Petit mémento géométrie collège

RAPPELS DE GEOMETRIE PLANE
( petit mémento collège )
1. LES NOTATIONS (essentielles à connaître et utiliser à bon escient)
[AB] désigne un segment.
AB désigne la longueur de ce segment.
(AB) désigne la droite passant par les points A et B.
[AB) désigne la demi-droite d’origine A et qui passe par le point B.
→
Le vecteur AB est la donnée de 3 caractéristiques : la direction de (AB) , la longueur AB et
le sens de A vers B.
2.
LES PROPRIETES METRIQUES
a)
LONGUEURS
Distance entre deux points dans un repère orthonormé :
Dans un plan muni d’un repère orthonormé, si on connaît deux points par leurs coordonnées
A ( xA ; yA) et B (xB ; yB) , alors la longueur AB se calcule ainsi :
AB =
( xB – xA ) 2 + ( yB – yA ) 2 .
Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite D perpendiculaire à ce segment et passant par
son milieu.
Propriété caractéristique : si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est
équidistant des extrémités de ce segment ; réciproquement, si un point est équidistant des
extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Autres propriétés métriques :
x 3
.
2
La diagonale d’un rectangle de dimensions x et y mesure : d = x 2 + y 2
La diagonale d’un carré de côté x mesure : d = 2 x 2 = x 2 .
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté x mesure : h =
b)
AIRES
Aire d’un carré de côté x : A = x 2
Aire d’un rectangle de dimensions x et y : A = x y .
Aire d’un parallélogramme de base x et de hauteur h : A = x h .
(x+y)h
Aire d’un trapèze de bases x et y et de hauteur h : A =
2
xh
.
Aire d’un triangle de base x et de hauteur h : A =
2
Aire d’un disque de rayon R : A = π R 2 .
c)
ANGLES
La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180 ° .
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Dans une figure comportant une droite sécante à deux droites parallèles :
- les angles correspondants sont égaux. (1ère figure à droite)
- les angles alternes - internes sont égaux. (2ème figure à droite)
Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc sont toujours égaux.
De plus, un « angle au centre » interceptant le même arc mesure le double de l’angle inscrit.
(3ème figure à droite)
3.
LES DROITES PARTICULIERES DES TRIANGLES
a) MEDIATRICES
Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et passant par son
milieu.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est le
centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets du triangle).
b) MEDIANES
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté
opposé à ce sommet.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection s’appelle le
2
centre de gravité du triangle. Ce point se situe aux
de chaque médiane en partant du
3
sommet.
c) HAUTEURS
Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté
opposé.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection s’appelle
l’orthocentre du triangle.
LES THEOREMES DE THALES
4.
Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
- le point M est sur la droite (AB) et le point N est sur la droite (AC)
- les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
AM AN MN
alors on a :
=
=
.
AB AC BC
« Réciproquement », si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
- le point M est sur la droite (AB) et le point N est sur la droite (AC) avec A,M,B placés
dans le même ordre que A,N,C
AM AN
- et si
=
AB AC
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Un cas particulier important des théorèmes de Thalès:
LES THEOREMES DES MILIEUX
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle , alors
1
elle est parallèle au troisième côté. De plus, MN = BC (voir figure).
2
« Réciproquement » , si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et si elle est
parallèle à un deuxième côté du triangle, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
LES TRIANGLES RECTANGLES
5.
a)
THEOREME DE PYTHAGORE
Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB 2 + AC 2 = BC 2 .
b)
TRIGONOMETRIE
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a
BA
cos ABC =
(côté adjacent sur hypoténuse)
BC
AC
sin ABC =
(côté opposé sur hypoténuse)
BC
AC
tan ABC =
(côté opposé sur côté adjacent) .
BA
c) TRIANGLE INSCRIT DANS UN DEMI-CERCLE
Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du
cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. (on dit parfois qu’il est inscrit dans un
demi-cercle) .
Réciproquement : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son
cercle circonscrit.
d) TANGENTE A UN CERCLE
Une droite tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon qui rejoint son point de contact
avec le cercle.
6.
CARACTERISATIONS DES PARALLELOGRAMMES
a) PARALLELOGRAMMES
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si tous ses côtés opposés sont
parallèles.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si tous ses côtés opposés sont égaux
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a deux côtés opposés parallèles et
égaux.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si tous ses angles opposés sont égaux.
b) LOSANGES , RECTANGLES ET CARRES
Un quadrilatère est un losange si et seulement si ses quatre côtés sont égaux.
Un quadrilatère est un losange si et seulement si c’est un parallélogramme et s’il a deux côtés
consécutifs égaux.
Un quadrilatère est un losange si et seulement si c’est un parallélogramme et s’il a ses
diagonales perpendiculaires.
Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si ses quatre angles sont des angles droits.
Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si c’est un parallélogramme et s’il a un angle
droit.
Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si c’est un parallélogramme et s’il a ses
diagonales de la même longueur.
Un quadrilatère est un carré s’il a ses quatre côtés égaux et ses quatre angles droits.
Un quadrilatère est un carré si et seulement si c’est à la fois un rectangle et un losange.