DM Tube a choc - Les pages perso du Crans

Ecoulements Compressibles et
Supersoniques
Devoir à la maison III
Le Tube à Choc
On considère un tube infini transparent, séparé en deux en x = 0 par une
membrane imperméable infiniment rigide ; c’est-à-dire que la pression peut
être différente de part et d’autre. Chaque demi-tube infini est rempli par un
fluide homogène. Le fluide de gauche est dans l’état ρG , vG = 0, pG , TG , γG ,
celui de droite dans l’état ρD , vD = 0, pD , TD , γD . On suppose que chacun de ces fluides est parfait et qu’aucun processus de diffusion n’intervient
à l’interface des deux fluides. À t=0, on éclate la membrane centrale et on
Figure 1 – Représentation schématique de l’état initial dans un tube à choc.
observe l’évolution du système au cours du temps. Le problème est donc modélisé par un problème de Riemann pour les équations d’Euler instationnaires
monodimensionnelles pour des lois d’état de gaz parfaits polytropiques :

 ∂t U + ∂x (F
(U )) = 0, (x, t) ∈ R × R+
UG , si x < 0,
(1)
 U (0, x) =
UD , si x ≥ 0
Ici U désigne le vecteur des variables conservatives (ρ, ρu, ρE).
1. En utilisant le cours, rappeler la forme quasi-linéaire des équations
d’Euler instationnaires dans les variables non conservatives W = (p, v, s)
que nous utiliserons dans le cours de ce TD. On explicitera en particulier la Jacobienne de la forme quasi-linéaire associée, ainsi que ses va1
leurs propres et ses bases de vecteurs propres et formes linéaires propres
respectives.
2. Observer que l’EDP considérée ainsi que les conditions initiales sont
invariantes par la transformation
(x, t) −→ (λx, λt),
∀λ ∈ R+ .
Qu’en déduisez vous quand à la forme de la solution ?
3. Combien d’ondes pourra-t-on observer pour tout t > 0 ? Quelle est la
nature des champs caractéristiques associés à chacune de ces ondes ?
De quel type peuvent être chacune de ces ondes ?
Cas de la 2-onde
4. Quelle forme ont les courbes intégrales pour le 2-champs caractéristique ? Quelles sont donc les quantités conservées à travers la 2-onde ?
En déduire la vitesse de propagation de la 2-onde dans le plan (x, t).
5. Justifier que le fait que le rapport des capacités calorifiques γ est une
constante de part et d’autre de la 2-onde et qu’il prend respectivement
les valeurs γD et γG à droite et à gauche.
6. Quelles sont maintenant les inconnues du problème ? Représenter schématiquement la solution dans le plan (x, t). Les ondes associées aux
champs vraiment non-linéaires seront représentées de manières "floues".
Cas de la 1-onde : l’onde simple
La 1-onde relie WG à un état W1 = (p1 , v1 , s1 ) que l’on va déterminer.
Dans cette sous-partie, on suppose que la 1-onde est une onde simple.
7.
a) Sous l’hypothèse d’onde simple, que vaut s1 ?
b) Pour quelle raison la quantité v + γG2c−1 est-elle conservée à travers
cette onde ?
c) Exprimer le rapport
entre v1 et p1 .
p1
pG
en fonction de
c1
.
cG
En déduire une relation
d) Comment est dirigée la concavité de la courbe v1 (p1 ) dans le plan
(p, v) ?
e) Quelle contrainte sur le signe de v1 impose l’hypothèse d’onde
simple ? Quelle répercussion sur le signe de p1 − pG ?
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1-onde : cas du choc
On suppose maintenant que la 1-onde est un choc.
8.
a) Par la relation de Rankine-Hugoniot sur la densité, exprimer la
vitesse du choc σ en fonction des vitesses et des densités de part
et d’autre du choc : vG , v1 , ρG et ρ1 .
b) On se place dans le référentiel du choc. À quel Mach relatif Mσ
le fluide à l’état gauche "pénètre-t-il" dans le choc ? Quelle est la
contrainte sur ce Mach relatif pour que l’hypothèse d’onde de choc
soit valide ?
c) Rappeler les relations de choc droit qui lient les rapports ρρG1 et ppG1
au Mach relatif Mσ . Comment se traduit l’hypothèse de validité
traitée à la question précedente sur le rapport des pressions ?
d) En déduire v1 (Mσ ) puis
√
2cG
p1 − pG
p
.
v1 = vG − √
γG pG (γG + 1)p1 + (γG − 1)pG
(2)
e) On admet que cette fonction ne change pas de concavité. Dans
quelle direction est elle orientée ?
f) Une question subsidiaire, mais néanmoins intéressante porte sur
la nature du raccord en p1 = pG des deux fonctions v1 (p1 ) trouvée.
Montrer que ce raccord est C 1 .
Cas de la 3-onde
On souhaite réitérer le raisonnements précédent mais ne pas avoir à refaire
tous les calculs. L’état à gauche de la 3-onde est noté W2 = (p2 , v2 , s2 ).
9.
a) Quelle est l’invariant de Riemann dans le cas onde simple ? Que
vaut maintenant le nombre de Mach relatif, dans l’hypothèse d’un
choc ?
b) Propager les changements de signes dans les calculs précédents et
en déduire les expressions de v2 en fonction de p2 , les conditions
de validité associées et les directions des concavités.
Résolution Complète
On suppose pG < pD . Dans le plan (p, v), représenter WG , WD et une idée
des courbes intégrales les reliant respectivement à W1 et W2 .
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10. Dans quelle direction se propage l’onde de contact (la 2-onde) ?
11. Quelle est finalement la nature de la 1-onde et de la 3-onde dans ce cas
précis ?
12. Que se passe-t-il si l’on intervertit les deux états gauche et droits ?
En fait, on peut réaliser la même étude dans un cadre plus général où les
vitesses vG et vD ne sont pas forcément nulles. Les courbes intégrales obtenues
sont les mêmes, simplement translatées de manière à passer respectivement
par les points (pG , vG ) et (pD , vD ) dans le plan (p, v). Toutes les combinaisons
entre 1-détente, 1-choc, 3-détente et 3-choc sont possibles. Cf Polycopié. En
utilisant le fait que les raccords en (pG , vG ) et (pD , vD ) sont C 1 et que les
dérivées v 0 (p) sont définies partout le long des courbes intégrales, comment
résout-on numériquement le problème de Riemann étant donnés WG et WD ?
Historiquement, cette méthode correspond à une énorme avancée scientifique
dans le domaine du calcul numérique ; elle fut publiée en 1959. C’est le schéma
de Godunov, du nom du mathématicien russe qui l’inventa, et c’est la brique
de base des schémas aux volumes finis.
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