Résumé

Titre : Constructions et reconstructions de pavages de dominos.
Résumé : Ce travail de thèse est une contribution à l'étude de problèmes
de pavages par des dominos.
Nous montrons comment élargir au cas d'un polyomino avec des trous la
méthode de Thurston qui permet de paver en temps linéaire un polyomino
sans trous par des dominos. Nous présentons un algorithme de pavage de
complexité O(kn) pour un polyomino avec n cellules et k trous. En particulier, cet algorithme est linéaire pour un polyomino avec un nombre borné de
trous.
Nous exposons aussi l'état de nos recherches sur le problème du pavage
de cardinalité maximale et, plus généralement, sur celui du couplage maximum dans un graphe biparti plan. Nous présentons un algorithme original
de couplage dont la complexité reste encore à déterminer.
Nous considérons enn le problème de la reconstruction du pavage d'un
rectangle à partir de ses projections orthogonales. Ce problème connu depuis
une dizaine d'années restait non résolu. Nous présentons un algorithme polynomial qui réalise cette reconstruction. Nous introduisons aussi un autre
problème de reconstruction avec des contraintes supplémentaires et nous
montrons que ce dernier problème est NP-complet.
Mots-clés : pavage, pavage de dominos, polyomino, couplage, couplage
parfait, couplage maximum, graphes bipartis plans, tomographie discrète,
problèmes de reconstruction.
Title : Constructions and Reconstructions of Domino Tilings.
Abstract : This thesis is dedicated to the study of some domino tiling
problems.
We rst show how to extend Thurston's method for tiling a polyomino
with holes by dominoes and we present a tiling algorithm which runs in
O(kn)-time for a polyomino with n cells and k holes.
We also present the state of our research on the problem of the maximum
tiling in a polyomino and on the more general problem of the maximum
matching in a plane bipartite graph. We give an original matching algorithm
whose complexity has to be determined.
At last, we consider the reconstruction of a domino tiling of a rectangle
from its two orthogonal projections. We prove that this well-known problem
of discrete tomography is polynomial. We also prove the NP-completeness of
a reconstruction problem with additional projection constraints.
Keywords : Tiling, Domino Tiling, Polyomino, Matching, Perfect Mat-
ching, Maximum Matching, Plane Bipartite Graphs, Discrete Tomography,
Reconstruction Problems.