inverse trigonometric integral

Chapter five
Integration
5-1- Indefinite integrals :
The set of all anti derivatives of a function is called indefinite
integral of the function.
Assume u and v denote differentiable functions of x, and a,
n, and c are constants, then the integration formulas are:-
 du  u(x)  c
2 )  a  u( x )dx  a  u( x )dx
3 )  u( x )  v ( x ) dx   u( x ) dx   v ( x ) dx
1)
u n 1
c
n1
au
u
5 )  a du 
c
ln a
4)
n
 u du 
when n  1 &

e
u
1
 u du  
du  e u  c
EX-1 – Evaluate the following integrals:
1)
 3x
2
dx
 1

2 )   2  x  dx
x

3)
x
x  1 dx
 2t  t 
5 )  (z  z
1 2
2
2

7)

x  6x
x2
dx
x2
2
 3x
10)  2
dt
9)
) 2  4 dz
3
- 4x
Sol. –
x3
1 )  3x dx  3  x dx  3
 c  x3  c
3
2
x3
dx
ex
8) 
dx
1  3e x
2
4)
6)
2
1
 e - 2x dx
4
dx
1
du  ln u  c
u


2 ) x  x dx   x
-2
2
x 1 x 2
1 x2
dx   x dx 

c  
c
1
2
x 2
3
1
1
1 ( x2  1 ) 2
1
2
2
3 )  x x  1 dx   2 x( x  1 ) dx 
c 
( x 2  1 )3  c
3
2
2
3
2
2
t3
t 1
4
1
4 )  2 t  t  1 dt   4 t 2  4  t  2 dt  4  4 t 
 c  t 3  4t   c
3
1
3
t
2

5)


6)



(z 2  z 2 ) 2  4 dz 

(z  z
2
x3
x2  6 x
2


z 4  2  z 4  4 dz   z 4  2  z 4 dz
) dz   ( z  z
2
dx 
2
2
z 3 z 1
1
1
) dz 

 c  z3   c
3 1
3
z
1
1
2
2
(
2
x

6
)

(
x

6
x
)
dx

2
1
1 ( x2  6 x ) 2
 
 c  x2  6 x  c
1
2
2
x2
2 
2 x 1
2
 x
1
2
7) 
dx


dx

x

2
x
dx

ln
x


c

ln
x

c


  x2 x2 

1
x
x2
ex
1
1
8) 
dx   3e x ( 1  3e x )1 dx  ln( 1  3e x )  c
x
3
3
1  3e
4
4
4
3
3
9 )  3x 3  e  2 x dx     8 x 3 e  2 x dx    e  2 x  c
8
8
1
1
1
10 )  2 - 4x dx    2 - 4x  ( 4 dx )    2 - 4x 
c
4
4
ln 2


5-2- Integrals of trigonometric functions :
The integration formulas for the trigonometric functions are:
 sin u  du   cos u  c
8 )  tan u  du   ln cos u  c
10 )  sec u  du  ln sec u  tan u  c
12 )  sec u  du  tan u  c
14 )  sec u  tan u  du  sec u  c
6)
2
2
7 )  cos u  du  sin u  c
9 )  cot u  du  ln sin u  c
11 )  csc u  du   ln csc u  cot u  c
13 )  csc 2 u  du   cot u  c
15 )  csc u  cot u  du   csc u  c
EX-2- Evaluate the following integrals:
1 )  cos( 3  1 )d
6)
 x  sin(2x ) dx
3 )  cos ( 2 y )  sin( 2 y ) dy
4 )  sec x  tan x dx
7)
2

2
3
3
5)

2
 1 - sin 3t  cos3t dt
8)  tan (5x)  sec (5x) dx
9)  sin x  cos x dx
2
2)
d
 cos
4
2  sin3t  cos 3t dt

10)
2
3
cot 2 x
x
dx
Sol.-
1
1
3
cos(
3


1
)
d


sin( 3  1 )  c
3
3
1
1
2 )  4 x  sin( 2 x 2 )dx   cos( 2 x 2 )  c
4
4
3
1
1 cos 2 y 
1
2
3
3 ) -  cos 2 y    2 sin 2 y dy    
 c   cos 2 y   c
2
2
3
6
sec 3 x
2


4 )  sec x  sec x  tan x  dx 
c
3
1)
1
1
1 2  sin 3t  2
2
2  sin 3t 3  c
5 )  2  sin 3t  2 3 cos 3t dt   
c
3
3
3
9
2
d
6) 
  sec 2   d  tan   c
2
cos 
1
1
2
7 )  1  sin 2 3t  cos 3t dt   3 cos 3t dt   sin3t   3cos3t dt
3
3
1
1 sin 3 3t
1
1
 sin 3t  
 c   sin 3t  sin 3 3t  c
3
3
3
3
9
4
1
1 tan 5 x
1
8 )  tan 3 5 x  5 sec 2 5 x dx  
c
tan 4 5 x  c
5
5
4
20
9 )  sin 4 x  cos 3 x dx   sin 4 x  1  sin 2 x  cos x dx
3






sin 5 x sin7 x
  sin x  cos x dx   sin x  cos x dx 

c
5
7
4
6
3
10 )

cot 2 x
x
dx  


csc 2 x  1
x
1
x
 2 - cot x 
1
2
dx  2 
csc 2 x
2 x
x
1
2
dx
 c  2 cot x  2 x  c
2
5-3- Integrals of inverse trigonometric functions:
The integration formulas for the inverse trigonometric
functions are:
du
u
u
16 ) 
 sin 1  c   cos 1  c
;
u 2  a 2
2
2
a
a
a u
du
1
u
1
u
17 )  2
 tan 1  c   cot 1  c
2
a
a
a
a
a u
du
1
u
1
u
18 ) 
 sec 1  c   csc 1  c
;
u 2  a 2
a
a
a
u u2  a 2 a
EX-3 Evaluate the following integrals:
1)

2)

x2
1  x6
dx
dx
9  x2
x
3) 
dx
1  x4
4)
5)

x
sec 2 x
1  tan 2 x
dx

7)
dx
 1  3x 2
8)
 1  sin
9)
2)
4 x2  1


1
1
1
3 x 2 dx  sin  1 x 3  c

3
3
1  ( x 3 )2

dx
9  x2
x( 1 x )
2cosx

e sin
-1
2
x
dx
x
1  x2
tan  1 x
10) 
dx
1 x2
dx
Sol.-
1)
2 dx
6)
 sin  1
x
c
3
4
1
2x
1
dx

tan 1 x 2  c
2 2

2 1 ( x )
2
sec 2 x
4) 
dx  sin  1 (tan x )  c
2
1  tan x
2 dx
5) 
 sec 1 ( 2 x )  c
2 x ( 2 x )2  1
1
2
2 x dx
6) 
dx  4 
 4 tan 1 x  c
2
x 1  x 
1 ( x )
3)
7)
1
3 dx

3 1 (
2

1
tan 1 ( 3 x )  c
3x )
3
cosx dx
8 ) 2
 2 tan  1 (sin x )  c
2
1  (sin x )
1
1
dx
9 )  e sin x 
 e sin x  c
1  x2
dx
(tan 1 x )2
1
10 )  tan x 

c
2
1  x2
5-4- Integrals of hyperbolic functions:
The integration formulas for the hyperbolic functions are:
 sinh u  du  cosh u  c
20 )  cosh u  du  sinh u  c
21 )  tanh u  du  lncosh u   c
22 )  coth u  du  lnsinh u   c
23 )  sec h u  du  tanh u  c
24 )  csc h u  du  coth u  c
25 )  sec hu  tanh u  du   sec hu  c
26 )  csc hu  coth u  du   csc hu  c
19 )
2
2
5
EX-4 – Evaluate the following integrals:
1)

cosh(lnx)
dx
x
6)
 sec h
2
( 2 x  3 ) dx
2)
 sinh( 2 x  1 ) dx
e x  ex
7)  x
dx
e  ex
3)
sinhx
 cosh 4 x dx
8)
 e
4)
 x  cosh(3x
9)
 1  cosh x dx
5)
 sinh
4
2
) dx
x  cosh x dx
10)
ax

 e  ax dx
sinh x
 csch
2
Sol.-
 dx 
  sinh(ln x )  c
x 
1
1
2 )  sinh( 2 x  1 )  ( 2 dx )  cosh( 2 x  1 )  c
2
2
1
sinh x
3) 

dx   sec h 3 x  tanh x dx
3
cosh x cosh x
sec h 3 x
2
   sec h x   sec hx  tanh x dx   
c
3
1
1
4 )  cosh( 3 x 2 )  ( 6 x dx )  sinh( 3 x 2 )  c
6
6
sinh5 x
4
5 )  sinh x  cosh x dx  
c
5
1
1
6 )  sec h 2 2 x  3   2 dx   tanh2 x  3   c
2
2
x
x
e e
7)  x
dx   tanh x dx  ln(cosh x )  c
e  ex
e ax  e  ax
2
2
8 ) 2
dx   sinh ax (a dx)  cosh ax  c
2
a
a
sinh x dx
9) 
 ln1  cosh x   c
1  cosh x
csc h 2 x


10 )   csc hx   csc hx  coth x dx  
c
2
1)
 cosh(ln x )  
6
x  cothx dx
5-5- Integrals of inverse hyperbolic functions:
The integration formulas for the inverse hyperbolic functions
are:
27 )

28 )

du
1 u
du
 sinh 1 u  c
2
u2  1
 cosh  1 u  c
1

du
tanh u  c if u  1
 1 1 u
29 ) 

c
  ln
2
1
2
1

u
1 u
coth
u

c
if
u

1




1
du
30 ) 
  sec h  1 u  c   cosh 1    c
u 1  u2
u
 1
du
31 ) 
  csc h 1 u  c   sinh1    c
u 1  u2
u
EX-4 – Evaluate the following integrals:
1)
4)

x
dx
1  4x2
dx
4  x2
2)
5)


dx
4  x2
sec 2  d
tan 2  1
Sol.-
1
2 dx
1
 sinh1 2 x  c

2
1  4x2 2
1 dx
x
2
2) 
 sinh 1  c
2
2
1 x
2
dx
3) 
 tanh  1 x  c
if x  1
2
1 x
 coth  1 x  c
if x  1
1)
 
7
3)
dx
 1  x2
6)
1
 tanh ln x 

 x1  dxln
2
x

4)
5)
6)


1
 
x 4  x2 2 x
1
dx
1
tan   1
2
let
sec
2
1
 tanh (ln x ) 
1
2
2
dx
 2
1 x
2
1
  csc h  1 x  c
2
2
 d   cosh 1 (tan  )  c
u  ln x 
tanh u
2
2
2
1
ln x
2
1
dx
2x
du 
dx
x( 1  ln2
x)

  tanh  1 u 

2
 c  tanh  1 (ln x )  c
8
2 du
1  u2
Problems – 5
Evaluate the following integrals:
1)
 x
2)
e
3)
 tan(3x  5) dx
2


5 3 1 5
x  x  4x  c )
3
5
x
(ans. :  cose  c )
 1  4  x 2 dx
(ans. :
 sin e x dx
x
cot(lnx)
 x dx
sinx  cosx
5) 
dx
cosx
dx
6) 
1  cosx
(ans. : ln sin(lnx)  c )
4)
7)
2
 cot(2x  1)  csc (2x  1) dx
8)

9)

(ans. :  ln cosx  x  c )
(ans. :  cotx  cscx  c )
(ans. : 
dx
(ans. :
1  9x2
dx
2 x
2
2x
2x
 e  coshe dx
11 )
e
12 )
e
 cosx dx
(ans. : 
1
13 )

14 )
 x a  b 3 x dx where a,b constants
15 )
  1 x
16 )
 1  sin

x
dx
2
c)
1 3 x
e c)
3
(ans. : 2e

dx
(ans. :
x
2 x c)
5
1
( 5ax 2  4 3bx 2 )  c )
10
(ans. :  tan 1 x  c )
2
cos θ dθ
2
x
1
sinh e 2 x  c )
2
(ans. : e sinx  c )
3x
x
1
sin 1 ( 3 x )  c )
3
(ans. :
dx
e
1
cot 2 ( 2 x  1 )  c )
4
(ans. : sin 1
10 )
sinx
1
ln cos( 3 x  5 )  c )
3
(ans. : 
(ans. : tan 1 (sin )  c )

9
1
1
1
csc
cot
 x 2 x x dx
3x  1
18 ) 
dx
3
2
3x  2x  1
17 )
19 )
 sin(tan )  sec
20 )

sec 2 2 x dx
22 )
 sin  cos  
23 )
y
24 )

25 )
 t 3 ( t 3  1 ) 3 dt
26 )

2
4
(ans. :   cos 2  c )
y
dy
1
dx
(ans. :
5
2
5
9 53
( t  1 )3  c )
25
4
5
(ans. :
1 x5  c )
2
2
(ans. :
dx
x
1
5
4
cos
28 )
x
29 )
 e
1 x5
1
4x

1  16 x
dx
2
2
(ans. : 
dx


1
3
cos  1 4 x  c )
12
(ans. : sec  1 ( 2 x )  c )
4 x2  1
dx

x 2
e
ln x 2 dx
3

x
cot x dx
 ln(sin x )
(ln x )2
 x dx
sin x  e sec x
 cos 2 x dx
x
1
tan  1 y 2  c )
2
(ans. : 2 tan  1 x  c )
x( x  1 )

33 )
d
1
( 1  x 2 )3  c )
3
tan 2 x  c )
(ans. :
tan 2 x
27 )
32 )
(ans. :  cos(tan  )  c )
(ans. : 

31 )
 d
1
c)
x
33
( 3 x 2  2 x  1 )2  c )
4
(ans. :
x 2  x 4 dx
21 )
30 )
2
(ans. : csc
(ans. :
1
tanh x  c )
4
(ans. :
1 ln x 2
3
c)
2ln3
(ans. : ln ln(sin x )  c )
(ans. :
1
(ln x )3  c )
3
(ans. : e sec x  c )
11
dx
 x  ln x
d
35 ) 
cosh   sinh
2 x  82 x
36 ) 
dx
4x
(ans. : ln ln x  c )
34 )
(ans. :  e   c )
(ans. : x 
1
e tan 2 t
37 ) 
dt
1  4t 2
cot x
38 ) 
dx
csc x
39 )
4
3
 sec x  tan x dx
40 )
 csc
4
(ans. :
1
1
tan 6 x  tan 4 x  c )
6
4
1
1
(ans. :  cot 3 3 x  cot 3 x  c )
9
3
(ans. :
3 x dx
(ans. :  csct  sint  c )
(ans. : 
2
 tan 4 d
(ans. :
ex
44 ) 
dx
1 ex
45 )
 tan
3
1
cot 3 x  cotx  c )
3
1
tan 4    c )
4
(ans. : ln( 1  e x )  c )
2 x dx
(ans. :
sec 2 x
46 ) 
dx
2  tan x
47 )
1 tan1 2 t
e
c)
2
(ans. : sinx  c )
cos 3 t
41 ) 
dt
sin 2 t
sec 4 x
42 ) 
dx
tan 4 x
43 )
1
25 x  c )
5 ln 2
1
1
tan 2 2 x  ln cos 2 x  c )
4
2
(ans. : ln( 2  tan x )  c )
4
 sec 3 x dx
(ans. :
et
48 ) 
dt
1  e 2t
cos x
49 ) 
dx
x
dx
50 ) 
sin x  cos x
1
1
tan 3 3 x  tan 3 x  c )
9
3
(ans. : tan  1 e t  c )
(ans. : 2 sin x  c )
(ans. :  ln csc2x  cot2x  c )
11
51 )

1  sin y dy
(ans. :  2 1  sin y  c )
dx
 ( x 2  1 )( 2  tan 1 x )
sinh x dx
53 )  sin  1 (cosh x ) 
1  cosh 2 x
cos d
54 ) 
1  sin 2 
dx
55 ) 
x 1  (ln x )2
(ans. : ln( 2  tan  1 x )  c )
52 )
56 )
 e

9
4

x
5
x
(ans. :
(ans. : tan  1 (ln x )  c )

x
4 94 x 8 54 x
e  e  4e 4  c )
9
5
1
(ans. :  x
c)
e 1
1 1

(ans. :  e 3 x  e  x   c )
2 3

(ans. :
e x dx
57 )  2 x
e  2e x  1
58 )
e
x
 sinh 2 x dx
sec 3 x  e sin x
59 ) 
dx
sec x
3 x2
60 ) 
dx
2  9 x1
cos x dx
61 ) 
sin x  1  sin x
62 )
5
 tan x dx
63 )
ln sin
e
1
64 )
x
 x e
2
65 )
 cosh(ln cosx)
66 )
 sin
67 )
1
 cosh (sinx)
x
1
(ans. : tanx  e sin x  c )
(ans. :
3
2 ln 3
tan
1
3 x1
2
c)
(ans. : 2sin  1 sin x  c )
1
sec 4 x  sec 2 x  ln cos x  c )
4
1
(ans. : (sin 1 x )2  c )
2
(ans. :
dx


(ans. : ln sec   tan  c )
 2e 4  e 4 dx
x

1
2
sinh 1 (cosh x )  c )
2
1 x
2
1 x 2 1
e
c)
2
1
(ans. : sinx  ln secx  tanx   c )
2
dx
(ans. :
dx
cos x
dx
2
x
(ans. :  cscx  c )
cosx dx
(ans. :
sin x  1
2
12


1
2
cosh  1 (sinx)  c )
2