Math 22A — Alg`ebre linéaire et affine 1 Devoir numéro 3 : Famille

Math 22A — Algèbre linéaire et affine 1
Devoir numéro 3 :
Famille génératrice et famille libre
(http://math.univ-lille1.fr/∼mimp/Math12.html)
Exercice I. Soit E un espace vectoriel sur R et {v1 , v2 , v3 } une famille génératrice de E.
Répondre aux questions suivantes en justifiant vos réponses par une preuve ou par des contreexemples.
1. Est-ce que {v1 , v2 , v2 + v3 } est une famille génératrice de E ?
2. Soit v4 ∈ E. Est-ce que {v1 , v2 , v3 , v4 } est une famille génératrice de E ?
3. Est-ce que {v1 , v2 } est une famille génératrice de E ?
Exercice II. Soit E un espace vectoriel sur R et {v1 , v2 , v3 } une famille libre de E. Répondre
aux questions suivantes en justifiant vos réponses par une preuve ou par des contre-exemples.
1. Est-ce que {v1 , v2 , v2 + v3 } est une famille libre de E ?
2. Soit v4 ∈ E. Est-ce que {v1 , v2 , v3 , v4 } est une famille libre de E ?
3. Est-ce que {v1 , v2 } est une famille libre de E ?
Exercice III. Soit a ∈ R et v1 = (1, 2, 1, 0), v2 = (0, −1, a, 1), v3 = (1, 1, 2, 0), v4 = (0, 0, 1, 1).
a) Pour quelles valeurs de a, {v1 , v2 , v3 , v4 } est-elle une famille génératrice de R4 ?
b) Pour quelles valeurs de a, {v1 , v2 , v3 , v4 } est-elle une famille libre de R4 ?
Quand ce n’est pas le cas, déterminer la/les relation(s) de dépendance de ces vecteurs.
Corrigé.
Exercice I. 1. {v1 , v2 , v3 } est une famille génératrice de E. Donc pour tout x ∈ E, il existe
α1 , α2 , α3 ∈ R tels que x = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 . Alors x = α1 v1 + α2 v2 + α3 (v2 + v3 ) − α3 v2 =
α1 v1 + (α2 − α3 )v2 + α3 (v2 + v3 ). Donc {v1 , v2 , v2 + v3 } est une famille génératrice de E.
2. Soit v4 ∈ E. v4 est une combinaison linéaire de v1 , v2 , v3 car {v1 , v2 , v3 } est une famille
génératrice de E. Donc Vect(v1 , v2 , v3 , v4 ) = Vect(v1 , v2 , v3 ) = E, et {v1 , v2 , v3 , v4 } est une
famille génératrice de E.
3. Si v3 est une combinaison linéaire de v1 , v2 alors E = Vect(v1 , v2 , v3 ) = Vect(v1 , v2 ). Donc
{v1 , v2 } est une famille génératrice de E.
Si v3 n’est pas une combinaison linéaire de v1 , v2 alors v3 6∈ Vect(v1 , v2 ). Donc {v1 , v2 }
n’est pas une famille génératrice de E.
Exercice II. 1. Soit λ1 , λ2 , λ3 ∈ R tels que λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 (v2 + v3 ) = 0. Alors λ1 v1 +
(λ2 + λ3 )v2 + λ3 v3 = 0. Or {v1 , v2 , v3 } est libre, donc λ1 = 0, λ2 + λ3 = 0, λ3 = 0. On a donc
λ1 = λ2 = λ3 = 0, par conséquent, {v1 , v2 , v2 + v3 } est une famille libre.
2. Si v4 est une combinaison linéaire de v1 , v2 , v3 , alors {v1 , v2 , v3 , v4 } n’est pas libre.
Si v4 n’est pas une combinaison linéaire de v1 , v2 , v3 , alors {v1 , v2 , v3 , v4 } est libre.
3. {v1 , v2 } est une famille libre car elle est extraite d’une famille libre.
Exercice III. a) {v1 , v2 , v3 , v4 } est une famille génératrice de R4 si et seulement si pour tout
b = (b1 , b2 , b3 , b4 ) ∈ R4 , il existe x, y, z, t ∈ R tels que b = xv1 + yv2 + zv3 + tv4 . Ce dernier
est 
un système linéaire

x + z = b1 ,
x + z = b1 ,






2x − y + z = b2 ,
y + z = 2b1 − b2 ,
⇐⇒


 x + ay + 2z + t = b3 ,
 ay + z + t = b3 − b1 ,


y + t = b4
y + t = b4

x + z = b1 ,



y + z = 2b1 − b2 ,
⇐⇒
z − t = 2b1 − b2 − b4 ,



(1 − a)z + t = b3 − b1 − a(2b1 − b2 )

x + z = b1 ,



y + z = 2b1 − b2 ,
⇐⇒
z − t = 2b1 − b2 − b4 ,



(2 − a)t = b3 − b1 − a(2b1 − b2 ) − (1 − a)(2b1 − b2 − b4 ).
Le système admet une solution pour tous (b1 , b2 , b3 , b4 ) ∈ R4 si et seulement si a 6= 2.
Donc (v1 , v2 , v3 , v4 ) est une famille génératrice de R4 si et seulement si a 6= 2.
b) Soient x, y, z, t ∈ R4 tels que xv1 + yv2 + zv3 + tv4 = 0. Alors on a, d’après la question
précédente


x
+
z
=
0,



 x + z = 0,


2x − y + z = 0,
y + z = 0,
⇐⇒
x
+
ay
+
2z
+
t
=
0,
z − t = 0,






y+t=0
(2 − a)t = 0.
Si a 6= 2, alors on a t = z = y = x = 0. Donc v1 , v2 , v3 , v4 sont linéairement indépendants.
Si a = 2, le système a des solutions non nulles. Donc v1 , v2 , v3 , v4 sont liés. Dans ce cas on
obtient les solutions z = t, y = −t, x = −t pour t quelconque. Donc la relation de dépendance
de ces vecteurs est −v1 − v2 + v3 + v4 = 0.