Thème 8: La factorisation

LA FACTORISATION
1
Thème 8: La factorisation
8.1
Introduction
Introduction : La démarche permettant d’exprimer un polynôme comme
produit de facteurs est appelée la factorisation.
On l’utilise pour résoudre des équations, pour trouver les zéros
d’une fonction, pour esquisser rapidement des graphes de
fonctions, pour simplifier, additionner et soustraire des fractions
de polynômes, pour faire l’étude graphique d’une fonction
rationnelle et dans de multiples autres situations.
Exemple : Résoudre l’équation du 2ème degré :
a) à l’aide de la formule
b) à l’aide de la factorisation
Exercice 8.1:
2x2 + 11x – 21 = 0
Dans un livre de mathématiques universitaires (A. Warusfel,
Structures algébriques finies, 1971), on rencontre l’égalité fausse
suivante:
x5 + x + 1 = (x3 + x2 + 1)(x2 + x + 1)
Trouver l’erreur typographique qui s’est glissée dans cette ligne.
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2
THÈME 8
Démarche : Nous allons maintenant nous concentrer sur les différentes
méthodes de factorisation. Dans la deuxième partie de ce thème,
nous appliquerons ces outils pour résoudre rapidement des
équations de degré supérieur ou égal à deux et effectuer
quelques esquisses de parabole.
8.2
1ère méthode de factorisation : la mise en évidence
facteur commun
⇓
mise en évidence
Lorsque chacun des termes d'un polynôme est divisible par un
facteur commun, on peut écrire ce polynôme comme un produit.
Pour ce faire, il suffit de diviser séparément chaque terme par le
facteur commun, de placer le quotient entre parenthèses et le
facteur commun en dehors de ces parenthèses.
2
Modèle 1 : Factoriser 4x − 6xy
mise en évidence:
Exercice 8.2:
Factoriser les polynômes suivants:
a) 24x − 48x 2 y
3
4 termes
⇓
double mise en évidence
3
b) a − ab
2
c) 5a − a
d) x 3 − 5x 2 y
e) 16 − 48x
f)
g) 25x 3 y − 5x 2 y 2 + 10x 4 y 3
h) 16a b − 4a b + 12ab
4x − 8x y + 16xy
3
2
3 2
2 3
3
Dans le cas des polynômes à 4 termes, il faut regrouper les
termes deux par deux et effectuer une double mise en évidence.
On l’appelle également méthode des groupements.
2
Modèle 2 : Factoriser 6x − 3xy + 4 x − 2y
double mise en évidence:
Factoriser 12a 3 − 3a 2b − 20a 2 + 5ab
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LA FACTORISATION
Exercice 8.3:
Factoriser les polynômes suivants:
a) x 3 y − x 2 y + 4xy − 4 y
b) 16a b − 4a b + 12a − 3b
c) 6y − 4 xy − 15x + 10x 2
d) 18a − 30b + 6a b − 10ab
e) x − x + x − 1
f) 2x − 4 x + 4x − 8
g) 3x + 12x − 5x − 20
2
i) 10ax + 16ax + 15x + 24
h) 10xy 2 − 6x 3 + 5y 3 − 3x 2 y
j) 2x 2 y 3 + 8y 3 − 5x 2 − 20
3
2
3
8.3
3
2
3 2
2 3
2
3
3
2
2
2ème méthode de factorisation : trinôme du type x2 + bx + c
Exemple : Effectuer le calcul suivant :
(x + 2)(x – 5) =
Que peut-on dire du coefficient des x ?
Que peut-on dire au sujet du dernier terme ?
Pour décomposer en facteurs un trinôme de la forme x + bx + c
2
• on cherche 2 nombres dont la somme donne b et le produit c ;
• on exprime b comme somme de ces nombres ;
• on effectue une double mise en évidence ;
Modèle 3 : Factoriser x + 7x + 10
2
factorisation d’un
trinôme:
2
Modèle 4 : Factoriser x − x − 20
factorisation d’un
trinôme:
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4
THÈME 8
Exercice 8.4:
Factoriser les trinômes suivants:
a) x + x − 56
b) x + 11x + 30
c) x − 13x + 42
2
d) x − 2x − 35
e) x − 4x − 96
2
f)
g) x − 8x + 16
2
h) x − 14x + 48
2
j) 2x 2 − 28x + 98
2
l)
2
i) x − 3x − 28
k) x − 4x − 77
8.4
2
2
x 2 + 21x + 90
2
x 2 + 6x − 72
3ème méthode de factorisation : trinôme du type ax2 + bx + c
Exemple : Effectuer le calcul suivant :
(3x + 2)(2x – 5) =
Que peut-on dire du coefficient des x ?
Que peut-on dire au sujet du produit des 2 autres coefficients ?
Pour factoriser un trinôme de la forme ax + bx + c
2
• on cherche deux nombres qui additionnés donnent b et qui
multipliés donnent a⋅ c ;
• on exprime b comme somme de ces nombres ;
• on effectue une double mise en évidence ;
Modèle 5 : Factoriser 3x + 23x + 14
2
factorisation d’un
trinôme:
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LA FACTORISATION
Modèle 6 : Factoriser 30x 2 −154 x + 20
factorisation d’un
trinôme:
Exercice 8.5:
Factoriser les trinômes suivants:
a) 2x + 9x − 35
b) 2x − x − 21
c) 3x + 23x − 36
2
d) 4x − 24x + 35
e) 6x − x − 77
2
f) 6x − 31x − 77
g) 5x + 37x − 24
h) 10x + 46x − 84
i) 6x + 19x − 20
j) 6x − 15x − 54
k) 12x + 26x + 12
l) 6x + 37x + 56
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8.5
2
4ème méthode: somme et différence de 2 carrés, de 2 cubes.
À connaître par coeur
a 2 + b 2 n'est pas factorisable
a 2 – b 2 = (a + b)(a − b)
2
2
Modèle 7 : Factoriser 4x − 9y
différence de 2 carrés:
4 2
4
Modèle 8 : Factoriser 81x y − 36y
différence de 2 carrés:
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5
6
THÈME 8
connaître leur existence
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
a 3 – b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
3
Modèle 9 : Factoriser 125x − 216
différence de 2 cubes:
Exercice 8.6:
8.6
Factoriser les polynômes suivants:
a) x2 – 16
b) 4x2 – 49
c) a2 – 64
d) 9a2 – 16b2
e) x3 + y3
f) 27x3 – 8y3
g) 8x3y6 + 216x3y3
h) 1 – x3
i) a4 – b4
j) 16a4 – 81y4
k) a2b2 + 1
l) a4b4 – 1
5ème méthode: utilisation des identités (dans les 2 sens).
Modèle 10 : Développer (2x + 3)3
Exercice 8.7:
Exercice 8.8:
Développer
a) (a + b)2
b) (a – b)2
c) (a + b)3
d) (a – b)3
En utilisant les formules apparues ci-dessus, développer
a) (2x + 5)
c) ( x + 2)
e)
2
3
(3x − 5)
b) (1− 7x )
d)
3
f)
2
( y − 2x )3
3
(4a + 3b)
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LA FACTORISATION
7
Un truc pour épater Calculer mentalement 322
la galerie :
Exercice 8.9:
Calculer mentalement
a) 732
b) 1012
d) 18·22
e) 31·49
c) 992
Jacques Inaudi était pâtre lorsque
la passion des chiffres le prit à 6
ans (affiche de 1878)
Les carrés parfaits :
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
À connaître par coeur
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
2
2
Modèle 11 : Factoriser 9x + 12xy + 4y
un carré parfait:
Exercice 8.10:
Factoriser, si possible, les polynômes suivants:
a) x − 10x + 25
b) x + 20x + 100
c) x − 18x + 81
d) x 2 +15x + 64
2
2
2
e) 4x + 4ax + a
2
Les cubes parfaits :
2
f) 9x 2 − 6xy − y 2
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3
connaître leur existence
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3
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8
THÈME 8
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 +b 3 = (a + b) 3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3
Modèle 12 : Factoriser x + 9x + 27x + 27
3
2
un cube parfait:
Exercice 8.11:
Factoriser, si possible, les polynômes suivants:
a) x 3 − 3x 2 + 3x − 1
b) 8x + 12x + 6x + 1
c) 3x − 27x + 81x − 81
d) x 3 + 9x 2 + 6x + 27
e) x 3 + 6x 2 +12x + 8
f)
3
2
3
2
x 3 + 9x 2 + 3x + 27
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LA FACTORISATION
8.7
9
Un pot-pourri (ou comment repérer la démarche avant de s’y lancer)
Exercice 8.12:
On considère les polynômes suivants:
a) x + 5x − 84
b) x + 12x + 36
2
2
2
2
c) 2x − 11x − 63
d) 15x − 15
e) x − 3x + 4x − 12
f) 2a − 4a
g) (a − 1) − ( a − 1) (a + b)
h) ax + y + ay + x
3
2
3
i) 162 − 2x
2
2
2
j)
3
x 4 − 2x 2 + 1
k) x − x
l) 6x + 7x − 3
m) 4x + 1
2
n) 8x + 1
2
p) a + b + 2ab − c
5
2
3
2
o) 5x − 5x − 150
q) 9a − 24ab + 16b − 36c
2
2
2
2
2
1) Regrouper, dans le tableau ci-dessous, les polynômes en
fonction de la ou les méthode(s) de factorisation à utiliser.
Méthodes :
Données
mise en évidence
trinôme du type x2 + bx + c
trinôme du type ax2 + bx + c
somme ou diff. de …2 ou …3
identités (…±…)2 ou …
2) Factoriser ces polynômes
Exercice 8.13:
Compléter les égalités avec des nombres entiers positifs et, dans
chaque cas, donner toutes les possibilités:
a) (x + …)(x + …) = x2 + 6x + …
b) (x + …)(x + …) = x2 + 7x + …
c) (x – …)(x – …) = x2 – 4x + …
d) (x – …)(x – …) = x2 – 8x + …
e) (x – …)(x + …) = x2 + x – …
f) (x – …)(x + …) = x2 – 2x – …
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10
8.8
THÈME 8
Une première application : la résolution d’équations
Comme nous l’avons vu dans l’exemple d’introduction, la
factorisation d’une équation du 2ème degré permet de la résoudre
plus rapidement que la fameuse formule. La factorisation permet
également la résolution d’équations de degré supérieur à 2 pour
lesquelles, nous n’avons pas de formule miracle.
Modèle 13 : Résoudre l’équation 2x2 + 7x = 4
résolution par
factorisation:
Modèle 14 : Résoudre l’équation x2(x – 2) + 5 = 5(3x + 1)
résolution par
factorisation:
En résumé : • Pour résoudre de nombreuses équations, il suffira de factoriser
son expression et d’utiliser la règle du produit nul :
Le produit a⋅ b = 0 , si et seulement si a = 0 ou b = 0 .
Cette règle se généralise à un nombre quelconque de facteurs,
par exemple :
Le produit a⋅ b⋅ c = 0 , si et seulement si a = 0 ,
b = 0 ou c = 0 .
• La méthode de résolution d’équation par factorisation est
résumée ci-dessous :
Écrire l'équation sous la forme: ………… = 0.
Factoriser.
Résoudre l’égalité à zéro de chaque facteur.
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LA FACTORISATION
11
Modèle 15 : Résoudre l’équation 2x 2 − x = 2 − x 3
résolution par
factorisation:
Exercice 8.14:
Résoudre les équations suivantes:
1) x(x + 3) = 0
2) x2 – x = 0
3) 3x2 = 4x
4) 0 = 1 – 4x2
5) x2 + 5x + 6 = 0
6) 3(x – 2) = (x – 2)2
7) (x + 1)(x2 – 4) = 3(x – 2)(x + l)
8) x3 – x2 = 0
9) 4x2 + 1 = 0
10) x2 – x – 6 = 0
11) x3 + x2 = 4x + 4
12) (x – 2)2 – 9(x – 2) = 0
13) x4 – 5x2 + 4 = 0
14) (x – l)(x – 2) = 0
15) (2x – 7)(x – 2)(3x – 8) = 0
16) x2 – 9 = 0
17) x2 + x = 0
18) 9x2 – (2x + 5)2 = 0
19) (x – 1)(x2 – 1) = 0
20) x2 – 7x + 10 = 0
21) x4 + 15x2 – 8 = 8
22) 2x2 + 5x + 2 = 0
23) 3x2 – 13x + 14 = 0
24) 2(x2 – 9) = x + 3
25) (5x – 3)(x + 1) = 7(x + 1)
26) 0 = (x – l)(x + 2)
27) 3(x – l) + (x – 1)(x – 2) + 2 = 2x
28) x2 + l = 2x
29) 4x3 – 36x = 0
30) x3 + 2x2 – x – 2 = 0
31) 4(x – 3) = x2 – 9
32) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0
33) x2 – 9 = 0
34) x2 – 3x = 0
35) x5 – 2x4 = x – 2
36) 3x3 + 2x2 – 3x – 2 = 0
37) (x – 4)2 – 16 = 0
38) x3 – 2x2 – 3x = 0
39) (x – 1)(2x2 + 3x)(3x – 4) = 0
40) 0 = x(x – 1)(x – 2)
3
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41) (4 – x) = 0
42) 7x2 = 4x
43) x2 + 2x + 1 = 0
44) x2 – x – 6 = 0
45) x2 + 4x + 3 = 0
46) x8 + 9x4 – 10 = 0
47) 6x2 + 55x – 50 = 0
48) 4x3 – 4x2 + x = 0
49) 5(x2 – 2x + 1) = 4(x2 – 1)
50) 3(x3 + 8) = (x + 2)3
12
8.9
THÈME 8
Une deuxième application : les esquisses rapides de fcts quadratiques
Introduction : Dans le chapitre 5, nous avons déjà eu l’occasion d’esquisser
des paraboles en recherchant ses zéros à l’aide de la formule.
Appliquons une démarche comparable à l’aide de la
factorisation.
Modèle 16 : Esquisser la fonction f (x) = −2x 2 − x + 1
esquisse d’une fonction
du 2ème degré:
Exercice 8.15:
À l’aide de la factorisation, esquisser les 4 fonctions suivantes.
Si vous n’arrivez pas à factoriser, utilisez alors la formule.
a) f (x) = x 2 − x − 6
c) f (x) = 3x 2 − 2x
Exercice 8.16:
b) f (x) = −12x 2 −13x + 35
d) f (x) = −5x 2 + 4 x + 10
Retrouver les fonctions quadratiques dont voici les représentations
graphiques :
y
-3
y
2
x
-6
2
x
1/4
x
-3
-12
a)
b)
y
-5/2
y
2/3 x
-10
c)
3
-3/2
d)
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THÈME 8
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