869001 − 1869003 − 1869005 − 1869007 − 1869009 = 404975
Cela fait 5 opérations, d'où: 93,4505
Continuons:
40497500 − 18690101 − 18690103 = 3117296
Cela fait 2 opérations, d'où:
93,45052
etc .....
Nous pourrions continuer comme cela ad infinitum.
Un résultat convenable sera donc:
Vous avez sans nul doute remarqué que cette méthode est assez différente des deux précédentes. L'un de ses
grands avantages, en dehors de sa simplicité, est qu'il ne s'agit pas d'un processus itératif et convergent. Par
conséquent, chaque décimale calculée est exacte(un peu comme dans les " algorithmes compte−gouttes " réf.
[5]).
Remarque judicieuse de Julien Cassaigne:
Ce dernier m'a fait remarquer qu'il était possible d'obtenir deux fois plus de chiffres dans certains cas. En
effet, si au moment où l'on s'arrête, la dernière soustraction qui aurait donné un nombre négatif est a − b, alors
le rapport a/b donne un nombre compris entre 0 et 1 dont les premières décimales peuvent être accolées au
résultat déjà obtenu. Cela peut presque doubler la précision.
Par exemple, si dans notre calcul on s'était contenté de:
97500 − 186901 < 0
et du résultat 93,450, alors en faisant le rapport:
97500/186901 = 0,521666551
on hérite de quatre décimales supplémentaires.
Voilà c'est tout pour cette fois.
Copyright Gérard Sookahet v2.0 Janvier 1998
IV) Bibliographie.
• [1] Francis Scheid, Analyse Numérique, pp316−318, Série Schaum, Editions McGraw−Hill, 1987.
• [2] Forman S. Acton, Numerical Methods that usually work, pp50−57, M.A.A. Editions, 1990.
• [3] Forman S. Acton, Numerical Methods that usually work, chapter 11, M.A.A. Editions, 1990.
• [4] Jean Trignon, Fractions continues et différences finies, Editions du Choix, 1994.
• [5] Ian Stewart, Les algorithmes compte−gouttes, Pour la Science no215, pp104−107, 1995.
Gérard Sookahet v2.0 Janvier 1998.