Technique des filtres Chapitre 07b Filtres actifs. Calculs.

Technique des filtres
Chapitre 07b
Filtres actifs. Calculs.
Comme nous l'avons vu plus haut, la fréquence de coupure d'un filtre actif se calcule de la
même manière que pour les filtres passifs.
Il en va de même pour la pente et l'atténuation comme le montre le tableau ci-dessous :
Nombre de
pôles
1
2
3
4
5
Atténuation par décade Atténuation par octave
[ dB ]
[ dB ]
20
40
60
80
100
6
12
18
24
30
Pente
1
2
3
4
5
Mais alors qu'est-ce qu'il y a de différent entre ces types de filtres ?
La particularité et surtout la difficulté dans l'élaboration des filtres actifs et le calcul
de la contre-réaction. C'est elle qui va spécifier les caractéristiques du filtre et par
conséquence lui donner son nom ( Bessel, Butterworth, etc. )
Les exemples qui vont suivre déterminent les valeurs des éléments pour des filtres de
Butterworth. C'est le filtre le plus utilisé et celui que l'on rencontre dans les appareils
audio et vidéo. Ce filtre est également appelé filtre à caractéristique horizontale car sa
courbe de réponse est pratiquement plane dans la zone passante du filtre. Il possède par
contre l'inconvénient d'introduire un déphasage non linéaire en fonction de la fréquence.
C'est pour cela que d'autres ingénieurs ( Bessel, Tchébyscheff ) ont mis au point
d'autres modèles de filtres !
Le calcul détaillé de ces filtres demande une aisance dans la manipulation des formules
très complexes. Le but de ce cours n'est pas de compliquer la compréhension des
méthodes de calculs, nous allons donc les simplifier au maximum. Celui qui voudra entrer
plus profondément dans les développements mathématiques pourra le faire en consultant
la littérature très fournie traitant des filtres actifs et de leur mise au point.
Exemple de calcul d'un filtre de premier ordre
Rappel des formules de base :
Pour le filtre passe-haut ci dessous, Nous désirons obtenir une fréquence de coupure de 4.5 [kHz].
Première caractéristique : pente : Þ 1 / 6 [dB/oct.] / 20 [dB/décade]
Les filtres de Butterworth ont une caractéristique plane qui est définie par la valeur de
l'amplification en tension de l'étage. Pour un filtre à un pôle, cette amplification n'a pas
d'influence sur la fréquence de coupure du filtre, elle peut donc être choisie d'une façon
arbitraire. Pour simplifier notre étude, nous choisirons la même amplification que pour des filtres
à 2 pôles :
Amplification en tension : 1.586
Cette valeur a été déterminée pour des filtres à 2 pôles et elle doit être respectée pour
correspondre à la caractéristique de Butterworth.
Cette valeur va nous permettre de calculer les valeurs des résistances de contre-réaction R1 et
R2 . Pour effectuer ce calcul, nous pouvons choisir de façon arbitraire la valeur de R1 ou de R2 .
Pour l'exemple, nous avons choisi une R1 = 2.2 [kΩ ]
Nous choisirons la valeur normalisée la plus proche soit : R2 = 3.9 [kΩ ]
Il faut maintenant calculer la valeur des éléments qui vont déterminer la caractéristique en
fréquence du filtre. Nous procédons de même en choisissant une valeur pour R ou pour C.
Choix pour R1 = 1 [kΩ]
Là également, nous choisirons une valeur normalisée soit : 33 [nF]
Nous disposons maintenant de toutes les valeurs pour réaliser notre filtre.
Réalisation avec le simulateur électronique
Le circuit ci-dessus représente le filtre calculé à la page précédente. Il s'agit d'un filtre PH
de type Butterworth dont la fréquence de coupure est de 4.5 [kHz].
Le bode d'amplitude correspond à un filtre passe-haut, mais il faut être attentif lors de sa
lecture. Cette fois, puisque nous utilisons un amplificateur dont le gain n'est pas égal à 1
l'atténuation de référence de - 3 [dB] devra tenir compte du niveau de sortie du filtre.
Il faut procéder de la manière suivante :
•
•
•
Relever la valeur dans la zone passante du filtre.
Déduire l'atténuation de - 3 [dB]
On obtient alors la fréquence de coupure du filtre.
Le bode de phase ne présente pas de différence par rapport à un filtre passif du premier
ordre.
Calcul du filtre à trois pôles
Soit le filtre passe-bas ci-dessous. Calculer la valeur de tous les éléments et déterminer la
pente pour une fréquence de coupure de 20 [kHz]
Il s'agit d'un filtre à trois pôles. La première cellule est montée à l'entrée du l'OP A1, la
seconde à l'entrée de l'OP A2 et la troisième en contre-réaction sur l'OP A2. La valeur de la
pente est la suivante pour trois cellules :
pente : - 3 - 18 [dB/oct.] - 60 [dB/déc]
Pour la suite des calculs, nous allons choisir une valeur pour la résistance de la cellule RC. La
fréquence de coupure étant identique pour toutes les cellules, nous pouvons choisir une
même valeur pour les résistances des trois cellules.
Comme nous l'avons vu précédemment, l'amplification en tension de l'ampli OP est arbitraire si
le filtre est composé d'un pôle, mais elle doit être de 1.586 pour des filtres à 2 pôles et
correspondre à la caractéristique de Butterworth. Lorsque plusieurs pôles sont utilisés, les
calculs deviennent plus complexes car il faut tenir compte des tensions de réaction. Pour
obtenir ces valeurs, il faut procéder à des longs calculs, c'est pourquoi il est plus simple
d'utiliser les valeurs du tableau ci-dessous.
Nb. pôles
1
[dB] / déc.
20
[dB] / oct
6
1er ampli OP
arbitraire
2me. ampli OP
2
40
12
1.586
3
60
18
arbitraire
2
4
80
24
1.152
2.235
5
6
100
120
30
36
arbitraire
1.068
1.382
1.586
3me ampli OP
2.382
2.482
Notre filtre comporte 3 pôles. Il est constitué de 2 amplis OP. Le premier ampli OP est monté
en filtre passe-bas à 1 pôle, pour calculer les valeurs de R1 et de R2 nous pouvons choisir une
valeur arbitraire pour l'amplification en tension. Par contre, le second ampli OP est monté en
cellule à 2 pôles. Pour que la caractéristique de Butterworth soit respectée, l'amplification en
tension doit être précisément de 2.
Première cellule, ampli A1, filtre passe-bas à un pôle :
Valeur choisie pour R1 :
R1 = 4.7 [kΩ] Au = valeur aléatoire = 1.5
Seconde cellule, ampli A2, filtre passe-bas à deux pôles :
Valeur choisie pour R3 :
R3 = 4.7 [kΩ]
Au = valeur imposée = 2
Calcul du condensateur C pour les 2 cellules A1 et A2 :
En valeurs normalisées :
R1= 4.7 [ kΩ ]
R2 = 8.2 [ kΩ ]
R3 = 4.7 [ kΩ ]
R4 = 4.7 [kΩ ]
R = 10 [ kΩ ]
C = 820 [pF]
Calcul du filtre monté en suiveur de tension
Toujours en conservant les caractéristiques de Butterworth, il est possible de réaliser des
filtres selon le principe du suiveur de tension, soit avec une amplification en tension égale à un.
Nous ne pouvons plus utiliser la condition :
car l'amplification en tension doit être égale à un
Cette condition n'étant plus remplie, tous les calculs vont être différents et plus complexes.
L'emploi d'un tableau de valeurs va nous rendre la tâche plus facile.
cellules
R1 / C1
2
0.2251
4
0.4159
0.1723
6
0.6149
0.2251
0.1648
8
0.8158
0.2865
0.1914
0.1623
R2 / C2
0.1125
0.06091
0.147
0.04119
0.1125
0.1537
0.03105
0.08842
0.1323
0.1561
10
1.0174
0.3506
0.2251
0.1786
0.1611
0.0249
0.07225
0.1125
0.1418
0.1572
Les facteurs mentionnés dans ce tableau ont été calculés pour une fréquence de 1 [Hz] et une
résistance de cellule de 1 [Ω]. En fonction de la fréquence de coupure désirée et de la valeur
de résistance choisie, le calcul se fera de la manière suivante :
Exemple :
Pour un filtre de second ordre, dont la fréquence de coupure est de 9 [kHz] et pour une
résistance de 6.8 [kΩ=]. Calculer les valeurs des deux condensateurs.
Selon le tableau, les facteurs sont :
C1= 0.2251 C2 = 0.1125
Pour un filtre d'un nombre supérieur de cellules, il faut utiliser la même
méthode pour tous les condensateurs.
Exemple de calculs
Nous allons mettre en pratique les données des tableaux de la page précédente en calculant
trois filtres de Butterworth passe-haut et passe-bas.
Filtre passe-bas
Filtre passe-haut
R = 10 [kΩ ] fc = 850 [Hz]
R = 4.7 [kΩ ] fc = 2.5 [kHz]
Filtre passe-bas
C1 = C2 = 4.7 [nF]
fc = 850 [Hz]
Filtre passe-bas
R1 = R2 = R3 = 10 [kΩ]
fc = 850 [Hz]
Filtre passe-haut
C1 = C2 = 10 [nF]
fc = 2.5 [kHz]
Filtre passe-haut
R1 = R2 = R3 = 4.7 [kΩ]
fc = 2.5 [kHz]